Sferik o'lchov - Spherical measure

Yilda matematika - xususan, ichida geometrik o'lchov nazariyasi — sferik o'lchov σⁿ "tabiiy" Borel o'lchovi ustida n-sfera Sⁿ. Sferik o'lchov ko'pincha normallashtiriladi, shunda u a ehtimollik o'lchovi sohada, ya'ni shunday σⁿ(Sⁿ) = 1.

Sferik o'lchov ta'rifi

Sferik o'lchovni aniqlashning bir necha yo'li mavjud. Ulardan biri odatdagi "dumaloq" yoki "yoy uzunligi ” metrik r_n kuni Sⁿ; ya'ni ballar uchun x va y yilda Sⁿ, r_n(x, y) ular sharning markazida (Evklid) burchagi sifatida belgilanadi (kelib chiqishi Rⁿ⁺¹). Endi qur n- o'lchovli Hausdorff o'lchovi Hⁿ metrik bo'shliqda (Sⁿ, r_n) va aniqlang

${displaystyle sigma ^ {n} = {frac {1} {H ^ {n} (mathbf {S} ^ {n})}} H ^ {n}.}$

Bittasi ham berishi mumkin edi Sⁿ Evklidlar makonining pastki fazosi sifatida meros qilib olgan metrik Rⁿ⁺¹; xuddi shu sferik o'lchov metrikani tanlashdan kelib chiqadi.

Boshqa usul qo'llaniladi Lebesg o'lchovi λⁿ⁺¹ Evklidlar makonida Rⁿ⁺¹: har qanday o'lchovli kichik to'plam uchun A ning Sⁿ, aniqlang σⁿ(A) bo'lishn + 1) -topdagi "xanjar" ning o'lchovli hajmi Bⁿ⁺¹ u kelib chiqishiga qarab belgilanadi. Anavi,

${displaystyle sigma ^ {n} (A): = {frac {1} {alfa (n + 1)}} lambda ^ {n + 1} ({txmid xin A, qalay [0,1]}),}$

qayerda

${displaystyle alfa (m): = lambda ^ {m} (mathbf {B} _ {1} ^ {m} (0)).}$

Ushbu usullarning barchasi bir xil o'lchovni belgilashi Sⁿ Kristensenning nafis natijasidan kelib chiqadi: bu barcha chora-tadbirlar aniq bir xil taqsimlangan kuni Sⁿva har qanday teng taqsimlangan Borelning ajratiladigan metrik maydonidagi muntazam o'lchovlari bir-birining doimiy (musbat) ko'paytmasi bo'lishi kerak. Bizning nomzodimizdan beri σⁿEhtimollik o'lchovlari sifatida normalizatsiya qilingan, ularning barchasi bir xil o'lchovdir.

Boshqa choralar bilan bog'liqlik

Sferik o'lchov bilan shar doirasidagi Xausdorff o'lchovi va atrof-muhit makonidagi Lebesg o'lchov bilan o'zaro bog'liqligi allaqachon muhokama qilingan.

Sferik o'lchov bilan yaxshi munosabatlar mavjud Haar o'lchovi ustida ortogonal guruh. Ruxsat bering O (n) ortogonal guruhni belgilang aktyorlik kuni Rⁿ va ruxsat bering θⁿ uning normallangan Haar o'lchovini belgilang (shunday qilib θⁿ(O (n)) = 1). Ortogonal guruh ham shar ustida harakat qiladi Sⁿ⁻¹. Keyin, har qanday kishi uchun x ∈ Sⁿ⁻¹ va har qanday A ⊆ Sⁿ⁻¹,

${displaystyle heta ^ {n} ({gin mathrm {O} (n) g (x) mid in A}) = sigma ^ {n-1} (A).}$

Bunday holda Sⁿ a topologik guruh (ya'ni qachon n 0, 1 yoki 3), sferik o'lchov σⁿ Haar o'lchoviga to'g'ri keladi (normallashtirilgan) Sⁿ.

Izoperimetrik tengsizlik

Bor izoperimetrik tengsizlik odatdagi metrik va sferik o'lchovi bo'lgan soha uchun (qarang Ledoux & Talagrand, 1-bob):

Agar A ⊆ Sⁿ⁻¹ har qanday Borel to'plami va B⊆ Sⁿ⁻¹ a r_n- xuddi shu bilan to'p σⁿsifatida o'lchash A, keyin har qanday kishi uchun r > 0,

${displaystyle sigma ^ {n} (A_ {r}) geq sigma ^ {n} (B_ {r}),}$

qayerda A_r ning "inflyatsiyasini" bildiradi A tomonidan r, ya'ni

${displaystyle A_ {r}: = {xin mathbf {S} ^ {n} mid ho _ {n} (x, A) leq r}.}$

Xususan, agar σⁿ(A) ≥ ½ va n ≥ 2, keyin

${displaystyle sigma ^ {n} (A_ {r}) geq 1- {sqrt {frac {pi} {8}}}, exp chap (- {frac {(n-1) r ^ {2}} {2} } yaxshi).}$

Adabiyotlar

• Christensen, Jens Peter Reus (1970). "Haar o'lchoviga o'xshash ba'zi choralar to'g'risida". Mathematica Scandinavica. 26: 103–106. ISSN  0025-5521. JANOB0260979
• Ledu, Mishel; Talagrand, Mishel (1991). Banax bo'shliqlarida ehtimollik. Berlin: Springer-Verlag. xii + 480-betlar. ISBN  3-540-52013-9. JANOB1102015 (1-bobga qarang)
• Mattila, Pertti (1995). Evklid fazosidagi to'plamlar va o'lchovlar geometriyasi: Fraktallar va rektifikatsiya qilish. Kembrijni ilg'or matematikadan o'rganish № 44. Kembrij: Kembrij universiteti matbuoti. xii + 343-betlar. ISBN  0-521-46576-1. JANOB1333890 (3-bobga qarang)