Aralash tenzor - Mixed tensor

Yilda tensor tahlili, a aralash tenzor a tensor bu qat'iy emas kovariant ham qat'iy emas qarama-qarshi; aralash tenzorning indekslaridan kamida bittasi pastki yozuv (kovariant) va indekslardan kamida bittasi ustki (ziddiyatli) bo'ladi.

Ning aralash tenzori turi yoki valentlik ${ displaystyle scriptstyle { binom {M} {N}}}$, shuningdek yozilgan "turi (M, N) ", ikkalasi bilan ham M > 0 va N > 0, bu tensor M qarama-qarshi ko'rsatkichlar va N kovariant indekslari. Bunday tenzorni a sifatida aniqlash mumkin chiziqli funktsiya qaysi xaritani (M + N) -tuple M bir shakllar va N vektorlar a skalar.

Tensor turini o'zgartirish

Tegishli tenzorlarning quyidagi oktetasini ko'rib chiqing:

${ displaystyle T _ { alpha beta gamma}, T _ { alpha beta} {} ^ { gamma}, T _ { alpha} {} ^ { beta} {} _ { gamma}, T _ { alpha} {} ^ { beta gamma}, T ^ { alpha} {} _ { beta gamma}, T ^ { alpha} {} _ { beta} {} ^ { gamma}, T ^ { alpha beta} {} _ { gamma}, T ^ { alpha beta gamma}}$.

Birinchisi kovariant, ikkinchisi qarama-qarshi va qolganlari aralash. Notatsional ravishda, bu tensorlar bir-biridan indekslarining kovariantligi / kontrvarianligi bilan farq qiladi. Tensorning berilgan qarama-qarshi ko'rsatkichi metrik tensor g_mkν, va berilgan kovariant indeksni teskari metrik tensor yordamida ko'tarish mumkin g^mkν. Shunday qilib, g_mkν deb atash mumkin indeksni pasaytirish operatori va g^mkν The indekslarni ko'tarish operatori.

Odatda, kovariant metrik tensor, tensor turi bilan qisqargan (M, N), tensor turini beradi (M − 1, N + 1), aksincha uning teskari teskari turi tenzor bilan qisqargan (M, N), tensor turini beradi (M + 1, N − 1).

Misollar

Misol tariqasida (1, 2) aralash tenzori (0, 3) kovariant tenzori indeksini ko'tarish orqali olish mumkin,

${ displaystyle T _ { alpha beta} {} ^ { lambda} = T _ { alpha beta gamma} , g ^ { gamma lambda}}$,

qayerda ${ displaystyle T _ { alpha beta} {} ^ { lambda}}$ bilan bir xil tensor ${ displaystyle T _ { alpha beta} {} ^ { gamma}}$, chunki

${ displaystyle T _ { alpha beta} {} ^ { lambda} , delta _ { lambda} {} ^ { gamma} = T _ { alpha beta} {} ^ { gamma}}$,

Kronecker bilan δ bu erda shaxsiyat matritsasi kabi harakat qilish.

Xuddi shunday,

${ displaystyle T _ { alpha} {} ^ { lambda} {} _ { gamma} = T _ { alpha beta gamma} , g ^ { beta lambda},}$

${ displaystyle T _ { alpha} {} ^ { lambda epsilon} = T _ { alpha beta gamma} , g ^ { beta lambda} , g ^ { gamma epsilon},}$

${ displaystyle T ^ { alpha beta} {} _ { gamma} = g _ { gamma lambda} , T ^ { alpha beta lambda},}$

${ displaystyle T ^ { alpha} {} _ { lambda epsilon} = g _ { lambda beta} , g _ { epsilon gamma} , T ^ { alpha beta gamma}.}$

Metrik tensor ko'rsatkichini ko'tarish uning teskari tomoni bilan shartnoma tuzishga teng, natijada hosil bo'ladi Kronekker deltasi,

${ displaystyle g ^ { mu lambda} , g _ { lambda nu} = g ^ { mu} {} _ { nu} = delta ^ { mu} {} _ { nu}}$,

shuning uchun metrik tensorning har qanday aralash versiyasi Kronecker deltasiga teng bo'ladi, u ham aralashtiriladi.

Shuningdek qarang

• Vektorlarning kovaryansi va kontrvariantsiyasi
• Eynshteyn yozuvlari
• Ricci hisob-kitobi
• Tensor (ichki ta'rif)
• Ikki nuqta tensori

Adabiyotlar

• D.C. Kay (1988). Tensor hisobi. Schaum's Outlines, McGraw Hill (AQSh). ISBN  0-07-033484-6.
• Uiler, J.A .; Misner, C .; Torn, K.S. (1973). "§3.5 Tensorlar bilan ishlash". Gravitatsiya. W.H. Freeman & Co., 85–86-betlar. ISBN  0-7167-0344-0.
• R. Penrose (2007). Haqiqatga yo'l. Amp kitoblar. ISBN  0-679-77631-1.

Tashqi havolalar

• Indeks gimnastikasi, Wolfram Alpha