Homotopiya - Homotopy

Ushbu maqola umumiy ro'yxatini o'z ichiga oladi ma'lumotnomalar, lekin bu asosan tasdiqlanmagan bo'lib qolmoqda, chunki unga mos keladigan etishmayapti satrda keltirilgan. Iltimos yordam bering yaxshilash tomonidan ushbu maqola tanishtirish aniqroq iqtiboslar. (2017 yil iyun) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Ikkala nuqta yo'llar yuqorida ko'rsatilgan ularning so'nggi nuqtalariga nisbatan homotopik. Animatsiya mumkin bo'lgan bitta homotopiyani aks ettiradi.

Yilda topologiya, filiali matematika, ikkitasi doimiy funktsiyalar bittadan topologik makon boshqasiga chaqiriladi homotopik (dan.) Yunoncha mkός homos "bir xil, o'xshash" va Chop tópos "joy") agar ikkinchisiga "doimiy ravishda deformatsiya qilinishi" mumkin bo'lsa, bunday deformatsiya a deb nomlanadi homotopiya ikki funktsiya o'rtasida. Gomotopiyaning diqqatga sazovor joylaridan biri bu ta'rifidir homotopiya guruhlari va kohomotopiya guruhlari, muhim invariantlar yilda algebraik topologiya.^[1]

Amalda, ba'zi joylarga ega bo'lgan homotoplardan foydalanishda texnik qiyinchiliklar mavjud. Algebraik topologlar bilan ishlaydi ixcham hosil qilingan bo'shliqlar, CW komplekslari, yoki spektrlar.

Rasmiy ta'rif

Ikkisi orasidagi homotopiya ko'mishlar ning torus ichiga R³: "donut yuzasi" va "kofe krujkasining yuzasi" sifatida. Bu shuningdek an izotopiya.

Rasmiy ravishda, ikkalasi orasidagi homotopiya doimiy funktsiyalar f va g topologik makondan X topologik makonga Y uzluksiz funktsiya sifatida belgilangan ${ displaystyle H: X times [0,1] to Y}$ dan mahsulot bo'shliq X bilan birlik oralig'i [0, 1] dan Y shu kabi ${ displaystyle H (x, 0) = f (x)}$ va ${ displaystyle H (x, 1) = g (x)}$ Barcha uchun ${ displaystyle x in X}$.

Agar ikkinchisini o'ylab ko'rsak parametr ning H vaqt kabi H tasvirlaydi a doimiy deformatsiya ning f ichiga g: 0 vaqtida biz funktsiyaga egamiz f va 1-vaqtda biz funktsiyaga egamiz g. Ikkinchi parametr haqida biz silliq o'tish imkoniyatini beradigan "slayder nazorati" deb o'ylashimiz mumkin f ga g slayder 0 dan 1 gacha harakat qilganda va aksincha.

Shu bilan bir qatorda, ikkita doimiy funktsiya orasidagi homotopiya deyish mumkin ${ displaystyle f, g: X to Y}$ doimiy funktsiyalar oilasi ${ displaystyle h_ {t}: X dan Y} gacha$ uchun ${ displaystyle t in [0,1]}$ shu kabi ${ displaystyle h_ {0} = f}$ va ${ displaystyle h_ {1} = g}$va xarita ${ displaystyle (x, t) mapsto h_ {t} (x)}$ dan uzluksiz ${ displaystyle X times [0,1]}$ ga ${ displaystyle Y}$. Ikkala versiya sozlash bilan mos keladi ${ displaystyle h_ {t} (x) = H (x, t)}$. Har bir xaritani talab qilish etarli emas ${ displaystyle h_ {t} (x)}$ uzluksiz bo'lish^[2]

Yuqorida o'ng tomonda joylashgan animatsiya ikkitasi orasidagi homotopiyaga misol keltiradi ko'mishlar, f va g, torusning ichiga R³. X torus, Y bu R³, f torusdan tortib to uzluksiz funktsiya R³ bu torusni animatsiya boshlanadigan donutning ko'milgan yuzasiga olib boradi; g torusni kofe-krujka ko'milgan yuzasiga olib boradigan doimiy funktsiya. Animatsiya tasvirini ko'rsatadi h_t(x) parametr funktsiyasi sifatida t, qayerda t animatsiya tsiklining har bir tsikli davomida 0 dan 1 gacha bo'lgan vaqtga qarab o'zgaradi. U to'xtab turadi, keyin tasvirni quyidagicha ko'rsatadi t 1dan 0gacha o'zgarib turadi, pauza qiladi va ushbu tsiklni takrorlaydi.

