Klaster algebra - Cluster algebra - Wikipedia

Klaster algebralari sinfidir komutativ halqalar tomonidan kiritilgan Fomin va Zelevinskiy  (2002, 2003, 2007 ). Klaster algebra darajasi n bu ajralmas domen A, o'lchamning ba'zi bir kichik to'plamlari bilan birga n birlashmasi hosil bo'lgan klasterlar deb ataladi algebra A va har xil shartlarni qondiradigan.

Ta'riflar

Aytaylik F bu ajralmas domen kabi maydon Q(x₁,...,x_n) ning ratsional funktsiyalar yilda n o'zgaruvchilar ratsional sonlar Q.

A klaster ning daraja n to'plamidan iborat n elementlar {x, y, ...} ning F, odatda an algebraik jihatdan mustaqil a generatorlari to'plami maydonni kengaytirish F.

A urug ' klasterdan iborat {x, y, ...} ning Fbilan birga almashinish matritsasi B butun sonli yozuvlar bilan b_x,y elementlarning juftligi bilan indekslangan x, y klaster. Matritsa ba'zan shunday deb taxmin qilinadi nosimmetrik, Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida b_x,y = –b_y,x Barcha uchun x va y. Umuman olganda matritsa nosimmetrik bo'lishi mumkin, ya'ni musbat tamsayılar mavjud d_x shunday klaster elementlari bilan bog'liq d_xb_x,y = –d_yb_y,x Barcha uchun x va y. Urug'ni a sifatida tasvirlash odatiy holdir titroq chizmalar yordamida hosil qiluvchi to'plam tepaliklari bilan b_x,y o'qlari x ga y agar bu raqam ijobiy bo'lsa. Qachon b_x,y qiyshiq nosimmetrikdir, tirnoq hech qanday ilmoq yoki 2 tsiklga ega emas.

A mutatsiya tepalik tanloviga qarab, urug'ning y klasterning, bu umumlashtirish tomonidan berilgan yangi urug ' burilish quyidagicha. Ning qiymatlarini almashtiring b_x,y va b_y,x Barcha uchun x klasterda. Agar b_x,y > 0 va b_y,z > 0 keyin almashtiring b_x,z tomonidan b_x,yb_y,z + b_x,z. Agar b_x,y <0 va b_y,z <0 keyin almashtiring b_x,z tomonidan -b_x,yb_y,z + b_x,z. Agar b_x,y b_y,z ≤ 0 keyin o'zgarmang b_x,z. Nihoyat almashtiring y yangi generator tomonidan w, qayerda

${ displaystyle wy = prod _ {t: , b_ {t, y}> 0} t ^ {b_ {t, y}} + prod _ {t: , b_ {t, y} <0} t ^ {- b_ {t, y}}}$

mahsulotlar elementlardan o'tadigan joy t urug 'klasterida shunday b_t,y navbati bilan ijobiy yoki salbiy. Mutatsiyaning teskari tomoni ham mutatsiyadir, ya'ni A ning mutatsiyasidir B keyin B ning mutatsiyasidir A.

A klaster algebra boshlang'ich urug'idan quyidagicha qurilgan. Agar biz urug'ni barcha usullar bilan qayta-qayta mutatsiya qilsak, biz cheklangan yoki cheksiz bo'lamiz grafik urug'larning urug'lari, bu erda ikkita urug 'chekka bilan birlashtirilsa, ikkinchisini mutatsiyalash yo'li bilan olish mumkin bo'lsa. Klaster algebra asosidagi algebra bu grafadagi barcha urug'larning barcha klasterlari tomonidan hosil qilingan algebra. Klaster algebra, shuningdek, ushbu grafik urug'larining qo'shimcha tuzilishi bilan birga keladi.

Klaster algebra deyiladi cheklangan tip agar u faqat cheklangan miqdordagi urug'larga ega bo'lsa. Fomin va Zelevinskiy (2003) sonli tipdagi klaster algebralarini ga qarab tasniflash mumkinligini ko'rsatdi Dynkin diagrammalari cheklangan o'lchovli oddiy Lie algebralari.

