Vitali konvergentsiya teoremasi - Vitali convergence theorem - Wikipedia

Yilda haqiqiy tahlil va o'lchov nazariyasi, Vitali konvergentsiya teoremasinomi bilan nomlangan Italyancha matematik Juzeppe Vitaliy, taniqli narsalarning umumlashtirilishi ustunlik qiluvchi konvergentsiya teoremasi ning Anri Lebesgue. Bu yaqinlashuvning xarakteristikasi L^p o'lchovdagi yaqinlashish va bog'liq bo'lgan shart nuqtai nazaridan bir xil integrallik.

Teorema bayoni

Ruxsat bering ${ displaystyle (f_ {n}) _ {n in mathbb {N}} subseteq L ^ {p} (X, tau, mu), f in L ^ {p} (X, tau , mu)}$, bilan ${ displaystyle 1 leq p < infty}$. Keyin, ${ displaystyle f_ {n} dan f} gacha$ yilda ${ displaystyle L ^ {p}}$ agar va faqat bizda bo'lsa

• (i) ${ displaystyle f_ {n}}$ yaqinlashmoq o'lchovda ga ${ displaystyle f}$.
• (ii) har bir kishi uchun ${ displaystyle varepsilon> 0}$ o'lchovli to'plam mavjud ${ displaystyle E _ { varepsilon}}$ bilan ${ displaystyle mu (E _ { varepsilon}) < infty}$ har bir kishi uchun shunday ${ displaystyle G in tau}$ ajratish ${ displaystyle E _ { varepsilon}}$ bizda, barchasi uchun ${ displaystyle n in mathbb {N}}$

${ displaystyle int _ {G} | f_ {n} | ^ {p} , d mu < varepsilon ^ {p}}$

• (iii) har bir kishi uchun ${ displaystyle varepsilon> 0}$ mavjud ${ displaystyle delta ( varepsilon)> 0}$ shunday, agar ${ displaystyle E in tau}$ va ${ displaystyle mu (E) < delta ( varepsilon)}$ keyin, har bir kishi uchun ${ displaystyle n in mathbb {N}}$ bizda ... bor

${ displaystyle int _ {E} | f_ {n} | ^ {p} , d mu < varepsilon ^ {p}}$

Izoh: Agar ${ displaystyle mu (X)}$ sonli, keyin ikkinchi shart ahamiyatsiz haqiqatdir (faqat butun diapazonning etarlicha kichik qismidan tashqari barchasini qamrab oluvchi pastki qismni tanlang). Shuningdek, (i) va (iii) ning bir xil integralligini anglatadi ${ displaystyle (| f_ {n} | ^ {p}) _ {n in mathbb {N}}}$va bir xil integralligi ${ displaystyle (| f_ {n} | ^ {p}) _ {n in mathbb {N}}}$ nazarda tutadi (iii).^[1]

Isbotning konturi

1-so'zni isbotlash uchun biz foydalanamiz Fato lemmasi: ${ displaystyle int _ {X} | f | , d mu leq liminf _ {n to infty} int _ {X} | f_ {n} | , d mu}$

• Bir xil integraldan foydalanish mavjud ${ displaystyle delta> 0}$ bizda shunday ${ displaystyle int _ {E} | f_ {n} | , d mu <1}$ har bir to'plam uchun ${ displaystyle E}$ bilan ${ displaystyle mu (E) < delta}$
• By Egorov teoremasi, ${ displaystyle {f_ {n}}}$ to'plamda bir xilda birlashadi ${ displaystyle E ^ {C}}$. ${ displaystyle int _ {E ^ {C}} | f_ {n} -f_ {p} | , d mu <1}$ katta uchun ${ displaystyle p}$ va ${ displaystyle forall n> p}$. Foydalanish uchburchak tengsizligi, ${ displaystyle int _ {E ^ {C}} | f_ {n} | , d mu leq int _ {E ^ {C}} | f_ {p} | , d mu + 1 = M}$
• Fatou lemmasining RHS-ga yuqoridagi chegaralarni qo'shib qo'yish bizga 1-sonli bayonot beradi.

2-bayonot uchun foydalaning ${ displaystyle int _ {X} | f-f_ {n} | , d mu leq int _ {E} | f | , d mu + int _ {E} | f_ {n} | , d mu + int _ {E ^ {C}} | f-f_ {n} | , d mu}$, qayerda ${ displaystyle E in { mathcal {F}}}$ va ${ displaystyle mu (E) < delta}$.

• RHSdagi atamalar mos ravishda 1-bayon yordamida chegaralanadi ${ displaystyle f_ {n}}$ va Egorov teoremasi hamma uchun ${ displaystyle n> N}$.

Teoremaning teskari tomoni

Ruxsat bering ${ displaystyle (X, { mathcal {F}}, mu)}$ ijobiy bo'ling bo'shliqni o'lchash. Agar

1. ${ displaystyle mu (X) < infty}$,
2. ${ displaystyle f_ {n} in { mathcal {L}} ^ {1} ( mu)}$ va
3. ${ displaystyle lim _ {n to infty} int _ {E} f_ {n} , d mu}$ har bir kishi uchun mavjud ${ displaystyle E in { mathcal {F}}}$

keyin ${ displaystyle {f_ {n} }}$ bir xil integral.^[2]

Iqtiboslar

Adabiyotlar

• Variatsiyalarni hisoblashda zamonaviy usullar. 2007. ISBN  9780387357843.
• Folland, Jerald B. (1999). Haqiqiy tahlil. Sof va amaliy matematik (Nyu-York) (Ikkinchi nashr). Nyu-York: John Wiley & Sons Inc. xvi + 386-bet. ISBN  0-471-31716-0. JANOB1681462
• Rozental, Jeffri S. (2006). Qattiq ehtimollik nazariyasiga birinchi qarash (Ikkinchi nashr). Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd xvi + 219-bet. ISBN  978-981-270-371-2. JANOB2279622

Tashqi havolalar

• Vitali konvergentsiya teoremasi da PlanetMath.