Shvartsild koordinatalari - Schwarzschild coordinates

Nazariyasida Lorentsiya manifoldlari, sferik nosimmetrik fazoviy vaqtlar oilasini qabul qilish ichki yumaloq sharlar. Bunday bo'shliqda, ayniqsa, muhim turdagi koordinata jadvali bo'ladi Shvarsshild jadvali, bir xil qutbli sferik koordinata a diagrammasi statik va sferik nosimmetrik bo'sh vaqt, bu moslashtirilgan ushbu ichki yumaloq sharlarga. Shvarsshild jadvalining tavsiflovchi xususiyati shundan iboratki, radiusli koordinatalar sirt maydoni bo'yicha tabiiy geometrik izohga ega va Gauss egriligi har bir sohaning Biroq, radiusli masofalar va burchaklar aniq ifodalanmagan.

Ushbu jadvallarda ko'plab dasturlar mavjud tortishishning metrik nazariyalari kabi umumiy nisbiylik. Ular ko'pincha ishlatiladi statik sferik nosimmetrik fazoviy vaqtlar. Bo'lgan holatda umumiy nisbiylik, Birxof teoremasi har bir narsani ta'kidlaydi izolyatsiya qilingan sferik nosimmetrik vakuum yoki elektrovakum eritmasi Eynshteyn maydon tenglamasi statik, ammo bu albatta to'g'ri emas mukammal suyuqliklar. Tashqi mintaqasining kengayishi Shvartschild vakuum ichidagi eritma voqealar ufqi nosimmetrik sferik qora tuynuk ufqning ichida statik emas va (bo'shliqqa o'xshash) sharlar oilasini ufqning ichida kengaytirish mumkin emas, shuning uchun bu echim uchun Shvartsshild jadvali ufqda buzilishi shart.

Ta'rif

A ni ko'rsatish metrik tensor har qanday ta'rifning bir qismidir Lorentsiya kollektori. Ushbu tensorni aniqlashning eng oddiy usuli - uni mos keladigan mahalliy koordinatali diagrammalarda aniqlash va diagrammalar domenlarining ustma-ust tushishida xuddi shu tensor aniqlanganligini tekshirish. Ushbu maqolada biz faqat bitta diagramma maydonidagi metrik tensorni aniqlashga harakat qilamiz.

Shvarsshild jadvalida (statik sferik nosimmetrik bo'shliqda) chiziq elementi shaklni oladi

Qaerda standart sferik koordinatadir va 2-shar birligi bo'yicha standart o'lchovdir. Qarang Shvartsildning echimini chiqarish ushbu iborani batafsilroq chiqarish uchun.

Kontekstga qarab, e'tiborga olish o'rinli bo'lishi mumkin a va b radial koordinataning aniqlanmagan funktsiyalari sifatida (masalan, aniq statik sferik nosimmetrik echimini olishda Eynshteyn maydon tenglamasi ). Shu bilan bir qatorda, biz ma'lum bir Lorentsiya oralig'ida Shvartsshild koordinatalar jadvalini olish uchun ma'lum funktsiyalarni (ehtimol ba'zi parametrlarga bog'liq holda) ulashimiz mumkin.

Agar bu tan olinadigan bo'lsa stress-energiya tensori natijada olingan model uni qondiradi Eynshteyn maydon tenglamasi (aytaylik, mos keladigan statik sferik nosimmetrik mukammal suyuqlik uchun energiya sharoitlari va boshqa oqilona mukammal suyuqlikdan kutilgan boshqa xususiyatlar), shunda modda va impulsning zichligi kabi fizik kattaliklarni ifodalovchi tegishli tenzor maydonlari bilan biz katta vaqt oralig'iga egamiz; ko'rib chiqilishi mumkin bo'lgan qism mahalliy echim Eynshteyn maydon tenglamasining.

Vektorli maydonlarni o'ldirish

Shvarsshild jadvaliga nisbatan Yolg'on algebra ning Vektorli maydonlarni o'ldirish timelike tomonidan yaratilgan irrotatsion Vektorli maydonni o'ldirish

[Izoh 1]

va uchta kosmik o'ldirish vektor maydonlari

Mana, buni ayt irrotatsion degani vortiklik tenzori mos keladigan vaqt o'xshashligi yo'qoladi; Shunday qilib, bu Killing vektor maydoni gipersuray ortogonal. Bizning bo'sh vaqtimiz irrotatsion vaqtga o'xshash Killing vektor maydonini qabul qilishi aslida a ning xarakteristikasi statik bo'sh vaqt. Buning darhol bir natijasi shundaki doimiy vaqt koordinatali yuzalar (izometrik) oilasini tashkil qilish fazoviy giperslices. (Bu masalan uchun to'g'ri emas Boyer-Lindkvistlar jadvali tashqi mintaqasi uchun Kerr vakuum, bu erda vaqt koordinatalari vektori gipertermetik emas ortogonal.)

Oxirgi ikkita maydon koordinatali transformatsiya ostida bir-birining aylanishi ekanligini unutmang . Maqola Vektorli maydonlarni o'ldirish kosmosga o'xshash uchta maydonning batafsil chiqishi va muhokama qilinishini ta'minlaydi.

Statik joylashtirilgan sharlar oilasi

Shvarsshild jadvalida yuzalar dumaloq shar shaklida ko'rinadi (biz fitna o'tkazganimizda lokuslar qutbli sharsimon shaklda) va uning shaklidan biz ushbu sirtlarning har qandayida cheklangan Shvartsshild metrikasining ijobiy aniqlanganligini va

Qaerda - radius 2-shar birligi bo'yicha standart Riemann metrikasi. Ya'ni, bular ichki koordinata sharlari aslida geometrik sharlarni ifodalaydi

  1. sirt maydoni
  2. Gauss egriligi

Xususan, ular geometrik yumaloq sharlar. Bundan tashqari, burchak koordinatalari aynan odatiy qutb sferik burchak koordinatalari: ba'zan deb nomlanadi kelishuv va odatda uzunlik. Bu asosan Shvarsshild jadvalining aniqlovchi geometrik xususiyati.

Yuqorida keltirilgan to'rtta o'ldirish maydonlari quyidagicha ko'rib chiqilganligini qo'shishga yordam berishi mumkin mavhum vektor maydonlari bizning Lorentsiya kollektorimizda statik sferik nosimmetrik bo'shliq vaqtining ikkala simmetriyasining eng aniq ifodasini bering, ma'lum trigonometrik shakl bizning jadvalimizda ular bu atama ma'nosining eng to'g'ri ifodasidir Shvarsshild jadvali. Xususan, uchta fazoviy o'ldirish vektor maydonlari E ning sferik nosimmetrik jadvalidagi uchta translatsiyaviy o'ldirish vektor maydonlari bilan bir xil shaklga ega.3; ya'ni ular kelib chiqishi yoki sferik simmetriya to'g'risida o'zboshimchalik bilan evklid aylanishi tushunchasini namoyish etadi.

Biroq, yaxshi e'tibor bering: umuman, Shvartschildning radial koordinatasi radial masofalarni aniq aks ettirmaydi, ya'ni ajralmas egri chiziqlari sifatida paydo bo'ladigan kosmosga o'xshash geodezik muvofiqlik bo'ylab olingan masofalar . Aksincha, tegishli tushunchani topishfazoviy masofa Ikki uyali sohamiz o'rtasida, biz kerak birlashtirmoq kelib chiqishi koordinatali nurlari bo'ylab:

Xuddi shunday, biz har bir sohani o'z pozitsiyasini saqlab qolish uchun (umuman) raketa dvigatellaridan foydalanib, o'zlarining pozitsiyalarini saqlab qolish uchun sferik bulutlarning joylashuvi deb hisoblashimiz mumkin. Bular statik kuzatuvchilarva ular dunyo shakllariga ega , albatta bu shaklga ega vertikal koordinatali chiziqlar Shvartsshild jadvalida.

Hisoblash uchun to'g'ri vaqt ikki voqea orasidagi interval dunyo chizig'i ushbu kuzatuvchilardan birini biz birlashtirishimiz kerak tegishli koordinata chizig'i bo'ylab:

Yagona birliklarni muvofiqlashtirish

Yuqoridagi koordinatalar diapazoniga nazar tashlab, koordinataning o'ziga xosligini ta'kidlang joylashgan joyini belgilaydi Shimoliy qutb bizning statik ichki sohalarimizdan biri joylashgan joyini belgilaydi Janubiy qutb. Xuddi E-dagi oddiy qutbli sferik jadval uchun bo'lgani kabi3, topologik sabablarga ko'ra butun sferada doimiy koordinatalarni ololmaymiz; kabi harakat qilish uchun uzunlikni tanlashimiz kerak (katta doirani) asosiy meridian va buni grafikadan kesib tashlang. Natijada har bir fazoviy giperslitsadan yopiq yarim tekislikni kesib tashladik eksa, shu jumladan va shu o'qdan cho'zilgan yarim tekislik.

Yuqorida aytganimizda Killing vektorli maydon, biz o'ylayotgan pedantik, ammo muhim saralashni qoldirdik kabi tsiklik koordinatalash va haqiqatan ham bizning uchta kosmik o'xshash o'ldirish vektorlarimizni yumaloq sharlarda harakat qilish deb o'ylash.

Ehtimol, albatta, yoki , bu holda biz qilishimiz kerak shuningdek bizning xaritamiz domenidan biron bir to'pning tashqarisida yoki bir nechta to'pning ichida aksizlang. Bu Shvartsildning radial koordinatasi r ning ma'lum bir qiymatida f yoki g portlaganda sodir bo'ladi.

Statik gipersliclarni ingl

Shvarsshild radial koordinatasining ahamiyatini yaxshiroq tushunish uchun bu fazoviy gipersliclardan birini kiritishga yordam berishi mumkin. (ularning barchasi, albatta, bir-biriga izometrik) tekis Evklid fazosida. To'rt o'lchovli Evklid makonini tasavvur qilish qiyin bo'lgan odamlar, biz sferik simmetriyadan foydalanishimiz mumkinligini xursand bo'lishadi bitta koordinatani bostirish. Bunga sozlash orqali qulay tarzda erishish mumkin . Endi bizda mahalliy radial koordinatalar sxemasi bo'lgan ikki o'lchovli Riemann kollektori mavjud,

Ushbu sirtni kiritish uchun (yoki an halqali qo'ng'iroq) E3, biz E-da ramka maydonini qabul qilamiz3 qaysi

  1. parametrlangan sirtda aniqlanadi, bu esa kerakli metrikani ichki bo'shliqdan meros qilib oladi,
  2. bizning radial jadvalimizga moslashtirilgan,
  3. aniqlanmagan funktsiyaga ega .

Aql-idrok uchun parametrlangan sirtni ko'rib chiqing

Ushbu sirtdagi koordinatali vektor maydonlari

Evklid metrikasini E ga cheklab qo'yganimizda induktsiya qilingan metrik3 bizning parametrlangan yuzamizga

Buni bizning giperslitsimiz metrikasi bilan aniqlash uchun biz, ehtimol, tanlashimiz kerak shu kabi

Biroz ahmoqona misolni olish uchun bizda bo'lishi mumkin .

Bu ikkita radius bilan ajratilgan nuqta orasidagi haqiqiy masofalar bo'lgan sirtlar uchun ishlaydi kattaroq ularning radial koordinatalari orasidagi farqdan. Agar haqiqiy masofalar bo'lsa kichikroq, biz Riemann kollektorini kosmosga o'xshash sirt sifatida E ga singdirishimiz kerak1,2 o'rniga. Masalan, bizda bo'lishi mumkin . Ba'zan bizga ikki yoki undan ko'pi kerak bo'lishi mumkin mahalliy halqali halqalarni ko'milishi (ijobiy yoki salbiy Gauss egriligi mintaqalari uchun). Umuman olganda, biz a olishini kutmasligimiz kerak global biron bir tekis joyga ko'milish (yo'qolib borayotgan Riemann tensori bilan).

Gap shundaki, Shvartsild chizmasining radiusli koordinataning geometrik talqini nuqtai nazaridan tavsiflovchi xususiyati shunchaki fazoviy gipersikliklarning sferik nosimmetrik joylashishini amalga oshirishimiz kerak bo'lgan narsadir.

Metrik Ansatz

Yuqorida keltirilgan chiziq elementi, bilan f,g Shvarsshild radial koordinatasining aniqlanmagan funktsiyalari sifatida qaraladi r, ko'pincha metrik sifatida ishlatiladi ansatz umumiy nisbiylikda (yoki boshqasida) statik sferik nosimmetrik echimlarni olishda tortishishning metrik nazariyalari ).

Illyustratsiya sifatida biz ulanish va egrilik yordamida qanday hisoblash kerakligini ko'rsatamiz Kartanning tashqi hisoblash usuli. Birinchidan, biz chiziq elementini o'qiymiz a koframe maydoni,

biz qaerda ko'rib chiqamiz ning hali aniqlanmagan silliq funktsiyalari . (Bizning kosmik vaqtimiz ushbu o'ziga xos trigonometrik shaklga ega bo'lgan ramkani tan olishi, Shvartsild diagrammasi statik, sferik nosimmetrik Lorentsiya manifoldidagi tushunchaning yana bir teng ifodasidir).

Ikkinchidan, biz ushbu kobazis shakllarining tashqi hosilalarini hisoblaymiz:

Cartan bilan taqqoslaganda birinchi tizimli tenglama (yoki aniqrog'i uning integrallanish sharti),

biz uchun iboralarni taxmin qilamiz ulanishning bir shakllari. (Shlyapalar - bu faqat indekslar koordinatali yagona shakllarga emas, balki bizning kobazimiz bir shakllariga tegishli ekanligini eslatish uchun mos yozuvlar vositasi. .)