Xususiyatlari

Doimiy funktsiyalar f va g homotopik deb aytiladi va agar u homotopiya bo'lsa H olish f ga g yuqorida tavsiflanganidek. Gomotopik bo'lish - bu an ekvivalentlik munosabati dan boshlab barcha uzluksiz funktsiyalar to'plamida X ga Y. Ushbu homotopiya munosabati mos keladi funktsiya tarkibi quyidagi ma'noda: agar f₁, g₁ : X → Y homotopik va f₂, g₂ : Y → Z homotopik, keyin ularning kompozitsiyalari f₂ ∘ f₁ va g₂ ∘ g₁ : X → Z shuningdek, homotopikdir.

Misollar

• Agar ${ displaystyle f, g: mathbb {R} to mathbb {R} ^ {2}}$ tomonidan berilgan ${ displaystyle f (x): = (x, x ^ {3})}$ va ${ displaystyle g (x) = (x, e ^ {x})}$, keyin xarita ${ displaystyle H: mathbb {R} times [0,1] to mathbb {R} ^ {2}}$ tomonidan berilgan ${ displaystyle H (x, t) = (x, (1-t) x ^ {3} + te ^ {x})}$ bu ularning orasidagi homotopiya.
• Umuman olganda, agar ${ displaystyle C subseteq mathbb {R} ^ {n}}$ a qavariq pastki qismi Evklid fazosi va ${ displaystyle f, g: [0,1] dan C gacha$ bor yo'llar bir xil so'nggi nuqta bilan, keyin a mavjud chiziqli homotopiya^[3] (yoki to'g'ri chiziqli homotopiya) tomonidan berilgan

${ displaystyle { begin {aligned} H: [0,1] & times [0,1] longrightarrow C (s, t) longmapsto (1 & -t) f (s) + tg (s) . end {hizalangan}}}$

• Ruxsat bering ${ displaystyle operator nomi {id} _ {B ^ {n}}: B ^ {n} dan B ^ {n}} gacha$ bo'lishi identifikatsiya qilish funktsiyasi blokda n-disk, ya'ni to'plam ${ displaystyle B ^ {n}: = {x in mathbb {R} ^ {n}: | x | leq 1 }}$. Ruxsat bering ${ displaystyle c _ { vec {0}}: B ^ {n} dan B ^ {n}} gacha$ bo'lishi doimiy funktsiya ${ displaystyle c _ { vec {0}} (x): = { vec {0}}}$ har bir nuqtani kelib chiqishi. Keyin quyidagilar ularning orasidagi homotopiya:

${ displaystyle { begin {aligned} H: B ^ {n} & times [0,1] longrightarrow B ^ {n} (x, t) & longmapsto (1-t) x. end {moslashtirilgan}}}$

Homotopiya ekvivalenti

Ikki topologik bo'shliq berilgan X va Y, a homotopiya ekvivalenti X va Y orasidagi doimiy juftlik xaritalar f : X → Y va g : Y → X, shu kabi g ∘ f ga homotopik hisoblanadi hisobga olish xaritasi id_X va f ∘ g id ga homotopik_Y. Agar bunday juftlik mavjud bo'lsa, unda X va Y deb aytilgan homotopiya ekvivalentiyoki xuddi shunday homotopiya turi. Intuitiv ravishda ikkita bo'shliq X va Y agar ularni egish, qisqartirish va kengaytirish operatsiyalari orqali bir-biriga aylantirish mumkin bo'lsa, homotopiya ekvivalenti. Gomotopiya-nuqtaga teng bo'lgan bo'shliqlar deyiladi kontraktiv.

