Superformula - Superformula

The superformula ning umumlashtirilishi superellipse va Yoxan Gielis tomonidan 2000 yilda taklif qilingan.^[1] Gielis ushbu formuladan tabiatda mavjud bo'lgan ko'plab murakkab shakllar va egri chiziqlarni tasvirlash uchun foydalanish mumkin deb taxmin qildi. Gielis superformulada hosil bo'lgan naqshlarning sintezi bilan bog'liq patent talabnomasini topshirdi.^[2]

Yilda qutb koordinatalari, bilan ${ displaystyle r}$ radiusi va ${ displaystyle varphi}$ burchak, superformula:

{ displaystyle r chap ( varphi o'ng) = chap ( chap | { frac { cos chap ({ frac {m varphi} {4}} o'ng)} {a}} o'ng | ^ {n_ {2}} + chap | { frac { sin chap ({ frac {m varphi} {4}} o'ng)} {b}} o'ng | ^ {n_ {3} } o'ng) ^ {- { frac {1} {n_ {1}}}}.}

Parametrlar uchun turli xil qiymatlarni tanlash orqali ${ displaystyle a, b, m, n_ {1}, n_ {2},}$ va ${ displaystyle n_ {3},}$ turli xil shakllarni yaratish mumkin.

Formula nomlangan va ommalashgan superellipsni umumlashtirish orqali olingan Piet Xeyn, a Daniya matematik.

2 o'lchovli uchastkalar

Quyidagi misollarda har bir rasmda yuqorida ko'rsatilgan qiymatlar bo'lishi kerak m, n₁, n₂ va n₃.

A GNU oktavi ushbu ko'rsatkichlarni yaratish dasturi

funktsiyasf2d(n, a)siz = [0:.001:2 * pi];  raux = abs(1 / a(1) .* abs(cos(n(1) * siz / 4))) .^ n(3) + abs(1 / a(2) .* abs(gunoh(n(1) * siz / 4))) .^ n(4);  r = abs(raux) .^ (- 1 / n(2));  x = r .* cos(siz);  y = r .* gunoh(siz);  fitna(x, y);oxiri

Yuqori o'lchamlarga kengaytirish

Formulani 3, 4 yoki ga kengaytirish mumkin n o'lchamlari, yordamida sferik mahsulot superformulalar. Masalan, 3D parametrli sirt ikkita superformulani ko'paytirish yo'li bilan olinadi r₁ va r₂. Koordinatalar munosabatlar bilan belgilanadi:

{ displaystyle x = r_ {1} ( theta) cos theta cdot r_ {2} ( phi) cos phi,}

{ displaystyle y = r_ {1} ( theta) sin theta cdot r_ {2} ( phi) cos phi,}

{ displaystyle z = r_ {2} ( phi) sin phi,}

qayerda ${ displaystyle phi}$ (kenglik ) o'zgaradi -π/ 2 va π/ 2 va θ (uzunlik ) o'rtasida -π va π.

3D uchastkalar

3D superformula: a = b = 1; m, n₁, n₂ va n₃ rasmlarda ko'rsatilgan.

A GNU oktavi ushbu raqamlarni yaratish dasturi:

funktsiyasf3d(n, a)siz = [- pi:.05:pi];  v = [- pi / 2:.05:pi / 2];  nu = uzunlik(siz);  nv = uzunlik(v);  uchun i = 1: nu    uchun j = 1: nv      raux1 = abs(1 / a(1) * abs(cos(n(1) .* siz(men) / 4))) .^ n(3) + abs(1 / a(2) * abs(gunoh(n(1) * siz(men) / 4))) .^ n(4);      r1 = abs(raux1) .^ (- 1 / n(2));      raux2 = abs(1 / a(1) * abs(cos(n(1) * v(j) / 4))) .^ n(3) + abs(1 / a(2) * abs(gunoh(n(1) * v(j) / 4))) .^ n(4);      r2 = abs(raux2) .^ (- 1 / n(2));      x(men, j) = r1 * cos(siz(men)) * r2 * cos(v(j));      y(men, j) = r1 * gunoh(siz(men)) * r2 * cos(v(j));      z(men, j) = r2 * gunoh(v(j));    endfor;  endfor;  mash(x, y, z);tugatish funktsiyasi;

Umumlashtirish

Superformulani ajratib ko'rsatish orqali umumlashtirish mumkin m superformulaning ikki davridagi parametrlar. Birinchi parametrni almashtirish orqali ${ displaystyle m}$ bilan y va ikkinchi parametr ${ displaystyle m}$ bilan z:^[3]

{ displaystyle r chap ( varphi o'ng) = chap ( chap | { frac { cos chap ({ frac {y varphi} {4}} o'ng)} {a}} o'ng | ^ {n_ {2}} + chap | { frac { sin chap ({ frac {z varphi} {4}} o'ng)} {b}} o'ng | ^ {n_ {3} } o'ng) ^ {- { frac {1} {n_ {1}}}}}

Bu rotatsion assimetrik va ichki tuzilmalarni yaratishga imkon beradi. Quyidagi misollarda a, b, ${ displaystyle {n_ {2}}}$ va ${ displaystyle {n_ {3}}}$ 1:

Adabiyotlar

^ Gielis, Yoxan (2003), "Tabiiy va mavhum shakllarning keng doirasini birlashtiradigan umumiy geometrik o'zgarish", Amerika botanika jurnali, 90 (3): 333–338, doi:10.3732 / ajb.90.3.333, ISSN 0002-9122, PMID 21659124
^ RaI patent 1177529, Gielis, Johan, "Naqshlarni sintez qilish usuli va apparati", 2005-02-02 yilda chiqarilgan
^ * Stöhr, Uve (2004), Superformula U (PDF), dan arxivlangan asl nusxasi (PDF) 2017 yil 8-dekabrda

Tashqi havolalar

[1] Gielis, Yoxan (2003), "Tabiiy va mavhum shakllarning keng doirasini birlashtiradigan umumiy geometrik o'zgarish", Amerika botanika jurnali, 90 (3): 333–338, doi:10.3732 / ajb.90.3.333, ISSN 0002-9122, PMID 21659124

[2] RaI patent 1177529, Gielis, Johan, "Naqshlarni sintez qilish usuli va apparati", 2005-02-02 yilda chiqarilgan

[3] * Stöhr, Uve (2004), Superformula U (PDF), dan arxivlangan asl nusxasi (PDF) 2017 yil 8-dekabrda

[1]

[2]

[3]