Kamassa-Xolm tenglamasi - Camassa–Holm equation

Ikkalasining o'zaro ta'siri tepaliklar - bu Kamassa-Xolm tenglamasining keskin solventli eritmalari. To'lqin profili (qattiq egri chiziq) ikkita tepalikning oddiy chiziqli qo'shilishi bilan hosil bo'ladi (kesilgan egri chiziqlar):
${ displaystyle u = m_ {1} , e ^ {- | x-x_ {1} |} + m_ {2} , e ^ {- | x-x_ {2} |}.}$
Shaxsiy pikon pozitsiyalarining rivojlanishi ${ displaystyle x_ {1} (t)}$ va ${ displaystyle x_ {2} (t)}$, shuningdek, pikon amplitudalarining evolyutsiyasi ${ displaystyle m_ {1} (t)}$ va ${ displaystyle m_ {2} (t),}$ ammo unchalik ahamiyatsiz: bu o'zaro ta'sir bilan chiziqli bo'lmagan holda aniqlanadi.

Yilda suyuqlik dinamikasi, Kamassa-Xolm tenglamasi bo'ladi integral, o'lchovsiz va chiziqli bo'lmagan qisman differentsial tenglama

${ displaystyle u_ {t} +2 kappa u_ {x} -u_ {xxt} + 3uu_ {x} = 2u_ {x} u_ {xx} + uu_ {xxx}. ,}$

Tenglama tomonidan kiritilgan Roberto Kamassa va Darril Xolm^[1] bi- sifatidaHamiltoniyalik to'lqinlar uchun model sayoz suv va shu nuqtai nazardan parametr κ ijobiy va the yolg'iz to'lqin echimlar silliq solitonlar.

Maxsus holatda κ nolga teng, Kamassa-Xolm tenglamasi mavjud pikon echimlar: keskin tepalikli solitonlar, shuning uchun a uzilish to'lqinning eng yuqori cho'qqisida Nishab.

Sayoz suvdagi to'lqinlarga munosabat

Kamassa-Xolm tenglamasini tenglamalar tizimi sifatida yozish mumkin:^[2]

${ displaystyle { begin {aligned} u_ {t} + uu_ {x} + p_ {x} & = 0, p-p_ {xx} & = 2 kappa u + u ^ {2} + { frac {1} {2}} chap (u_ {x} o'ng) ^ {2}, end {hizalangan}}}$

bilan p (o'lchovsiz) bosim yoki sirt balandligi. Bu Kamassa-Xolm tenglamasi sayoz suv to'lqinlari uchun namuna ekanligini ko'rsatadi.gidrostatik gorizontal yotoqda bosim va suv qatlami.

Chiziqli tarqalish Kamassa-Xolm tenglamasining xususiyatlari quyidagilar:

${ displaystyle omega = 2 kappa { frac {k} {1 + k ^ {2}}},}$

bilan ω The burchak chastotasi va k The gulchambar. Buning ajablanarli joyi yo'q, chunki bu o'xshash shaklga ega Korteweg – de Fris tenglamasi, taqdim etilgan κ nolga teng emas. Uchun κ nolga teng, Kamassa-Xolm tenglamasida chastota dispersiyasi yo'q - bundan tashqari chiziqli o'zgarishlar tezligi bu ish uchun nolga teng. Natijada, κ ning uzun to'lqin chegarasi uchun faza tezligi k nolga yaqinlashmoqda va Kamassa-Xolm tenglamasi (agar shunday bo'lsa) κ nolga teng emas) Korteveg-de-Vriz tenglamasi kabi bir yo'nalishli to'lqin tarqalish modeli.

Gamilton tuzilishi

Impulsni tanishtirish m kabi

${ displaystyle m = u-u_ {xx} + kappa, ,}$

keyin ikkitasi mos keladi Hamiltoniyalik Kamassa-Xolm tenglamasining tavsiflari quyidagilardir:^[3]

${ displaystyle { begin {aligned} m_ {t} & = - { mathcal {D}} _ {1} { frac { delta { mathcal {H}} _ {1}} { delta m} } && { text {with}} & { mathcal {D}} _ {1} & = m { frac { qismli} { qisman x}} + { frac { qismli} { qismli x} } m & { text {and}} { mathcal {H}} _ {1} & = { frac {1} {2}} int u ^ {2} + left (u_ {x} right) ^ {2} ; { text {d}} x, m_ {t} & = - { mathcal {D}} _ {2} { frac { delta { mathcal {H}} _ { 2}} { delta m}} && { text {with}} & { mathcal {D}} _ {2} & = { frac { qismli} { qismli x}} + { frac { qisman ^ {3}} { qismli x ^ {3}}} va { text {va}} { mathcal {H}} _ {2} & = { frac {1} {2}} int u ^ {3} + u chap (u_ {x} o'ng) ^ {2} - kappa u ^ {2} ; { text {d}} x. End {hizalangan}}}$

Butunlik

Kamassa-Xolm tenglamasi an integral tizim. Integrallik o'zgaruvchilar o'zgarishini anglatadi (harakat burchagi o'zgaruvchilari ) yangi o'zgaruvchilardagi evolyutsiya tenglamasi doimiy tezlikda chiziqli oqimga teng. O'zgaruvchanlarning bu o'zgarishiga bog'liq bo'lgan narsalarni o'rganish orqali erishiladi izospektral / tarqalish muammosi, va bu birlashtirilishi mumkin bo'lgan klassikni eslatadi Hamilton tizimlari doimiy tezlikda chiziqli oqimlarga teng tori. Kamassa-Xolm tenglamasi impulsni ta'minlash sharti bilan integrallanadi

${ displaystyle m = u-u_ {xx} + kappa ,}$

ijobiy - qarang ^[4] va ^[5] ning batafsil tavsifi uchun spektr izospektral muammo bilan bog'liq,^[4] fazoviy davriy silliq echimlar holatida teskari spektral muammo uchun va ^[6] cheksizda parchalanadigan silliq eritmalar holatida teskari tarqoqlik yondashuvi uchun.

