Dispersiya (suv to'lqinlari) - Dispersion (water waves) - Wikipedia

Yilda suyuqlik dinamikasi, tarqalish ning suv to'lqinlari odatda tegishli chastotali dispersiya, bu shuni anglatadiki to'lqinlar turli xil to'lqin uzunliklari boshqacha sayohat o'zgarishlar tezligi. Suv to'lqinlari, shu nuqtai nazardan, tarqaladigan to'lqinlardir suv yuzasi, bilan tortishish kuchi va sirt tarangligi sifatida tiklash kuchlari. Natijada, suv bilan erkin sirt odatda a deb hisoblanadi dispersiv vosita.

Suvning ma'lum bir chuqurligi uchun, sirt tortishish to'lqinlari - ya'ni havo-suv oralig'ida paydo bo'ladigan to'lqinlar va tortishish kuchi uni tekislikka qaytaradigan yagona kuch - ortishi bilan tez tarqaladi. to'lqin uzunligi. Boshqa tomondan, ma'lum (qat'iy) to'lqin uzunligi uchun chuqurroq suvdagi tortishish to'lqinlari kattaroqdir o'zgarishlar tezligi ga qaraganda sayozroq suv.^[1] Gravitatsiya to'lqinlarining xatti-harakatlaridan farqli o'laroq, kapillyar to'lqinlar (ya'ni faqat sirt tarangligi bilan majburlanadi) qisqa to'lqin uzunliklarida tezroq tarqaladi.

Suv to'lqinlari chastotali dispersiyadan tashqari amplituda dispersiyani ham namoyish etadi. Bu chiziqli emas katta to'lqinlar ta'siri amplituda kichik amplituda to'lqinlardan boshqacha faza tezligiga ega.

Yuzaki tortishish to'lqinlari uchun chastotalar dispersiyasi

Ushbu bo'lim tortishish kuchi bilan majbur qilingan suyuqlik qatlamidagi to'lqinlar uchun chastotali dispersiya va chiziqli nazariya bo'yicha. Uchun sirt tarangligi chastota dispersiyasiga ta'siri, qarang Airy to'lqinlari nazariyasida sirt tarangligi effektlari va kapillyar to'lqin.

To'lqinlarning tarqalishi va tarqalishi

Sinusoidal to'lqin.

Eng sodda tarqaladigan to'lqin o'zgarmas shakl a sinus to'lqin. Suv yuzasi bilan sinus to'lqin balandlik η (x, t) tomonidan berilgan:^[2]

${ displaystyle eta (x, t) = a sin left ( theta (x, t) right), ,}$

qayerda a bo'ladi amplituda (metrda) va θ = θ (x, t) fazaviy funktsiya (ichida radianlar ), gorizontal holatiga qarab (x , metr bilan) va vaqt (t , yilda soniya ):^[3]

${ displaystyle theta = 2 pi chap ({ frac {x} { lambda}} - { frac {t} {T}} right) = kx- omega t,}$ bilan ${ displaystyle k = { frac {2 pi} { lambda}}}$ va ${ displaystyle omega = { frac {2 pi} {T}},}$

qaerda:

• λ bo'ladi to'lqin uzunligi (metrda),
• T bo'ladi davr (soniyalarda),
• k bo'ladi gulchambar (metr boshiga radianlarda) va
• ω bo'ladi burchak chastotasi (soniyada radianlarda).

Suv to'lqinining xarakterli fazalari:

• noldan yuqoriga qarab o'tish b = 0,
• to'lqin tepalik da b =½ π,
• noldan pastga o'tish ph = π va
• to'lqin truba da b = 1 ½.

Muayyan bosqich an dan keyin takrorlanadi tamsayı m ning ko'pligi 2π: gunoh (θ) = gunoh (θ + m • 2π).

