To'lqinli paket - Wave packet

Dispersiyasiz to'lqinli paket (haqiqiy yoki xayoliy qism)

Dispersiyaga ega to'lqinli paket

Fizikada, a to'lqinli paket (yoki to'lqinli poezd) qisqa "portlash" yoki "konvert "birlik sifatida harakatlanadigan mahalliy to'lqin harakatlarining. To'lqinlar to'plamini cheksiz komponentlar to'plamida tahlil qilish yoki undan sintez qilish mumkin sinusoidal to'lqinlar turli xil gullar, fazalar va amplitudalar bilan, ular kosmosning kichik mintaqasiga konstruktiv ravishda, boshqa joylarda esa buzg'unchilik bilan aralashadilar.^[1] Har bir komponent to'lqin funktsiyasi va shuning uchun to'lqinlar to'plami a ning echimlari to'lqin tenglamasi. To'lqin tenglamasiga qarab to'lqin paketining profili doimiy bo'lib qolishi mumkin (yo'q tarqalish, rasmga qarang) yoki tarqalish paytida u o'zgarishi (tarqalishi) mumkin.

Kvant mexanikasi to'lqinlar to'plami uchun alohida ahamiyatga ega; deb talqin etiladi ehtimollik amplitudasi, uning kvadrat to'rtburchaklar tavsiflovchi ehtimollik zichligi zarracha yoki ma'lum bir holatdagi zarralar ma'lum bir pozitsiya yoki impulsga ega bo'lish uchun o'lchanadi. To'lqin tenglamasi bu holda Shredinger tenglamasi. Chiqarish mumkin vaqt evolyutsiyasi jarayoniga o'xshash kvant mexanik tizimining Hamiltoniyalik rasmiyatchilik klassik mexanika. Shredinger tenglamasi echimlarining dispersiv xarakteri rad etishda muhim rol o'ynadi Shredingerning asl talqini va qabul qilish Tug'ilgan qoida.^{[iqtibos kerak ]}

To'lqinning koordinatali tasvirida (masalan Dekart koordinatalar tizimi ), jismoniy ob'ektning lokalizatsiya qilingan ehtimoli pozitsiyasi paketli eritmaning pozitsiyasi bilan belgilanadi. Bundan tashqari, kosmik to'lqin to'plami toraygan va shuning uchun to'lqin paketining joylashuvi qanchalik yaxshi bo'lsa, tarqalish shunchalik katta bo'ladi momentum to'lqinning Vaziyatning tarqalishi va impulsning tarqalishi o'rtasidagi bu kelishuv xarakterli xususiyatdir Geyzenberg noaniqlik printsipi, va quyida tasvirlangan bo'ladi.

Tarixiy ma'lumot

1900-yillarning boshlarida klassik mexanikada katta muvaffaqiyatsizliklar bo'lganligi aniq bo'ldi. Isaak Nyuton dastlab yorug'lik o'zi chaqirgan diskret paketlarda bo'ladi degan fikrni ilgari surdi tanachalar, ammo ko'plab yorug'lik hodisalarining to'lqinga o'xshash xatti-harakatlari tezda olimlarni to'lqin ta'rifini ma'qullashiga olib keldi elektromagnetizm. 1930-yillarga kelibgina, nurning zarracha tabiati haqiqatan ham fizikada keng qabul qilinishni boshladi. Kvant mexanikasining rivojlanishi va tajribaning tajriba natijalarini tushuntirishdagi muvaffaqiyati - bu qabul qilishning asosi edi. Shunday qilib, kvant mexanikasini shakllantirishdagi asosiy tushunchalardan biri bu diskret to'plamlarda keladigan yorug'likdir fotonlar. Fotonning energiyasi uning chastotasining funktsiyasi,

${ displaystyle E = h nu.}$^[2]

Fotonning energiyasi tengdir Plankning doimiysi, h, uning chastotasiga ko'paytiriladi, ν. Bu klassik fizikadagi muammoni hal qildi ultrabinafsha falokati.

Kvant mexanikasi g'oyalari 20-asr davomida rivojlanib bordi. Rivojlangan rasm zarrachalar dunyosida bo'lib, barcha hodisalar va materiyalar diskret zarrachalardan tashkil topgan va ular bilan o'zaro aloqada bo'lgan; ammo, bu zarralar ehtimollik to'lqini bilan tasvirlangan. O'zaro ta'sirlar, joylar va barcha fizika ushbu ehtimollik amplitudalarini hisoblashgacha kamayadi.