Misollar

1-darajadagi klaster algebralari

Agar {x} - bu 1-darajali urug 'klasteri, shunda yagona mutatsiya buni {2 ga etkazadix⁻¹}. Shunday qilib, 1-darajali klaster algebrasi shunchaki halqa k[x,x⁻¹] ning Laurent polinomlari va unda faqat ikkita klaster mavjud, {x} va {2x⁻¹}. Xususan, u cheklangan turga ega va Dynkin diagrammasi A bilan bog'liq₁.

2-darajali klaster algebralari

Deylik, biz klasterdan boshlaymiz {x₁, x₂} va almashinish matritsasini bilan oling b₁₂ = –B₂₁ = 1. Keyin mutatsiya o'zgaruvchilar ketma-ketligini beradi x₁, x₂, x₃, x₄, ... shundayki, klasterlar qo'shni juftliklar tomonidan berilgan {x_n, x_n+1}. O'zgaruvchilar quyidagilar bilan bog'liq

${ displaystyle displaystyle x_ {n-1} x_ {n + 1} = 1 + x_ {n},}$

shuning uchun ketma-ketlik bilan berilgan

${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} = { frac {1 + x_ {2}} {x_ {1}}}, x_ {4} = { frac {1 + x_ {3}} {x_ {2}}} = { frac {1 + x_ {1} + x_ {2}} {x_ {1} x_ {2}}},}$

${ displaystyle x_ {5} = { frac {1 + x_ {4}} {x_ {3}}} = { frac {1 + x_ {1}} {x_ {2}}}, x_ {6 } = { frac {1 + x_ {5}} {x_ {4}}} = x_ {1}, x_ {7} = { frac {1 + x_ {6}} {x_ {5}}} = x_ {2}, ldots}$

Bu 5-davr bilan takrorlanadi. Demak, bu klaster algebrasi to'liq 5 ta klasterga ega va xususan, cheklangan turga ega. Bu Dynkin diagrammasi A bilan bog'liq₂.

Bilan o'xshash misollar mavjud b₁₂ = 1, –b₂₁ = 2 yoki 3, bu erda klaster o'zgaruvchilarining o'xshash ketma-ketligi 6 yoki 8-davr bilan takrorlanadi, bular ham cheklangan tipda va B Dynkin diagrammalari bilan bog'liq.₂ va G₂. Ammo agar |b₁₂b₂₁| ≥ 4, keyin klaster o'zgaruvchilarining ketma-ketligi davriy emas va klaster algebrasi cheksiz turga ega.

3-darajali klaster algebralari

Deylik, biz titroqdan boshlaymiz x₁ → x₂ → x₃. Keyin 14 ta klaster:

${ displaystyle left {x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} right },}$

${ displaystyle left {{ frac {1 + x_ {2}} {x_ {1}}}, x_ {2}, x_ {3} right },}$

${ displaystyle left {x_ {1}, { frac {x_ {1} + x_ {3}} {x_ {2}}}, x_ {3} right },}$

${ displaystyle left {x_ {1}, x_ {2}, { frac {1 + x_ {2}} {x_ {3}}} right },}$

${ displaystyle left {{ frac {1 + x_ {2}} {x_ {1}}}, { frac {x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_ {1} x_ {2}}}, x_ {3} right },}$

${ displaystyle left {{ frac {1 + x_ {2}} {x_ {1}}}, x_ {2}, { frac {1 + x_ {2}} {x_ {3}}} o'ng },}$

${ displaystyle left {{ frac {x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_ {1} x_ {2}}}, { frac {x_ {1} + x_ {3}} {x_ {2}}}, x_ {3} right },}$

${ displaystyle left {x_ {1}, { frac {x_ {1} + x_ {3}} {x_ {2}}}, { frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + x_ {3}} {x_ {2} x_ {3}}} right },}$

${ displaystyle left {x_ {1}, { frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + x_ {3}} {x_ {2} x_ {3}}}, { frac { 1 + x_ {2}} {x_ {3}}} o'ng },}$