Suv to'lqinlari va boshqa to'lqin hodisalari uchun juda muhimdir fizika, nolga teng bo'lmagan amplituda erkin tarqaluvchi to'lqinlar faqat burchak chastotasi mavjud bo'lganda ω va bo'shliq k (yoki teng ravishda to'lqin uzunligi λ va davr T ) qondirmoq funktsional munosabatlar: chastota dispersiyasi munosabati^[4][5]

${ displaystyle omega ^ {2} = Omega ^ {2} (k). ,}$

Dispersiya munosabati ikkita echimga ega: ω = + Ω (k) va ω = −Ω (k), ijobiy yoki salbiy harakatlanadigan to'lqinlarga mos keladi x- yo'nalish. Dispersiya munosabati, umuman olganda, bo'shliqqa qo'shimcha ravishda yana bir nechta parametrlarga bog'liq bo'ladi k. Gravitatsiya to'lqinlari uchun, chiziqli nazariyaga ko'ra, bu tortishish kuchi bilan tezlashtirish g va suv chuqurligi h. Ushbu to'lqinlar uchun dispersiya munosabati:^[6][5]

an yashirin tenglama tanh bilan giperbolik tangens funktsiya.

Dastlabki to'lqin fazasi ph = θ₀ sifatida tarqaladi makon va vaqtning funktsiyasi. Uning keyingi pozitsiyasi:

${ displaystyle x = { frac { lambda} {T}} , t + { frac { lambda} {2 pi}} , theta _ {0} = { frac { omega} {k }} , t + { frac { theta _ {0}} {k}}.}$

Bu fazaning tezlik bilan harakatlanishini ko'rsatadi:^[2]

${ displaystyle c_ {p} = { frac { lambda} {T}} = { frac { omega} {k}} = { frac { Omega (k)} {k}},}$

bu fazaviy tezlik deb ataladi.

Faza tezligi

Suyuqlik yuzasida tortishish to'lqinlarining tarqalishi. Faza va guruh tezligi sayoz suv fazasi tezligiga bo'linadi √gh nisbiy chuqurlik funktsiyasi sifatida h / λ. Moviy chiziqlar (A): o'zgarishlar tezligi; Qizil chiziqlar (B): guruh tezligi; Qora chiziqli chiziq (C): faza va guruh tezligi √gh sayoz suvda amal qiladi. Chizilgan chiziqlar: dispersiya munosabati ixtiyoriy chuqurlikda amal qiladi. Kesilgan chiziqlar (ko'k va qizil): chuqur suv chegaralari.

Suyuqlik yuzasida tortishish to'lqinlarining tarqalishi. Faza va guruh tezligi chuqur suv fazasi tezligiga bo'linadi √gλ / (2π) nisbiy chuqurlik funktsiyasi sifatida h / λ. Moviy chiziqlar (A): o'zgarishlar tezligi; Qizil chiziqlar (B): guruh tezligi; Qora chiziqli chiziq (C): faza va guruh tezligi √gh sayoz suvda amal qiladi. Chizilgan chiziqlar: dispersiya munosabati ixtiyoriy chuqurlikda amal qiladi. Kesilgan chiziqlar (ko'k va qizil): chuqur suv chegaralari.

A sinusoidal to'lqin, kichik sirt balandligi amplituda va doimiy bilan to'lqin uzunligi, bilan tarqaladi o'zgarishlar tezligi, shuningdek, tezlashuv yoki o'zgarishlar tezligi deb ataladi. Faza tezligi vektor bo'lib, u bilan bog'liq yo'nalishga ega bo'lsa, tezlik yoki o'zgarishlar tezligi faqat fazalar tezligining kattaligiga ishora qiladi. Tortish kuchi ta'sirida to'lqinlar uchun chiziqli nazariyaga ko'ra, fazalar tezligi to'lqin uzunligiga va suv chuqurligiga bog'liq. Belgilangan suv chuqurligi uchun uzun to'lqinlar (katta to'lqin uzunligi bilan) qisqa to'lqinlardan tezroq tarqaladi.

