Og'irligi funktsiyasi - Weight function

A vazn funktsiyasi yig'indisini, integralini yoki o'rtacha qiymatini bajarishda ba'zi elementlarga bir xil to'plamdagi boshqa elementlarga qaraganda ko'proq "og'irlik" yoki natijaga ta'sir qilish uchun ishlatiladigan matematik qurilma. Og'irlik funktsiyasini ushbu qo'llash natijasida a tortilgan summa yoki o'rtacha vazn. Og'irlik funktsiyalari tez-tez uchraydi statistika va tahlil, va a tushunchasi bilan chambarchas bog'liq o'lchov. Og'irlik funktsiyalari diskret va doimiy ravishda ishlatilishi mumkin. Ular yordamida "vaznli hisob" deb nomlangan hisob-kitob tizimlarini qurish mumkin^[1] va "meta-hisob".^[2]

Alohida og'irliklar

Umumiy ta'rif

Diskret sozlamada og'irlik funktsiyasi ${ displaystyle scriptstyle w colon A to { mathbb {R}} ^ {+}}$ a-da aniqlangan ijobiy funktsiya diskret o'rnatilgan ${ displaystyle A}$ , odatda bu cheklangan yoki hisoblanadigan. Og'irlik funktsiyasi ${ displaystyle w (a): = 1}$ ga mos keladi vaznsiz barcha elementlarning og'irligi teng bo'lgan holat. Keyinchalik bu vaznni turli xil tushunchalarga qo'llash mumkin.

Agar funktsiya bo'lsa ${ displaystyle scriptstyle f colon A to { mathbb {R}}}$ a haqiqiy - baholangan funktsiya, keyin vaznsiz sum ning ${ displaystyle f}$ kuni ${ displaystyle A}$ sifatida belgilanadi

{ displaystyle sum _ {a in A} f (a);}

lekin berilgan vazn funktsiyasi ${ displaystyle scriptstyle w colon A to { mathbb {R}} ^ {+}}$ , tortilgan summa yoki konusning kombinatsiyasi sifatida belgilanadi

{ displaystyle sum _ {a in A} f (a) w (a).}

O'lchangan summalarning umumiy qo'llanilishidan biri paydo bo'ladi raqamli integratsiya.

Agar B a cheklangan pastki qismi A, vaznsizlarni almashtirish mumkin kardinallik | B | ning B tomonidan vaznli kardinallik

{ displaystyle sum _ {a in B} w (a).}

Agar A a cheklangan bo'sh bo'lmagan to'plam, vaznsizlarni almashtirish mumkin anglatadi yoki o'rtacha

{ displaystyle { frac {1} {| A |}} sum _ {a in A} f (a)}

tomonidan o'rtacha og'irlik yoki o'rtacha vazn

{ displaystyle { frac { sum _ {a in A} f (a) w (a)} { sum _ {a in A} w (a)}}.}

Bu holda faqat nisbiy og'irliklar dolzarbdir.

Statistika

Odatda vaznli vositalar ishlatiladi statistika mavjudligini qoplash uchun tarafkashlik. Miqdor uchun ${ displaystyle f}$ bir nechta mustaqil vaqtni o'lchagan ${ displaystyle f_ {i}}$ bilan dispersiya ${ displaystyle scriptstyle sigma _ {i} ^ {2}}$ , signalning eng yaxshi bahosi barcha o'lchovlarni og'irlik bilan o'rtacha hisoblash yo'li bilan olinadi ${ displaystyle scriptstyle w_ {i} = { frac {1} { sigma _ {i} ^ {2}}}}$ va natijada paydo bo'lgan dispersiya har bir mustaqil o'lchovdan kichikroq ${ displaystyle scriptstyle sigma ^ {2} = 1 / sum w_ {i}}$ . The maksimal ehtimollik usul og'irliklari bir xil og'irliklardan foydalangan holda ma'lumotlar va ma'lumotlar orasidagi farqni tortadi ${ displaystyle w_ {i}}$ .

The kutilayotgan qiymat tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarining o'rtacha og'irligi, og'irliklari esa mos keladi ehtimolliklar. Umuman olganda, tasodifiy o'zgaruvchining funktsiyasining kutilgan qiymati funktsiya tasodifiy o'zgaruvchining har bir mumkin bo'lgan qiymati uchun oladigan qiymatlarning o'rtacha ehtimolligi hisoblanadi.

Yilda regressiyalar unda qaram o'zgaruvchi ning joriy va kechiktirilgan (o'tgan) qiymatlari ta'sir qiladi deb taxmin qilinadi mustaqil o'zgaruvchi, a taqsimlangan kechikish funktsiyasi taxmin qilinmoqda, bu funktsiya joriy va har xil kechiktirilgan mustaqil o'zgaruvchan qiymatlarning o'rtacha og'irligi. Xuddi shunday, a harakatlanuvchi o'rtacha model rivojlanayotgan o'zgaruvchini tasodifiy o'zgaruvchining joriy va har xil kechiktirilgan qiymatlarining o'rtacha o'rtacha qiymati sifatida belgilaydi.

