Uchburchaklar echimi - Solution of triangles - Wikipedia

Uchburchaklar echimi (Lotin: solutio triangulorum) asosiy hisoblanadi trigonometrik xususiyatlarini topish muammosi uchburchak (tomonlarning burchaklari va uzunliklari), ularning ba'zilari ma'lum bo'lganda. Uchburchak a da joylashgan bo'lishi mumkin samolyot yoki a soha. Uchburchak echimlarini talab qiladigan dasturlarga quyidagilar kiradi geodeziya, astronomiya, qurilish va navigatsiya.

Tekislik uchburchaklarining echilishi

Uchburchak uchun standart yozuv

Umumiy shakl uchburchagi oltita asosiy xususiyatga ega (rasmga qarang): uchta chiziqli (yon uzunliklar) $a, b, v$ ) va uchta burchakli ( $a, β, γ$ ). Klassik tekislik trigonometriyasi muammosi oltita xususiyatdan uchtasini ko'rsatish va qolgan uchtasini aniqlashdan iborat. Uchburchakni quyidagi ma'nolardan biri berilganida shu ma'noda aniq aniqlash mumkin:^[1]^[2]

Uch tomon (SSS)
Ikki tomon va kiritilgan burchak (SAS)
Ikki tomon va ularning orasidagi burchak qo'shilmagan (SSA), agar burchakka ulashgan yon uzunligi boshqa uzunlikdan qisqa bo'lsa.
Yon va unga tutash ikki burchak (KABI)
Yon, unga qarama-qarshi burchak va unga tutash burchak (AAS).

Samolyotdagi barcha holatlar uchun yon uzunliklarning kamida bittasi ko'rsatilishi kerak. Agar faqat burchaklar berilgan bo'lsa, yon uzunliklarni aniqlash mumkin emas, chunki har qanday o'xshash uchburchak - bu yechim.

Trigonomik munosabatlar

Yassi uchburchaklarni echishda ishlatiladigan qadamlar va asboblarga umumiy nuqtai

Muammoni hal qilishning standart usuli bu fundamental munosabatlardan foydalanishdir.

Kosinuslar qonuni: ${ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc cos alpha}$; ${ displaystyle b ^ {2} = a ^ {2} + c ^ {2} -2ac cos beta}$; ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos gamma}$
Sinuslar qonuni: ${ displaystyle { frac {a} { sin alpha}} = { frac {b} { sin beta}} = { frac {c} { sin gamma}}}$
Burchaklar yig'indisi: ${ displaystyle alpha + beta + gamma = 180 ^ { circ}}$
Tangents qonuni: ${ displaystyle { frac {ab} {a + b}} = { frac { tan [{ frac {1} {2}} ( alfa - beta)]} { tan [{ frac { 1} {2}} ( alfa + beta)]}}.}$

Boshqa (ba'zan amaliy jihatdan foydali) universal munosabatlar mavjud: kotangentsalar qonuni va Mollveid formulasi.

Izohlar

Noma'lum burchakni topish uchun kosinuslar qonuni ga qaraganda xavfsizroq sinuslar qonuni. Buning sababi shundaki sinus chunki uchburchakning burchagi bu burchakni aniq belgilamaydi. Masalan, agar $gunoh β = 0.5$ , burchak $β$ yoki 30 ° ga yoki 150 ° ga teng bo'lishi mumkin. Kosinuslar qonunidan foydalanish bu muammoning oldini oladi: 0 ° dan 180 ° gacha bo'lgan oraliqda kosinus qiymati o'z burchagini aniq belgilaydi. Boshqa tomondan, agar burchak kichik bo'lsa (yoki 180 ° ga yaqin) bo'lsa, unda kosinusga qaraganda uni sinusidan aniqlash raqamli ravishda kuchliroqdir, chunki kamon-kosinus funktsiyasi 1 (yoki -1) da divergent hosilaga ega .
Belgilangan xususiyatlarning nisbiy pozitsiyasi ma'lum deb taxmin qilamiz. Agar yo'q bo'lsa, uchburchakning ko'zgu aksi ham echim bo'ladi. Masalan, uchta yon uzunlik uchburchakni yoki uning aksini aniq belgilaydi.

Uch tomon berilgan (SSS)

Uch tomon berilgan

Uchta uzunlik bo'lsin $a, b, v$ ko'rsatilishi kerak. Burchaklarni topish uchun $a, β$ , kosinuslar qonuni foydalanish mumkin:^[3]

{ displaystyle { begin {aligned} alpha & = arccos { frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}} {2bc}} [4pt] beta & = arccos { frac {a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2}} {2ac}}. end {aligned}}}

Keyin burchak $γ = 180° - a - β$ .

Ba'zi manbalar burchakni topishni tavsiya qiladi $β$ dan sinuslar qonuni ammo (yuqoridagi 1-izohda aytilganidek) o'tkir burchak qiymatini obtus bilan chalkashtirib yuborish xavfi mavjud.

Ma'lum tomonlardan burchaklarni hisoblashning yana bir usuli bu kotangentsalar qonuni.

Ikki tomon va berilgan burchak (SAS)

Ikki tomon va berilgan burchak berilgan

Bu erda tomonlarning uzunligi $a, b$ va burchak $γ$ bu tomonlar orasida ma'lum. Uchinchi tomon kosinuslar qonunidan aniqlanishi mumkin:^[4]

{ displaystyle c = { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos gamma}}.}

Endi biz ikkinchi burchakni topish uchun kosinuslar qonunidan foydalanamiz:

{ displaystyle alpha = arccos { frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}} {2bc}}.}

Nihoyat, $β = 180° - a - γ$ .

Ikki tomon va qo'shilmagan burchak berilgan (SSA)

Ikkala tomon va qo'shilmagan burchak berilgan

Uchburchak uchun ikkita echim

Ushbu holat barcha hollarda hal etilmaydi; faqat burchakka qo'shni yon uzunligi boshqa yon uzunligidan qisqa bo'lsa, yechim noyob bo'lishi kafolatlanadi. Ikkala tomonni faraz qiling $b, v$ va burchak $β$ ma'lum. Burchak uchun tenglama $γ$ dan nazarda tutilishi mumkin sinuslar qonuni:^[5]

{ displaystyle sin gamma = { frac {c} {b}} sin beta.}

Biz bundan keyin belgilaymiz $D. = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} v / b gunoh β$ (tenglamaning o'ng tomoni). To'rt holat bo'lishi mumkin:

Agar $D. > 1$ , bunday uchburchak mavjud emas, chunki yon $b$ chiziqqa etib bormaydi $Miloddan avvalgi$ . Xuddi shu sababga ko'ra burchak mavjud bo'lsa, echim bo'lmaydi $β \geq 90°$ va $b \leq v$ .
Agar $D. = 1$ , noyob echim mavjud: $γ = 90°$ , ya'ni uchburchak to'g'ri burchakli.
Agar D. < 1 ikkita alternativa mumkin.
1. Agar $b \geq v$ , keyin $β \geq γ$ (katta tomon katta burchakka to'g'ri keladi). Hech bir uchburchak ikkita aniq burchakka ega bo'lmasligi sababli, $γ$ o'tkir burchak va echimdir $γ = arcsin D.$ noyobdir.
2. Agar $b < v$ , burchak $γ$ o'tkir bo'lishi mumkin: $γ = arcsin D.$ yoki ravshan: $γ ' = 180° - γ$ . O'ngdagi rasmda nuqta ko'rsatilgan $C$ , tomoni $b$ va burchak $γ$ birinchi echim sifatida va nuqta $C '$ , yon $b '$ va burchak $γ '$ ikkinchi echim sifatida.

Bir marta $γ$ olinadi, uchinchi burchak $a = 180° - β - γ$ .