Chapdagi rasmda buni ko'rish mumkin sayoz suv to'lqin uzunligi bilan to'lqinlar λ suv chuqurligidan ancha katta h, fazaviy tezlik bilan harakatlaning^[2]

${ displaystyle c_ {p} = { sqrt {gh}} qquad scriptstyle { text {(sayoz suv),}} ,}$

bilan g The tortishish kuchi bilan tezlashtirish va v_p o'zgarishlar tezligi. Ushbu sayoz suv fazasi tezligi to'lqin uzunligidan mustaqil bo'lganligi sababli, sayoz suv to'lqinlarida chastota dispersiyasi bo'lmaydi.

Xuddi shu chastotali dispersiya munosabati uchun boshqa normallashtirishdan foydalanib, o'ngdagi rasm sobit to'lqin uzunligi uchun buni ko'rsatadi λ o'zgarishlar tezligi v_p suv chuqurligining oshishi bilan ortadi.^[1] Qachongacha, suv chuqurligi bilan chuqur suvda h to'lqin uzunligining yarmidan kattaroq λ (shuning uchun h / λ> 0,5), fazaviy tezlik v_p suv chuqurligidan mustaqil:^[2]

${ displaystyle c_ {p} = { sqrt { frac {g lambda} {2 pi}}} = { frac {g} {2 pi}} T qquad scriptstyle { text {(chuqur suv),}}}$

bilan T to'lqin davr (the o'zaro ning chastota f, T = 1 / f ). Shunday qilib, chuqur suvda fazalar tezligi to'lqin uzunligiga va davrga qarab ortadi.

Faza tezligi qondirganligi sababli v_p = λ / T = λf, to'lqin uzunligi va davri (yoki chastotasi) bog'liqdir. Masalan, chuqur suvda:

${ displaystyle lambda = { frac {g} {2 pi}} T ^ {2} qquad scriptstyle { text {(chuqur suv).}}}$

O'rta chuqurlik uchun tarqalish xususiyatlari quyida keltirilgan.

Guruh tezligi

Chastotani tarqalishi ikki rangli guruhlari tortishish to'lqinlari chuqur suv yuzasida. Qizil kvadrat. Bilan harakatlanadi o'zgarishlar tezligi va yashil doiralar guruh tezligi bilan tarqaladi.

Ko'proq ...

Ushbu chuqur suv holatida faza tezligi guruh tezligidan ikki baravar ko'pdir. Shakl chapdan o'ngga harakatlanayotganda qizil kvadrat ikkita yashil doirani bosib o'tadi. To'lqinlar guruhining orqa qismida yangi to'lqinlar paydo bo'lib, ular guruhning markazida bo'lgunga qadar amplituda o'sib boradi va to'lqin guruhining old qismida yo'q bo'lib ketadi. Gravitatsiyaviy sirt to'lqinlari uchun suv zarralari tezligi, ko'p hollarda, faza tezligidan ancha kichikdir.

Shovqin to'lqin uzunliklari biroz farq qiladigan, lekin bir xil bo'lgan ikkita sinusoidal to'lqinning amplituda va tarqalish yo'nalishi, natijada a urish naqshlari, to'lqin guruhi deb nomlangan. Animatsiyadan ko'rinib turibdiki, guruh guruh tezligi bilan harakat qiladi v_g o'zgarishlar tezligidan farq qiladi v_p, chastota dispersiyasi tufayli.

Guruh tezligi qizil chiziqlar bilan tasvirlangan (belgilangan B) yuqoridagi ikkita rasmda. Sayoz suvda guruh tezligi sayoz suv fazasi tezligiga teng. Buning sababi shundaki, sayoz suv to'lqinlari dispersiv emas. Chuqur suvda guruh tezligi faza tezligining yarmiga teng: v_g = ½ c_p.^[7]

Guruh tezligi energiya tashish tezligiga ham aylanadi. Bu o'rtacha to'lqin energiyasini a ichida gorizontal ravishda tashish tezligi tor tarmoqli to'lqin maydoni.^[8][9]

Guruh tezligi o'zgarishlar tezligidan farq qiladigan bo'lsa, natijada to'lqin guruhida hisoblangan to'lqinlar soni ma'lum bir daqiqada kosmosdagi rasmdan, o'lchovli sirt balandligidan vaqt ichida hisoblanganda farq qiladi. belgilangan holatda. Uzunlikning to'lqinli guruhini ko'rib chiqing Λ_g va guruh davomiyligi τ_g. Guruh tezligi:^[10]

${ displaystyle c_ {g} = { frac { Lambda _ {g}} { tau _ {g}}}.}$

Bir lahzada (yuqori ko'k chiziq) kosmosda kuzatilganidek, bir guruhdagi to'lqinlar soni, chastotalar dispersiyasi tufayli, belgilangan holatda (pastki to'q sariq chiziqda) ko'rilgan guruhdagi to'lqinlar sonidan farq qiladi.

Ko'proq ...
Ko'rsatilgan holat uchun, chuqur suv yuzasida tortishish to'lqinlarining bixromatik guruhi, guruh tezligi faza tezligining yarmiga teng. Ushbu misolda 5 mavjud3⁄4 kosmosdagi ikkita to'lqin guruh tugunlari orasidagi to'lqinlar, 11 bo'lsa1⁄2 vaqt ichida ikkita to'lqin guruhi tugunlari orasidagi to'lqinlar.

Shimoliy Tinch okeani bo'ron to'lqinlari NOAA M / V Noble Star, 1989 yil qish.

Ma'lum bir vaqtda kosmosda o'lchangan to'lqin guruhidagi to'lqinlar soni: Λ_g / λ. Vaqt bo'yicha belgilangan joyda o'lchangan holda, guruhdagi to'lqinlar soni: τ_g / T. Shunday qilib, kosmosda o'lchangan to'lqinlar sonining vaqt o'lchoviga nisbati:

${ displaystyle { tfrac { text {Yo'q. kosmosdagi to'lqinlar}} { text {Yo'q. vaqt ichida to'lqinlar}}} = { frac { Lambda _ {g} / lambda} { tau _ {g} / T}} = { frac { Lambda _ {g}} { tau _ { g}}} cdot { frac {T} { lambda}} = { frac {c_ {g}} {c_ {p}}}.}$

Shunday qilib, chuqur suvda, bilan v_g = ½ c_p,^[11] to'lqinlar guruhi vaqt ichida kosmosga qaraganda ikki baravar ko'p to'lqinlarga ega.^[12]

Suv sathining balandligi η (x, t), gorizontal holat funktsiyasi sifatida x va vaqt t, uchun ikki rangli to'lqinlar guruhi modulyatsiya bolishi mumkin matematik jihatdan quyidagicha tuzilgan:^[11]

${ displaystyle eta = a , sin chap (k_ {1} x- omega _ {1} t right) + a , sin chap (k_ {2} x- omega _ {2 } t o'ng),}$

bilan:

• a to'lqin amplituda metrdagi har bir chastota komponentining,
• k₁ va k₂ The to'lqin raqami har bir to'lqin komponentining, har bir metr uchun radianda va
• ω₁ va ω₂ The burchak chastotasi har bir to'lqin komponentining sekundiga radianlarda.

Ikkalasi ham ω₁ va k₁, shu qatorda; shu bilan birga ω₂ va k₂, dispersiya munosabatini qondirishi kerak:

${ displaystyle omega _ {1} ^ {2} = Omega ^ {2} (k_ {1}) ,}$ va ${ displaystyle omega _ {2} ^ {2} = Omega ^ {2} (k_ {2}). ,}$

Foydalanish trigonometrik identifikatorlar, sirt balandligi quyidagicha yozilgan:^[10]

${ displaystyle eta = chap [2 , a , cos chap ({ frac {k_ {1} -k_ {2}} {2}} x - { frac { omega _ {1} - omega _ {2}} {2}} t o'ng) o'ng] ; cdot ; sin chap ({ frac {k_ {1} + k_ {2}} {2}} x- { frac { omega _ {1} + omega _ {2}} {2}} t right).}$

To'rtburchak qavslar orasidagi qism guruhning asta-sekin o'zgarib turadigan amplitudasi bo'lib, guruh to'lqinlari soniga ega ½ (k₁ - k₂ ) va guruh chastotasi ½ (ω.)₁ - ω₂ ). Natijada, guruh tezligi chegara uchun k₁ → k₂ :^[10][11]