Dunyoning zarrachalarga o'xshash tabiati bir asr davomida tajriba bilan tasdiqlangan, to'lqinga o'xshash hodisalar esa kvant zarralarining to'lqin to'plami tomonining oqibatlari sifatida tavsiflanishi mumkin (qarang. to'lqin-zarracha ikkilik ). Ga ko'ra bir-birini to'ldirish printsipi, to'lqinga o'xshash va zarrachalarga o'xshash xususiyatlar hech qachon bir vaqtning o'zida, ya'ni bir xil tajribada o'zini namoyon qilmaydi; qarang, ammo Afshar tajribasi va uning atrofida qizg'in munozaralar.

Asosiy xatti-harakatlar

Dastlab Gauss holatining joylashish makonining ehtimolligi zichligi markazlashgan potentsial devorida davriy Kvant tunnelini boshdan kechirayotgan cheksiz potentsial quduqda qolib ketgan.

Tarqoq emas

Targ'ibotning namunasi sifatida tarqalishsiz, quyidagilarga to'lqinli echimlarni ko'rib chiqing to'lqin tenglamasi dan klassik fizika

${ displaystyle { kısmi ^ {2} u ustidan qisman t ^ {2}} = c ^ {2} { nabla ^ {2} u},}$

qayerda v to'lqinning ma'lum bir muhitda tarqalish tezligi.

Fizika bo'yicha vaqt anjumanidan foydalanib, exp (-iωt), to'lqin tenglamasi mavjud tekis to'lqin echimlar

${ displaystyle u ( mathbf {x}, t) = e ^ {i {( mathbf {k cdot x}} - omega t)},}$

qayerda

${ displaystyle omega ^ {2} = | mathbf {k} | ^ {2} c ^ {2}}$va ${ displaystyle | mathbf {k} | ^ {2} = k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2}.}$

Bu bog'liqlik ω va k tekis to'lqin to'lqin tenglamasining echimi bo'lishi uchun amal qilishi kerak. Bunga deyiladi dispersiya munosabati.

Soddalashtirish uchun faqat bitta o'lchamda tarqaladigan to'lqinlarni ko'rib chiqing (uchta o'lchovgacha kengaytirish to'g'ri). Keyin umumiy echim

${ displaystyle u (x, t) = Ae ^ {i (kx- omega t)} + Be ^ {- i (kx + omega t)},}$

biz olishi mumkin bo'lgan ph = kc. Birinchi atama ijobiy tomon tarqaladigan to'lqinni anglatadi x- yo'nalish chunki bu funktsiya x - ct faqat; ning funktsiyasi bo'lgan ikkinchi muddat x + ct, manfiy ravishda tarqaladigan to'lqinni anglatadi x- yo'nalish.

To'lqinli paket - bu turli xillarning yig'indisidan kelib chiqadigan mahalliy bezovtalik to'lqin shakllari. Agar paket kuchli tarzda lokalizatsiya qilingan bo'lsa, lokalizatsiya mintaqasida konstruktiv superpozitsiyani va mintaqadan tashqarida halokatli superpozitsiyani ta'minlash uchun ko'proq chastotalar kerak. Bir o'lchovdagi asosiy echimlardan to'lqin paketining umumiy shakli quyidagicha ifodalanishi mumkin

${ displaystyle u (x, t) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ {, infty} A (k) ~ e ^ {i (kx- omega (k) t)} dk.}$

To'lqinlar to'plami tekislik to'lqinining holatida bo'lgani kabi, o'ng tomonga harakat qiladi ω (k) = kc, beri u (x, t) = F (x - ct)va chapga D (k) = -kk, beri u (x, t) = F (x + ct).

Omil¹⁄_√2π dan keladi Furye konvertatsiyasi konvensiyalar. Amplituda A (k) tekis to'lqinli eritmalarning chiziqli superpozitsiyasining koeffitsientlarini o'z ichiga oladi. Ushbu koeffitsientlar o'z navbatida funktsiyasi sifatida ifodalanishi mumkin u (x, t) da baholandi t = 0 yuqoridagi Furye konvertatsiya munosabatini teskari yo'naltirish orqali:

${ displaystyle A (k) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ {, infty} u (x, 0) ~ e ^ {- ikx} dx.}$

Masalan, tanlash

${ displaystyle u (x, 0) = e ^ {- x ^ {2} + ik_ {0} x},}$

biz olamiz

${ displaystyle A (k) = { frac {1} { sqrt {2}}} e ^ {- { frac {(k-k_ {0}) ^ {2}} {4}}},}$

va nihoyat

${ displaystyle { begin {hizalangan} u (x, t) & = e ^ {- (x-ct) ^ {2} + ik_ {0} (x-ct)} & = e ^ {- ( x-ct) ^ {2}} chap [ cos chap (2 pi { frac {x-ct} { lambda}} o'ng) + i sin chap (2 pi { frac { x-ct} { lambda}} right) right]. end {hizalangan}}}$

Ushbu to'lqin paketning haqiqiy yoki xayoliy qismining g'ayritabiiy tarqalishi yuqoridagi animatsiyada keltirilgan.