Uchinchi tomonni sinuslar qonunidan topish mumkin:

{ displaystyle a = b { frac { sin alpha} { sin beta}}}

yoki

{ displaystyle a = c cos beta pm { sqrt {b ^ {2} -c ^ {2} sin ^ {2} beta}}}

Yon va ikkita qo'shni burchak berilgan (ASA)

Bir tomon va ikkita qo'shni burchak berilgan

Ma'lum xususiyatlar tomoni $v$ va burchaklar $a, β$ . Uchinchi burchak $γ = 180° - a - β$ .

Sinuslar qonunidan ikkita noma'lum tomonni hisoblash mumkin:^[6]

{ displaystyle a = c { frac { sin alpha} { sin gamma}}; quad b = c { frac { sin beta} { sin gamma}}.}

yoki

{ displaystyle a = c { frac { sin alpha} { sin alpha cos beta + sin beta cos alpha}}}

{ displaystyle b = c { frac { sin beta} { sin alpha cos beta + sin beta cos alpha}}}

Yon, bitta ulashgan va qarama-qarshi burchak berilgan (AAS)

AAS uchburchagini echish tartibi ASA uchburchagiga o'xshaydi: Birinchidan, uchburchakning burchak yig'indisi xossasidan foydalanib uchinchi burchakni toping, so'ngra qolgan ikki tomonni sinuslar qonuni.

Boshqa berilgan uzunliklar

Ko'pgina hollarda uchburchaklar uchburchakning uzunliklari bo'lgan uchta ma'lumot berilgan holda echilishi mumkin medianlar, balandliklar, yoki burchak bissektrisalari. Posamentier va Lehmann^[7] kvadrat ildizlardan yuqori bo'lmagan holda (ya'ni, konstruktivlik ) 95 ta alohida holatlarning har biri uchun; Ularning 63 tasi konstruktivdir.

Sferik uchburchaklarni echish

Sferik uchburchak

Umumiy sferik uchburchak oltita xususiyatidan uchtasi (3 tomon va 3 burchak) bilan to'liq aniqlanadi. Yonlarning uzunligi $a, b, v$ sferik uchburchak ularning markaziy burchaklar, chiziqli birliklardan ko'ra burchakli birliklarda o'lchanadi. (Birlik sharida burchak (in.) radianlar ) va shar atrofida uzunlik son jihatdan bir xil. Boshqa sharlarda burchak (radianlarda) radiusga bo'lingan shar atrofidagi uzunlikka tengdir.)

Sferik geometriya planarnikdan farq qiladi Evklid geometriyasi, shuning uchun sferik uchburchaklar echimi har xil qoidalar asosida qurilgan. Masalan, uchta burchakning yig'indisi $a + β + γ$ uchburchak o'lchamiga bog'liq. Bunga qo'chimcha, o'xshash uchburchaklar tengsiz bo'lishi mumkin emas, shuning uchun ko'rsatilgan uchta burchakli uchburchakni qurish masalasi o'ziga xos echimga ega. Muammoni hal qilish uchun ishlatiladigan asosiy munosabatlar planar holatga o'xshashdir: qarang Kosinuslarning sferik qonuni va Sinuslarning sferik qonuni.

Foydali bo'lishi mumkin bo'lgan boshqa munosabatlar qatoriga quyidagilar kiradi yarim tomon formulasi va Napierning o'xshashliklari:^[8]

${ displaystyle tan { frac {c} {2}} cos { frac { alpha - beta} {2}} = tan { frac {a + b} {2}} cos { frac { alpha + beta} {2}}}$
${ displaystyle tan { frac {c} {2}} sin { frac { alpha - beta} {2}} = tan { frac {ab} {2}} sin { frac { alfa + beta} {2}}}$
${ displaystyle cot { frac { gamma} {2}} cos { frac {ab} {2}} = tan { frac { alpha + beta} {2}} cos { frac {a + b} {2}}}$
${ displaystyle cot { frac { gamma} {2}} sin { frac {ab} {2}} = tan { frac { alpha - beta} {2}} sin { frac {a + b} {2}}.}$

