Yarim uzluksizlik - Semi-continuity - Wikipedia

Yilda matematik tahlil, yarim davomiylik (yoki yarim davomiylik) ning xususiyatidir kengaytirilgan real - baholangan funktsiyalari bu zaifroq uzluksizlik. Kengaytirilgan real qiymat funktsiyasi f bu yuqori (mos ravishda, pastki) yarim uzluksiz bir nuqtada x₀ agar, taxminan aytganda, argumentlar uchun funktsiya qiymatlari yaqin x₀ ga nisbatan unchalik yuqori emas (mos ravishda, pastroq) f(x₀).

Funktsiya uzluksiz, agar u faqat va agar u ikkala yuqori va pastki yarim yarim bo'lsa ham bo'ladi. Agar uzluksiz funktsiyani olsak va uning qiymatini ma'lum bir nuqtada oshirsak x₀ ga f(x₀)+v (ba'zi ijobiy doimiy uchun v), keyin natija yuqori yarim yarim davomiy bo'ladi; agar biz uning qiymatini kamaytirsak f(x₀)-v unda natija quyi yarim-davomli bo'ladi.

Misollar

Yuqori yarim doimiy funktsiya. To'liq ko'k nuqta bildiradi f(x₀).

Funktsiyani ko'rib chiqing f, qismli tomonidan belgilanadi:

${ displaystyle f (x) = { begin {case} -1 & { mbox {if}} x <0, 1 & { mbox {if}} x geq 0 end {case}}}$

Ushbu funktsiya yuqori yarim uzluksiz x₀ = 0, lekin undan past yarim uzluksiz emas.

Pastki yarim doimiy funktsiya. To'liq ko'k nuqta bildiradi f(x₀).

The ko'rsatkich funktsiyasi a yopiq to'plam yuqori yarim uzluksiz, an ko'rsatkich ko'rsatkichi esa ochiq to'plam pastki yarim uzluksizdir. The qavat funktsiyasi ${ displaystyle f (x) = lfloor x rfloor}$ , bu eng katta butun sonni berilgan haqiqiy sondan kam yoki unga teng ravishda qaytaradi x, hamma joyda yuqori yarim uzluksiz. Xuddi shunday, ship funktsiyasi ${ displaystyle f (x) = lceil x rceil}$ pastki yarim uzluksizdir.

Funktsiya ham bo'lmasdan yuqori yoki pastki yarim doimiy bo'lishi mumkin chap yoki o'ng uzluksiz. Masalan, funktsiya

{ displaystyle f (x) = { begin {case} 1 & { mbox {if}} x <1, 2 & { mbox {if}} x = 1, 1/2 & { mbox {if }} x> 1, end {holatlar}}}

da yuqori yarim uzluksizdir x = 1, chunki uning qiymati uning mahallasidagi qiymatdan yuqori. Biroq, u chapga ham, o'ngga ham uzluksiz emas: Chapdagi chegara 1 ga, o'ngdagi chegara 1/2 ga teng, ikkalasi ham 2 ning funktsiya qiymatidan farq qiladi. f o'zgartirilgan, masalan. sozlash orqali f(1) = 0, u pastki yarim uzluksiz

Xuddi shunday funktsiya

{ displaystyle f (x) = { begin {case} sin (1 / x) & { mbox {if}} x neq 0, 1 & { mbox {if}} x = 0, end {holatlar}}}

da yuqori yarim uzluksizdir x = 0 bo'lsa, funktsiya chapdan yoki o'ngdan nolga teng chegaralar mavjud emas.

Agar ${ displaystyle X = mathbb {R} ^ {n}}$ Evklid fazosi (yoki umuman olganda metrik bo'shliq) va ${ displaystyle Gamma = C ([0,1], X)}$ ning maydoni chiziqlar yilda ${ displaystyle X}$ (bilan supremum masofa ${ displaystyle d _ { Gamma} ( alfa, beta) = sup _ {t} d_ {X} ( alfa (t), beta (t))}$ , keyin uzunligi funktsional ${ displaystyle L: Gamma dan [0, + infty]}$ , bu har bir egri uchun belgilanadi ${ displaystyle alpha}$ uning uzunlik ${ displaystyle L ( alfa)}$ , pastki yarim davomiydir.

Ruxsat bering ${ displaystyle (X, mu)}$ o'lchov maydoni bo'lsin va ruxsat bering ${ displaystyle L ^ {+} (X, mu)}$ ning thetopology bilan ta'minlangan ijobiy o'lchanadigan funktsiyalar to'plamini belgilang o'lchovdagi yaqinlik munosabat bilan ${ displaystyle mu}$ . Keyin Fato lemmasi operatori sifatida ko'rilgan integral ${ displaystyle L ^ {+} (X, mu)}$ ga ${ displaystyle [- infty, + infty]}$ pastki yarim uzluksizdir.

Rasmiy ta'rif

Aytaylik ${ displaystyle X}$ a topologik makon, ${ displaystyle x_ {0}}$ bir nuqta ${ displaystyle X}$ va ${ displaystyle f colon x to mathbb {R} cup {- infty, infty }}$ kengaytirilgan real qiymatli funktsiya.

Biz buni aytamiz ${ displaystyle f}$ bu yuqori yarim uzluksiz da ${ displaystyle x_ {0}}$ agar har biri uchun bo'lsa ${ displaystyle epsilon> 0}$ mavjud a Turar joy dahasi ${ displaystyle U}$ ning ${ displaystyle x_ {0}}$ shu kabi ${ displaystyle f (x) leq f (x_ {0}) + epsilon}$ Barcha uchun ${ displaystyle x in U}$ qachon ${ displaystyle f (x_ {0})> - infty}$ va ${ displaystyle f (x)}$ moyil ${ displaystyle - infty}$ kabi ${ displaystyle x}$ tomon intiladi ${ displaystyle x_ {0}}$ qachon ${ displaystyle f (x_ {0}) = - infty}$ .

Metrik bo'shliqning alohida holati uchun buni quyidagicha ifodalash mumkin

{ displaystyle limsup _ {x to x_ {0}} f (x) leq f (x_ {0})}

bu erda lim sup limit ustun (funktsiya haqida ${ displaystyle f}$ nuqtada ${ displaystyle x_ {0}}$ ). (Metrik bo'lmagan bo'shliqlar uchun ekvivalent ta'rif to'rlar ko'rsatilishi mumkin.)

Funktsiya ${ displaystyle f}$ uning har bir nuqtasida yuqori yarim uzluksiz bo'lsa, yuqori yarim uzluksiz deyiladi domen. Funktsiya yuqori yarim uzluksiz va faqat shunday bo'lsa ${ displaystyle {x in X: ~ f (x)$ bu ochiq to'plam har bir kishi uchun ${ displaystyle y in mathbb {R}}$ .

Biz buni aytamiz ${ displaystyle f}$ bu pastki yarim uzluksiz da ${ displaystyle x_ {0}}$ agar har biri uchun bo'lsa ${ displaystyle epsilon> 0}$ mavjud a Turar joy dahasi ${ displaystyle U}$ ning ${ displaystyle x_ {0}}$ shu kabi ${ displaystyle f (x) geq f (x_ {0}) - epsilon}$ Barcha uchun ${ displaystyle x}$ yilda ${ displaystyle U}$ qachon ${ displaystyle f (x_ {0}) <+ infty}$ va ${ displaystyle f (x)}$ moyil ${ displaystyle + infty}$ kabi ${ displaystyle x}$ tomon intiladi ${ displaystyle x_ {0}}$ qachon ${ displaystyle f (x_ {0}) = + infty}$ .

Bunga teng ravishda, metrik bo'shliqda, buni quyidagicha ifodalash mumkin

{ displaystyle liminf _ {x to x_ {0}} f (x) geq f (x_ {0})}

qayerda ${ displaystyle liminf}$ bo'ladi chegara past (funktsiyaning ${ displaystyle f}$ nuqtada ${ displaystyle x_ {0}}$ ).

Funktsiya ${ displaystyle f}$ uning domenining har bir nuqtasida pastki yarim doimiy bo'lsa, pastki yarim uzluksiz deyiladi. Funktsiya, agar shunday bo'lsa, pastki yarim doimiy bo'ladi ${ displaystyle {x in X: ~ f (x)> y }}$ bu ochiq to'plam har bir kishi uchun ${ displaystyle y in mathbb {R}}$ ; Shu bilan bir qatorda, funktsiya, agar u hammasi pastroq bo'lsa, pastki yarim doimiy bo'ladi daraja to'plamlari ${ displaystyle {x in X: ~ f (x) leq y }}$ bor yopiq. Quyi darajadagi to'plamlar ham deyiladi pastki darajadagi to'plamlar yoki xandaklar.^[1]

Xususiyatlari

Funktsiya davomiy da x₀ agar u erda faqat yuqori va pastki yarim doimiy bo'lsa. Shuning uchun uzluksizlikni isbotlash uchun yarim uzluksizlikdan foydalanish mumkin.

Agar f va g ikkitasi yuqori yarim doimiy bo'lgan ikkita haqiqiy qiymatli funktsiyalardir x₀, keyin shunday bo'ladi f + g. Agar ikkala funktsiya ham manfiy bo'lmagan bo'lsa, unda mahsulot funktsiyasi fg da yuqori yarim uzluksiz bo'ladi x₀. Xuddi shu narsa pastki yarim doimiy funktsiyalar uchun amal qiladi x₀.^[2]

The tarkibi f∘g yuqori yarim uzluksiz funktsiyalar f va g albatta yuqori yarim uzluksiz emas, lekin agar bo'lsa f ham kamaymaydi, keyin f∘g yuqori yarim uzluksizdir.^[3]

Musbat yuqori yarim uzluksiz funktsiyani manfiy son bilan ko'paytirish uni pastki yarim uzluksiz funktsiyaga aylantiradi.

Agar C a ixcham joy (masalan, a yopiq, chegaralangan oraliq [a, b]) va f : C → [–∞, ∞) yuqori yarim uzluksiz, keyin f maksimal darajaga ega C. (–∞, ∞] baholangan pastki yarim doimiy funktsiyalar va minimalar uchun o'xshash so'zlar ham to'g'ri keladi. haddan tashqari qiymat teoremasi dalil uchun.)

Aytaylik f_men : X → [–∞, ∞] - bu har bir indeks uchun pastki yarim doimiy funktsiya men bo'sh bo'lmagan to'plamda Menva belgilang f sifatida yo'naltirilgan supremum, ya'ni,

{ displaystyle f (x) = sup _ {i in I} f_ {i} (x), qquad x in X}

Keyin f pastki yarim uzluksizdir.^[4] Agar hammasi bo'lsa ham f_men doimiy, f doimiy bo'lishi shart emas: a da har bir pastki yarim uzluksiz funktsiya bir xil bo'shliq (masalan, a metrik bo'shliq ) uzluksiz funktsiyalar ketma-ketligining supremumi sifatida paydo bo'ladi.

Xuddi shunday, nuqtai nazardan cheksiz yuqori yarim yarim funktsiyalarning o'zboshimchalik bilan to'plamining yuqori yarim tusli.

The ko'rsatkich funktsiyasi har qanday ochiq to'plam yarim yarim davomiydir. Yopiq to'plamning indikatori funktsiyasi yuqori yarim davomiydir. Biroq, konveks tahlilida "indikator funktsiyasi" atamasi ko'pincha xarakterli funktsiya va har qandayining xarakterli vazifasi yopiq to'plam quyi yarim tutarli va har qandayining xarakterli vazifasi ochiq majmui yuqori yarim yarim.

