Ikki nuqta tensori - Two-point tensor

Ushbu maqolada bir nechta muammolar mavjud. Iltimos yordam bering uni yaxshilang yoki ushbu masalalarni muhokama qiling munozara sahifasi. (Ushbu shablon xabarlarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling) Bu maqola uchun qo'shimcha iqtiboslar kerak tekshirish. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Ma'lumot manbasi bo'lmagan material shubha ostiga olinishi va olib tashlanishi mumkin. Manbalarni toping: "Ikki nuqta tensori"  – Yangiliklar  · gazetalar  · kitoblar  · olim  · JSTOR (2013 yil dekabr) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling) Ushbu maqola mumkin talab qilish tozalamoq Vikipediya bilan tanishish uchun sifat standartlari. Yo'q tozalash sababi aniqlandi. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang Agar imkoningiz bo'lsa. (2009 yil dekabr) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Ikki nuqta tenzorlari, yoki juft vektorlar, bor tensor -ga aylanadigan kattaliklarga o'xshaydi evklid vektorlari ularning har bir indeksiga nisbatan va ishlatiladi doimiy mexanika mos yozuvlar ("material") va hozirgi ("konfiguratsiya") koordinatalari o'rtasida o'zgartirish.^[1] Bunga misollar deformatsiya gradyenti va birinchi Piola-Kirchhoff stress tensori.

Ko'plab tensorlarni qo'llashda bo'lgani kabi, Eynshteyn yig'indisi yozuvi tez-tez ishlatiladi. Ushbu yozuvga oydinlik kiritish uchun kapital indekslar ko'pincha mos yozuvlar koordinatalarini va hozirgi koordinatalar uchun kichik harflarni ko'rsatish uchun ishlatiladi. Shunday qilib, ikki punktli tensor bitta kapitalga va bitta kichik indeksga ega bo'ladi; masalan, A_jM.

Davomiy mexanika

An'anaviy tensorni bitta koordinatali tizimdagi vektorlarni bir xil koordinatalar tizimidagi boshqa vektorlarga aylantirish sifatida ko'rish mumkin. Aksincha, ikki nuqtali tensor vektorlarni bitta koordinata tizimidan boshqasiga o'zgartiradi. Ya'ni an'anaviy tensor,

${ displaystyle mathbf {Q} = Q_ {pq} ( mathbf {e} _ {p} otimes mathbf {e} _ {q})}$,

faol ravishda o'zgartiradi vektor siz vektorga v shu kabi

${ displaystyle mathbf {v} = mathbf {Q} mathbf {u}}$

qayerda v va siz bir xil bo'shliqda o'lchanadi va ularning koordinatalari bir xil asosda ifodalanadi ("bilan belgilanadi"e").

Aksincha, ikki nuqtali tensor, G kabi yoziladi

${ displaystyle mathbf {G} = G_ {pq} ( mathbf {e} _ {p} otimes mathbf {E} _ {q})}$

va vektorni o'zgartiradi, U, yilda E tizim vektorga, v, ichida e kabi tizim

${ displaystyle mathbf {v} = mathbf {GU}}$.

Ikki nuqtali tenzor uchun transformatsiya qonuni

Faraz qilaylik, bizda ikkita koordinatali tizim bor, ulardan biri astarlangan, ikkinchisi esa asossiz va ular orasida vektorlarning tarkibiy qismlari o'zgaradi

${ displaystyle v '_ {p} = Q_ {pq} v_ {q}}$.

Tenzorlar uchun bizda deylik

${ displaystyle T_ {pq} (e_ {p} otimes e_ {q})}$.

Tizimdagi tensor ${ displaystyle e_ {i}}$. Boshqa tizimda xuddi shu tensor tomonidan berilgan bo'lsin

${ displaystyle T '_ {pq} (e' _ {p} otimes e '_ {q})}$.

Biz aytishimiz mumkin

${ displaystyle T '_ {ij} = Q_ {ip} Q_ {jr} T_ {pr}}$.

Keyin

${ displaystyle T '= QTQ ^ { mathsf {T}}}$

muntazam tensor o'zgarishi. Ammo bu tizimlar orasidagi ikki nuqtali tenzor shunchaki

${ displaystyle F_ {pq} (e '_ {p} otimes e_ {q})}$

sifatida o'zgaradi

${ displaystyle F '= QF}$.

Ikki nuqtali tensorning eng oddiy misoli

Ikki nuqtali tenzorning eng oddiy misoli transformatsiya tenzori, Q yuqoridagi munozarada. Yozib oling

${ displaystyle v '_ {p} = Q_ {pq} u_ {q}}$.

Endi, to'liq yozib,

${ displaystyle u = u_ {q} e_ {q}}$

va shuningdek

${ displaystyle v = v '_ {p} e' _ {p}}$.

Buning uchun talab qilinadi Q shaklda bo'lish

${ displaystyle Q_ {pq} (e '_ {p} otimes e_ {q})}$.

Ta'rifi bo'yicha tensor mahsuloti,

${ displaystyle (e '_ {p} otimes e_ {q}) e_ {q} = (e_ {q} .e_ {q}) e' _ {p} = 3e '_ {p}}$

(1)

Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin

${ displaystyle u_ {p} e_ {p} = (Q_ {pq} (e '_ {p} otimes e_ {q})) (v_ {q} e_ {q})}$

Shunday qilib

${ displaystyle u_ {p} e_ {p} = Q_ {pq} v_ {q} (e '_ {p} otimes e_ {q}) e_ {q}}$

Birlashtiruvchi (1), bizda ... bor

${ displaystyle u_ {p} e_ {p} = Q_ {pq} v_ {q} e_ {p}}$.

Quyidagi (1) tenglamada to'rtta q!!

Shuningdek qarang

• Aralash tenzor
• Vektorlarning kovaryansi va kontrvariantsiyasi

Adabiyotlar

Tashqi havolalar

• Elastiklikning matematik asoslari Jerrold E. Marsden, Tomas J. R. Xyuz tomonidan
• IMechanica-dagi ikki nuqtali tenzorlar