Topologiyani buyurtma qilish - Order topology

Buni chalkashtirib yubormaslik kerak Topologiya buyurtmasi (funktsional tahlil).

Yilda matematika, an buyurtma topologiyasi aniq topologiya har qandayida aniqlanishi mumkin to'liq buyurtma qilingan to'plam. Bu topologiyaning tabiiy umumlashtirilishi haqiqiy raqamlar o'zboshimchalik bilan butunlay buyurtma qilingan to'plamlarga.

Agar X to'liq buyurtma qilingan to'plamdir buyurtma topologiyasi kuni X tomonidan yaratilgan subbase "ochiq nurlar"

Barcha uchun a, b yilda X. Taqdim etilgan X kamida ikkita elementga ega, bu ochiq deyishga tengdir intervallar

yuqoridagi nurlar bilan birgalikda a hosil qiladi tayanch buyurtma topologiyasi uchun. Ochiq joylar X a bo'lgan to'plamlar birlashma (ehtimol cheksiz ko'p) bunday ochiq intervallar va nurlar.

A topologik makon X deyiladi tartibli agar uning elementlari bo'yicha buyurtma topologiyasi va berilgan topologiya bo'yicha umumiy tartib mavjud bo'lsa X mos keladi. Topologiya buyurtma qiladi X ichiga umuman normal Hausdorff maydoni.

Standart topologiyalar R, Q, Zva N buyurtma topologiyalari.

Tartib topologiyasi

Agar Y ning pastki qismi X, X to'liq buyurtma qilingan to'plam, keyin Y dan umumiy buyurtmani meros qilib oladi X. To'plam Y shuning uchun buyurtma topologiyasi mavjud buyurtma topologiyasi. Ning pastki qismi sifatida X, Y Shuningdek, a subspace topologiyasi. Subspace topologiyasi har doim kamida yaxshi induktsiya qilingan topologiya sifatida, lekin ular umuman bir xil emas.

Masalan, ichki to'plamni ko'rib chiqing Y = {–1} ∪ {1/n}n∈N ichida mantiqiy asoslar. Subspace topologiyasi ostida singleton to'plami (–1}) ochiq Y, lekin induksiyalangan tartib topologiyasi ostida –1 ni tashkil etuvchi har qanday ochiq to'plam bo'shliqning ko'p sonli a'zolaridan tashqari hamma tarkibiga kirishi kerak.

Topologiyasi buyurtma topologiyasi bo'lmagan chiziqli tartibli kosmosning pastki makoniga misol

Ning subspace topologiyasi bo'lsa ham Y = {–1} ∪ {1/n}n∈N yuqoridagi bo'limda induktsiya qilingan tartib bilan hosil qilinmaganligi ko'rsatilgan Y, bu baribir buyurtma topologiyasi Y; chindan ham subspace topologiyasida har bir nuqta ajratilgan (ya'ni singleton {y} ochiq) Y har bir y uchun Y), shuning uchun subspace topologiyasi alohida topologiyadir Y (har bir kichik to'plam topologiyasi Y ochiq to'plam) va har qanday to'plamdagi diskret topologiya buyurtma topologiyasidir. Jami buyurtmani belgilash uchun Y diskret topologiyani yaratadi Y, shunchaki ochilgan tartibni o'zgartiring Y -1 ning eng katta elementi bo'lishini belgilash orqali Y va boshqacha tartibda boshqa punktlar uchun ham xuddi shunday tartibni saqlang, shunda ushbu yangi tartibda (uni chaqiring) <1) bizda 1 /n <1 –1 hamma uchun n ∈ N. Keyin topologiya tartibida Y tomonidan yaratilgan <1, ning har bir nuqtasi Y ichida ajratilgan Y.

Biz bu erda kichik to'plamni belgilashni xohlaymiz Z chiziqli tartibli topologik makon X Shunday qilib, umumiy buyurtma mavjud emas Z subspace topologiyasini yaratadi Z, shuning uchun subspace topologiyasi tartib topologiyasi bo'lmaydi, garchi u topologiyasi tartib topologiyasi bo'lgan makonning subspace topologiyasi bo'lsa ham.