Aniq echimlar

Sayohat to'lqinlari - bu shaklning echimlari

${ displaystyle u (t, x) = f (x-ct) ,}$

doimiy shakldagi to'lqinlarni ifodalaydi f doimiy tezlikda tarqaladigan v. Ushbu to'lqinlar, agar ular lokalizatsiya qilingan buzilishlar bo'lsa, ya'ni to'lqin profili bo'lsa, ularni yolg'iz to'lqinlar deb atashadi f abadiylikda parchalanadi. Agar bitta to'lqinlar bir xil turdagi boshqa to'lqinlar bilan o'zaro aloqada bo'lgandan keyin shakl va tezlikni saqlab qolsa, biz yakka to'lqinlarni solitonlar deymiz. Integrallik va solitonlar o'rtasida chambarchas bog'liqlik mavjud.^[7] Cheklovchi holatda qachon κ = 0 solitonlar eng yuqori darajaga ko'tariladi (funktsiya grafigi kabi shakllanadi f(x) = e^−|x|) va keyin ular chaqiriladi tepaliklar. Pikonning o'zaro ta'siri uchun aniq formulalarni taqdim etish mumkin, bu ularning solitonlar ekanligi haqida tasavvur beradi.^[8] Silit solitonlar uchun solitonning o'zaro ta'siri kamroq oqlangan.^[9] Bu qisman pikonlardan farqli o'laroq silliq solitonlarni sifat jihatidan ta'riflashda nisbatan osonroq bo'lganligi bilan bog'liq - ular silliq, cheksiz darajada eksponent ravishda tez yemiriladi, tepalikka nisbatan nosimmetrik va ikkita burilish nuqtasi mavjud.^[10] - ammo aniq formulalar mavjud emas. Shuni ham ta'kidlash kerakki, yakka to'lqinlar orbital ravishda barqaror, ya'ni silliq solitonlar uchun ularning shakli mayda bezovtaliklar ostida barqarordir.^[10] va cho'qqilar uchun.^[11]

To'lqinni sindirish

Kamassa-Xolm tenglamasi modellari to'lqinlarni buzish: abadiylikda etarli darajada parchalanadigan silliq boshlang'ich profil har doim mavjud to'lqinga yoki to'lqin to'lqini (to'lqin sinishi) ga aylanadi^[12] eritmaning chegaralangan bo'lib qolishi, lekin uning qiyaligi cheklangan vaqt ichida chegarasiz bo'lib qolishi bilan tavsiflanadi). Tenglamalarda ushbu turdagi echimlarni qabul qilish haqiqati Kamassa va Xolm tomonidan kashf etilgan^[1] va keyinchalik bu fikrlar qat'iy matematik asosga qo'yildi.^[13]Ma'lumki, eritmalarda singularlik paydo bo'lishi mumkin bo'lgan yagona usul bu sindirish to'lqinlari ko'rinishida.^[14][15]Bundan tashqari, silliq boshlang'ich profil haqidagi bilimlardan (zarur va etarli shart bilan) to'lqin sinishi sodir bo'ladimi yoki yo'qligini taxmin qilish mumkin.^[16] To'lqinlarni sindirishdan keyin echimlarni davom ettirishga kelsak, ikkita senariy mumkin: konservativ holat^[17] va dissipativ ish^[18] (birinchisi energiyani tejash bilan tavsiflanadi, dissiptsion stsenariy buzilish tufayli energiyani yo'qotishini hisobga oladi).

Uzoq muddatli asimptotiklar

Etarli darajada tez parchalanish uchun musbat impuls bilan silliq boshlang'ich sharoitlar sonli songa va solitonlarga, shuningdek parchalanuvchi dispersiyali qismga bo'linishini ko'rsatishi mumkin. Aniqrog'i, quyidagilarni ko'rsatish mumkin ${ displaystyle kappa> 0}$:^[19]Qisqartirish ${ displaystyle c = x / ( kappa t)}$. Soliton mintaqasida ${ displaystyle c> 2}$ eritmalar sonli chiziqli birikma solitonlarga bo'linadi. Mintaqada ${ displaystyle 0$ eritma asimptotik ravishda amplitudasi pasayadigan modulyatsiyalangan sinus funktsiyasi bilan beriladi ${ displaystyle t ^ {- 1/2}}$. Mintaqada ${ displaystyle -1/4$ eritma asimptotik ravishda oldingi holatdagidek ikkita modulyatsiyalangan sinus funktsiyasi yig'indisi bilan beriladi. Mintaqada ${ displaystyle c <-1/4}$ eritma tezda parchalanadi ${ displaystyle kappa = 0}$ eritma pikonlarning cheksiz chiziqli birikmasiga bo'linadi^[20] (ilgari taxmin qilinganidek)^[21]).

Shuningdek qarang

• Degasperis-Procesi tenglamasi
• Hunter-Sakston tenglamasi

Izohlar

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish