Stinespring faktorizatsiya teoremasi - Stinespring factorization theorem

Yilda matematika, Stinespringning dilatatsiya teoremasideb nomlangan Stinespringning faktorizatsiya teoremasinomi bilan nomlangan W. Forrest Stinespring, natijasi operator nazariyasi bu har qanday narsani anglatadi to'liq ijobiy xarita a C * - algebra har biri maxsus shaklga ega bo'lgan ikkita to'liq ijobiy xaritadan iborat:

1. A * - vakili A ba'zi yordamchi bo'yicha Hilbert maydoni K dan so'ng
2. Shaklning operator xaritasi T → V * televizor.

Bundan tashqari, Stinespring teoremasi C * algebradan algebraga tuzilish teoremasidir. chegaralangan operatorlar Hilbert makonida. To'liq ijobiy xaritalar * -prezentatsiyalarning oddiy modifikatsiyalari sifatida ko'rsatiladi yoki ba'zan chaqiriladi * -omomorfizmlar.

Formulyatsiya

Agar a yagona C * -algebra, natijasi quyidagicha:

Teorema. Ruxsat bering A birlashgan C * algebra, H Hilbert makoni bo'ling va B(H) cheklangan operatorlar bo'ling H. Har bir ijobiy uchun

${displaystyle Phi: A o B (H),}$

u erda Xilbert maydoni mavjud K va unital * -homomorfizm

${displaystyle pi: A o B (K)}$

shu kabi

${displaystyle Phi (a) = V ^ {ast} pi (a) V,}$

qayerda ${displaystyle V: H o K}$ chegaralangan operator. Bundan tashqari, bizda

${displaystyle | Phi (1) | = | V | ^ {2}.}$

Norasmiy ravishda har bir ijobiy xarita deb aytish mumkin ${displaystyle Phi}$ bolishi mumkin "ko'tarildi "shakl xaritasiga qadar ${displaystyle V ^ {*} (cdot) V}$.

Teoremaning teskari tomoni juda ahamiyatsiz. Shunday qilib Stinespring natijasi to'liq ijobiy xaritalarni tasniflaydi.

Isbotning eskizi

Endi biz dalilni qisqacha eskiz qilamiz. Ruxsat bering ${displaystyle K = Aotimes H}$. Uchun ${displaystyle aotimes h, botimes gin K}$, aniqlang

${displaystyle langle aotimes h, botimes gangle _ {K}: = Phi (b ^ {*} a) h, gangle _ {H} = hangle, Phi (a ^ {*} b) gangle _ {H}}$

va barchasiga yarim chiziqli ravishda kengayadi K. Bu Hermitiyalik sekvilinear shakl chunki ${displaystyle Phi}$ * operatsiyasiga mos keladi. Ning to'liq ijobiyligi ${displaystyle Phi}$ keyin ushbu sekquilinear shaklning aslida ijobiy yarim cheksiz ekanligini ko'rsatish uchun foydalaniladi. Beri ijobiy yarim cheksiz Hermitian sesquilinear shakllari Koshi-Shvarts tengsizligini, pastki qismini qondiradi

${displaystyle K '= {xin Kmid langle x, xangle _ {K} = 0} kichik to'plam K}$

pastki bo'shliqdir. Biz olib tashlashimiz mumkin degeneratsiya ni ko'rib chiqib bo'sh joy ${displaystyle K / K '}$. The tugatish bu kvant fazoning Xilbert maydoni bo'lib, u bilan belgilanadi ${displaystyle K}$. Keyin aniqlang ${displaystyle pi (a) (botimes g) = abotimes g}$ va ${displaystyle Vh = 1_ {A} otimes h}$. Buni tekshirish mumkin ${displaystyle pi}$ va ${displaystyle V}$ kerakli xususiyatlarga ega.

E'tibor bering ${displaystyle V}$ faqat tabiiy algebraik ko'mish ning H ichiga K. Buni tasdiqlash mumkin ${displaystyle V ^ {ast} (aotimes h) = Phi (a) h}$ ushlab turadi. Jumladan ${displaystyle V ^ {ast} V = Phi (1)}$ shunday ushlab turadi ${displaystyle V}$ izometriya, agar bo'lsa va faqat shunday bo'lsa ${displaystyle Phi (1) = 1}$. Ushbu holatda H ichiga kiritilishi mumkin, Xilbert kosmik ma'noda K va ${displaystyle V ^ {ast}}$, harakat qilish K, ustiga proektsiyaga aylanadi H. Ramziy ma'noda biz yozishimiz mumkin

${displaystyle Phi (a) = P_ {H}; pi (a) {Big |} _ {H}.}$

Tilida dilatatsiya nazariyasi, bu shuni aytish uchun ${displaystyle Phi (a)}$ a siqilish ning ${displaystyle pi (a)}$. Shuning uchun Stinespring teoremasining xulosasi shuki, har bir yagona to'liq ijobiy xarita ba'zilarning siqilishidir * -omomorfizm.

Minimallik

Uchlik (π, V, K) a deyiladi Stinespring vakili Φ. Endi Stinespring vakolatxonasini qaysidir ma'noda qisqartirish mumkinmi degan savol tug'iladi.

Ruxsat bering K₁ ning yopiq chiziqli oralig'i bo'ling π(A) VH. Umuman * vakolatxonalari xususiyati bo'yicha, K₁ bu o'zgarmas subspace ning π(a) Barcha uchun a. Shuningdek, K₁ o'z ichiga oladi VH. Aniqlang

${displaystyle pi _ {1} (a) = pi (a) {Katta |} _ {K_ {1}}.}$

Biz to'g'ridan-to'g'ri hisoblashimiz mumkin

$${displaystyle {egin {hizalanmış} pi _ {1} (a) pi _ {1} (b) & = pi (a) {Big |} _ {K_ {1}} pi (b) {Big |} _ { K_ {1}} & = pi (a) pi (b) {Katta |} _ {K_ {1}} & = pi (ab) {Katta |} _ {K_ {1}} & = pi _ {1} (ab) oxiri {hizalanmış}}}$$

va agar k va ℓ kechgacha yotish K₁

$${displaystyle {egin {aligned} langle pi _ {1} (a ^ {*}) k, ell angle & = langle pi (a ^ {*}) k, ell angle & = langle pi (a) ^ {* } k, ell burchagi & = langle k, pi (a) ell burchagi & = langle k, pi _ {1} (a) ell burchagi & = langle pi _ {1} (a) ^ {*} k , ell angle .end {aligned}}}$$

Shunday qilib (π₁, V, K₁) shuningdek Φ ning Stinespring vakili bo'lib, qo'shimcha xususiyatga ega K₁ bo'ladi yopiq chiziqli oraliq ning π(A) V H. Bunday vakillikka a deyiladi minimal Stinespring vakili.

O'ziga xoslik

Ruxsat bering (π₁, V₁, K₁) va (π₂, V₂, K₂) berilgan Φ ning ikkita Stinespring tasviri bo'lishi kerak. A ni aniqlang qisman izometriya V : K₁ → K₂ tomonidan

${displaystyle; Wpi _ {1} (a) V_ {1} h = pi _ {2} (a) V_ {2} h.}$

Yoqilgan V₁H ⊂ K₁, bu o'zaro bog'liqlikni beradi

${displaystyle; Wpi _ {1} = pi _ {2} V.}$

Xususan, agar ikkala Stinespring vakili minimal bo'lsa, V bu unitar. Shunday qilib, Stinespringning minimal namoyishlari noyobdir qadar unitar transformatsiya.

Ba'zi oqibatlari

Biz Stinespring teoremasining oqibatlari sifatida qaralishi mumkin bo'lgan bir nechta natijalarni eslatib o'tamiz. Tarixiy jihatdan, quyida keltirilgan ba'zi natijalar Stinespring teoremasidan oldinroq bo'lgan.