Gomomopiya ekvivalenti va gomomorfizm

A gomeomorfizm homotopiya ekvivalentligining alohida holati bo'lib, unda g ∘ f identifikatsiya xaritasi identifikatoriga teng_X (nafaqat unga homotopik), va f ∘ g id ga teng_Y.^[4]:0:53:00 Shuning uchun, agar X va Y gomeomorfik bo'lsa, unda ular homotopiya-ekvivalent bo'ladi, ammo aksi to'g'ri emas. Ba'zi misollar:

• Qattiq disk homotopiyaga teng, bitta nuqtaga teng, chunki siz diskni doimiy ravishda bitta nuqtaga radial chiziqlar bo'ylab deformatsiya qilishingiz mumkin. Biroq, ular gomomorfik emas, chunki yo'q bijection ular orasida (buni isbotlashning bir usuli shundaki, disk va nuqta boshqa o'lchamga ega va gomomorfizm ostida o'lchov o'zgarmasdir).
• The Mobius chizig'i va burilmagan (yopiq) chiziq homotopiya ekvivalentidir, chunki siz ikkala chiziqni ham aylanaga doimiy ravishda deformatsiya qilishingiz mumkin. Ammo ular gomomorf emas.

Misollar

• Gomotopiya ekvivalentligining birinchi misoli ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ nuqta bilan belgilanadi ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n} simeq {0 }}$. Tekshirilishi kerak bo'lgan qism - bu homotopiyaning mavjudligi ${ displaystyle H: I times mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {n}}$ o'rtasida ${ displaystyle operatorname {id} _ { mathbb {R} ^ {n}}}$ va ${ displaystyle p_ {0}}$, ning proektsiyasi ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ kelib chiqishiga qarab. Buni quyidagicha ta'riflash mumkin ${ displaystyle H (t, cdot) = t cdot p_ {0} + (1-t) cdot operatorname {id} _ { mathbb {R} ^ {n}}}$.
• O'rtasida homotopiya ekvivalenti mavjud ${ displaystyle S ^ {1}}$ va ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2} - {0 }}$.
• Umuman olganda, ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n} - {0 } simeq S ^ {n-1}}$.
• Har qanday tola to'plami ${ displaystyle pi: E to B}$ tolalar bilan ${ displaystyle F_ {b}}$ homotopiya ekvivalenti homotopiya ekvivalenti umumiy va asosiy bo'shliqlarga ega. Bu avvalgi ikkita misolni umumlashtiradi ${ displaystyle pi: mathbb {R} ^ {n} - {0 } dan S ^ {n-1}} gacha$tola bilan tola to'plamidir ${ displaystyle mathbb {R} _ {> 0}}$.
• Har bir vektor to'plami bir nuqtaga teng bo'lgan tolali homotopiya bilan tola to'plamidir.
• Har qanday kishi uchun ${ displaystyle 0 leq k$, ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n} - mathbb {R} ^ {k} simeq S ^ {n-k-1}}$ yozish orqali ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ kabi ${ displaystyle mathbb {R} ^ {k} times mathbb {R} ^ {n-k}}$ va yuqorida homotopiya ekvivalentlarini qo'llash.
• Agar subkompleks bo'lsa ${ displaystyle A}$ a CW kompleksi ${ displaystyle X}$ shartnoma tuzish mumkin, keyin bo'sh joy ${ displaystyle X / A}$ ga teng bo'lgan homotopiya ${ displaystyle X}$.^[5]
• A deformatsiyaning orqaga tortilishi homotopiya ekvivalenti.

Nol-homotopiya

Funktsiya f deb aytilgan nol-homotopik agar u doimiy funktsiyaga homotopik bo'lsa. (Dan homotopiya f doimiy funktsiyaga keyin ba'zan a deyiladi nol-homotopiya.) Masalan, xarita f dan birlik doirasi S¹ har qanday bo'shliqqa X dan xaritaga doimiy ravishda uzaytirilishi mumkin bo'lganda, nol-homotopik bo'ladi birlik disk D.² ga X bu bilan rozi f chegarada.