Tarqoq

Dastlab Gauss davlatining bo'shliqdagi minimal noaniq, doimiy impulsida bir o'lchovda harakatlanadigan joyning ehtimollik zichligi.

Aksincha, hozirgi kunda ko'payish namunasi sifatida tarqalishi bilanBuning o'rniga echimlarni ko'rib chiqing Shredinger tenglamasi (Pauli 2000, bilan m va one biriga teng),

${ displaystyle i { kısmi psi over qisman t} = - { frac {1} {2}} { nabla ^ {2} psi},}$

dispersiya munosabatini keltirib chiqaradi

${ displaystyle omega = { frac {1} {2}} | mathbf {k} | ^ {2}.}$

Yana bir bor e'tiborni bir o'lchovga cheklab qo'ying, Shryodinger tenglamasining echimi dastlabki shartni qondiradi ${ displaystyle ~ psi (x, 0) = { sqrt [{4}] {2 / pi}} exp ({- x ^ {2} + ik_ {0} x})}$, kelib chiqishi fazoda lokalize qilingan to'lqin paketini ifodalaydi

${ displaystyle { begin {aligned} psi (x, t) & = { frac { sqrt [{4}] {2 / pi}} { sqrt {1 + 2it}}} e ^ {- { frac {1} {4}} k_ {0} ^ {2}} ~ e ^ {- { frac {1} {1 + 2it}} left (x - { frac {ik_ {0}} {2}} o'ng) ^ {2}} & = { frac { sqrt [{4}] {2 / pi}} { sqrt {1 + 2it}}} e ^ {- { frac {1} {1 + 4t ^ {2}}} (x-k_ {0} t) ^ {2}} ~ e ^ {i { frac {1} {1 + 4t ^ {2}}} chap ((k_ {0} + 2tx) x - { frac {1} {2}} tk_ {0} ^ {2} o'ng)} ~. end {hizalangan}}}$

Ushbu to'lqin paketning dispersiv harakati haqida taassurot ehtimollik zichligiga qarab olinadi:

${ displaystyle | psi (x, t) | ^ {2} = { frac { sqrt {2 / pi}} { sqrt {1 + 4t ^ {2}}}} ~ e ^ {- { frac {2 (x-k_ {0} t) ^ {2}} {1 + 4t ^ {2}}}} ~.}$

Ko'rinib turibdiki, bu dispersiv to'lqin paketi doimiy ravishda harakatlanayotganda guruh tezligi k_o, tez delokalizatsiya qilinmoqda: a kengligi vaqt bilan ortib bormoqda √ 1 + 4t² → 2t, shuning uchun u oxir-oqibat kosmik cheksiz mintaqaga tarqaladi.^{[nb 1]}

Impuls profili A (k) o'zgarmas bo'lib qoladi. The ehtimollik oqimi bu

${ displaystyle j = rho v = { frac {1} {2i}} ( psi ^ {*} nabla psi - psi nabla psi ^ {*}) = rho chap (k_ { 0} + { frac {4t (x-k_ {0} t)} {1 + 4t ^ {2}}} o'ng).}$

Kvant mexanikasidagi Gauss to'lqin paketlari

1D tekislik to'lqinlarining superpozitsiyasi (ko'k), ular tarqalishda o'ng tomonga tarqaladigan kvant Gauss to'lqin paketini (qizil) hosil qiladi. Moviy nuqtalar har bir tekislik to'lqinining fazaviy tezligini, qizil chiziq esa markaziy guruh tezligini kuzatib boradi.

Dastlab Gauss holatining joylashish makonining ehtimollik zichligi markazlashgan potentsial devorida davriy Kvant tunnellanishini boshdan kechirayotgan cheksiz potentsial quduqda qolib ketgan.

Murakkab tekislikda ko'rsatilgan 1D Gauss to'lqini to'plami a= 2 va k=4

Yuqoridagi dispersiv Gauss to'lqin to'plami, normalizatsiya qilinmagan va faqat kelib chiqishi markazida, o'rniga t= 0, endi 3D formatida, endi standart birliklarda yozish mumkin:^[3][4]

${ displaystyle psi ( mathbf {r}, 0) = e ^ {- mathbf {r} cdot mathbf {r} / 2a},}$

qayerda a ijobiy haqiqiy son, the to'lqinli paketning kengligining kvadrati,

${ displaystyle a = 2 langle mathbf {r} cdot mathbf {r} rangle / 3 langle 1 rangle = 2 ( Delta x) ^ {2}.}$

Fourier konvertatsiyasi, shuningdek, to'lqinlar soni bo'yicha Gauss hisoblanadi, t= 0, the k- vektor, (teskari kenglik bilan,

${ displaystyle 1 / a = 2 langle mathbf {k} cdot mathbf {k} rangle / 3 langle 1 rangle = 2 ( Delta p_ {x} / hbar) ^ {2},}$

Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida

${ displaystyle Delta x Delta p_ {x} = hbar / 2,}$

ya'ni uni to'ydiradi noaniqlik munosabati ),

${ displaystyle psi ( mathbf {k}, 0) = (2 pi a) ^ {3/2} e ^ {- a mathbf {k} cdot mathbf {k} / 2}.}$

Har bir alohida to'lqin vaqt ichida faqat fazada aylanadi, shuning uchun vaqtga bog'liq bo'lgan Fyureyga o'zgartirilgan eritma bo'ladi

${ displaystyle { begin {aligned} Psi ( mathbf {k}, t) & = (2 pi a) ^ {3/2} e ^ {- a mathbf {k} cdot mathbf {k } / 2} e ^ {- iEt / hbar} & = (2 pi a) ^ {3/2} e ^ {- a mathbf {k} cdot mathbf {k} / 2-i ( hbar ^ {2} mathbf {k} cdot mathbf {k} / 2m) t / hbar} & = (2 pi a) ^ {3/2} e ^ {- (a + i hbar t / m) mathbf {k} cdot mathbf {k} /2}.end{aligned}}}$

Teskari Fourier konvertatsiyasi hali ham Gauss, ammo endi bu parametr a murakkablashdi va umumiy normalizatsiya omili mavjud.^[5]

${ displaystyle Psi ( mathbf {r}, t) = chap ({a over a + i hbar t / m} right) ^ {3/2} e ^ {- { mathbf {r} cdot mathbf {r} 2 dan ortiq (a + i hbar t / m)}}.}$

Ning ajralmas qismi Ψ butun makon o'zgarmasdir, chunki u ichki mahsulotdir Ψ cheksiz to'lqin uzunligiga ega bo'lgan to'lqin bo'lgan nol energiya holati bilan, kosmosning doimiy funktsiyasi. Har qanday kishi uchun energetik davlat η(x), ichki mahsulot,

${ displaystyle langle eta | psi rangle = int eta ( mathbf {r}) psi ( mathbf {r}) d ^ {3} mathbf {r},}$

faqat vaqt ichida oddiy tarzda o'zgaradi: uning fazasi energiyasi bilan aniqlangan chastota bilan aylanadi η. Qachon η nol energiyaga ega, to'lqin uzunligining cheksiz to'lqini singari, u umuman o'zgarmaydi.

Integral ∫|Ψ|²d³r shuningdek, o'zgarmasdir, bu ehtimollikni saqlash bayonidir. Aniq,

${ displaystyle P (r) = | Psi | ^ {2} = Psi ^ {*} Psi = left ({a over { sqrt {a ^ {2} + ( hbar t / m) ^ {2}}}} o'ng) ^ {3} ~ e ^ {- {a , mathbf {r} cdot mathbf {r} a ^ {2} + ( hbar t / m) ustida ^ {2}}},}$

unda √a ning kengligi P (r) da t = 0; r kelib chiqish masofasi; zarrachaning tezligi nolga teng; va vaqt kelib chiqishi t = 0 o'zboshimchalik bilan tanlanishi mumkin.

Gaussning kengligi - bu ehtimollik zichligidan chiqarib olinadigan qiziqarli miqdor, |Ψ|²,

${ displaystyle { sqrt {a ^ {2} + ( hbar t / m) ^ {2} over a}}.}$

Ushbu kenglik oxir-oqibat vaqt o'tishi bilan chiziqli ravishda o'sib boradi ħt / (m√a), ko'rsatuvchi paketlar tarqalishi.