Ruxsat bering haqiqiy chiziqda. Oldingi kabi dalil Z da subspace topologiyasi Z da induktsiya qilingan tartib topologiyasiga teng emasligini ko'rsatadi, ammo shuni ko'rsatish mumkinki, Zdagi subspace topologiyasi Z da har qanday tartib topologiyasiga teng bo'lolmaydi.

Buning ortidan tortishuv kelib chiqadi. Qarama-qarshilik bilan aytaylik, ba'zilari mavjud qat'iy buyurtma A va B to'plamlar, buni anglatishi kerak har biriga a yilda A va b yilda B.

Ruxsat bering M = Z {-1}, birlik oralig'i. M ulangan. Agar m, n ∈ M va m < -1 < n, keyin va alohida M, ziddiyat. Shunday qilib, M <{-1} yoki {-1} <M. Umumiylikni yo'qotmasdan taxmin qiling: {-1} <M. {-1} ochiq bo'lganligi sababli Z, ba'zi bir nuqta bor p yilda M shunday qilib, interval (-1, p) bo'sh. {-1} M, biz bilamiz -1 bu yagona element Z bu kamroq p, shuning uchun p minimal hisoblanadi M. Keyin M \ {p} = A ∪ B, qayerda A va B bo'sh bo'lmagan va birlashtirilgan ulangan kichik to'plamlar M (ochilgan intervaldan nuqtani olib tashlash ikkita ochiq intervalni beradi). Bog'lanish bilan, hech qanday nuqta yo'q Z\B ning ikki nuqtasi orasida yotishi mumkin Bva hech qanday nuqta yo'q Z\A A ning ikki nuqtasi o'rtasida yotishi mumkin, shuning uchun ham A p < a va (p,a) A. Keyin (-1,a)=[p,a), shuning uchun [p,a) ochiq. {p}∪A=[p,a)∪Ashunday qilib {p}∪A ning ochiq pastki qismi M va shuning uchun M = ({p}∪A) ∪ B ning ikkita bo'linmagan ochiq pastki to'plamlari birlashmasi M shunday M bog'liq emas, ziddiyat.

Chap va o'ng tartibli topologiyalar

Buyurtma topologiyasining bir nechta variantlari berilishi mumkin:

  • The to'g'ri tartibli topologiya kuni X topologiyasi, uning ochiq to'plamlari shakl intervallaridan iborat (a, ∞) (shu jumladan (-∞, ∞)).[1]
  • The chap buyurtma topologiyasi kuni X topologiyasi, uning ochiq to'plamlari shakl intervallaridan iborat (−∞, b) (shu jumladan (-∞, ∞)).

Umumiy topologiyada qarshi misollarni keltirish uchun chap va o'ng tartibli topologiyalardan foydalanish mumkin. Masalan, cheklangan to'plamdagi chap yoki o'ng tartibli topologiya a ga misol keltiradi ixcham joy bu Hausdorff emas.

Chap tartibli topologiya - bu ko'plab nazariy maqsadlar uchun ishlatiladigan standart topologiya Mantiqiy algebra.

Oddiy bo'shliq

Har qanday kishi uchun tartib raqami λ tartib sonlarning bo'shliqlarini ko'rib chiqish mumkin

tabiiy tartib topologiyasi bilan birgalikda. Ushbu bo'shliqlar deyiladi tartibli bo'shliqlar. (E'tibor bering, tartib sonlarning odatiy teoretik qurilishida bizda = = 0, λ) va λ + 1 = [0, λ] mavjud. Shubhasiz, $ f $ cheksiz tartibli bo'lsa, bu bo'shliqlar asosan qiziqish uyg'otadi; aks holda (cheklangan tartiblar uchun) tartib topologiyasi shunchaki diskret topologiya.

Ph = ω (birinchi cheksiz tartib) bo'lganda, bo'shliq [0, ω) adolatli bo'ladi N odatdagi (hanuzgacha diskret) topologiya bilan, [0, ω] esa bir nuqtali kompaktlashtirish ning N.

D = ω bo'lganda alohida qiziqish mavjud1, barcha hisoblanadigan tartiblar to'plami va birinchi hisoblanmaydigan tartib. Element elementi1 a chegara nuqtasi kichik to'plamning [0, ω1) [0, ω da elementlar ketma-ketligi bo'lmasa ham1) ω elementiga ega1 uning chegarasi sifatida. Xususan, [0, ω1] emas birinchi hisoblanadigan. Subspace [0, ω1) birinchi hisoblash mumkin, chunki hisoblanmaydigan yagona nuqta mahalliy baza ω1. Ba'zi boshqa xususiyatlarga quyidagilar kiradi

Topologiya va tartib qoidalari

Ordinallar topologik bo'shliq sifatida

Har qanday tartib raqami ga aylantirilishi mumkin topologik makon uni buyurtma topologiyasi bilan ta'minlagan holda (chunki yaxshi tartiblanganligi sababli, tartibli narsa, ayniqsa) butunlay buyurtma qilingan ): aksincha ko'rsatma mavjud bo'lmaganda, tartibli topologiya har doim tartibli topologik makon deb qaralganda shunday tartibli topologiyani anglatadi. (E'tibor bering, agar biz tegishli sinfni topologik makon sifatida qabul qilmoqchi bo'lsak, unda barcha tartiblar klassi ham tartib topologiyasi uchun topologik makondir.)

To'plami chegara punktlari tartibli a ning aniq to'plami chegaraviy tartib a dan kichik A dan kichik bo'lgan voris tartiblari (va nol) ga teng ajratilgan nuqtalar a ichida. Xususan, sonli tartiblar va ω diskret topologik bo'shliqlar va bundan tashqari hech qanday tartibli diskret emas. $ A $ tartiblangan ixcham topologik bo'shliq sifatida va agar a a bo'lsa voris tartibida.

A chegara tartibli tartibning yopiq to'plamlari bizda mavjud bo'lgan ma'noda faqat yopiq to'plamlardir allaqachon belgilangan ya'ni, ularning ostidagi barcha etarlicha katta tartiblarni o'z ichiga olgan har doim chegara tartibini o'z ichiga olganlar.

Har qanday tartib, albatta, har qanday boshqa tartibning ochiq to'plamidir. Shuningdek, ordinallar bo'yicha topologiyani quyidagi induktiv usulda aniqlashimiz mumkin: 0 - bo'sh topologik bo'shliq, a + 1 bir nuqtali kompaktlashtirish $ a $ uchun, $ mathbb {L} $ uchun esa $ mathbb {R} $ bilan jihozlangan induktiv chegara topologiya. E'tibor bering, agar a vorisiy tartib bo'lsa, u holda a ixcham bo'ladi, u holda uning bitta nuqta kompaktifikatsiyasi a + 1 a va nuqtaning ajralgan birlashmasidir.

Topologik bo'shliqlar sifatida barcha tartiblar mavjud Hausdorff va hatto normal. Ular ham butunlay uzilib qoldi (ulangan komponentlar nuqtalar), tarqoq (har bir bo'sh bo'lmagan to'plamning alohida nuqtasi bor, bu holda eng kichik elementni oling), nol o'lchovli (topologiyaning klopen asosi bor: bu erda klopen intervallarining birlashmasi sifatida (β, γ '+ 1) = [β + 1, γ'] γ '<γ uchun) ochiq intervalni yozing (β, γ). Biroq, ular emas haddan tashqari uzilgan umuman olganda (ochiq to'plamlar mavjud, masalan, yopilishi ochiq bo'lmagan $ phi $ dan juft sonlar).

Topologik bo'shliqlar ω1 va uning vorisi ω1Masalan, topologik makonda +1 tez-tez hisobga olinmaydigan topologik bo'shliqlarning matnli misollari sifatida ishlatiladi.1+1, element ω1 set pastki qismining yopilishida1 ω da elementlar ketma-ketligi bo'lmasada1 ω elementiga ega1 uning chegarasi sifatida: in dagi element1 hisoblanadigan to'plam; bunday to'plamlarning har qanday ketma-ketligi uchun ushbu to'plamlarning birlashishi - bu juda ko'p sonli hisoblanadigan to'plamlarning birlashishi, shuning uchun ham hisoblash mumkin; bu birlashma ketma-ketlik elementlarining yuqori chegarasi, shuning uchun agar u bo'lsa, ketma-ketlik chegarasi.

Bo'sh joy ω1 bu birinchi hisoblanadigan, lekin emas ikkinchi hisoblanadigan va ω1+1, bo'lishiga qaramay, ushbu ikkita xususiyatga ega emas ixcham. $ D $ dan har qanday doimiy funktsiya ekanligini ta'kidlash kerak1 ga R (the haqiqiy chiziq ) oxir-oqibat doimiy: shuning uchun Tosh-texnologik ixchamlashtirish ω1 ω1+1, xuddi uning bitta punktli kompaktlashi kabi (toshdan keskin farqli o'laroq, uning Stone -ech ixchamlashuvi juda katta kattaroq ω dan).

Oddiy indekslangan ketma-ketliklar

Agar a chegara tartibli va bo'lsa X ning elementlari to'plami, a-indekslangan ketma-ketligi X faqat $ a $ dan $ gacha bo'lgan funktsiyani anglatadi X. Ushbu tushuncha, a transfinite ketma-ketlik yoki tartibli-indekslangan ketma-ketlik, a tushunchasining umumlashtirilishi ketma-ketlik. Oddiy ketma-ketlik a = ω holatiga to'g'ri keladi.

Agar X topologik bo'shliq, ning elementlarining a indekslangan ketma-ketligi deymiz X yaqinlashadi cheklovgacha x u a ga yaqinlashganda to'r, boshqacha qilib aytganda, har qanday mahalla berilganda U ning x shunday tartibli g xi ichida U hamma uchun.

Topologiyadagi chegaralarni aniqlash uchun oddiy indekslangan ketma-ketliklar oddiy (b-indeksli) ketma-ketliklarga qaraganda kuchliroq:1 (omega-biri, barcha hisoblanadigan tartib sonlar to'plami va eng kichik hisoblanmaydigan tartib son), bu ω ning chegara nuqtasidir.1+1 (chunki bu chegara tartibidir) va, albatta, bu $ Delta $ ning chegarasi1- indeksli ketma-ketlik, har qanday tartibni ω dan kam xaritada aks ettiradi1 o'zi uchun: ammo, bu $ Delta $ har qanday oddiy ( indekslangan) ketma-ketlikning chegarasi emas1, chunki har qanday bunday chegara uning elementlari birlashmasidan kam yoki unga tengdir, bu hisoblanadigan to'plamlarning hisoblanadigan birlashmasi, shuning uchun o'zi hisoblanishi mumkin.

Biroq, tartibli indekslangan ketma-ketliklar to'rlarni almashtirish uchun etarlicha kuchli emas (yoki) filtrlar ) umuman: masalan, bo'yicha Tychonoff taxta (mahsulot maydoni ), burchak nuqtasi ochiq pastki qismning chegara nuqtasi (u yopilishda) , lekin bu tartibli indekslangan ketma-ketlikning chegarasi emas.

Shuningdek qarang

Izohlar

  1. ^ Stin, p. 74.

Adabiyotlar

  • Stin, Linn A. va Seebach, J. Artur Jr.; Topologiyadagi qarshi misollar, Xolt, Raynxart va Uinston (1970). ISBN  0-03-079485-4.
  • Stiven Uillard, Umumiy topologiya, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
  • Ushbu maqola Buyurtma topologiyasidagi materiallarni o'z ichiga oladi PlanetMath, ostida litsenziyalangan Creative Commons Attribution / Share-Alike litsenziyasi.