Klublar to'plami - Club set

Yilda matematika, xususan matematik mantiq va to'plam nazariyasi, a klub to'plami a qismidir chegara tartib anavi yopiq ostida buyurtma topologiyasi, va chegara tartibiga nisbatan chegarasiz (pastga qarang). Ism klub "yopiq va cheksiz" ning qisqarishi.

Rasmiy ta'rif

Rasmiy ravishda, agar ${ displaystyle kappa}$ chegara tartibidir, keyin to'plamdir ${ displaystyle C subseteq kappa}$ bu yopiq yilda ${ displaystyle kappa}$ agar va faqat agar har bir kishi uchun ${ displaystyle alpha < kappa}$ , agar ${ displaystyle sup (C cap alpha) = alpha neq 0}$ , keyin ${ displaystyle alpha in C}$ . Shunday qilib, agar ba'zi bir ketma-ketlikning chegarasi dan ${ displaystyle C}$ dan kam ${ displaystyle kappa}$ , keyin chegara ham ${ displaystyle C}$ .

Agar ${ displaystyle kappa}$ chegara tartibli va ${ displaystyle C subseteq kappa}$ keyin ${ displaystyle C}$ bu cheksiz yilda ${ displaystyle kappa}$ agar mavjud bo'lsa ${ displaystyle alpha < kappa}$ , ba'zilari bor ${ displaystyle beta in C}$ shu kabi ${ displaystyle alpha < beta}$ .

Agar to'plam ham yopiq, ham chegarasiz bo'lsa, u holda a klub to'plami. Yopiq tegishli darslar shuningdek, qiziqish uyg'otadi (barcha ordinallar klassi barcha ordinallar sinfida cheksizdir).

Masalan, barchaning to'plami hisoblanadigan limit ordinals - ga nisbatan o'rnatilgan klub birinchi hisoblanmaydigan tartib; ammo u har qanday yuqori chegaradagi tartib uchun belgilangan klub emas, chunki u na yopiq va na cheksizdir. ${ displaystyle alpha < kappa}$ chegarasiz yopiq ${ displaystyle kappa}$ . Aslida klublar to'plami a doirasidan boshqa narsa emas normal funktsiya (ya'ni ortib boruvchi va doimiy).

Umuman olganda, agar ${ displaystyle X}$ bo'sh bo'lmagan to'plam va ${ displaystyle lambda}$ keyin kardinal hisoblanadi ${ displaystyle C subseteq [X] ^ { lambda}}$ bu klub agar kichik birlashmaning har bir birlashmasi bo'lsa ${ displaystyle C}$ ichida ${ displaystyle C}$ va har bir kichik to'plam ${ displaystyle X}$ dan kam kardinallik ${ displaystyle lambda}$ ning ba'zi bir elementlarida mavjud ${ displaystyle C}$ (qarang statsionar to'plam ).

Cheklangan yopiq filtr

Ruxsat bering ${ displaystyle kappa ,}$ sanoqsiz chegara tartibli bo'lishi uyg'unlik ${ displaystyle lambda ,.}$ Ba'zilar uchun ${ displaystyle alpha < lambda ,}$ , ruxsat bering ${ displaystyle langle C _ { xi}: xi < alpha rangle ,}$ ning yopiq cheksiz kichik to'plamlari ketma-ketligi bo'lishi ${ displaystyle kappa ,.}$ Keyin ${ displaystyle bigcap _ { xi < alpha} C _ { xi} ,}$ shuningdek chegarasiz yopiq. Buni ko'rish uchun yopiq to'plamlarning kesishishi har doim yopiq ekanligini ta'kidlash mumkin, shuning uchun biz faqat ushbu kesishmaning cheksizligini ko'rsatishimiz kerak. Shunday qilib, har qanday narsani tuzating ${ displaystyle beta _ {0} < kappa ,,}$ va har biri uchun n<ω har birini tanlang ${ displaystyle C _ { xi} ,}$ element ${ displaystyle beta _ {n + 1} ^ { xi}> beta _ {n} ,,}$ bu mumkin, chunki ularning har biri cheksizdir. Chunki bu kamroq to'plamdir ${ displaystyle lambda ,}$ ordinallar, barchasi kamroq ${ displaystyle kappa ,,}$ ularning eng yuqori chegarasi ham kamroq bo'lishi kerak ${ displaystyle kappa ,,}$ shuning uchun biz uni chaqira olamiz ${ displaystyle beta _ {n + 1} ,.}$ Ushbu jarayon hisoblanadigan ketma-ketlikni hosil qiladi ${ displaystyle beta _ {0}, beta _ {1}, beta _ {2}, nuqtalar ,.}$ Ushbu ketma-ketlikning chegarasi aslida ketma-ketlikning chegarasi ham bo'lishi kerak ${ displaystyle beta _ {0} ^ { xi}, beta _ {1} ^ { xi}, beta _ {2} ^ { xi}, dots ,,}$ va har biridan beri ${ displaystyle C _ { xi} ,}$ yopiq va ${ displaystyle lambda ,}$ hisoblash mumkin emas, bu chegara har birida bo'lishi kerak ${ displaystyle C _ { xi} ,,}$ va shuning uchun bu chegara yuqorida joylashgan kesishmaning elementidir ${ displaystyle beta _ {0} ,,}$ bu chorrahaning chegaralanmaganligini ko'rsatadi. QED.

Bundan ko'rinib turibdiki, agar ${ displaystyle kappa ,}$ keyin doimiy kardinal hisoblanadi ${ displaystyle {S subset kappa: mavjud} C subset S { text {}, chunki}} C { text {}} kappa } ,} chegarasiz yopilgan$ asosiy emas ${ displaystyle kappa ,}$ - to'liq filtr kuni ${ displaystyle kappa ,.}$

Agar ${ displaystyle kappa ,}$ doimiy kardinal hisoblanadi, keyin klublar to'plamlari ham yopiladi diagonal kesishma.

Aslida, agar ${ displaystyle kappa ,}$ muntazam va ${ displaystyle { mathcal {F}} ,}$ har qanday filtr yoqilgan ${ displaystyle kappa ,,}$ shaklning barcha to'plamlarini o'z ichiga olgan diagonal kesishgan holda yopilgan ${ displaystyle { xi < kappa: xi geq alpha } ,}$ uchun ${ displaystyle alpha < kappa ,,}$ keyin ${ displaystyle { mathcal {F}} ,}$ barcha klub to'plamlarini o'z ichiga olishi kerak.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

Jech, Tomas, 2003. Nazariyani o'rnating: Uchinchi ming yillik nashr, qayta ko'rib chiqilgan va kengaytirilgan. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Levi, Azriel (1979) Asosiy to'siqlar nazariyasi, Matematik mantiqdagi istiqbollar, Springer-Verlag. Qayta nashr etilgan 2002 yil, Dover. ISBN 0-486-42079-5
Ushbu maqola Club on materiallarini o'z ichiga oladi PlanetMath, ostida litsenziyalangan Creative Commons Attribution / Share-Alike litsenziyasi.