Masalan, agar elektron to'lqinlar to'plami dastlab atom o'lchamlari mintaqasida lokalizatsiya qilingan bo'lsa (ya'ni, 10⁻¹⁰ m) u holda paketning kengligi taxminan ikki baravar ko'payadi 10⁻¹⁶ s. Shubhasiz, zarrachalar to'lqin paketlari juda tez tarqaladi (bo'sh joyda):^[6] Masalan, keyin 1 ms, kengligi bir kilometrga o'sgan.

Ushbu chiziqli o'sish (vaqt o'zgarmas) momentum noaniqligining aksidir: to'lqin to'plami tor doirada cheklangan Δx=√a/2, va shuning uchun noaniq momentum bor (ga ko'ra noaniqlik printsipi ) miqdori bo'yicha ħ/√2a, tezlikning tarqalishi ħ / m√2ava shu tariqa kelajakdagi pozitsiyada ħt / m√2a. Shunda noaniqlik munosabati qat'iy tengsizlik, to'yinganlikdan juda uzoq, haqiqatan ham! Dastlabki noaniqlik ΔxΔp = ħ/2 endi bir martaga oshdi ħt / ma (katta uchun t).

Airy to'lqinli poezdi

Yuqoridagi Gauss to'lqin paketidan farqli o'laroq, u kuzatilgan^[7] ma'lum bir to'lqin funktsiyasi unga asoslangan Havo vazifalari, konvertni tarqatmasdan erkin tarqaladi, uning shaklini saqlaydi. Kuch maydoni bo'lmagan taqdirda u buzilmagan holda tezlashadi: ψ= Ai (B(x−B³t ²)) exp (iB³t(x−2B³t²/3)). (Oddiylik uchun, ħ=1, m= 1/2 va B doimiy, qarang o'lchovsizlashtirish.)

Faza fazosidagi Airy fronti uchun vaqt rivojlanishining qisqartirilgan ko'rinishi. (Jonlantirish uchun bosing.)

Shunga qaramay, hech qanday kelishmovchilik yo'q Erenfest teoremasi bu kuchsiz vaziyatda, chunki davlat ham normallashtirilmaydi, ham aniqlanmagan (cheksiz) ⟨x⟩ hamma vaqt uchun. (Bu aniqlanishi mumkin bo'lgan darajada, ⟨p⟩ = 0 old tomonning tezlashishiga qaramay, hamma vaqt uchun.)

Yilda fazaviy bo'shliq, bu aniq ko'rinadi sof holat Wigner kvaziprobability taqsimoti shakli bu to'lqinlar oqimining x va p vaqt o'tishi bilan o'zgarmasdir, lekin uning xususiyatlari parabolalarni tezlashtirishda o'ng tomonga tezlashadi B(x−B³t ²) + (p / B − tB²)² = 0,^[8]

${ displaystyle { begin {aligned} W (x, p; t) & = W (xB ^ {3} t ^ {2}, pB ^ {3} t; 0) & = {1 over 2 ^ {1/3} pi B} ~ mathrm {Ai} left (2 ^ {2/3} left (Bx + {p ^ {2} over B ^ {2}} - 2Bpt right) o'ng). end {hizalangan}}}$

Barchaga integratsiyalashgan holda olingan momentum taqsimotiga e'tibor bering x doimiy. Chunki bu impuls momentidagi ehtimollik zichligi, to'lqin funktsiyasining o'zi normallashtirilmasligi aniq.

2018 yilda Airy to'lqin paketlarini tezlashtirishning kubik fazasini birinchi eksperimental kuzatish Isroil, Germaniya va Amerika universitetlari tadqiqotchilari hamkorligida amalga oshirildi.^[9]

Bepul targ'ibotchi

Muhokama qilingan Gauss to'lqinli paket echimining tor kengligi chegarasi bepul ko'paytirish yadrosi K. Boshqa differentsial tenglamalar uchun bu odatda Green funktsiyasi deb ataladi,^[10] ammo kvant mexanikasida Grin funktsiyasini Fourier konvertatsiya qilish vaqti uchun saqlash odatiy holdir K.

Oddiylik uchun bitta o'lchamga qaytish, bilan m va one bittaga teng, qachon bo'lganda a cheksiz miqdor ε, Gauss boshlang'ich holati, uning integrali bitta bo'lishi uchun qayta tiklandi,

${ displaystyle psi _ {0} (x) = {1 over { sqrt {2 pi epsilon}}} e ^ {- {x ^ {2} over 2 epsilon}} ,}$

ga aylanadi delta funktsiyasi, δ (x), shuning uchun uning evolyutsiyasi,

${ displaystyle K_ {t} (x) = {1 over { sqrt {2 pi (it + epsilon)}}} e ^ {- x ^ {2} 2it + epsilon} ,}$

ko'paytiruvchini beradi.