${ displaystyle left {{ frac {1 + x_ {2}} {x_ {1}}}, { frac {x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_ {1} x_ {2}}}, { frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_ {1} x_ {2} x_ {3}}} o'ng },}$

${ displaystyle left {{ frac {1 + x_ {2}} {x_ {1}}}, { frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + (1 + x_ {2} ) x_ {3}} {x_ {1} x_ {2} x_ {3}}}, { frac {1 + x_ {2}} {x_ {3}}} right },}$

${ displaystyle left {{ frac {x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_ {1} x_ {2}}}, { frac {x_ {1} + x_ {3}} {x_ {2}}}, { frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_ {1} x_ { 2} x_ {3}}} o'ng },}$

${ displaystyle left {{ frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_ {1} x_ {2} x_ {3} }}, { frac {x_ {1} + x_ {3}} {x_ {2}}}, { frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + x_ {3}} {x_ { 2} x_ {3}}} o'ng },}$

${ displaystyle left {{ frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_ {1} x_ {2} x_ {3} }}, { frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + x_ {3}} {x_ {2} x_ {3}}}, { frac {1 + x_ {2}} {x_ {3}}} o'ng }.}$

3 ta boshlang'ichdan tashqari 6 ta klaster o'zgaruvchisi mavjud x₁, x₂, x₃ tomonidan berilgan

${ displaystyle { frac {1 + x_ {2}} {x_ {1}}}, { frac {x_ {1} + x_ {3}} {x_ {2}}}, { frac {1+ x_ {2}} {x_ {3}}}, { frac {x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_ {1} x_ {2}}}, { frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + x_ {3}} {x_ {2} x_ {3}}}, { frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_ {1} x_ {2} x_ {3}}}}$.

Ular Dynkin diagrammasi A ning 6 ijobiy ildizlariga to'g'ri keladi₃: aniqrog'i maxrajlar - monomiallar x₁, x₂, x₃, ijobiy ildizlarning oddiy ildizlarning yig'indisi sifatida ifodalanishiga mos keladi. 3 + 6 klasterli o'zgaruvchilar Dynkin diagrammasi A bilan bog'langan sonli turdagi klaster algebrasini hosil qiladi₃.14 ​​klaster - bu klaster grafigining tepalari, ya'ni assosiaedr.

Grassmannians

Oddiy misollarni bir hil funktsiyalar algebralari keltiradi Grassmannians. The Plluker koordinatalari taniqli elementlarning bir qismini taqdim eting.

Geptagonning ikki uchburchagi orasidagi mutatsiya

ℂ dagi samolyotlarning Grassmannian uchunⁿ, vaziyat yanada sodda. Bunday holda, Plücker koordinatalari barcha ajratilgan elementlarni beradi va klasterlar yordamida to'liq tavsiflanishi mumkin uchburchaklar a muntazam ko'pburchak bilan n tepaliklar. Aniqrog'i, klasterlar uchburchaklar bilan birma-bir yozishmalarda va ajratilgan elementlar diagonallar (ko'pburchakning ikki tepasini birlashtirgan chiziq segmentlari) bilan bitta-bitta yozishmalarda. Chegaradagi har bir klasterga tegishli diagonallarni va interyerdagi diagonallarni farqlash mumkin. Bu koeffitsient o'zgaruvchilari va klaster o'zgaruvchilari o'rtasidagi umumiy farqga mos keladi.

Sirtlardan kelib chiqadigan klaster algebralari

Aytaylik S a ixcham ulangan yo'naltirilgan Riemann yuzasi va M a bo'sh emas ning cheklangan to'plami S har biridan kamida bitta punktni o'z ichiga olgan chegara ning tarkibiy qismi S (chegarasi S bo'sh yoki bo'sh bo'lmagan deb qabul qilinmaydi). Juftlik (S, M) ko'pincha a deb nomlanadi belgilangan nuqtalar bilan chegaralangan sirt. Buni Fomin-Shapiro-Thurston ko'rsatdi S yopiq sirt emas yoki agar bo'lsa M bir nechta nuqta bor, keyin (tagged) yoylari (S, M) ma'lum bir klaster algebrasining klaster o'zgaruvchilari to'plamini parametrlash A(S, M), bu faqat (S, M) va ba'zi bir koeffitsientlar tizimining tanlovi, (S, M) ning klasterlari to'plami bilan birma-bir yozishmalarda A(S, M), a bilan bog'liq bo'lgan ikkita (etiketli) uchburchak aylantirish agar ular mos keladigan klasterlar klaster mutatsiyasi bilan bog'liq bo'lsa.

