Soddalashtirilgan taxminiy teorema - Simplicial approximation theorem

Yilda matematika, soddalashtirilgan taxminiy teorema uchun asos bo'lgan natijadir algebraik topologiya, buni kafolatlaydi doimiy xaritalar bo'lishi mumkin bo'lgan (biroz deformatsiya bilan) bo'lishi mumkin qismli eng oddiy turdagi. U tuzilgan bo'shliqlar orasidagi xaritalashga taalluqlidir sodda - bu cheklangan soddalashtirilgan komplekslar. Bunday bo'shliqlar orasidagi umumiy uzluksiz xaritalashni taxminan xaritalash turi bilan ifodalash mumkin (afine-) yetarli narxda (i) har bir simpleksda boshqa simpleksga chiziqli baritsentrik bo'linma domenning soddaligi va (ii) haqiqiy xaritalashni a ga almashtirish homotopik bitta.

Ushbu teorema birinchi marta isbotlangan L.E.J. Brouwer, yordamida Lebesg teoremasini qamrab oladi (asoslangan natija ixchamlik ). Bu qo'yish uchun xizmat qildi gomologiya nazariyasi vaqt - yigirmanchi asrning birinchi o'n yilligi - qat'iy asosda, chunki bu topologik ta'sir ( homologiya guruhlari ) uzluksiz xaritalarni ma'lum bir holatda a bilan ifodalash mumkin yakuniy yo'l. Bunga o'sha paytdagi uzluksizlik umuman mos bo'lganligini anglash fonida qarash kerak patologik, ba'zi boshqa sohalarda. Bu boshlangan, deyish mumkinki, davr kombinatoriya topologiyasi.

Yana bor homotopiya uchun soddalashtirilgan taxminiy teoremadeb ta'kidlab, a homotopiya uzluksiz xaritalashlar o'rtasida ham kombinatorial versiya bilan taqqoslash mumkin.

Teoremaning rasmiy bayoni

Ruxsat bering ${ displaystyle K}$ va ${ displaystyle L}$ ikki bo'ling soddalashtirilgan komplekslar. A soddalashtirilgan xaritalash ${ displaystyle f: K dan L gacha$ uzluksiz funksiyaning soddalashtirilgan yaqinlashishi deyiladi ${ displaystyle F: | K | dan | L |}$ agar har bir nuqta uchun ${ displaystyle x in | K |}$, ${ displaystyle | f | (x)}$ ning minimal yopiq simpleksiga tegishli ${ displaystyle L}$ nuqta o'z ichiga olgan ${ displaystyle F (x)}$. Agar ${ displaystyle f}$ doimiy xaritaga soddalashtirilgan yaqinlashishdir ${ displaystyle F}$, keyin geometrik amalga oshirish ${ displaystyle f}$, ${ displaystyle | f |}$ uchun homotopik bo'lishi shart ${ displaystyle F}$.

Soddalashtirilgan taxminiy teorema har qanday uzluksiz xaritani berganligini bildiradi ${ displaystyle F: | K | dan | L |}$ tabiiy raqam mavjud ${ displaystyle n_ {0}}$ hamma uchun shunday ${ displaystyle n geq n_ {0}}$ soddalashtirilgan taxmin mavjud ${ displaystyle f: mathrm {Bd} ^ {n} K dan L} gacha$ ga ${ displaystyle F}$ (qayerda ${ displaystyle mathrm {Bd} ; K}$ belgisini bildiradi baritsentrik bo'linma ning ${ displaystyle K}$va ${ displaystyle mathrm {Bd} ^ {n} K}$ baritsentrik bo'linishni qo'llash natijasini bildiradi ${ displaystyle n}$ marta.)

Adabiyotlar

• "Oddiy kompleks", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]