Uch tomon berilgan

Uch tomon berilgan (sharsimon SSS)

Ma'lum: tomonlar $a, b, v$ (burchakli birliklarda). Uchburchakning burchaklari kosinuslarning sferik qonuni:

{ displaystyle alpha = arccos chap ({ frac { cos a- cos b cos c} { sin b sin c}} o'ng),}

{ displaystyle beta = arccos chap ({ frac { cos b- cos c cos a} { sin c sin a}} o'ng),}

{ displaystyle gamma = arccos chap ({ frac { cos c- cos a cos b} { sin a sin b}} o'ng).}

Ikki tomon va berilgan burchak berilgan

Ikkala tomon va berilgan burchak (sferik SAS)

Ma'lum: tomonlar $a, b$ va burchak $γ$ ular orasida. Yon tomon $v$ kosinuslarning sferik qonunidan topish mumkin:

{ displaystyle c = arccos chap ( cos a cos b + sin a sin b cos gamma o'ng).}

Burchaklar $a, β$ yuqoridagi kabi yoki Napier analoglari yordamida hisoblanishi mumkin:

{ displaystyle alpha = arctan { frac {2 sin a} { tan ({ frac { gamma} {2}}) sin (b + a) + cot ({ frac {) gamma} {2}}) sin (ba)}},}

{ displaystyle beta = arctan { frac {2 sin b} { tan ({ frac { gamma} {2}}) sin (a + b) + cot ({ frac {) gamma} {2}}) sin (ab)}}.}

Ushbu muammo paydo bo'ladi navigatsiya muammosi kenglik va uzunlik bo'yicha er yuzidagi ikkita nuqta orasidagi katta doirani topish; ushbu dasturda yaxlitlash xatolariga moyil bo'lmagan formulalardan foydalanish muhim ahamiyatga ega. Shu maqsadda quyidagi formulalardan foydalanish mumkin (ular vektor algebra yordamida olinishi mumkin):

{ displaystyle { begin {aligned} c & = arctan { frac { sqrt {( sin a cos b- cos a sin b cos gamma) ^ {2} + ( sin b sin gamma) ^ {2}}} { cos a cos b + sin a sin b cos gamma}}, alfa & = arctan { frac { sin a sin gamma} { sin b cos a- cos b sin a cos gamma}}, beta & = arctan { frac { sin b sin gamma} { sin a cos b- cos a sin b cos gamma}}, end {hizalanmış}}}

bu erda iboralardagi raqamlar va maxrajlarning alomatlari arktangens kvadrantini aniqlash uchun ishlatilishi kerak.

Ikkala tomon va qo'shilmagan burchak berilgan

Ikki tomon va hisobga olinmagan burchak berilgan (sferik SSA)

Ushbu muammo barcha hollarda hal etilmaydi; faqat burchakka tutash yon tomonning uzunligi boshqa yon uzunligidan qisqa bo'lsa, yechim noyob bo'lishi kafolatlanadi. Ma'lum: tomonlar $b, v$ va burchak $β$ ular orasida emas. Agar quyidagi shart mavjud bo'lsa, echim mavjud:

{ displaystyle b> arcsin ( sin c , sin beta).}

Burchak $γ$ dan topish mumkin sinuslarning sferik qonuni:

{ displaystyle gamma = arcsin chap ({ frac { sin c , sin beta} {{sin b}} right).}

Samolyot ishiga kelsak, agar $b < v$ unda ikkita echim bor: $γ$ va $180° - γ$ .