Ushbu ta'riflardan kelib chiqadiki, bo'shliq X faqat agar shaxs xaritasi bo'lsa, shartnoma tuzish mumkin X o'zi uchun - har doim homotopiya ekvivalenti - nol-homotopik.

O'zgarish

Homotopiya ekvivalenti muhim, chunki algebraik topologiya ko'plab tushunchalar homotopiya o'zgarmas, ya'ni ular homotopiya ekvivalentligi munosabatini hurmat qilishadi. Masalan, agar X va Y homotopiyaga teng bo'shliqlar, keyin:

• X bu yo'l bilan bog'langan agar va faqat agar Y bu.
• X bu oddiygina ulangan agar va faqat agar Y bu.
• (Birlik) homologiya va kohomologiya guruhlari ning X va Y bor izomorfik.
• Agar X va Y yo'l bilan bog'langan, keyin asosiy guruhlar ning X va Y izomorfik va undan yuqori bo'lgan homotopiya guruhlari. (Yo'lga bog'liqlik taxminisiz, $ Delta $ mavjud₁(X, x₀) uchun izomorfik₁(Y, f(x₀)) qaerda f : X → Y gomotopik ekvivalentlik va x₀ ∈ X.)

Gomotopiya-invariant bo'lmagan topologik bo'shliqlarning algebraik invariantiga misol ixcham qo'llab-quvvatlanadigan homologiya (ya'ni, taxminan, homologiyasi ixchamlashtirish, va ixchamlashtirish homotopiya-o'zgarmasdir).

Variantlar

Nisbiy homotopiya

Ni aniqlash uchun asosiy guruh, degan tushunchaga ehtiyoj bor pastki bo'shliqqa nisbatan homotopiya. Bu pastki makon elementlarini ushlab turadigan homotopiyalar. Rasmiy ravishda: agar f va g dan uzluksiz xaritalar X ga Y va K a kichik to'plam ning X, keyin biz buni aytamiz f va g ga nisbatan homotopikdir K agar homotopiya mavjud bo'lsa H : X × [0, 1] → Y o'rtasida f va g shu kabi H(k, t) = f(k) = g(k) Barcha uchun k ∈ K va t ∈ [0, 1]. Bundan tashqari, agar g a orqaga tortish dan X ga K va f identifikatsiya xaritasi, bu kuchli deb tanilgan deformatsiyaning orqaga tortilishi ning X ga K.Qachon K bu nuqta, atama gomotopiya ishlatilgan.

Izotopiya

The uzmoq ga teng emas trefoil tuguni chunki atrof muhit kosmosining uzluksiz gomomorfizm yo'li orqali boshqasiga deformatsiya qilinishi mumkin emas. Shunday qilib ular atrof-izotopik emas.

Ikkala doimiy funktsiya berilgan taqdirda f va g topologik makondan X topologik makonga Y bor ko'mishlar, ularni "ko'mish orqali" ulash mumkinmi, deb so'rash mumkin. Bu tushunchani keltirib chiqaradi izotopiya, bu homotopiya, H, ilgari ishlatilgan yozuvda, har biri uchun belgilangan t, H(x, t) joylashishni beradi.^[6]

Bilan bog'liq, ammo boshqacha tushuncha - bu atrof-muhit izotopiyasi.

Ikkita ko'milgan joyning izotopik bo'lishini talab qilish, ularning homotopik bo'lishiga qaraganda kuchliroq talabdir. Masalan, xarita [-1, 1] oralig'idan aniqlangan haqiqiy raqamlarga f(x) = −x bu emas hisobga olish uchun izotopik g(x) = x. Har qanday homotopiya f identifikatorga so'nggi nuqtalarni almashtirish kerak edi, bu ular bir-biridan "o'tishi" kerakligini anglatadi. Bundan tashqari, f intervalining yo'nalishini o'zgartirdi va g yo'q, bu izotopiya ostida imkonsizdir. Biroq, xaritalar homotopik; bitta homotopiya f shaxsiyatiga H: [-1, 1] × [0, 1] → [-1, 1] tomonidan berilgan H(x, y) = 2yx − x.

Chegarada kelishgan birlik sharining ikkita gomeomorfizmi (ko'milishning alohida holatlari) izotopik bo'lishi mumkin. Aleksandrning hiyla-nayranglari. Shu sababli, xaritasi birlik disk yilda R² tomonidan belgilanadi f(x, y) = (−x, −y) 180 gradusgacha izotopik hisoblanadi aylanish kelib chiqishi atrofida va shuning uchun identifikatsiya xaritasi va f izotopikdir, chunki ularni aylanishlar bilan bog'lash mumkin.

Yilda geometrik topologiya - masalan tugun nazariyasi - ekvivalentlik munosabatlarini qurish uchun izotopiya g'oyasidan foydalaniladi. Masalan, qachon ikkita tugunni bir xil deb hisoblash kerak? Biz ikkita tugunni olamiz, K₁ va K₂, uchdano'lchovli bo'sh joy. Tugun - bu ko'mish bir o'lchovli bo'shliqning, "ipning halqasi" (yoki aylana) ning bu bo'shliqqa joylashtirilishi va bu ko'milish doiradagi gomomorfizm va uning bo'shliqdagi tasviri. Tugun ekvivalenti tushunchasi ortidagi intuitiv g'oya shundan iboratki deformatsiya bitta qo'shilish yo'li orqali boshqasiga ko'milish: boshlanadigan doimiy funktsiya t = 0 berish K₁ ko'mish, tugash t = 1 berish K₂ ko'mishga mos keladigan barcha oraliq qiymatlar bilan. Bu izotopiya ta'rifiga mos keladi. An atrof-muhit izotopiyasi, ushbu kontekstda o'rganilgan, bu katta submanifoldga ta'siri nuqtai nazaridan ko'rib chiqilgan katta maydonning izotopiyasi. Tugunlar K₁ va K₂ harakatlanadigan atrof-muhit izotopiyasi mavjud bo'lganda teng deb hisoblanadi K₁ ga K₂. Bu topologik toifadagi tegishli ta'rif.

Shu kabi til ekvivalentlik tushunchasi kuchliroq bo'lgan sharoitda ekvivalent tushunchasi uchun ishlatiladi. Masalan, ikkita silliq ko'milish orasidagi yo'l a silliq izotopiya.

Vaqtga o'xshash homotopiya

A Lorentsiya kollektori, ma'lum egri chiziqlar sifatida ajratiladi vaqtga o'xshash (har bir mahalliy doirada o'z vaqtida orqaga emas, faqat oldinga qarab ketadigan narsani aks ettirish). A vaqtga o'xshash homotopiya ikkitasi o'rtasida vaqtga o'xshash egri chiziqlar homotopiyasidir, shunday qilib egri chiziq egri chiziqdan ikkinchisiga uzluksiz o'tish paytida vaqtga o'xshash bo'lib qoladi. Yo'q yopiq vaqtga o'xshash egri chiziq Lorentsiya manifoldidagi (CTC) vaqtga o'xshash homotopik nuqtaga (ya'ni null vaqtga o'xshash homotopik); shuning uchun bunday manifold deyiladi ko'paytirildi vaqtga o'xshash egri chiziqlar bo'yicha. Kabi kollektor 3-shar bolishi mumkin oddiygina ulangan (har qanday egri turi bo'yicha), va shunga qaramay timelike multiply ulangan.^[7]

Xususiyatlari

Ko'tarish va kengaytirish xususiyatlari

Agar bizda homotopiya bo'lsa H : X × [0,1] → Y va qopqoq p : Y → Y va bizga xarita berilgan h₀ : X → Y shu kabi H₀ = p ○ h₀ (h₀ deyiladi a ko'tarish ning h₀), keyin barchasini ko'tarishimiz mumkin H xaritaga H : X × [0, 1] → Y shu kabi p ○ H = H. Gomotopiya ko'tarish xususiyati tavsiflash uchun ishlatiladi fibratsiyalar.