${ displaystyle c_ {g} = lim _ {k_ {1} , to , k_ {2}} { frac { omega _ {1} - omega _ {2}} {k_ {1} -k_ {2}}} = lim _ {k_ {1} , to , k_ {2}} { frac { Omega (k_ {1}) - Omega (k_ {2})}} k_ {1} -k_ {2}}} = { frac {{ text {d}} Omega (k)} {{ text {d}} k}}.}$

To'lqin guruhlarini faqat tor chiziqli signal bo'lsa, to'lqin-sonlar farqi bilan aniqlash mumkin k₁ - k₂ o'rtacha to'lqin raqamiga nisbatan kichik ½ (k₁ + k₂).

Ko'p komponentli to'lqin naqshlari

Chastotani tarqalishi sirt tortishish to'lqinlari chuqur suv ustida. The superpozitsiya uchta sinusoidal to'lqin komponentining (quyuq ko'k chiziq) (ochiq ko'k chiziqlar) ko'rsatilgan.

Ko'proq ...

Uchta komponent uchun navbati bilan 22 (pastki), 25 (o'rta) va 29 (yuqori) to'lqin uzunliklari 2000 metr uzunlikdagi gorizontal domenga mos keladi. Eng qisqa to'lqin uzunligiga ega komponent (yuqori) eng sekin tarqaladi. To'lqin amplitudalar komponentlarning navbati 1, 2 va 1 metrni tashkil qiladi. To'lqin uzunligidagi farqlar va o'zgarishlar tezligi komponentlarning o'zgaruvchan naqshiga olib keladi to'lqinli guruhlar, komponentlar fazada bo'lgan amplifikatsiya va anti-fazada kamayish tufayli.

Chastotani dispersiyasining ta'siri shundaki, to'lqinlar to'lqin uzunligining funktsiyasi sifatida tarqaladi, shuning uchun tarqaladigan to'lqinning fazoviy va vaqtinchalik fazoviy xususiyatlari doimiy ravishda o'zgarib turadi. Masalan, tortishish kuchi ta'sirida suv uzunroq to'lqinlar bilan to'lqinlanadi to'lqin uzunligi qisqa to'lqin uzunligiga qaraganda tezroq sayohat qiling.

Bikromatik to'lqin deb nomlangan ikkita sinusoidal to'lqin anga ega konvert o'zgarmagan holda harakatlanadigan uch yoki undan ortiq sinusoidal to'lqin tarkibiy qismlari to'lqinlar va ularning konvertlari o'zgaruvchan naqshini keltirib chiqaradi. A dengiz davlati - ya'ni: dengizdagi yoki okeandagi haqiqiy to'lqinlar - turli to'lqin uzunliklari, amplitudalari, boshlang'ich fazalari va tarqalish yo'nalishlariga ega bo'lgan ko'plab sinusoidal to'lqinlarning superpozitsiyasi sifatida tavsiflanishi mumkin. Ushbu tarkibiy qismlarning har biri dispersiya munosabatlariga muvofiq o'z fazaviy tezligi bilan harakatlanadi. The statistika bunday sirtni uning tomonidan tasvirlash mumkin quvvat spektri.^[13]

Dispersiya munosabati

Quyidagi jadvalda dispersiya munosabati ω² = [Ω (k)]² burchak chastotasi o'rtasida ph = 2π / T va to'lqin raqami k = 2π / λ faza va guruh tezligi bilan bir qatorda berilgan.^[10]