Shunisi e'tiborga loyiqki, juda tor dastlabki to'lqinlar to'plami bir zumda cheksiz keng bo'ladi, lekin faza bilan katta qiymatlarda tezroq tebranuvchi bo'ladi. x. Bu g'alati tuyulishi mumkin - bu echim bir nuqtada lokalizatsiya qilishdan "hamma joyda" bo'lishga o'tadi barcha keyingi vaqtlarda, lekin bu juda katta aks momentum noaniqligi yuqorida aytib o'tilganidek, mahalliylashtirilgan zarrachaning.

Keyinchalik to'lqin funktsiyasining normasi cheksiz ekanligini unutmang, bu ham to'g'ri, chunki a kvadratidan delta funktsiyasi xuddi shu tarzda ajralib turadi.

O'z ichiga olgan omil ε bu integrallarning tugashiga ishonch hosil qilish uchun mavjud bo'lgan cheksiz miqdor K yaxshi belgilangan. Bu chegarada ε→0, K sof tebranuvchi va integrallari bo'ladi K mutlaqo yaqinlashuvchi emas. Ushbu bo'limning qolgan qismida u iroda nolga o'rnatiladi, ammo oraliq holatlar bo'yicha barcha integratsiyalar aniq belgilangan bo'lishi uchun, chegara ε→ 0 faqat oxirgi holat hisoblangandan keyin olinishi kerak.

Tarqatuvchi - bu nuqtaga etib borish uchun amplituda x vaqtida t, kelib chiqishidan boshlanganda, x= 0. Tarjima invariantligi bo'yicha, bir nuqtaga erishish amplitudasi x nuqtadan boshlanganda y xuddi shu funktsiya, hozirgina tarjima qilingan,

${ displaystyle K_ {t} (x, y) = K_ {t} (xy) = {1 over { sqrt {2 pi it}}} e ^ {i (xy) ^ {2} 2t over } ,.}$

Chegarada qachon t kichik, targ'ibotchi, albatta, delta funktsiyasiga o'tadi,

${ displaystyle lim _ {t rightarrow 0} K_ {t} (x-y) = delta (x-y) ~,}$

lekin faqat ma'nosida tarqatish: Ushbu miqdorning integrali ixtiyoriy differentsialga ko'paytiriladi sinov funktsiyasi sinov funktsiyasining qiymatini nolga beradi.

Buni ko'rish uchun, ning butun maydoni bo'ylab integral ekanligini unutmang K har doim 1 ga teng,

${ displaystyle int K_ {t} (x) dx = 1 ,,}$

chunki bu integral ichki mahsulot hisoblanadi K bir xil to'lqin funktsiyasi bilan. Ammo fazadagi omil koeffitsientning nolga teng bo'lmagan hosilasiga ega, faqat kelib chiqishi bundan mustasno, va shuning uchun vaqt kam bo'lganda, bir nuqtadan tashqari umuman fazalarni bekor qilish mumkin. Bu chegara bo'lganda qat'iyan to'g'ri keladi ε→ 0 eng oxirida olinadi.

Demak, tarqalish yadrosi bu delta funktsiyasining (kelajakdagi) vaqt evolyutsiyasidir va u ma'lum ma'noda uzluksiz: u kichik vaqtlarda dastlabki delta funktsiyasiga o'tadi. Agar dastlabki to'lqin funktsiyasi pozitsiyada cheksiz tor boshoq bo'lsa y,

${ displaystyle psi _ {0} (x) = delta (x-y) ,,}$

u tebranuvchi to'lqinga aylanadi,

${ displaystyle psi _ {t} (x) = {1 over { sqrt {2 pi it}}} e ^ {i (x-y) ^ {2} / 2t} ,.}$

Endi, har bir funktsiyani bunday tor pog'onalarning tortilgan yig'indisi sifatida yozish mumkin bo'lganligi sababli,

${ displaystyle psi _ {0} (x) = int psi _ {0} (y) delta (x-y) dy ,,}$

vaqt evolyutsiyasi har qanday funktsiya ψ₀ ushbu tarqalish yadrosi bilan belgilanadi K,