GNS qurilishi

The Gelfand – Naimark – Segal (GNS) qurilishi quyidagicha. Ruxsat bering H Stinespring teoremasi 1 o'lchovli, ya'ni murakkab sonlar. Demak, hozir $ a $ ijobiy chiziqli funktsional kuni A. Agar $ a $ $ deb taxmin qilsak davlat, ya'ni $ 1 $ normaga ega, keyin izometriya ${displaystyle V: H o K}$ tomonidan belgilanadi

${displaystyle V1 = xi}$

kimdir uchun ${displaystyle xi in K}$ ning birlik normasi. Shunday qilib

$${displaystyle {egin {hizalanmış} Phi (a) = V ^ {*} pi (a) V & = langle V ^ {*} pi (a) V1,1angle _ {H} & = langle pi (a) V1, V1burchak _ {K} & = langle pi (a) xi, xi burchak _ {K} oxiri {hizalangan}}}$$

va biz shtatlarning GNS vakilligini tikladik. Bu shunchaki ijobiy xaritalar emas, balki butunlay ijobiy xaritalar haqiqiy umumlashmalar ekanligini ko'rishning bir usuli ijobiy funktsiyalar.

C * algebra bo'yicha chiziqli musbat funktsionallik mutlaqo uzluksiz agar shunday bo'lsa, boshqa funktsiyaga nisbatan (mos yozuvlar funktsional deb nomlanadi) nol har qanday ijobiy element mos yozuvlar ijobiy funktsiyasi nolga teng. Bu no-ning umumlashtirilishiga olib keladi Radon-Nikodim teoremasi. Odatdagidek zichlik operatori davlatlarning matritsali algebralar standartga nisbatan iz Radon-Nikodim lotinidan boshqa narsa emas, agar mos yozuvlar funktsiyasi izlanishi kerak bo'lsa. Belavkin bitta (mos yozuvlar) xaritaga nisbatan bir to'liq ijobiy xaritaning to'liq muttasilligi tushunchasini kiritdi va operatorning variantini isbotladi nojo'ya To'liq ijobiy xaritalar uchun Radon-Nikodim teoremasi. Ushbu teoremaning matritsa algebralaridagi tracial butunlay ijobiy mos yozuvlar xaritasiga mos keladigan alohida holati Choi operatorini standart izga nisbatan CP xaritasining Radon-Nikodim hosilasi sifatida olib keladi (Choy teoremasiga qarang).

Choi teoremasi

Choi tomonidan ko'rsatildi, agar shunday bo'lsa ${displaystyle Phi: B (G) o B (H)}$ to'liq ijobiy, qaerda G va H bor sonli o'lchovli Hilbert bo'shliqlari o'lchovlar n va m navbati bilan, keyin Φ quyidagi shaklni oladi:

${displaystyle Phi (a) = sum _ {i = 1} ^ {nm} V_ {i} ^ {*} aV_ {i}.}$

Bu deyiladi Choi teoremasi butunlay ijobiy xaritalarda. Choi buni chiziqli algebra texnikasi yordamida isbotladi, ammo uning natijasini Stinespring teoremasining alohida hodisasi sifatida ham ko'rib chiqish mumkin: Let (π, V, K) ning minimal Stinespring vakili bo'lishi. Minimallik bo'yicha, K o'lchamidan kichikroq o'lchamga ega ${displaystyle C ^ {n imes n} otimes C ^ {m}}$. Shunday qilib umumiylikni yo'qotmasdan, K bilan aniqlanishi mumkin

${displaystyle K = igoplus _ {i = 1} ^ {nm} C_ {i} ^ {n}.}$

Har biri ${displaystyle C_ {i} ^ {n}}$ ning nusxasi n- o'lchovli Hilbert maydoni. Kimdan ${displaystyle pi (a) (botimes g) = abotimes g}$, biz yuqorida ko'rsatilgan identifikatsiyani ko'rmoqdamiz K shunday tartibga solinishi mumkin ${displaystyle; P_ {i} pi (a) P_ {i} = a}$, qayerda P_men ning proektsiyasi K ga ${displaystyle C_ {i} ^ {n}}$. Ruxsat bering ${displaystyle V_ {i} = P_ {i} V}$. Bizda ... bor

${displaystyle Phi (a) = sum _ {i = 1} ^ {nm} (V ^ {*} P_ {i}) (P_ {i} pi (a) P_ {i}) (P_ {i} V) = sum _ {i = 1} ^ {nm} V_ {i} ^ {*} aV_ {i}}$

va Choyning natijasi isbotlangan.