Ikkita Bruhat hujayralari

Uchun G a reduktiv guruh kabi ${ displaystyle GL_ {n}}$ bilan Borel kichik guruhlari ${ displaystyle B _ { pm}}$ keyin esa ${ displaystyle G ^ {u, v} = BuB bigcap B _ {-} vB _ {-}}$ (qayerda siz va v ichida Veyl guruhi ) ning qisqartirilgan so'z birikmalariga qarab klasterlar koordinatalari jadvallari mavjud siz va v. Ular faktorizatsiya parametrlari deb ataladi va ularning tuzilishi simi diagrammasida kodlangan. Faqat ${ displaystyle B}$ yoki faqat ${ displaystyle B _ {-}}$, bu Bruhat parchalanishi.

Adabiyotlar

• Berenshteyn, Arkadiy; Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrey (2005), "Klaster algebralari. III. Yuqori chegaralar va er-xotin Bruhat hujayralari", Dyuk Matematik jurnali, 126 (1): 1–52, arXiv:matematik / 0305434, doi:10.1215 / S0012-7094-04-12611-9, JANOB  2110627
• Fomin, Sergey; Shapiro, Maykl; Thurston, Dylan (2008), "Klaster algebralari va uchburchak yuzalar, I qism: Klaster komplekslari.", Acta Mathematica, 201: 83–146, arXiv:matematik / 0608367, doi:10.1007 / s11511-008-0030-7
• Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrey (2002), "Klaster algebralari. I. asoslari", Amerika Matematik Jamiyati jurnali, 15 (2): 497–529, arXiv:matematik / 0104151, doi:10.1090 / S0894-0347-01-00385-X, JANOB  1887642
• Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrey (2003), "Klaster algebralari. II. Sonli turdagi tasnif", Mathematicae ixtirolari, 154 (1): 63–121, arXiv:matematik / 0208229, Bibcode:2003InMat.154 ... 63F, doi:10.1007 / s00222-003-0302-y, JANOB  2004457
• Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrey (2007), "Klaster algebralari. IV. Koeffitsientlar", Compositio Mathematica, 143 (1): 112–164, arXiv:matematik / 0602259, doi:10.1112 / S0010437X06002521, JANOB  2295199
• Fomin, Sergey; Reading, Natan (2007), "Ildiz tizimlari va umumiy assotsiahedra", Miller, Ezra shahrida; Reyner, Viktor; Sturmfels, Bernd (tahr.), Geometrik kombinatorika, IAS / Park City Math. Ser., 13, Providence, R.I .: Amer. Matematika. Soc., arXiv:matematik / 0505518, Bibcode:2005 yil ...... 5518F, ISBN  978-0-8218-3736-8, JANOB  2383126
• Marsh, Robert J. (2013), Klaster algebralari bo'yicha ma'ruza matnlari., Tsyurix: Kengaytirilgan matematikadan ma'ruzalar, Tsyurix: Evropa matematik jamiyati (EMS), doi:10.4171/130, ISBN  978-3-03719-130-9, JANOB  3155783
• Reiten, Idun (2010), Nishab nazariyasi va klaster algebralari, Trieste Workshop materiallari, arXiv:1012.6014, Bibcode:2010arXiv1012.6014R
• Zelevinskiy, Andrey (2007), "Klaster algebra nima?" (PDF), AMS xabarnomalari, 54 (11): 1494–1495.

Tashqi havolalar

• Fominning Klaster algebra portali
• Klaster algebralari bo'yicha Fominning hujjatlari
• Zelevinskiyning klaster algebralari haqidagi hujjatlari