Boshqa xususiyatlarni Napier analoglaridan foydalanish orqali topishimiz mumkin:

{ displaystyle { begin {aligned} a & = 2 arctan left [ tan left ({ tfrac {1} {2}} (bc) right) { frac { sin left ({ tfrac) {1} {2}} ( beta + gamma) o'ng)} { sin chap ({ tfrac {1} {2}} ( beta - gamma) o'ng)}} o'ng], [4pt] alpha & = 2 operator nomi {arccot} chap [ tan chap ({ tfrac {1} {2}} ( beta - gamma) o'ng) { frac { sin chap ({ tfrac {1} {2}} (b + c) o'ng)} { sin chap ({ tfrac {1} {2}} (bc) o'ng)}} o'ng]. oxiri {hizalanmış}}}

Bir tomon va ikkita qo'shni burchak berilgan

Yon va ikkita qo'shni burchak berilgan (sferik ASA)

Ma'lum: tomoni $v$ va burchaklar $a, β$ . Avval biz burchakni aniqlaymiz $γ$ yordamida kosinuslarning sferik qonuni:

{ displaystyle gamma = arccos ( sin alfa sin beta cos c- cos alpha cos beta). ,}

Kosinuslarning sferik qonunidan (hisoblangan burchak yordamida) ikkita noma'lum tomonni topishimiz mumkin $γ$ ):

{ displaystyle a = arccos chap ({ frac { cos alfa + cos beta cos gamma} { sin beta sin gamma}} o'ng),}

{ displaystyle b = arccos chap ({ frac { cos beta + cos alpha cos gamma} { sin alpha sin gamma}} o'ng),}

yoki Napier o'xshashliklaridan foydalangan holda:

{ displaystyle { begin {aligned} a & = arctan left [{ frac {2 sin alpha} { cot ({ frac {c} {2}}) sin ( beta + alpha) + tan ({ frac {c} {2}}) sin ( beta - alfa)}} right], [4pt] b & = arctan left [{ frac {2 sin beta} { cot ({ frac {c} {2}}) sin ( alfa + beta) + tan ({ frac {c} {2}}) sin ( alpha - beta) }} right]. end {hizalangan}}}

Bir tomon, bitta qo'shni burchak va qarama-qarshi burchak berilgan

Yon, bitta qo'shni burchak va qarama-qarshi burchak berilgan (sferik AAS)

Ma'lum: tomoni $a$ va burchaklar $a, β$ . Yon tomon $b$ dan topish mumkin sinuslarning sferik qonuni:

{ displaystyle b = arcsin chap ({ frac { sin a , sin beta} { sin alpha}} o'ng).}

Agar yon tomon uchun burchak bo'lsa $a$ o'tkir va $a > β$ , boshqa echim mavjud:

{ displaystyle b = pi - arcsin chap ({ frac { sin a , sin beta} { sin alfa}} o'ng).}

Boshqa xususiyatlarni Napier analoglaridan foydalanish orqali topishimiz mumkin:

{ displaystyle { begin {aligned} c & = 2 arctan left [ tan left ({ tfrac {1} {2}} (ab) right) { frac { sin left ({ tfrac) {1} {2}} ( alfa + beta) o'ng)} { sin chap ({ frac {1} {2}} ( alfa - beta) o'ng)}} o'ng], [4pt] gamma & = 2 operator nomi {arccot} chap [ tan chap ({ tfrac {1} {2}} ( alfa - beta) o'ng) { frac { sin chap ({ tfrac {1} {2}} (a + b) o'ng)} { sin chap ({ frac {1} {2}} (ab) o'ng)}} o'ng]. oxiri {hizalanmış}}}

Uchta burchak berilgan

Uchta burchak berilgan (sharsimon AAA)

Ma'lum: burchaklar $a, β, γ$ . Dan kosinuslarning sferik qonuni biz xulosa qilamiz:

{ displaystyle a = arccos chap ({ frac { cos alfa + cos beta cos gamma} { sin beta sin gamma}} o'ng),}

{ displaystyle b = arccos chap ({ frac { cos beta + cos gamma cos alpha} { sin gamma sin alpha}} o'ng),}

{ displaystyle c = arccos chap ({ frac { cos gamma + cos alpha cos beta} { sin alpha sin beta}} o'ng).}

To'g'ri burchakli sferik uchburchaklarni echish

Yuqoridagi algoritmlar uchburchakning burchaklaridan biri (masalan, burchak) bo'lsa, ancha soddalashadi $C$ ) to'g'ri burchak. Bunday sferik uchburchak uning ikkita elementi bilan to'liq aniqlangan, qolgan uchtasi yordamida hisoblash mumkin Napier Pentagon yoki quyidagi munosabatlar.

