Devid teoremasining yulduzi - Star of David theorem

The Devid teoremasining yulduzi (bu erda Paskal uchburchagi qatorlari ustun sifatida ko'rsatilgan).

The Devid teoremasining yulduzi matematik natija arifmetik xususiyatlari binomial koeffitsientlar. Tomonidan kashf etilgan Genri V.Guld 1972 yilda.

Bayonot

The eng katta umumiy bo'luvchilar ikkala uchburchakning har birini tashkil etuvchi binomial koeffitsientlarning Dovudning yulduzi shaklida Paskal uchburchagi teng:

${ displaystyle { begin {aligned} & gcd left {{ binom {n-1} {k-1}}, { binom {n} {k + 1}}, { binom {n + 1} {k}} right } [8pt] = {} & gcd left {{ binom {n-1} {k}}, { binom {n} {k-1}} , { binom {n + 1} {k + 1}} right }. end {hizalangan}}}$

Misollar

Paskal uchburchagining 8, 9 va 10 qatorlari

			1		8		28		56		70		56		28		8		1
		1		9		36		84		126		126		84		36		9		1
	1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1

Uchun n=9, k= 3 yoki n=9, k= 6, 84 elementi navbat bilan 28, 56, 126, 210, 120, 36 elementlari bilan o'ralgan. O'zgaruvchan qiymatlarni olsak, bizda gcd (28, 126, 120) = 2 = gcd (56, 210, 36).

36-element 8, 28, 84, 120, 45, 9 ketma-ketligi bilan o'ralgan va o'zgaruvchan qiymatlarni olsak, bizda gcd (8, 84, 45) = 1 = gcd (28, 120, 9) bo'ladi.

Umumlashtirish

Yuqoridagi eng katta umumiy bo'luvchi ham teng ${ displaystyle gcd left ({n-1 k-2} ni tanlang, {n-1 k-1} ni tanlang, {n-1 k tanlang}, {n-1 k + 1} ni tanlang o'ng).}$^[1] Shunday qilib yuqoridagi 84-element uchun misolda (uning o'ng tomonida), bizda ham gcd (70, 56, 28, 8) = 2 mavjud. Bu natija o'z navbatida yanada umumlashmalarga ega.

Tegishli natijalar

Devid teoremasi yulduzi aytgan uchta sonning ikkita to'plami eng katta umumiy bo'luvchilarga teng, shuningdek, hosilalari tengdir.^[1] Masalan, yana 84 elementi ketma-ketlikda 28, 56, 126, 210, 120, 36 elementlari bilan o'ralganligini kuzatib, yana o'zgaruvchan qiymatlarni olsak, bizda 28 × 126 × 120 = 2⁶×3³×5×7² = 56 × 210 × 36. Ushbu natija har bir binomial koeffitsientni faktorial shaklda yozish orqali tasdiqlanishi mumkin

${ displaystyle {a select b} = { frac {a!} {(a-b)! b!}}.}$

Shuningdek qarang

• Faktorial va binomial mavzular ro'yxati

Adabiyotlar

• X. V. Guld, "Binomial koeffitsientlarning eng yangi umumiy bo'linish xususiyati", Fibonachchi har chorakda 10 (1972), 579–584.
• Devid teoremasining yulduzi, dan Matematik forum.
• Devid teoremasining yulduzi, blog post.

Tashqi havolalar

• Devid yulduzi teoremasining namoyishi, yilda Matematik.