Mexanika

Terminologiya vazn funktsiyasi kelib chiqadi mexanika: agar kimdir kollektsiyasiga ega bo'lsa ${ displaystyle n}$ ob'ektlar a qo'l, og'irliklar bilan ${ displaystyle scriptstyle w_ {1}, ldots, w_ {n}}$ (qayerda vazn Endi jismoniy ma'noda talqin etiladi) va joylar: ${ displaystyle scriptstyle { boldsymbol {x}} _ {1}, dotsc, { boldsymbol {x}} _ {n}}$ , u holda qo'l muvozanatda bo'ladi, agar tayanch nuqtasi ushlagichi massa markazi

{ displaystyle { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} { boldsymbol {x}} _ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ { i}}},}

bu shuningdek pozitsiyalarning o'rtacha og'irligi ${ displaystyle scriptstyle { boldsymbol {x}} _ {i}}$ .

Doimiy og'irliklar

Doimiy ravishda vazn ijobiy hisoblanadi o'lchov kabi ${ displaystyle w (x) , dx}$ ba'zilarida domen ${ displaystyle Omega}$ , bu odatda a kichik to'plam a Evklid fazosi ${ displaystyle scriptstyle { mathbb {R}} ^ {n}}$ , masalan; misol uchun ${ displaystyle Omega}$ bo'lishi mumkin oraliq ${ displaystyle [a, b]}$ . Bu yerda ${ displaystyle dx}$ bu Lebesg o'lchovi va ${ displaystyle scriptstyle w colon Omega to mathbb {R} ^ {+}}$ manfiy emas o'lchovli funktsiya. Shu nuqtai nazardan, vazn funktsiyasi ${ displaystyle w (x)}$ ba'zan a deb nomlanadi zichlik.

Umumiy ta'rif

Agar ${ displaystyle f colon Omega to { mathbb {R}}}$ a haqiqiy - baholangan funktsiya, keyin vaznsiz ajralmas

{ displaystyle int _ { Omega} f (x) dx}

ga umumlashtirilishi mumkin vaznli integral

{ displaystyle int _ { Omega} f (x) w (x) , dx}

Shuni talab qilish kerak bo'lishi mumkinligiga e'tibor bering ${ displaystyle f}$ bolmoq mutlaqo integral vaznga nisbatan ${ displaystyle w (x) , dx}$ bu integral sonli bo'lishi uchun.

O'lchangan hajm

Agar E ning pastki qismi ${ displaystyle Omega}$ , keyin hajmi vol (E) ning E ga umumlashtirilishi mumkin tortilgan hajm

{ displaystyle int _ {E} w (x) dx,}

O'rtacha vazn

Agar ${ displaystyle Omega}$ cheklangan nolga teng bo'lmagan tortilgan hajmga ega bo'lsa, unda biz vaznsizlarni almashtirishimiz mumkin o'rtacha

{ displaystyle { frac {1} { mathrm {vol} ( Omega)}} int _ { Omega} f (x) dx}

tomonidan o'rtacha vazn

{ displaystyle { frac { int _ { Omega} f (x) w (x) dx} { int _ { Omega} w (x) dx}}}

Ikki chiziqli shakl

Agar ${ displaystyle f colon Omega to { mathbb {R}}}$ va ${ displaystyle g colon Omega to { mathbb {R}}}$ ikkita funktsiya, ulardan biri vaznsizlarni umumlashtirishi mumkin bilinear shakl

{ displaystyle langle f, g rangle: = int _ { Omega} f (x) g (x) dx}

vaznli bilinear shaklga

{ displaystyle langle f, g rangle: = int _ { Omega} f (x) g (x) w (x) dx.}

Yozuvni ko'ring ortogonal polinomlar vaznli misollar uchun ortogonal funktsiyalar.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ Jeyn Grossman, Maykl Grossman, Robert Kats. Og'ir vaznli differentsial va integral hisoblashning birinchi tizimlari, ISBN 0-9771170-1-4, 1980.
^ Jeyn Grossman.Meta-hisob: Differentsial va integral, ISBN 0-9771170-2-2, 1981.

[1] Jeyn Grossman, Maykl Grossman, Robert Kats. Og'ir vaznli differentsial va integral hisoblashning birinchi tizimlari, ISBN 0-9771170-1-4, 1980.

[2] Jeyn Grossman.Meta-hisob: Differentsial va integral, ISBN 0-9771170-2-2, 1981.

[1]

[2]