Degasperis-Procesi tenglamasi - Degasperis–Procesi equation - Wikipedia

Yilda matematik fizika, Degasperis-Procesi tenglamasi

${ displaystyle displaystyle u_ {t} -u_ {xxt} +2 kappa u_ {x} + 4uu_ {x} = 3u_ {x} u_ {xx} + uu_ {xxx}}$

faqat ikkitadan biri to'liq hal etiladigan quyidagi uchinchi oiladagi tenglamalarbuyurtma, chiziqli emas, dispersli PDElar:

${ displaystyle displaystyle u_ {t} -u_ {xxt} +2 kappa u_ {x} + (b + 1) uu_ {x} = bu_ {x} u_ {xx} + uu_ {xxx},}$

qayerda ${ displaystyle kappa}$ va b haqiqiy parametrlar (b= 3 Degasperis-Procesi tenglamasi uchun). Uni Degasperis va Procesi qidirib topgan integral tenglamalar shakliga o'xshash Kamassa-Xolm tenglamasi, bu ushbu oiladagi boshqa integrallanadigan tenglama (mos keladigan b= 2); bu ikkita tenglama yagona integral holatlar ekanligi turli xil integrallanish testlari yordamida tasdiqlangan.^[1] O'zining matematik xususiyatlari tufayli kashf etilgan bo'lsa-da, Degasperis-Procesi tenglamasi (bilan ${ displaystyle kappa> 0}$) da shunga o'xshash rol o'ynashi aniqlandi suv to'lqini nazariyani Kamassa-Xolm tenglamasi sifatida.^[2]

Soliton eritmalari

Degasperis-Procesi tenglamasining echimlari orasida (alohida holatda) ${ displaystyle kappa = 0}$) deb ataladi multipeakon shaklning funktsiyalari bo'lgan echimlar

${ displaystyle displaystyle u (x, t) = sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} (t) e ^ {- | x-x_ {i} (t) |}}$

bu erda funktsiyalar ${ displaystyle m_ {i}}$ va ${ displaystyle x_ {i}}$ qondirmoq^[3]

${ displaystyle { dot {x}} _ {i} = sum _ {j = 1} ^ {n} m_ {j} e ^ {- | x_ {i} -x_ {j} |}, qquad { nuqta {m}} _ {i} = 2m_ {i} sum _ {j = 1} ^ {n} m_ {j} , operator nomi {sgn} {(x_ {i} -x_ {j} )} e ^ {- | x_ {i} -x_ {j} |}.}$

Bular ODE dan foydalanib, elementar funktsiyalar nuqtai nazaridan aniq echilishi mumkin teskari spektral usullar.^[4]

Qachon ${ displaystyle kappa> 0}$ The soliton Degasperis-Procesi tenglamasining echimlari silliq; ular chegaradagi pikonlarga yaqinlashadi ${ displaystyle kappa}$ nolga intiladi.^[5]

Uzluksiz echimlar

Degasperis-Procesi tenglamasi (bilan ${ displaystyle kappa = 0}$) rasmiy ravishda (nonlocal) ga teng giperbolik saqlanish qonuni

${ displaystyle kısalt _ {t} u + qisman _ {x} chap [{ frac {u ^ {2}} {2}} + { frac {G} {2}} * { frac {3u ^ {2}} {2}} o'ng] = 0,}$

qayerda ${ displaystyle G (x) = exp (- | x |)}$va yulduz qaerda ekanligini anglatadi konversiya munosabat bilan x.Bu formulada u tan oladi kuchsiz eritmalar juda past muntazamlik bilan, hatto uzluksiz (zarba to'lqinlari ).^[6] Aksincha, Kamassa-Xolm tenglamasining mos keladigan formulasi ikkalasini ham o'z ichiga olgan konvolyutsiyani o'z ichiga oladi ${ displaystyle u ^ {2}}$ va ${ displaystyle u_ {x} ^ {2}}$, bu faqat mantiqiy bo'lsa siz yotadi Sobolev maydoni ${ displaystyle H ^ {1} = W ^ {1,2}}$ munosabat bilan x. Tomonidan Sobolevni kiritish teoremasi, bu, ayniqsa, Kamassa-Xolm tenglamasining zaif echimlari nisbatan uzluksiz bo'lishi kerakligini anglatadi x.

Izohlar

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish