Nishab-nosimmetrik matritsa - Skew-symmetric matrix

Ushbu maqola umumiy ro'yxatini o'z ichiga oladi ma'lumotnomalar, lekin bu asosan tasdiqlanmagan bo'lib qolmoqda, chunki unga mos keladigan etishmayapti satrda keltirilgan. Iltimos yordam bering yaxshilash tomonidan ushbu maqola tanishtirish aniqroq iqtiboslar. (2009 yil noyabr) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Yilda matematika, xususan chiziqli algebra, a nosimmetrik (yoki antisimetrik yoki antimetrik^[1]) matritsa a kvadrat matritsa kimning ko'chirish uning salbiyiga teng. Ya'ni, bu shartni qondiradi^{[2]:p. 38}

Matritsaning yozuvlari bo'yicha, agar ${ textstyle a_ {ij}}$ ichidagi yozuvni bildiradi ${ textstyle i}$- uchinchi qator va ${ textstyle j}$- ustun, keyin qiyshiq-nosimmetrik shart tengdir

Misol

Matritsa

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 0 & 2 & -45 - 2 & 0 & -4 45 & 4 & 0 end {bmatrix}}}$

nosimmetrikdir, chunki

${ displaystyle -A = { begin {bmatrix} 0 & -2 & 45 2 & 0 & 4 - 45 & -4 & 0 end {bmatrix}} = A ^ { textsf {T}}.}$

Xususiyatlari

Umuman olganda, biz barcha matritsalar yozuvlari a ga tegishli deb hisoblaymiz maydon ${ textstyle mathbb {F}}$ kimning xarakterli ga teng emas 2. Ya'ni, biz shunday deb taxmin qilamiz 1 + 1 ≠ 0, bu erda 1 berilgan maydonning multiplikativ identifikatorini va 0 qo'shimcha identifikatorini bildiradi. Agar maydonning xarakteristikasi 2 ga teng bo'lsa, u holda qiyshiq nosimmetrik matritsa a bilan bir xil narsadir nosimmetrik matritsa.

• Ikkita nosimmetrik matritsalarning yig'indisi nosimmetrikdir.
• Skew-nosimmetrik matritsaning skaler ko'paytmasi skew-nosimmetrikdir.
• Nishab-nosimmetrik matritsaning diagonalidagi elementlar nolga teng, va shuning uchun uning iz nolga teng.
• Agar ${ textstyle A}$ haqiqiy egri-nosimmetrik matritsa va ${ textstyle lambda}$ haqiqiydir o'ziga xos qiymat, keyin ${ textstyle lambda = 0}$, ya'ni qiyshiq nosimmetrik matritsaning nolga teng bo'lmagan shaxsiy qiymatlari haqiqiy emas.
• Agar ${ textstyle A}$ haqiqiy egri-nosimmetrik matritsa, keyin ${ textstyle I + A}$ bu teskari, qayerda ${ textstyle I}$ identifikatsiya matritsasi.
• Agar ${ textstyle A}$ u holda qiyshiq nosimmetrik matritsa ${ textstyle A ^ {2}}$ nosimmetrikdir salbiy yarim aniq matritsa.

Vektorli bo'shliq tuzilishi

Yuqoridagi dastlabki ikkita xususiyat natijasida sobit o'lchamdagi barcha nosimmetrik matritsalar to'plami vektor maydoni. Bo'sh joy ${ textstyle n times n}$ nosimmetrik matritsalar mavjud o'lchov ${ textstyle { frac {1} {2}} n (n-1).}$

Ruxsat bering ${ displaystyle { mbox {Mat}} _ {n}}$ maydonini bildiring ${ textstyle n times n}$ matritsalar. Nishab-nosimmetrik matritsa quyidagicha aniqlanadi ${ textstyle { frac {1} {2}} n (n-1)}$ skalar (yuqoridagi yozuvlar soni asosiy diagonal ); a nosimmetrik matritsa tomonidan belgilanadi ${ textstyle { frac {1} {2}} n (n + 1)}$ skalar (asosiy diagonali yoki ustidagi yozuvlar soni). Ruxsat bering ${ textstyle { mbox {Skew}} _ {n}}$ maydonini bildiring ${ textstyle n times n}$ nosimmetrik matritsalar va ${ textstyle { mbox {Sym}} _ {n}}$ maydonini bildiring ${ textstyle n times n}$ nosimmetrik matritsalar. Agar ${ textstyle A in { mbox {Mat}} _ {n}}$ keyin

${ displaystyle A = { frac {1} {2}} chap (AA ^ { mathsf {T}} o'ng) + { frac {1} {2}} chap (A + A ^ { mathsf {T}} o'ng).}$

E'tibor bering ${ textstyle { frac {1} {2}} chap (A-A ^ { textsf {T}} o'ng) ichida { mbox {Skew}} _ {n}}$ va ${ textbox {Sym}} _ {n} da { textstyle { frac {1} {2}} chap (A + A ^ { textsf {T}} o'ng) .$ Bu har bir kishi uchun amal qiladi kvadrat matritsa ${ textstyle A}$ har qanday yozuvlar bilan maydon kimning xarakterli dan farq qiladi 2. Keyin, beri ${ textstyle { mbox {Mat}} _ {n} = { mbox {Skew}} _ {n} + { mbox {Sym}} _ {n}}$ va ${ textstyle { mbox {Skew}} _ {n} cap { mbox {Sym}} _ {n} = 0,}$

${ displaystyle { mbox {Mat}} _ {n} = { mbox {Skew}} _ {n} oplus { mbox {Sym}} _ {n},}$

qayerda ${ displaystyle oplus}$ belgisini bildiradi to'g'ridan-to'g'ri summa.

Belgilash ${ textstyle langle cdot, cdot rangle}$ standart ichki mahsulot kuni ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$ Haqiqiy ${ displaystyle n times n}$ matritsa ${ textstyle A}$ qiyshiq nosimmetrikdir va agar shunday bo'lsa

${ displaystyle langle Ax, y rangle = - langle x, Ay rangle quad forall x, y in mathbb {R} ^ {n}.}$

Bu ham tengdir ${ textstyle langle x, Ax rangle = 0}$ Barcha uchun ${ displaystyle x in mathbb {R} ^ {n}}$ (bir mazmuni aniq, ikkinchisi aniq natijadir ${ textstyle langle x + y, A (x + y) rangle = 0}$ Barcha uchun ${ displaystyle x}$ va ${ displaystyle y}$).

Ushbu ta'rif tanlovdan mustaqil bo'lgani uchun asos, skew-simmetriya - faqat bog'liq bo'lgan xususiyat chiziqli operator ${ displaystyle A}$ va tanlovi ichki mahsulot.

${ displaystyle 3 marta 3}$ qiyshiq nosimmetrik matritsalarni namoyish etish uchun foydalanish mumkin o'zaro faoliyat mahsulotlar matritsani ko'paytirish sifatida.

Aniqlovchi

Ruxsat bering ${ displaystyle A}$ bo'lishi a ${ displaystyle n times n}$ nosimmetrik matritsa. The aniqlovchi ning ${ displaystyle A}$ qondiradi

${ displaystyle det left (A ^ { textsf {T}} right) = det (-A) = (- 1) ^ {n} det (A).}$

Xususan, agar ${ displaystyle n}$ g'alati va asosiy maydon 2 xarakteristikaga ega bo'lmaganligi sababli, determinant yo'qoladi. Demak, barcha g'alati o'lchovli skew simmetrik matritsalari birlikdir, chunki ularning determinantlari har doim nolga teng. Ushbu natija deyiladi Jakobi teoremasi, keyin Karl Gustav Jakobi (Eves, 1980).

Bir o'lchovli ish yanada qiziqroq. Aniqlanishicha, ning ${ displaystyle A}$ uchun ${ displaystyle n}$ hatto a ning kvadrati sifatida yozish mumkin polinom yozuvlarida ${ displaystyle A}$buni birinchi bo'lib Ceyley isbotlagan:^[3]

${ displaystyle det {(A)} = operatorname {Pf} (A) ^ {2}.}$

Ushbu polinom deyiladi Pfaffian ning ${ displaystyle A}$ va belgilanadi ${ displaystyle operatorname {Pf} (A)}$. Shunday qilib, haqiqiy skew-nosimmetrik matritsaning determinanti har doim manfiy emas. Ammo bu so'nggi haqiqatni elementar usul bilan quyidagicha isbotlash mumkin: haqiqiy skew-nosimmetrik matritsaning o'ziga xos qiymatlari xayoliy (pastga qarang) va u erda har bir o'ziga xos qiymatga bir xil ko'plik bilan konjuge o'ziga xos qiymat mos keladi; shu sababli, determinant o'z qiymatlarining ko'paytmasi bo'lib, ularning har biri ko'pligiga qarab takrorlanadi, shu zahotiyoq aniqlovchi, agar u 0 bo'lmasa, musbat haqiqiy son ekanligi kelib chiqadi.

Alohida atamalar soni ${ displaystyle s (n)}$ egri-simmetrik tartibli matritsaning determinantini kengaytirishda ${ displaystyle n}$ allaqachon Keyli, Silvestr va Pfaff tomonidan ko'rib chiqilgan. Bekor qilinganligi sababli, bu buyurtma umumiy matritsasi shartlari soniga nisbatan juda oz ${ displaystyle n}$, bu ${ displaystyle n!}$. Ketma-ketlik ${ displaystyle s (n)}$ (ketma-ketlik A002370 ichida OEIS )

1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0, …

va u kodlangan eksponent ishlab chiqarish funktsiyasi

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {s (n)} {n!}} x ^ {n} = chap (1-x ^ {2} o'ng) ^ {- { frac {1} {4}}} exp left ({ frac {x ^ {2}} {4}} o'ng).}$

Ikkinchisi asimptotikaga beradi (uchun ${ displaystyle n}$ hatto)

${ displaystyle s (n) = pi ^ {- { frac {1} {2}}} 2 ^ { frac {3} {4}} Gamma left ({ frac {3} {4} } o'ng) chap ({ frac {n} {e}} o'ng) ^ {n - { frac {1} {4}}} chap (1 + O chap ({ frac {1}) {n}} o'ng) o'ng).}$

Ijobiy va manfiy atamalar soni umumiy miqdorning taxminan yarmiga teng, garchi ularning farqi katta va katta ijobiy va salbiy qiymatlarni oladi ${ displaystyle n}$ ortadi (ketma-ketlik) A167029 ichida OEIS ).

O'zaro faoliyat mahsulot

Uchdan uchga nishab-nosimmetrik matritsalar o'zaro faoliyat mahsulotlarni matritsa ko'paytmasi sifatida ko'rsatish uchun ishlatilishi mumkin. Ko'rib chiqing vektorlar ${ textstyle mathbf {a} = chap (a_ {1} a_ {2} a_ {3} o'ng) ^ { textsf {T}}}$ va ${ textstyle mathbf {b} = chap (b_ {1} b_ {2} b_ {3} o'ng) ^ { textsf {T}}.}$ Keyin matritsani aniqlang

${ displaystyle [ mathbf {a}] _ { times} = { begin {bmatrix} , , 0 & ! - a_ {3} & , , , a_ {2} , , , a_ {3} & 0 & ! - a_ {1} ! - a_ {2} & , , a_ {1} & , , 0 end {bmatrix}},}$

o'zaro faoliyat mahsulot sifatida yozilishi mumkin

${ displaystyle mathbf {a} times mathbf {b} = [ mathbf {a}] _ { times} mathbf {b}.}$

Buni avvalgi tenglamaning ikkala tomonini hisoblash va natijalarning har bir mos keladigan elementini taqqoslash orqali darhol tekshirish mumkin.

Biri aslida bor

${ displaystyle [ mathbf {a times b}] _ { times} = [ mathbf {a}] _ { times} [ mathbf {b}] _ { times} - [ mathbf {b} ] _ { times} [ mathbf {a}] _ { times};}$

ya'ni qiyshiq nosimmetrik uchdan uchgacha matritsalarning kommutatorini uch vektorlarning o'zaro hosilasi bilan aniqlash mumkin. Nishab nosimmetrik uchdan uchgacha matritsalar bu Yolg'on algebra aylanish guruhining ${ textstyle SO (3)}$ bu uch fazo o'rtasidagi munosabatni yoritib beradi ${ textstyle mathbb {R} ^ {3}}$, o'zaro faoliyat mahsulot va uch o'lchovli aylanishlar. Cheksiz kichik aylanishlar haqida ko'proq quyida topishingiz mumkin.

Spektral nazariya

Matritsa bo'lgani uchun o'xshash o'z transpozitsiyasida ular bir xil o'ziga xos qiymatlarga ega bo'lishi kerak. Bundan kelib chiqadiki o'zgacha qiymatlar qiyshiq nosimmetrik matritsaning har doim ± λ juft bo'lib keladi (qo'shimcha o'lchovsiz 0 o'zaro qiymat mavjud bo'lgan yagona o'lchovli hol bundan mustasno). Dan spektral teorema, haqiqiy qiyshiq nosimmetrik matritsa uchun nolga teng bo'lmagan tabiiy qiymatlarning barchasi sofdir xayoliy va shu tariqa shaklga ega ${ displaystyle lambda _ {1} i, - lambda _ {1} i, lambda _ {2} i, - lambda _ {2} i, ldots}$ qaerda ${ displaystyle lambda _ {k}}$ haqiqiydir.

Haqiqiy nosimmetrik matritsalar normal matritsalar (ular o'zlari bilan borishadi qo'shni ) va shuning uchun spektral teorema, bu har qanday haqiqiy skew-nosimmetrik matritsani a bilan diagonallashtirish mumkinligini aytadi unitar matritsa. Haqiqiy nosimmetrik matritsaning xususiy qiymatlari xayoliy bo'lganligi sababli, ularni haqiqiy matritsa bilan diagonallashtirish mumkin emas. Biroq, har bir burilish-nosimmetrik matritsani a ga etkazish mumkin blok diagonali shakl maxsus ortogonal transformatsiya.^[4][5] Xususan, har biri ${ displaystyle 2n times 2n}$ haqiqiy skew-nosimmetrik matritsa shaklida yozilishi mumkin ${ displaystyle A = Q Sigma Q ^ { textsf {T}}}$ qayerda ${ displaystyle Q}$ ortogonal va

${ displaystyle Sigma = { begin {bmatrix} { begin {matrix} 0 & lambda _ {1} - lambda _ {1} & 0 end {matrix}} & 0 & cdots & 0 0 & { begin {matrix} 0 & lambda _ {2} - lambda _ {2} & 0 end {matrix}} && 0 vdots && ddots & vdots 0 & 0 & cdots & { begin {matrix} 0 & lambda _ {r} - lambda _ {r} & 0 end {matrix}} &&&& { begin {matrix} 0 & ddots && 0 end {matrix}} end { bmatrix}}}$

haqiqiy ijobiy-aniq uchun ${ displaystyle lambda _ {k}}$. Ushbu matritsaning nolga teng bo'lmagan qiymatlari ± λ_k men. G'alati o'lchovli holatda Σ har doim kamida bitta qator va nol ustuniga ega bo'ladi.

Umuman olganda, har qanday murakkab skew-nosimmetrik matritsa shaklda yozilishi mumkin ${ displaystyle A = U Sigma U ^ { mathrm {T}}}$ qayerda ${ displaystyle U}$ unitar va ${ displaystyle Sigma}$ bilan yuqorida berilgan blok-diagonal shaklga ega ${ displaystyle lambda _ {k}}$ hali ham aniq ijobiy. Bu murakkab kvadrat matritsaning Youla parchalanishiga misol.^[6]

Nishab-simmetrik va o'zgaruvchan shakllar

A nosimmetrik shakl ${ displaystyle varphi}$ a vektor maydoni ${ displaystyle V}$ ustidan maydon ${ displaystyle K}$ o'zboshimchalik xarakteristikasi a deb belgilanadi bilinear shakl

${ displaystyle varphi: V times V mapsto K}$

hamma uchun shunday ${ displaystyle v, w}$ yilda ${ displaystyle V,}$

${ displaystyle varphi (v, w) = - varphi (w, v).}$

Bu xarakteristikalar maydonlari ustidagi vektor bo'shliqlari uchun kerakli xususiyatlarga ega bo'lgan shaklni 2 ga teng bo'lmagan holda belgilaydi, lekin 2 xarakteristikalar maydonidagi vektor makonida ta'rif nosimmetrik shaklga teng keladi, chunki har bir element o'zining o'ziga xos qo'shimchasi .

Qaerda vektor maydoni ${ displaystyle V}$ o'zboshimchalik maydonida xarakterli shu jumladan xarakterli 2, biz an belgilashimiz mumkin o'zgaruvchan shakl bilinear shakl sifatida ${ displaystyle phi}$ barcha vektorlar uchun shunday ${ displaystyle v}$ yilda ${ displaystyle V}$

${ displaystyle varphi (v, v) = 0.}$

Bu, maydon ko'rinib turganidek 2 xarakteristikasiga ega bo'lmaganda, qiyshiq nosimmetrik shaklga teng

${ displaystyle 0 = varphi (v + w, v + w) = varphi (v, v) + varphi (v, w) + varphi (w, v) + varphi (w, w) = varphi (v, w) + varphi (w, v),}$

qayerdan

${ displaystyle varphi (v, w) = - varphi (w, v).}$

Aniq shakl ${ displaystyle varphi}$ matritsa bilan ifodalanadi ${ displaystyle A}$ shu kabi ${ displaystyle varphi (v, w) = v ^ { textsf {T}} Aw}$, bir marta asos ning ${ displaystyle V}$ tanlanadi va aksincha an ${ displaystyle n times n}$ matritsa ${ displaystyle A}$ kuni ${ displaystyle K ^ {n}}$ shaklni yuborishni keltirib chiqaradi ${ displaystyle (v, w)}$ ga ${ displaystyle v ^ { textsf {T}} Aw.}$ Nosimmetrik, egri-simmetrik va o'zgaruvchan shakllarning har biri uchun vakili matritsalar mos ravishda nosimmetrik, egri-simmetrik va o'zgaruvchan.

Cheksiz kichik aylanishlar

Haqiqiy sonlar sohasidagi egri-simmetrik matritsalar teginsli bo'shliq realga ortogonal guruh ${ displaystyle O (n)}$ identifikatsiya matritsasida; rasmiy ravishda maxsus ortogonal Lie algebra. Shu ma'noda, skew-nosimmetrik matritsalar deb o'ylash mumkin cheksiz kichik aylanishlar.

Buni aytishning yana bir usuli shundan iboratki, qiyshiq nosimmetrik matritsalar maydoni Yolg'on algebra ${ displaystyle o (n)}$ ning Yolg'on guruh ${ displaystyle O (n).}$ Ushbu bo'shliqda Yolg'on qavsini komutator:

${ displaystyle [A, B] = AB-BA. ,}$

Ikkita nosimmetrik matritsaning kommutatori yana nishab-nosimmetrik ekanligini tekshirish oson:

${ displaystyle { begin {aligned} {[} A, B {]} ^ { textsf {T}} & = B ^ { textsf {T}} A ^ { textsf {T}} - A ^ { textsf {T}} B ^ { textsf {T}} & = (- B) (- A) - (- A) (- B) = BA-AB = - [A, B] ,. end {hizalangan}}}$

The matritsali eksponent nosimmetrik matritsa ${ displaystyle A}$ keyin an ortogonal matritsa ${ displaystyle R}$:

${ displaystyle R = exp (A) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {A ^ {n}} {n!}}.}$

Ning tasviri eksponent xarita Lie algebra har doim ulangan komponent identifikatsiya elementini o'z ichiga olgan Lie guruhining. Yolg'on guruhi misolida ${ displaystyle O (n),}$ bu bog'langan komponent maxsus ortogonal guruh ${ displaystyle SO (n),}$ determinantli barcha ortogonal matritsalardan iborat 1. Demak ${ displaystyle R = exp (A)}$ +1 determinantiga ega bo'ladi. Bundan tashqari, ulangan ixcham Lie guruhining eksponent xaritasi har doim sur'ektiv xususiyatga ega bo'lganligi sababli, shunday bo'ladi har bir birlik aniqlovchisiga ega bo'lgan ortogonal matritsa ba'zi skew-simmetrik matritsalarning eksponentligi sifatida yozilishi mumkin. O'lchovning alohida muhim holatida ${ displaystyle n = 2,}$ ortogonal matritsa uchun eksponensial vakillik taniqli darajaga kamayadi qutbli shakl murakkab birlik birligi moduli. Haqiqatan ham, agar ${ displaystyle n = 2,}$ maxsus ortogonal matritsa shakliga ega

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & -b b & , a end {bmatrix}},}$

bilan ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = 1}$. Shuning uchun, qo'yish ${ displaystyle a = cos theta}$ va ${ displaystyle b = sin theta,}$ yozilishi mumkin

${ displaystyle { begin {bmatrix} cos , theta & - sin , theta sin , theta & , cos , theta end {bmatrix}} = exp chap ( theta { begin {bmatrix} 0 & -1 1 & , 0 end {bmatrix}} o'ng),}$

bu qutbli shaklga to'liq mos keladi ${ displaystyle cos theta + i sin theta = e ^ {i theta}}$ murakkab birlik birligi moduli.

Ortogonal tartibli matritsaning eksponent ko'rsatkichi ${ displaystyle n}$ o'lchovda ekanligidan boshlab ham olinishi mumkin ${ displaystyle n}$ har qanday maxsus ortogonal matritsa ${ displaystyle R}$ sifatida yozilishi mumkin ${ displaystyle R = QSQ ^ { textsf {T}},}$ qayerda ${ displaystyle Q}$ ortogonal, S esa a blokli diagonali matritsa bilan ${ textstyle lfloor n / 2 rfloor}$ 2-buyurtma bloklari, shuningdek, agar 1-buyurtmalardan biri ${ displaystyle n}$ toq; 2-tartibdagi har bir bitta blok ham ortogonal matritsa bo'lganligi sababli, u eksponent shaklni tan oladi. Shunga mos ravishda, matritsaS egri-nosimmetrik blokli matritsaning eksponentligi sifatida yozadi ${ displaystyle Sigma}$ yuqoridagi shakldan, ${ displaystyle S = exp ( Sigma),}$ Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${ displaystyle R = Q exp ( Sigma) Q ^ { textsf {T}} = exp (Q Sigma Q ^ { textsf {T}}),}$ egri-nosimmetrik matritsaning eksponentligi ${ displaystyle Q Sigma Q ^ { textsf {T}}.}$ Aksincha, eksponensial xaritaning surektivligi, yuqorida ko'rsatilgan skew-nosimmetrik matritsalar uchun blok-diagonalizatsiya bilan birgalikda, ortogonal matritsalar uchun blok-diagonalizatsiyani nazarda tutadi.

Koordinatasiz

Batafsil ichki (ya'ni koordinatalarni ishlatmasdan), vektor makonidagi egri-simmetrik chiziqli o'zgarishlar ${ displaystyle V}$ bilan ichki mahsulot deb belgilanishi mumkin ikki vektorli oddiy bivektorlarning yig'indisi bo'lgan bo'shliqda (2 pichoq ) ${ textstyle v wedge w.}$ Xatlar xarita bilan berilgan ${ textstyle v wedge w mapsto v ^ {*} otimes w-w ^ {*} otimes v,}$ qayerda ${ textstyle v ^ {*}}$ bu vektor uchun dual kvektor ${ textstyle v}$; ortonormal koordinatalarda bu aynan elementar qiyshiq nosimmetrik matritsalar. Ushbu xarakteristikani izohlashda foydalaniladi burish vektor maydonining (tabiiy ravishda 2-vektorli) cheksiz kichik aylanish yoki "burish" shaklida ekanligi, shu sababli nomi.

Nishab-nosimmetrik matritsa

An ${ displaystyle n times n}$ matritsa ${ displaystyle A}$ deb aytilgan nosimmetrik agar teskari mavjud bo'lsa diagonal matritsa ${ displaystyle D}$ shu kabi ${ displaystyle DA}$ nosimmetrikdir. Uchun haqiqiy ${ displaystyle n times n}$ matritsalar, ba'zan uchun shart ${ displaystyle D}$ ijobiy yozuvlarga ega bo'lish uchun qo'shiladi.^[7]

Shuningdek qarang

• Keyli o'zgarishi
• Nosimmetrik matritsa
• Skew-Hermitian matritsasi
• Simpektik matritsa
• Matematikadagi simmetriya

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish

• Eves, Xovard (1980). Elementar matritsa nazariyasi. Dover nashrlari. ISBN  978-0-486-63946-8.
• Suprunenko, D. A. (2001) [1994], "Nishab-simmetrik matritsa", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
• Aitken, A. C. (1944). "Nosimmetrik va qiyshiq determinantlarning kengayishidagi aniq atamalar soni to'g'risida". Edinburg matematikasi. Izohlar.

Tashqi havolalar

• "Antisimetrik matritsa". Wolfram Mathworld.
• Benner, Piter; Kressner, Doniyor. "HAPACK - Hamiltoniyaning o'ziga xos qiymati muammolari uchun dasturiy ta'minot (Skew-)".
• Uord, R. K .; Grey, L. J. (1978). "Algoritm 530: egri simmetrik matritsalar va simmetrik matritsalar sinfini xususiy tizimini hisoblash algoritmi [F2]". Matematik dasturiy ta'minot bo'yicha ACM operatsiyalari. 4 (3): 286. doi:10.1145/355791.355799. Fortran Fortran90