Gravitatsiya to'lqinlarining chuqur suv sathida, sayoz suvda va oraliq chuqurlikda chastotali dispersiyasi, chiziqli to'lqinlar nazariyasi
miqdor	belgi	birliklar	chuqur suv ( h > ½ λ )	sayoz suv ( h < 0.05 λ )	oraliq chuqurlik (barchasi λ va h )
dispersiya munosabati	${ displaystyle displaystyle Omega (k)}$	rad / s	${ displaystyle { sqrt {gk}} = { sqrt { frac {2 pi , g} { lambda}}}}}$	${ displaystyle k { sqrt {gh}} = { frac {2 pi} { lambda}} { sqrt {gh}}}$	${ displaystyle { begin {aligned} & { sqrt {gk , tanh left (kh right)}} , [1.2ex] & = { sqrt {{ frac {2 pi g } { lambda}} tanh chap ({ frac {2 pi h} { lambda}} o'ng)}} , end {aligned}}}$
o'zgarishlar tezligi	${ displaystyle displaystyle c_ {p} = { frac { lambda} {T}} = { frac { omega} {k}}}$	Xonim	${ displaystyle { sqrt { frac {g} {k}}} = { frac {g} { omega}} = { frac {g} {2 pi}} T}$	${ displaystyle { sqrt {gh}}}$	${ displaystyle { sqrt {{ frac {g} {k}} tanh chap (kh o'ng)}}}$
guruh tezligi	${ displaystyle displaystyle c_ {g} = { frac { kısalt Omega} { qismli k}}}$	Xonim	${ displaystyle { frac {1} {2}} { sqrt { frac {g} {k}}} = { frac {1} {2}} { frac {g} { omega}} = { frac {g} {4 pi}} T}$	${ displaystyle { sqrt {gh}}}$	${ displaystyle { frac {1} {2}} c_ {p} chap (1 + { frac {2kh} { sinh chap (2kh o'ng)}} o'ng)}$
nisbat	${ displaystyle displaystyle { frac {c_ {g}} {c_ {p}}}}$	-	${ displaystyle displaystyle { frac {1} {2}}}$	${ displaystyle displaystyle 1}$	${ displaystyle { frac {1} {2}} chap (1 + { frac {2kh} { sinh left (2kh right)}} right)}$
to'lqin uzunligi	${ displaystyle displaystyle lambda}$	m	${ displaystyle { frac {g} {2 pi}} T ^ {2}}$	${ displaystyle T { sqrt {gh}}}$	berilgan davr uchun T, echimi:   ${ displaystyle displaystyle chap ({ frac {2 pi} {T}} o'ng) ^ {2} = { frac {2 pi g} { lambda}} tanh left ({ frac {2 pi h} { lambda}} o'ng)}$

Chuqur suv yarmidan kattaroq suv chuqurliklariga to'g'ri keladi to'lqin uzunligi, bu okeandagi odatiy holat. Chuqur suvda uzoqroq to'lqinlar tez tarqaladi va energiyasini tezroq tashiydi. Chuqur suv guruhi tezligi yarimga teng o'zgarishlar tezligi. Yilda sayoz suv, suvning yigirma baravaridan kattaroq to'lqin uzunliklari uchun,^[14] ko'pincha qirg'oq yaqinida topilganidek, guruh tezligi fazaviy tezlikka teng.

Tarix

To'liq chiziqli dispersiya munosabati birinchi tomonidan topilgan Per-Simon Laplas Biroq, uning chiziqli to'lqin muammosini hal qilishda ba'zi xatolar bo'lgan bo'lsa ham, chiziqli suv to'lqinlari uchun to'liq nazariya, shu jumladan dispersiyani keltirib chiqardi. Jorj Biddell Ayri va taxminan 1840 yilda nashr etilgan. Xuddi shunday tenglama ham tomonidan topilgan Filipp Kelland bir vaqtning o'zida (lekin to'lqin nazariyasini keltirib chiqarishda ba'zi xatolarga yo'l qo'ygan).^[15]

Sayoz suv (kichik bilan h / λ) chegara, ω² = gh k², tomonidan olingan Jozef Lui Lagranj.

Yuzaki kuchlanish effektlari

Gravitatsiya-kapillyar to'lqinlarning chuqur suv sathida tarqalishi. Faza va guruh tezligi ${ displaystyle scriptstyle { sqrt [{4}] {g sigma / rho}}}$ teskari nisbiy to'lqin uzunligining funktsiyasi sifatida ${ displaystyle scriptstyle { frac {1} { lambda}} { sqrt { sigma / ( rho g)}}}$.
Moviy chiziqlar (A): faza tezligi, Qizil chiziqlar (B): guruh tezligi.
Chizilgan chiziqlar: tortishish-kapillyar to'lqinlar uchun dispersiya munosabati.
Kesilgan chiziqlar: chuqurlikdagi tortishish to'lqinlari uchun dispersiya munosabati.
Chiziqli nuqta chiziqlari: dispersiya munosabati chuqur suv kapillyar to'lqinlari uchun amal qiladi.

Gravitatsiya holatida - kapillyar to'lqinlar, qaerda sirt tarangligi to'lqinlarga ta'sir qiladi, dispersiya munosabati quyidagicha bo'ladi.^[5]

${ displaystyle omega ^ {2} = chap (gk + { frac { sigma} { rho}} k ^ {3} right) tanh (kh),}$

bilan σ sirt tarangligi (N / m bilan).

Suv-havo interfeysi uchun (bilan σ = 0,074 N / m va r = 1000 kg / m³) to'lqinlarni sof kapillyar to'lqinlar kabi taxmin qilish mumkin - asosan sirt tarangligi ta'sirida - uchun to'lqin uzunliklari 0,4 sm dan kam (0,2 dyuym). 7 sm dan yuqori to'lqin uzunliklarida (3 dyuym) toza to'lqinlar toza bo'ladi sirt tortishish to'lqinlari juda kam sirt taranglik effektlari bilan.^[16]

Yuzlararo to'lqinlar

Ikki qatlam orasidagi interfeysda to'lqin harakati noaniq gorizontal qat'iy chegaralar (yuqori va pastda) o'rtasida chegaralangan har xil zichlikdagi bir hil suyuqliklar. Harakat tortishish kuchi bilan majburlanadi. Yuqori qatlam o'rtacha chuqurlikka ega h ‘ va zichlik r ‘, pastki qatlam esa o'rtacha chuqurlikka ega h va zichlik r. To'lqin amplitudasi a, to'lqin uzunligi bilan belgilanadi λ.

O'rtacha qalinlikdagi suyuqliklarning bir hil qatlamlari uchun h interfeysi ostida va h ′ yuqorida - tortishish kuchi ta'sirida va yuqorida va pastda gorizontal qattiq devorlar bilan chegaralangan - dispersiya munosabati ω² = Ω²(k) tortishish to'lqinlari uchun quyidagilar taqdim etiladi:^[17]

${ displaystyle Omega ^ {2} (k) = { frac {g , k ( rho - rho ')} { rho , coth (kh) + rho' , coth (kh ')}},}$

yana qayerda r va r ′ interfeys ostidagi va yuqorisidagi zichlik, coth esa giperbolik kotangens funktsiya. Ish uchun r ′ nolga teng bo'lsa, bu cheksiz chuqurlikdagi suvdagi sirt tortishish to'lqinlarining dispersiyalash munosabatini kamaytiradi h.

Ikki suyuqlik qatlamining chuqurligi juda katta bo'lganda (h→∞, h ′→ ∞), yuqoridagi formuladagi giperbolik kotangenslar bitta qiymatiga yaqinlashadi. Keyin:

${ displaystyle Omega ^ {2} (k) = { frac { rho - rho '} { rho + rho'}} , g , k.}$

Lineer bo'lmagan ta'sirlar

Sayoz suv

Masalan, amplituda dispersiya effektlari paydo bo'ladi yolg'iz to'lqin: gorizontal karavotli sayoz suvda doimiy tezlikda harakatlanadigan bitta tog 'suvi. E'tibor bering, yakka to'lqinlarsolitonlar, lekin aniq emas - ikkita (to'qnashadigan yoki bosib o'tgan) yagona to'lqinlarning o'zaro ta'siridan keyin ular biroz o'zgardi amplituda va tebranuvchi qoldiq ortda qoladi.^[18] Ning yagona solitonli eritmasi Korteweg – de Fris tenglamasi, to'lqin balandligi H suv chuqurligida h to'lqin cho'qqisidan uzoqda, tezlik bilan sayohat qiladi:

${ displaystyle c_ {p} = c_ {g} = { sqrt {g (h + H)}}.}$

Shunday qilib, bu chiziqli bo'lmagan tortishish to'lqini uchun bu to'lqin tepaligi ostidagi suvning umumiy chuqurligi tezlikni aniqlaydi, yuqori to'lqinlar quyi to'lqinlarga qaraganda tezroq harakatlanadi. Yagona to'lqinli echimlar faqat ijobiy qiymatlari uchun mavjudligiga e'tibor bering H, depressiyaning yakka tortish kuchi to'lqinlari mavjud emas.

Chuqur suv

To'lqin amplitudasi ta'sir qilmagan chiziqli dispersiya munosabati chiziqli bo'lmagan to'lqinlar uchun ham, ikkinchi tartibda to'g'ri keladi bezovtalanish nazariyasi to'lqinning keskinligi bo'yicha buyurtmalar bilan kengayish k a (qayerda a to'lqin amplituda ). Uchinchi darajaga va chuqur suv uchun dispersiya munosabati^[19]

${ displaystyle omega ^ {2} = gk chap [1+ (ka) ^ {2} right],}$   shunday   ${ displaystyle c_ {p} = { sqrt { frac {g} {k}}} , left [1 + { tfrac {1} {2}} , (ka) ^ {2} right ] + { mathcal {O}} chap ((ka) ^ {4} o'ng).}$

Bu shuni anglatadiki, katta to'lqinlar bir xil chastotali kichiklarga qaraganda tezroq harakatlanadi. Bu faqat to'lqin tikligi bilan seziladi k a katta.

O'rtacha oqimdagi to'lqinlar: Dopler almashinuvi

O'rtacha oqimdagi suv to'lqinlari (shuning uchun harakatlanuvchi muhitdagi to'lqin) a Dopler almashinuvi. Harakatsiz muhit uchun dispersiya munosabati quyidagicha:

${ displaystyle omega ^ {2} = Omega ^ {2} (k), ,}$

bilan k chilparchin. Keyin o'rtacha bo'lgan vosita uchun tezlik vektor V, Dopler smenasi bilan dispersiya munosabati quyidagicha bo'ladi.^[20]

${ displaystyle left ( omega - mathbf {k} cdot mathbf {V} right) ^ {2} = Omega ^ {2} (k),}$

qayerda k bilan bog'liq bo'lgan to'lqinli vektor k kabi: k = |k|. The nuqta mahsuloti k•V ga teng: k•V = kV cos a, bilan V o'rtacha tezlik vektorining uzunligi V: V = |V|. Va a to'lqin tarqalish yo'nalishi va o'rtacha oqim yo'nalishi o'rtasidagi burchak. Xuddi shu yo'nalishdagi to'lqinlar va oqim uchun, k•V=kV.

Shuningdek qarang

Dispersiyaga oid boshqa maqolalar

• Dispersiv qisman differentsial tenglama
• Kapillyar to'lqin

Dispersiv suv to'lqinlari modellari

• Havo to'lqinlari nazariyasi
• Benjamin - Bona - Maaxoni tenglamasi
• Bussinesqga yaqinlashish (suv to'lqinlari)
• Knoidal to'lqin
• Kamassa-Xolm tenglamasi
• Deyvi - Styuartson tenglamasi
• Kadomtsev-Petviashvili tenglamasi (shuningdek, KP tenglamasi deb ham ataladi)
• Korteweg – de Fris tenglamasi (KdV tenglamasi deb ham ataladi)
• Luqoning variatsion printsipi
• Lineer bo'lmagan Shredinger tenglamasi
• Sayoz suv tenglamalari
• Stoksning to'lqinlar nazariyasi
• Troxoidal to'lqin
• To'lqin turbulentligi
• Whitham tenglamasi

Izohlar

Adabiyotlar

Tashqi havolalar

• Dispersiv to'lqinlarning matematik jihatlari muhokama qilinadi Tarqoq Wiki.