{ displaystyle sin a = sin c cdot sin A}

(dan sinuslarning sferik qonuni )

{ displaystyle tan a = sin b cdot tan A}

{ displaystyle cos c = cos a cdot cos b}

(dan kosinuslarning sferik qonuni )

{ displaystyle tan b = tan c cdot cos A}

{ displaystyle cos A = cos a cdot sin B}

(kosinuslarning sferik qonunidan ham)

{ displaystyle cos c = cot A cdot cot B}

Ba'zi ilovalar

Uchburchak

Masofani o'lchash uchburchak

Agar kishi masofani o'lchashni xohlasa $d$ qirg'oqdan triangulyatsiya orqali uzoq kemaga, ma'lum masofa bilan qirg'oqda ikkita nuqta $l$ ular orasidagi (asosiy yo'nalish). Ruxsat bering $a, β$ asosiy yo'nalish va kemaga yo'nalish o'rtasidagi burchaklar bo'ling.

Yuqoridagi formulalardan (ASA holati, planar geometriyani nazarda tutgan holda) masofani quyidagicha hisoblash mumkin uchburchak balandligi:

{ displaystyle d = { frac { sin alfa , sin beta} { sin ( alfa + beta)}}} ell = { frac { tan alfa , tan beta} { tan alfa + tan beta}} ell.}

Sferik holat uchun avval tomonning uzunligini nuqtadan hisoblash mumkin $a$ kemaga (ya'ni qarama-qarshi tomonga) $β$ ) ASA formulasi orqali

{ displaystyle tan b = { frac {2 sin beta} { cot (l / 2) sin ( alfa + beta) + tan (l / 2) sin ( alfa - beta )}},}

va buni burchakni o'z ichiga olgan o'ng pastki uchburchak uchun AAS formulasiga kiriting $a$ va tomonlar $b$ va $d$ :

{ displaystyle sin d = sin b sin alpha = { frac { tan b} { sqrt {1+ tan ^ {2} b}}} sin alfa.}

(Planar formulasi aslida Teylor kengayishining birinchi atamasidir $d$ sferik eritmaning kuchlari bo'yicha $l$ .)

Ushbu usul ishlatiladi kabotaj. Burchaklar $a, β$ kemadan tanish bo'lgan joylarni kuzatish bilan aniqlanadi.

Tog'ning balandligini qanday o'lchash mumkin

Yana bir misol, agar kimdir balandlikni o'lchashni xohlasa $h$ tog 'yoki baland imoratning burchaklari $a, β$ ikkita erdan yuqoriga qarab belgilanadi. Ruxsat bering $ℓ$ ushbu nuqtalar orasidagi masofa bo'ling. Xuddi shu ASA formulalaridan biz quyidagilarni olamiz:

{ displaystyle h = { frac { sin alfa , sin beta} { sin ( beta - alfa)}} ell = { frac { tan alpha , tan beta} { tan beta - tan alfa}} ell.}

Yer sharidagi ikki nuqta orasidagi masofa

Yer sharidagi ikki nuqta orasidagi masofani hisoblash uchun

A nuqta: kenglik

λ A

, uzunlik

L A

va

B nuqta: kenglik

λ B

, uzunlik

L B

biz sferik uchburchakni ko'rib chiqamiz $ABC$ , qayerda $C$ Shimoliy qutbdir. Ba'zi xususiyatlar:

{ displaystyle a = 90 ^ { mathrm {o}} - lambda _ { mathrm {B}}, ,}

{ displaystyle b = 90 ^ { mathrm {o}} - lambda _ { mathrm {A}}, ,}

{ displaystyle gamma = L _ { mathrm {A}} -L _ { mathrm {B}}. ,}

Agar ikki tomon va berilgan burchak berilgan, biz formulalardan olamiz

{ displaystyle mathrm {AB} = R arccos left [ sin lambda _ { mathrm {A}} , sin lambda _ { mathrm {B}} + cos lambda _ { mathrm {A}} , cos lambda _ { mathrm {B}} , cos chap (L _ { mathrm {A}} -L _ { mathrm {B}} o'ng) o'ng].}

Bu yerda $R$ bo'ladi Yer radiusi.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ "Uchburchaklar echish". Matematika qiziqarli. Olingan 4 aprel 2012.
^ "Uchburchaklar echish". web.horacemann.org. Arxivlandi asl nusxasi 2014 yil 7-yanvarda. Olingan 4 aprel 2012.
^ "SSS uchburchaklarini echish". Matematika qiziqarli. Olingan 13 yanvar 2015.
^ "SAS uchburchaklarini echish". Matematika qiziqarli. Olingan 13 yanvar 2015.
^ "SSA uchburchaklar echish". Matematika qiziqarli. Olingan 9 mart 2013.
^ "ASA uchburchaklarining echimi". Matematika qiziqarli. Olingan 13 yanvar 2015.
^ Alfred S. Posamentier va Ingmar Lehmann, Uchburchaklar sirlari, Prometheus Books, 2012: 201–203 betlar.
^ Napier analoglari MathWorld-da

Evklid (1956) [1925]. Ser Tomas Xit (tahrir). Elementlarning o'n uchta kitobi. I jild. Kirish va sharh bilan tarjima qilingan. Dover. ISBN 0-486-60088-2.

Tashqi havolalar

Trigonometrik lazzatlar, tomonidan Eli Maor, Princeton University Press, 1998. Elektron kitob versiyasi, PDF formatida, to'liq matni taqdim etilgan.
Trigonometriya Alfred Monro Kenyon va Lui Ingold tomonidan, Makmillan kompaniyasi, 1914. Tasvirlarda to'liq matn taqdim etilgan. Google kitobi.
Sferik trigonometriya matematik dunyoda.
Sferik Trigga kirish. Napier doirasi va Napier qoidalarini muhokama qilishni o'z ichiga oladi
Sferik trigonometriya - kollej va maktablardan foydalanish uchun I. Todhunter, M.A., F.R.S. Tarixiy matematik monografiya tomonidan joylashtirilgan Kornell universiteti kutubxonasi.
Uchburchagich - Uchburchak hal qiluvchi. Minimal kirish ma'lumotlari bilan har qanday tekislik uchburchagi masalasini eching. Echilgan uchburchakni chizish.
TriSph - Sharsimon uchburchaklarni echish uchun bepul dasturiy ta'minot, turli xil amaliy dasturlar uchun sozlanishi va gnomonic uchun tuzilgan.
Sferik uchburchak kalkulyatori - Sferik uchburchaklarni echadi.

[1] "Uchburchaklar echish". Matematika qiziqarli. Olingan 4 aprel 2012.

[2] "Uchburchaklar echish". web.horacemann.org. Arxivlandi asl nusxasi 2014 yil 7-yanvarda. Olingan 4 aprel 2012.

[3] "SSS uchburchaklarini echish". Matematika qiziqarli. Olingan 13 yanvar 2015.

[4] "SAS uchburchaklarini echish". Matematika qiziqarli. Olingan 13 yanvar 2015.

[5] "SSA uchburchaklar echish". Matematika qiziqarli. Olingan 9 mart 2013.

[6] "ASA uchburchaklarining echimi". Matematika qiziqarli. Olingan 13 yanvar 2015.

[7] Alfred S. Posamentier va Ingmar Lehmann, Uchburchaklar sirlari, Prometheus Books, 2012: 201–203 betlar.

[8] Napier analoglari MathWorld-da

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]