Funktsiya f : Rⁿ→R agar u bo'lsa, u yarim yarim davomiydir epigraf (uning ustida yoki ustida joylashgan nuqtalar to'plami grafik ) yopiq.

Funktsiya f : X→R, ba'zi bir topologik makon uchun X, ga nisbatan uzluksiz bo'lsa va undan kam yarim yarim davomiydir Skott topologiyasi kuni R.

Har qanday yuqori yarim yarim funktsiya f : X→N o'zboshimchalik bilan topologik bo'shliqda X ba'zilarida mahalliy doimiy zich ochiq pastki qism ning X.

Cheklangan ko'p sonli yuqori yarim funktsiyalarning maksimal va minimal ko'rsatkichlari yuqori yarim tusli va pastki yarim yarim funktsiyalarga ham tegishli.

Shuningdek qarang

Doimiy funktsiya - qiymatining keskin o'zgarishi bo'lmagan matematik funktsiya
Yo'naltiruvchi uzluksizlik
Yarim kontinental ko'p qiymatli funktsiya

Adabiyotlar

^ Kiviel, Kshishtof C. (2001). "Kvazikonveks minimallashtirish uchun subgradient usullarining yaqinlashuvi va samaradorligi". Matematik dasturlash, A seriya. 90 (1). Berlin, Geydelberg: Springer. 1-25 betlar. doi:10.1007 / PL00011414. ISSN 0025-5610. JANOB 1819784.
^ Puterman, Martin L. (2005). Markov Qarori Diskret Stoxastik Dinamik Dasturlash. Wiley-Intertersience. pp.602. ISBN 978-0-471-72782-8.
^ Mur, Jeyms C. (1999). Iqtisodiy nazariya uchun matematik usullar. Berlin: Springer. p.143. ISBN 9783540662358.
^ "Baire teoremasi". Matematika entsiklopediyasi.

Qo'shimcha o'qish

Benesova, B .; Kruzik, M. (2017). "Integral funktsional va dasturlarning zaif quyi yarim yarim davomiyligi". SIAM sharhi. 59 (4): 703–766. arXiv:1601.00390. doi:10.1137 / 16M1060947.
Burbaki, Nikolas (1998). Matematika elementlari: Umumiy topologiya, 1-4. Springer. ISBN 0-201-00636-7.
Burbaki, Nikolas (1998). Matematika elementlari: Umumiy topologiya, 5-10. Springer. ISBN 3-540-64563-2.
Gelbaum, Bernard R .; Olmsted, Jon M.X. (2003). Tahlilda qarshi misollar. Dover nashrlari. ISBN 0-486-42875-3.
Hyers, Donald H.; Isak, Jorj; Rassias, Themistocles M. (1997). Lineer bo'lmagan tahlil va qo'llanmalardagi mavzular. Jahon ilmiy. ISBN 981-02-2534-2.

[1] Kiviel, Kshishtof C. (2001). "Kvazikonveks minimallashtirish uchun subgradient usullarining yaqinlashuvi va samaradorligi". Matematik dasturlash, A seriya. 90 (1). Berlin, Geydelberg: Springer. 1-25 betlar. doi:10.1007 / PL00011414. ISSN 0025-5610. JANOB 1819784.

[2] Puterman, Martin L. (2005). Markov Qarori Diskret Stoxastik Dinamik Dasturlash. Wiley-Intertersience. pp.602. ISBN 978-0-471-72782-8.

[3] Mur, Jeyms C. (1999). Iqtisodiy nazariya uchun matematik usullar. Berlin: Springer. p.143. ISBN 9783540662358.

[4] "Baire teoremasi". Matematika entsiklopediyasi.

[1]

[2]

[3]

[4]