Agar qaysi juft indekslar nosimmetrik (makon-vaqt), qaysi biri antisimmetrik (makon-bo'shliq) ekanligini eslasak , biz oltita ulanishning bir shakllarini tasdiqlashimiz mumkin

(Ushbu misolda oltitadan atigi to'rttasi rangsizdir.) Biz ushbu bitta shakllarni bitta formadagi matritsaga to'plashimiz yoki undan ham yaxshiroq SO (1,3) qiymatdagi bitta shaklni to'plashimiz mumkin. bitta shakldan iborat bo'lmaydi antisimetrik SO (4) baholangan bitta shaklga kelsak; o'rniga transpoza tushunchasini ishlatishimiz kerak Lorentsiy qo'shni.

Uchinchidan, biz bir shaklli ulanishning tashqi hosilalarini hisoblaymiz va Cartan's dan foydalanamiz ikkinchi tizimli tenglama

egrilikni ikki shaklini hisoblash uchun. To'rtinchidan, formuladan foydalanish

qaerda Bach barlari faqat oltidan ko'proq summa olishimiz kerakligini ko'rsatib bering ortib borayotgan juftliklar indekslar (men,j), biz ning chiziqli mustaqil komponentlarini o'qiy olamiz Riemann tensori bizning koframe va uning ikkilikiga nisbatan ramka maydoni. Biz quyidagilarni olamiz:

Beshinchidan, biz indekslarni pasaytirib, tarkibiy qismlarni tartibga solishimiz mumkin matritsaga

bu erda E, L nosimmetrik (oltita chiziqli mustaqil komponent), B esa izsiz (umuman sakkizta chiziqli mustaqil komponentlar), ular biz ikkita shaklning (har bir hodisada) oltita o'lchovli vektor makonida chiziqli operatorni ifodalaydi deb o'ylaymiz. Bundan biz o'qiy olamiz Belning parchalanishi vaqtga o'xshash birlik vektor maydoniga nisbatan . The elektrogravitik tensor bu

The magnetogravitik tensor bir xilda yo'qoladi va topogravitik tensor, undan (haqiqatdan foydalanib irrotatsion) biz fazoviy gipersliklarning uch o'lchovli Riman tensorini aniqlashimiz mumkin,

Bularning barchasi Lorentsiyadagi har qanday manifold uchun amal qiladi, ammo shuni ta'kidlaymizki, umumiy nisbiylik nuqtai nazaridan elektrogravitik tensor bizning ob'ektimizga mos keladigan kuzatuvchilar tomonidan o'lchanadigan kichik ob'ektlardagi gelgit stresslarini boshqaradi va magnetogravitik tensor aylanayotgan narsalarda har qanday spin-spin kuchlarini boshqaradi. , bizning ramkamizga mos keladigan kuzatuvchilar tomonidan o'lchangan.

Ikkilik ramka maydoni bizning koframe maydonimiz

Bu omil faqat uchta ortonormalning birinchisini ko'paytiradi kosmik vektor Bu erdagi maydonlar Shvartsshild jadvallari ekanligini anglatadi fazoviy izotrop emas (mahalliy vaqt oralig'idagi ahamiyatsiz holatlardan tashqari); aksincha, yorug'lik konuslari (lamel tekislangan) yoki (lamel cho'zilgan) ko'rinadi. Bu, albatta, Shvarsshild jadvallari har bir ichki yumaloq doiradagi masofalarni to'g'ri ifodalaydi, ammo radial koordinatali radial to'g'ri masofani ishonchli tarzda aks ettirmaydi, deyishning yana bir usuli.

Shvartsshild jadvallarini tan oladigan ba'zi aniq echimlar

Shu tarzda olinadigan aniq echimlarning ayrim misollari quyidagilarni o'z ichiga oladi:

Umumlashtirish

Shvartschildning umumiy jadvali bilan doimiy bo'lmagan, ammo sferik nosimmetrik vaqt oraliqlarini ko'rib chiqish tabiiydir. metrik shaklni oladi

Boshqa yo'nalish bo'yicha umumlashtirib, boshqa koordinatali tizimlardan o'zimizning dumaloq ikki sferalarimizda foydalanishimiz mumkin, masalan a stereografik Shvartsshild jadvali ba'zan foydali bo'ladi:

Shuningdek qarang

Izohlar

  1. ^ vaqt yo'nalishi bo'yicha yo'naltirilgan vektor maydoni uchun yozuv. Bu t ga nisbatan differentsial operatorga o'xshash bo'lishi uchun yozilgan, chunki bu yo'nalish bo'yicha hosilalarni olish mumkin. Notation = vektor maydonini belgilash uchun tez-tez va umumiy tarzda ishlatiladi teginish to'plami.