Tate vektor maydoni - Tate vector space

Matematikada a Tate vektor maydoni a vektor maydoni kabi tushunchalarni kengaytirishga imkon beradigan tarzda cheklangan o'lchovli vektor bo'shliqlaridan olingan o'lchov va aniqlovchi cheksiz o'lchovli vaziyatga. Tate bo'shliqlari tomonidan kiritilgan Aleksandr Beylinson, Boris Feygin va Barri Mazur  (1991 ), ularni kim nomlagan Jon Teyt.

Kirish

Maydon ustidagi Teyt vektor makonining odatiy misoli k ular Loran quvvat seriyasi

${ displaystyle V = k ((t)). ,}$

Uning ikkita o'ziga xos xususiyati bor:

• kabi n o'sadi, V uning submodullarining birlashishi ${ displaystyle t ^ {- n} k [[t]]}$, qayerda ${ displaystyle k [[t]]}$ belgisini bildiradi quvvat seriyali uzuk. Ushbu submodullar panjara deb nomlanadi.
• Har bir panjara cheksiz o'lchovli vektor maydoni bo'lsa ham, har qanday alohida panjaraning kvotentsiyalari,

${ displaystyle t ^ {- n} k [[t]] / t ^ {- m} k [[t]], n geq m}$

bor cheklangan- o'lchovli k-vektor bo'shliqlari.

Tate modullari

Tate modullari tomonidan kiritilgan Drinfeld (2006) cheksiz o'lchovli vektor to'plamlari tushunchasi bo'lib xizmat qilish. Har qanday uzuk uchun R, Drinfeld boshlang'ich Tate modullarini topologik deb belgilagan R- shaklning modullari

${ displaystyle P oplus Q ^ {*}}$

qayerda P va Q proektivdir R-modullar (ehtimol cheksiz daraja) va * ikkilikni bildiradi.

Maydon uchun Tate vektor bo'shliqlari bu ma'noda mahalliy chiziqli ixcham vektor bo'shliqlariga teng keladi, bu tushuncha Lefschetzga qaytadi. Bular topologiyaning asoslaridan iborat bo'lgan xususiyat bilan tavsiflanadi mutanosib sub-vektor bo'shliqlari.

Tate ob'ektlari

Tate ob'ektlarini har qanday kontekstda aniqlash mumkin aniq toifasi C.^[1] Qisqacha aytganda, aniq kategoriya - bu ba'zi bir xususiyatlarni aksiomatizatsiya qilish usuli qisqa aniq ketma-ketliklar. Masalan, cheklangan o'lchovli kategoriya k-vektor bo'shliqlari yoki cheklangan ravishda hosil qilingan proektivlar toifasi R- ba'zi birlari uchun modullar uzuk R, bu aniq toifadir, odatdagi qisqa aniq ketma-ketlik tushunchasi bilan.

Yuqoridagi misolning kengayishi ${ displaystyle k ((t))}$ yanada umumiy vaziyatga quyidagi kuzatuv asoslanadi: aniq ketma-ketlik mavjud

${ displaystyle 0 to k [[t]] to k ((t)) to t ^ {- 1} k [t ^ {- 1}] to 0}$

tashqi shartlari an teskari chegara va a to'g'ridan-to'g'ri chegara navbati bilan cheklangan o'lchovli k-vektor bo'shliqlari

${ displaystyle k [[t]] = lim _ {n} k [t] / t ^ {n}}$

${ displaystyle t ^ {- 1} k [t ^ {- 1}] = operator nomi {colim} _ {m} bigoplus _ {i = -1} ^ {- m} t ^ {i} cdot k .}$

Umuman olganda, aniq kategoriya uchun C, Pro toifasi mavjud (C) pro-ob'ektlar va toifadagi Ind (C) ning ob'ektlar. Ushbu qurilish takrorlanishi mumkin va aniq Ind (Pro (") toifasini beradi.C)). Toifasi Teyt elementar elementlari

${ displaystyle operatorname {Tate} ^ { text {el}} (C)}$

ushbu Ind-Pro ob'ektlarining eng kichik kichik toifasi deb belgilangan V qisqa aniq ketma-ketlik mavjud

${ displaystyle 0 dan L dan V dan L ' dan 0} gacha$

qayerda L pro-ob'ekt va L ' Ob'ektga tegishli bo'lib, ushbu holat yoqilganligini ko'rsatish mumkin V taqdimotni talab qiladiganga teng

${ displaystyle V: I to operatorname {Pro} (C)}$

takliflar ${ displaystyle V_ {j} / V_ {i}}$ ichida C (Pro-dan farqli o'laroq (C)).

Tate toifasi (C) ning Tate ob'ektlari Teyt elementar elementlarining retraktlari (idempotent yakunlanishi) ostida yopilishi tushuniladi.