Gomotopiya bilan bog'liq yana bir foydali xususiyat bu homotopiya kengaytmasi xususiyati, bu gomotopiyaning ikkita funktsiya orasidagi kengayishini tavsiflaydi, bu ba'zi bir to'plamning pastki qismidan to'plamning o'ziga. Bu bilan ishlashda foydalidir kofibratsiyalar.

Guruhlar

Ikki funktsiya aloqasidan beri ${ displaystyle f, g colon X to Y}$ pastki fazoga nisbatan homotopik ekvivalentlik munosabati, biz qarashimiz mumkin ekvivalentlik darslari belgilangan xaritalar X va Y. Agar biz tuzatsak ${ displaystyle X = [0,1] ^ {n}}$, birlik oralig'i [0, 1] kesib o'tdi o'zi bilan n marta, va biz uni olamiz chegara ${ displaystyle kısmi ([0,1] ^ {n})}$ subspace sifatida, keyin ekvivalentlik sinflari belgilangan guruhni tashkil qiladi ${ displaystyle pi _ {n} (Y, y_ {0})}$, qayerda ${ displaystyle y_ {0}}$ subspace tasvirida ${ displaystyle kısmi ([0,1] ^ {n})}$.

Bir ekvivalentlik sinfining ikkinchisiga ta'sirini aniqlashimiz mumkin va shuning uchun biz guruhga egamiz. Ushbu guruhlar homotopiya guruhlari. Bunday holda ${ displaystyle n = 1}$, u ham deyiladi asosiy guruh.

Homotopiya toifasi

Gomotopiya g'oyasini rasmiy toifaga aylantirish mumkin toifalar nazariyasi. The homotopiya toifasi ob'ektlari topologik bo'shliqlar va morfizmlari doimiy xaritalarning homotopiya ekvivalentligi sinflari bo'lgan toifadir. Ikki topologik bo'shliq X va Y agar ular homotopiya ekvivalenti bo'lsa, ushbu toifadagi izomorfikdir. Keyin a funktsiya topologik bo'shliqlar toifasida homotopiya o'zgarmasdir, agar uni homotopiya toifasida funktsiya sifatida ifodalash mumkin bo'lsa.

Masalan, gomologik guruhlar a funktsional homotopiya o'zgarmas: bu shuni anglatadiki, agar f va g dan X ga Y homotopik, keyin guruh homomorfizmlari tomonidan qo'zg'atilgan f va g darajasida homologiya guruhlari bir xil: H_n(f) = H_n(g): H_n(X) → H_n(Y) Barcha uchun n. Xuddi shunday, agar X va Y qo'shimcha ravishda yo'l ulangan va orasidagi homotopiya f va g ishora qiladi, keyin guruh gomomorfizmlari tomonidan induktsiya qilinadi f va g darajasida homotopiya guruhlari ham bir xil: π_n(f) = π_n(g): π_n(X) → π_n(Y).

Ilovalar

Gomotopiya kontseptsiyasiga asoslanib, hisoblash usullari uchun algebraik va differentsial tenglamalar ishlab chiqilgan. Algebraik tenglamalar usullari quyidagilarni o'z ichiga oladi homotopiyaning davomi usul^[8] va davom etish usuli (qarang raqamli davomi ). Differentsial tenglamalar uchun usullarga quyidagilar kiradi homotopiya tahlili usuli.

Shuningdek qarang

• Fiber-homotopiya ekvivalenti (homotopiya ekvivalentligining nisbiy versiyasi)
• Gomeotopiya
• Homotopiya turi nazariyasi
• Xaritalarni sinfi guruhi
• Puankare gipotezasi
• Muntazam homotopiya

Adabiyotlar

Manbalar

• Armstrong, MA (1979). Asosiy topologiya. Springer. ISBN  978-0-387-90839-7.
• "Homotopiya", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]
• "Izotopiya (topologiyada)", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]
• Ispaniya, Edvin (1994 yil dekabr). Algebraik topologiya. Springer. ISBN  978-0-387-94426-5.