Koshis integral teoremasi - Cauchys integral theorem - Wikipedia

Matematik tahlil → Kompleks tahlil
Kompleks tahlil
Murakkab raqamlar
Haqiqiy raqam Xayoliy raqam Murakkab tekislik Murakkab konjugat Birlik kompleks raqami
Murakkab funktsiyalar
Kompleks qiymatli funktsiya Analitik funktsiya Holomorfik funktsiya Koshi-Riman tenglamalari Rasmiy quvvat seriyalari
Asosiy nazariya
Nol va qutblar Koshining integral teoremasi Mahalliy ibtidoiy Koshining integral formulasi Sariq raqami Loran seriyasi Izolyatsiya qilingan o'ziga xoslik Qoldiq teoremasi Konformal xarita Shvarts lemma Harmonik funktsiya Laplas tenglamasi
Geometrik funktsiyalar nazariyasi
Odamlar
Avgustin-Lui Koshi Leonhard Eyler Karl Fridrix Gauss Jak Hadamard Kiyoshi Oka Bernxard Riman Karl Vaystrass
Matematik portal

Yilda matematika, Koshi integral teoremasi (shuningdek,. nomi bilan ham tanilgan Koshi-Gursat teoremasi) ichida kompleks tahlil nomi bilan nomlangan Avgustin-Lui Koshi (va Eduard Gursat ), haqida muhim bayonot chiziqli integrallar uchun holomorfik funktsiyalar ichida murakkab tekislik. Aslida, agar ikkita turli xil yo'llar bir xil ikkita nuqtani birlashtirsa va funktsiya shunday bo'lsa, deyiladi holomorfik har ikkala yo'l orasidagi hamma joyda, keyin funktsiyaning ikkita yo'l integrallari bir xil bo'ladi.

Bayonot

Sodda bog'langan mintaqalar bo'yicha formulalar

Ruxsat bering ${ displaystyle U subseteq mathbb {C}}$ bo'lishi a oddiygina ulangan ochiq o'rnating va ruxsat bering ${ displaystyle f: U to mathbb {C}}$ bo'lishi a holomorfik funktsiya. Ruxsat bering ${ displaystyle ! , gamma: [a, b] dan U}$ silliq yopiq egri chiziq bo'ling. Keyin:

${ displaystyle int _ { gamma} f (z) , dz = 0.}$

(Shart ${ displaystyle U}$ bo'lishi oddiygina ulangan shuni anglatadiki ${ displaystyle U}$ "teshiklari" yo'q, yoki boshqacha qilib aytganda asosiy guruh ning ${ displaystyle U}$ ahamiyatsiz.)

Umumiy shakllantirish

Ruxsat bering ${ displaystyle U subseteq mathbb {C}}$ bo'lish ochiq to'plam va ruxsat bering ${ displaystyle f: U to mathbb {C}}$ bo'lishi a holomorfik funktsiya. Ruxsat bering ${ displaystyle ! , gamma: [a, b] dan U}$ silliq yopiq egri chiziq bo'ling. Agar ${ displaystyle ! , gamma}$bu homotopik doimiy egri chiziqqa, keyin:

${ displaystyle int _ { gamma} f (z) , dz = 0.}$

(Egri chiziq ekanligini eslang homotopik silliq mavjud bo'lsa, doimiy egri chiziqqa homotopiya egri chiziqdan doimiy egri chiziqqa. Intuitiv ravishda, bu bo'shliqdan chiqmasdan egri chiziqni bir nuqtaga qisqartirishi mumkin degan ma'noni anglatadi.) Birinchi versiya bu alohida holat, chunki oddiygina ulangan har bir yopiq egri chiziq homotopik doimiy egri chiziqqa.

Asosiy misol

Ikkala holatda ham, bu egri ekanligini unutmaslik kerak ${ displaystyle gamma}$ domendagi "teshiklarni" o'rab olmaslik kerak, aks holda teorema amal qilmaydi. Mashhur misol quyidagi egri chiziqdir:

${ displaystyle gamma (t) = e ^ {it} quad t in chap [0,2 pi right]}$,

bu birlik doirasini aniqlaydi. Bu erda quyidagi integral

${ displaystyle int _ { gamma} { frac {1} {z}} , dz = 2 pi i neq 0}$,

nolga teng emas. Koshi integral teoremasi bu erda amal qilmaydi ${ displaystyle f (z) = 1 / z}$ da belgilanmagan ${ displaystyle z = 0}$. Intuitiv ravishda, ${ displaystyle gamma}$ domenidagi "teshik" ni o'rab oladi ${ displaystyle f}$, shuning uchun ${ displaystyle gamma}$ bo'shliqdan chiqmasdan bir nuqtaga qisqarib bo'lmaydi. Shunday qilib, teorema amal qilmaydi.

Munozara

Sifatida Eduard Gursat Koshining integral teoremasini faqat murakkab hosila deb taxmin qilish mumkin f′(z) hamma joyda mavjud U. Bu juda muhimdir, chunki keyinchalik buni isbotlash mumkin Koshining integral formulasi ushbu funktsiyalar uchun va bundan kelib chiqadigan bo'lsak, bu funktsiyalar quyidagicha cheksiz farqlanadigan.

Shart U bo'lishi oddiygina ulangan shuni anglatadiki U "teshiklari" yo'q yoki homotopiya shartlari, bu asosiy guruh ning U ahamiyatsiz; masalan, har bir ochilgan disk ${ displaystyle U_ {z_ {0}} = {z: | z-z_ {0} |$, uchun ${ displaystyle z_ {0} in mathbb {C}}$, talablarga javob beradi. Vaziyat juda muhimdir; o'ylab ko'ring

${ displaystyle gamma (t) = e ^ {it} quad t in chap [0,2 pi right]}$

bu birlik doirasini, so'ngra yo'lning integralini aniqlaydi

${ displaystyle oint _ { gamma} { frac {1} {z}} , dz = int _ {0} ^ {2 pi} { frac {1} {e ^ {it}}} (ya'ni ^ {it} , dt) = int _ {0} ^ {2 pi} i , dt = 2 pi i}$

nolga teng emas; Koshi integral teoremasi bu erda amal qilmaydi ${ displaystyle f (z) = 1 / z}$ da aniqlanmagan (va, albatta, holomorfik emas) ${ displaystyle z = 0}$.

Teoremaning muhim natijalaridan biri shundaki, oddiygina bog'langan domenlarda holomorfik funktsiyalarning yo'l integrallari quyidagicha tanish bo'lishi mumkin: hisoblashning asosiy teoremasi: ruxsat bering U bo'lishi a oddiygina ulangan ochiq ichki qism ning C, ruxsat bering f : U → C holomorfik funktsiya bo'lib, $ a $ bo'lsin uzluksiz ravishda farqlanadigan yo'l yilda U boshlash nuqtasi bilan a va yakuniy nuqta b. Agar F a murakkab antiderivativ ning f, keyin

${ displaystyle int _ { gamma} f (z) , dz = F (b) -F (a).}$

Koshi integral teoremasi yuqorida keltirilganidan zaifroq gipoteza bilan amal qiladi, masalan. berilgan U, ning oddiy bog'langan ochiq to'plami C, biz taxminlarni zaiflashtira olamiz f holomorfik U va doimiy ravishda ${ displaystyle textstyle { overline {U}}}$ va ${ displaystyle gamma}$ tuzatiladigan oddiy tsikl ${ displaystyle textstyle { overline {U}}}$.^[1]

Koshi integral teoremasi olib keladi Koshining integral formulasi va qoldiq teoremasi.

Isbot

Agar kimdir holomorf funktsiyasining qisman hosilalarini uzluksiz deb hisoblasa, Koshi integral teoremasini to'g'ridan-to'g'ri natijasi sifatida isbotlash mumkin. Yashil teorema va haqiqat va xayoliy qismlari ${ displaystyle f = u + iv}$ qondirishi kerak Koshi-Riman tenglamalari bilan chegaralangan mintaqada ${ displaystyle gamma}$, shuningdek, ochiq mahallada U ushbu mintaqaning Koshi bu dalilni keltirdi, ammo keyinchalik uni Gursat vektor hisobidan texnikani yoki qisman hosilalarning uzluksizligini talab qilmasdan isbotladi.

Biz integralni buzishimiz mumkin ${ displaystyle f}$, shuningdek, differentsial ${ displaystyle dz}$ ularning haqiqiy va xayoliy tarkibiy qismlariga:

${ displaystyle displaystyle f = u + iv}$

${ displaystyle displaystyle dz = dx + i , dy}$

Bu holda bizda bor

${ displaystyle oint _ { gamma} f (z) , dz = oint _ { gamma} (u + iv) (dx + i , dy) = oint _ { gamma} (u , dx-v , dy) + i oint _ { gamma} (v , dx + u , dy)}$

By Yashil teorema, keyin biz yopiq kontur atrofidagi integrallarni almashtirishimiz mumkin ${ displaystyle gamma}$ domen bo'ylab integral integral bilan ${ displaystyle D}$ tomonidan ilova qilingan ${ displaystyle gamma}$ quyidagicha:

${ displaystyle oint _ { gamma} (u , dx-v , dy) = iint _ {D} chap (- { frac { qismli v} { qisman x}} - { frac { qisman u} { qisman y}} o'ng) , dx , dy}$

${ displaystyle oint _ { gamma} (v , dx + u , dy) = iint _ {D} left ({ frac { partional u} { qisman x}} - { frac { qisman v} { qisman y}} o'ng) , dx , dy}$

Ammo domomda funktsiya haqiqiy va xayoliy qismlar holomorfik sifatida ${ displaystyle D}$, ${ displaystyle u}$ va ${ displaystyle v}$ qondirishi kerak Koshi-Riman tenglamalari U yerda:

${ displaystyle { kısmi u ustidan qisman x} = { qisman v ustidan qisman y}}$

${ displaystyle { kısmi u ustidan qisman y} = - { qisman v ustidan qisman x}}$

Shuning uchun ikkala integral (va shuning uchun ularning integrallari) nolga teng ekanligini aniqlaymiz

${ displaystyle iint _ {D} chap (- { frac { qisman v} { qisman x}} - { frac { qisman u} { qisman y}} o'ng) , dx , dy = iint _ {D} chap ({ frac { qisman u} { qisman y}} - { frac { qisman u} { qisman y}} o'ng) , dx , dy = 0}$

${ displaystyle iint _ {D} chap ({ frac { qisman u} { qisman x}} - { frac { qisman v} { qisman y}} o'ng) , dx , dy = iint _ {D} chap ({ frac { qisman u} { qisman x}} - { frac { qisman u} { qisman x}} o'ng) , dx , dy = 0 }$

Bu kerakli natijani beradi

${ displaystyle oint _ { gamma} f (z) , dz = 0}$

Shuningdek qarang

• Morera teoremasi
• Konturni birlashtirish usullari

Adabiyotlar

• Kodaira, Kunihiko (2007), Kompleks tahlil, Kembrij studiyasi. Adv. Matematika, 107, Kubok, ISBN  978-0-521-80937-5
• Ahlfors, Lars (2000), Kompleks tahlil, Matematikada McGraw-Hill seriyasi, McGraw-Hill, ISBN  0-07-000657-1
• Lang, Serj (2003), Kompleks tahlil, Springer Verlag GTM, Springer Verlag
• Rudin, Valter (2000), Haqiqiy va kompleks tahlil, Matematikada McGraw-Hill seriyasi, McGraw-Hill

Tashqi havolalar

• "Koshi integral teoremasi", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]
• Vayshteyn, Erik V. "Koshi integral teoremasi". MathWorld.