Braunling, Groechenig & Wolfson (2016) Teyt ob'ektlarini ko'rsatdi (uchun C cheklangan tarzda ishlab chiqarilgan proektiv kategoriya R-modullar va Ind-Pro moslamalarini indeksatsiya qiladigan oilalari hisobga olinishi sharti bilan) hisoblab chiqilgan Tatega teng R- yuqorida aytib o'tilgan Drinfeld ma'nosidagi modullar.

Tegishli tushunchalar va dasturlar

A Tate Lie algebra bu qo'shimcha Lie algebra tuzilishiga ega bo'lgan Tate vektor maydoni. Tate Lie algebrasiga misol qilib Lie algebrasini keltirish mumkin rasmiy quvvat seriyalari cheklangan o'lchovli Lie algebra ustida.

Tate ob'ektlari toifasi - bu aniq toifadir, shuningdek ko'rsatilishi mumkin. Shuning uchun qurilishni takrorlash mumkin, bu yuqori o'lchovli sinf maydonlari nazariyasidagi qo'llanmalarga tegishli,^[2] kabi yuqori mahalliy sohalarni o'rganadigan

${ displaystyle mathbf {F} _ {p} ((t_ {1})) cdots ((t_ {n})).}$

Kapranov (2001) deb nomlangan narsani taqdim etdi determinant torsor determinantlar va izlarning odatdagi chiziqli algebra tushunchalarini avtomorfizmlarga yoyadigan Tate vektor bo'shliqlari uchun f Tate vektor bo'shliqlarining V. Asosiy g'oya shundan iboratki, panjara bo'lsa ham L yilda V cheksiz o'lchovli, panjaralar L va f(L) bir-biriga mos keladi, shuning uchun cheklangan o'lchovli ma'noda bitta panjaraning determinanti o'rnatilishi sharti bilan barcha panjaralarga noyob tarzda tarqalishi mumkin.Klauzen (2009) bir vaqtning o'zida isbotlash uchun ushbu torsorni qo'llagan Riman-Rox teoremasi, Vaylning o'zaro aloqasi va qoldiqlar formulasi yig'indisi. Oxirgi formula allaqachon isbotlangan Teyt (1968) shunga o'xshash vositalar yordamida.

Izohlar

Adabiyotlar

• Arkxipov, Sergey (2002), "Teyt Lie algebralarining yarim cheksiz kohomologiyasi", Moskva matematik jurnali, 2 (1): 35–40, arXiv:matematik / 0003015, Bibcode:2000 yil ...... 3015A, ISSN  1609-3321, JANOB  1900583
• Arxipov, Sergey; Kremnizer, Kobi (2010), "2 gerbes va 2-tate bo'shliqlari", Kvantlash atrofida arifmetik va geometriya, 279, Birkxauzer, 23-35 betlar, arXiv:0708.4401, doi:10.1007/978-0-8176-4831-2_2, JANOB  2656941
• Beylinson, Aleksandr; Feygin, B .; Mazur, Barri (1991), Konformal dala nazariyasi bo'yicha eslatmalar, Nashr qilinmagan qo'lyozma
• Braunling, Oliver; Groechenig, Maykl; Wolfson, Jessi (2016), "Tate ob'ektlari aniq toifalarda", Mosc. Matematika. J., 16 (3), arXiv:1402.4969v4, JANOB  3510209
• Klauzen, Dastin (2009), Cheksiz o'lchovli chiziqli algebra, determinant chiziqlar to'plami va Kac-Moody kengaytmasi, Garvard 2009 seminar eslatmalari
• Drinfeld, Vladimir (2006), "Algebraik geometriyadagi cheksiz o'lchovli vektor to'plamlari: kirish", Pavel Etingofda; Vladimir Retax; I. M. Xonanda (tahr.), Matematikaning birligi, Birkhäuser Boston, 263–304 betlar, arXiv:matematik / 0309155v4, doi:10.1007/0-8176-4467-9_7, ISBN  978-0-8176-4076-7, JANOB  2181808
• Kapranov, M. (2001), Yarim cheksiz nosimmetrik kuchlar, arXiv:matematik / 0107089, Bibcode:2001yil ...... 7089K
• Previdi, Luigi (2011), "Mahalliy ixcham ob'ektlar aniq toifalarda", Internat. J. Matematik., 22 (12): 1787–1821, arXiv:0710.2509, doi:10.1142 / S0129167X11007379, JANOB  2872533
• Teyt, Jon (1968), "Egri chiziqlar bo'yicha differentsiallarning qoldiqlari", Annales Scientificifiques de l'École Normale Supérieure, 4, 1 (1): 149–159