Choi natijasi matritsali algebralardagi tratsial to'liq ijobiy mos yozuvlar xaritasiga mos keladigan to'liq musbat (CP) xaritalar uchun odatiy bo'lmagan Radon-Nikodim teoremasi. Kuchli operator shaklida ushbu umumiy teorema 1985 yilda Belavkin tomonidan isbotlangan bo'lib, u CP xaritasi bo'yicha mutlaqo uzluksiz CP xaritasini aks ettiruvchi musbat zichlik operatori mavjudligini ko'rsatdi. Steinspring mos yozuvlaridagi ushbu zichlik operatorining o'ziga xosligi shunchaki ushbu vakillikning minimalligidan kelib chiqadi. Shunday qilib, Choi operatori standart izga nisbatan chekli o'lchovli CP xaritasining Radon-Nikodim hosilasi hisoblanadi.

E'tibor bering, Choi teoremasini va Stinespring formulasidan Belavkin teoremasini isbotlashda argument Kraus operatorlarini bermaydi V_men aniq, agar bo'shliqlarning turli xil identifikatsiyasini aniq ko'rsatmasa. Boshqa tomondan, Choyning asl isboti ushbu operatorlarni to'g'ridan-to'g'ri hisoblashni o'z ichiga oladi.

Naimarkning kengayish teoremasi

Naimark teoremasi har bir narsani aytadi B(H) -qiymatli, kuchsiz qo'shimcha qo'shimchalar ba'zi ixcham Hausdorff maydonlarini o'lchash X o'lchov a ga aylanishi uchun "ko'tarilishi" mumkin spektral o'lchov. Buni haqiqatni birlashtirib isbotlash mumkin C(X) komutativ C * -algebra va Stinespring teoremasi.

Sz.-Nagining kengayish teoremasi

Ushbu natija shuni ko'rsatadiki, har bir qisqarish Hilbert maydonida a unitar kengayish minimallik xususiyati bilan.

Ilova

Yilda kvant axborot nazariyasi, kvant kanallari, yoki kvant operatsiyalari, C * algebralari orasidagi to'liq ijobiy xaritalar sifatida aniqlangan. Bunday xaritalarning tasnifi bo'lgan Stinespring teoremasi shu nuqtai nazardan muhim ahamiyatga ega. Masalan, teoremaning o'ziga xoslik qismi kvant kanallarining ayrim sinflarini tasniflash uchun ishlatilgan.

Turli xil kanallarni taqqoslash va ularning o'zaro ishonchliligi va ma'lumotlarini hisoblash uchun kanallarni Belavkin tomonidan kiritilgan "Radon-Nikodim" hosilalari bilan yana bir namoyish qilish foydalidir. Sonli o'lchovli holatda, Choi teoremasi Belavkinning Radon-Nikodim teoremasining to'liq ijobiy xaritalar uchun tracial varianti sifatida ham dolzarbdir. Operatorlar ${displaystyle {V_ {i}}}$ ifodadan

${displaystyle Phi (a) = sum _ {i = 1} ^ {nm} V_ {i} ^ {*} aV_ {i}.}$

deyiladi Kraus operatorlari Φ. Ifoda

${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {nm} V_ {i} ^ {*} (cdot) V_ {i}}$

ba'zan deb nomlanadi operator sumini ko'rsatish Φ.

Adabiyotlar

• M.-D. Choi, Murakkab matritsalar bo'yicha to'liq ijobiy chiziqli xaritalar, Chiziqli algebra va uning qo'llanmalari, 10, 285-290 (1975).
• V. P. Belavkin, P. Staszevskiy, To'liq ijobiy xaritalar uchun Radon-Nikodim teoremasi, Matematik fizika bo'yicha hisobotlar, 24-jild, № 1, 49-55 (1986).
• V. Polsen, To'liq chegaralangan xaritalar va operator algebralari, Kembrij universiteti matbuoti, 2003 y.
• V. F. Stinespring, C * algebralaridagi ijobiy funktsiyalar, Amerika matematik jamiyati materiallari, 6, 211–216 (1955).