Shunday qilib, bu ifodalashning rasmiy usuli asosiy echim yoki umumiy echim. Ushbu ifodaning talqini shundaki, zarracha uchun amplituda nuqtada topiladi x vaqtida t u boshlangan amplituda y, u amplituda marta y ga x, barcha mumkin bo'lgan boshlang'ich nuqtalari bo'yicha jamlangan. Boshqacha qilib aytganda, bu a konversiya yadro K o'zboshimchalik bilan boshlang'ich shart bilan ψ₀,

${ displaystyle psi _ {t} = K * psi _ {0} ,.}$

Sayohat qilish uchun amplituda beri x ga y bir muncha vaqt o'tgach t+t'ikki bosqichda ko'rib chiqilishi mumkin, targ'ibotchi kompozitsiya identifikatoriga bo'ysunadi,

${ displaystyle int K (x-y; t) K (y-z; t ') dy = K (x-z; t + t') ~,}$

quyidagicha talqin qilinishi mumkin: harakatlanadigan amplituda x ga z o'z vaqtida t+t'- harakatlanadigan amplituda yig'indisi x ga y o'z vaqtida t, sayohat qilish uchun amplituda ko'paytiriladi y ga z o'z vaqtida t', yakunlandi barcha mumkin bo'lgan oraliq holatlar y. Bu o'zboshimchalik bilan kvant tizimining xususiyati bo'lib, vaqtni ko'plab segmentlarga ajratish orqali vaqt evolyutsiyasini yo'l integral.^[11]

Diffuziyaning analitik davomi

To'lqin paketlarining kvant mexanikasida tarqalishi to'g'ridan-to'g'ri ehtimollik zichligining tarqalishiga bog'liq diffuziya. Bu zarracha uchun tasodifiy yurish, istalgan nuqtadagi ehtimollik zichligi funktsiyasi diffuziya tenglamasi (shuningdek qarang issiqlik tenglamasi ),

${ displaystyle { kısaltı over qisman t} rho = {1 2} ustidan { qisman ^ {2} over qisman x ^ {2}} rho ~,}$

bu erda vaqtni yoki makonni tejash yo'li bilan olib tashlanishi mumkin bo'lgan 2 faktor faqat qulaylik uchun.

Ushbu tenglamaning echimi - tarqaladigan Gauss,

${ displaystyle rho _ {t} (x) = {1 over { sqrt {2 pi t}}} e ^ {- x ^ {2} overt 2t} ~,}$

va, ning integralidan beri r_t kengligi kichik bo'lib toraygan holda doimiy bo'lib, bu funktsiya delta funktsiyasiga yaqinlashadi t=0,

${ displaystyle lim _ {t rightarrow 0} rho _ {t} (x) = delta (x) ,}$

yana faqat tarqatish ma'nosida, shunday qilib

${ displaystyle lim _ {t rightarrow 0} int _ {x} f (x) rho _ {t} (x) = f (0) ,}$

har qanday silliq uchun sinov funktsiyasi f.

Tarqalgan Gauss - diffuziya tenglamasining tarqalish yadrosi va u itoat etadi konversiya shaxsiyat,

${ displaystyle K_ {t + t '} = K_ {t} * K_ {t'} ,,}$

bu diffuziyani yo'lning integrali sifatida ifodalashga imkon beradi. Tarqatuvchisi operatorning eksponentidir H,

${ displaystyle K_ {t} (x) = e ^ {- tH} ,,}$

bu infinitesimal diffuziya operatori,

${ displaystyle H = - { nabla ^ {2} over 2} ,.}$

Matritsa ikkita indeksga ega, bu uzluksiz bo'shliqda uni funktsiyaga aylantiradi x va x'. Bunday holda, tarjima o'zgaruvchanligi sababli, matritsa elementi K faqat pozitsiyaning farqiga bog'liq va belgini qulay ravishda suiiste'mol qilish operatorga, matritsa elementlariga va xuddi shu nomdagi farqning funktsiyasiga murojaat qilishdir:

${ displaystyle K_ {t} (x, x ') = K_ {t} (x-x') ,.}$

Tarjima invariantligi doimiy matritsani ko'paytirish,

${ displaystyle C (x, x '') = int _ {x '} A (x, x') B (x ', x' ') ,,}$

aslida konvolyutsiyadir,

${ displaystyle C ( Delta) = C (x-x '') = int _ {x '} A (x-x') B (x'-x '') = int _ {y} A ( Delta -y) B (y) ,.}$

Ko'rsatkichni oralig'ida aniqlash mumkin tmurakkab yadrolarni o'z ichiga olgan s, agar ko'paytirish yadrosi bo'yicha integrallar yaqinlashadigan bo'lsa,

${ displaystyle K_ {z} (x) = e ^ {- zH} ,.}$

Ning haqiqiy qismi ekan z ning katta qiymatlari uchun ijobiy x, K eksponent ravishda kamayib boradi va integrallar tugaydi K haqiqatan ham mutlaqo yaqinlashuvchi.

Uchun bu ifodaning chegarasi z toza xayoliy o'qga yaqinlashish yuqoridagi Shredinger tarqaluvchisi,

${ displaystyle K_ {t} ^ { rm {Schr}} = K_ {it + epsilon} = e ^ {- (it + epsilon) H} ,,}$

Gausslarning yuqoridagi vaqt evolyutsiyasini aks ettiradi.

Eksponentlanishning asosiy identifikatoridan yoki yo'lni birlashtirishdan

${ displaystyle K_ {z} * K_ {z '} = K_ {z + z'} ,}$

barcha komplekslarga tegishli z qiymatlar, bu erda integrallar mutlaqo konvergent bo'lib, operatorlar aniq belgilangan.

Shunday qilib, murakkab diffuziya yadrosi bo'lgan Gaussning kvant evolyutsiyasi K,

${ displaystyle psi _ {0} (x) = K_ {a} (x) = K_ {a} * delta (x) ,}$

vaqt evolyutsiyasi holatiga,

${ displaystyle psi _ {t} = K_ {it} * K_ {a} = K_ {a + it} ,.}$

Bu murakkab Gauss eritmalarining yuqoridagi diffuziv shaklini,

${ displaystyle psi _ {t} (x) = {1 over { sqrt {2 pi (a + it)}}} e ^ {- {x ^ {2} over 2 (a + it) }} ,.}$

Shuningdek qarang

Izohlar

Izohlar

Adabiyotlar

• Eynshteyn, Albert (1905), "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (Nurni ishlab chiqarish va o'zgartirishga oid evristik nuqtai nazardan)" (PDF), Annalen der Physik, 17 (6): 132–148, Bibcode:1905AnP ... 322..132E, doi:10.1002 / va.19053220607 Bu annus mirabilis fotoelektr effekti to'g'risidagi qog'oz qabul qilindi Annalen der Physik 1905 yil 18-mart.
• Shiff, Leonard I. (1968), Kvant mexanikasi (uchinchi tahr.), London: McGraw-Hill
• Quvonch manbai (2000), Kvant fizikasi: kirish, CRC Press, 53-56 betlar, ISBN  978-0-7503-0720-8
• Pauli, Volfgang (2000), To'lqinlar mexanikasi: Pauli fizikasidan ma'ruzalarning 5-jildi, Fizika bo'yicha kitoblar, Dover nashrlari, ISBN  978-0486414621
• Abers, E .; Pearson, Ed (2004), Kvant mexanikasi, Addison Uesli, Prentice-Hall Inc., ISBN  978-0-13-146100-0
• Richard Fitspatrik, Tebranishlar va to'lqinlar
• Berri, M. V.; Balazs, N. L. (1979), "To'lqin paketlarini tarqatmaslik", Am J fizikasi, 47 (47): 264–267, Bibcode:1979 yil AmJPh..47..264B, doi:10.1119/1.11855
• Jekson, J. D. (1975), Klassik elektrodinamika (2-nashr), Nyu-York: John Wiley & Sons, Inc., ISBN  978-0-471-43132-9
• Feynman, R. P.; Xibbs, A. R. (1965), Kvant mexanikasi va yo'l integrallari, Nyu York: McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-020650-2 (Dover, 2010, ISBN  0-486-47722-3.)
• Uiler, Nikolay (2004), Gauss to'lqin paketining energetikasi

Tashqi havolalar

• Bilan bog'liq o'quv materiallari paketli to'lqin harakati Vikipediyada
• Ning lug'at ta'rifi to'lqinli paket Vikilug'atda
• Google-da 1d to'lqinlar to'plami
• Google-da 1d to'lqinli poezd va ehtimollik zichligi uchastkasi
• Google-da 2d to'lqinlar to'plami
• Google-da 2d to'lqinli poezd uchastkasi
• Google-da 2d ehtimollik zichligi uchastkasi
• 2D formatidagi to'lqin to'plamini simulyatsiya qilish (2D da FOURIER-Sintez bo'yicha)
• Kertright, T.L., Vaqtga bog'liq Wigner funktsiyalari
• Veb-Shödinger: Interaktiv 2D to'lqinli paket dinamikasi simulyatsiyasi