Dirichlet manfiy multinomial taqsimoti - Dirichlet negative multinomial distribution

Bu maqola uchun qo'shimcha iqtiboslar kerak tekshirish. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Ma'lumot manbasi bo'lmagan material shubha ostiga olinishi va olib tashlanishi mumkin. Manbalarni toping: "Dirichlet manfiy multinomial tarqatish"  – Yangiliklar  · gazetalar  · kitoblar  · olim  · JSTOR (Aprel 2020) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Notation	${ displaystyle { textrm {DNM}} (x_ {0}, , alpha _ {0}, , { boldsymbol { alpha}})}$
Parametrlar	${ displaystyle x_ {0} in R, alfa _ {0} in R, { boldsymbol { alpha}} in R ^ {m}}$
Qo'llab-quvvatlash	${ displaystyle x_ {i} in {0,1,2, ldots }, 1 leq i leq m}$
PDF	${ displaystyle { frac { mathrm {B} ( sum _ {i = 0} ^ {m} x_ {i}, sum _ {i = 0} ^ {m} alpha _ {i})} { mathrm {B} (x_ {0}, alfa _ {0})}} prod _ {i = 1} ^ {m} { frac { Gamma (x_ {i} + alfa _ {i })} {x_ {i}! Gamma ( alfa _ {i})}}}$ qaerda Γ (x) bo'ladi Gamma funktsiyasi va B - beta funktsiyasi.
Anglatadi	${ displaystyle { tfrac {x_ {0}} { alpha _ {0} -1}} { boldsymbol { alpha}}}$ uchun ${ displaystyle alpha _ {0}> 1}$
Varians	${ displaystyle , { frac {x_ {0} (x_ {0} + alfa _ {0} -1)} {( alfa _ {0} -1) ^ {2} ( alfa _ {0 } -2)}} chap [{ boldsymbol { alpha}} { boldsymbol { alpha}} '+ ( alfa _ {0} -1) operator nomi {diag} ({ boldsymbol { alpha}) }) o'ng]}$ uchun ${ displaystyle alpha _ {0}> 2}$
MGF	aniqlanmagan

Yilda ehtimollik nazariyasi va statistika, Dirichlet manfiy multinomial taqsimoti manfiy bo'lmagan butun sonlar bo'yicha ko'p o'zgaruvchan taqsimot. Bu ning ko'p o'zgaruvchan kengaytmasi beta manfiy binomial taqsimot. Bundan tashqari, salbiy multinomial taqsimot (NM (k, p)) bir xillikka yo'l qo'ymaslik yoki overdispersion ehtimollik vektoriga. Bu ishlatiladi miqdoriy marketing tadqiqotlari bir nechta tovar belgilari bo'yicha uy-ro'zg'or operatsiyalari sonini moslashuvchan ravishda modellashtirish.

Agar parametrlari Dirichlet tarqatish bor ${ displaystyle { boldsymbol { alpha}}}$va agar bo'lsa

${ displaystyle X mid p sim operatorname {NM} (x_ {0}, mathbf {p}),}$

qayerda

${ displaystyle mathbf {p} sim operator nomi {Dir} ( alfa _ {0}, { boldsymbol { alpha}}),}$

keyin ning marginal taqsimoti X Dirichlet manfiy multinomial tarqatish:

${ displaystyle X sim operatorname {DNM} (x_ {0}, alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha}}).}$

Yuqorida, ${ displaystyle operatorname {NM} (x_ {0}, mathbf {p})}$ bo'ladi salbiy multinomial taqsimot va ${ displaystyle operatorname {Dir} ( alfa _ {0}, { boldsymbol { alpha}})}$ bo'ladi Dirichlet tarqatish.

Motivatsiya

Dirichlet manfiy multinomial birikma taqsimoti sifatida

Dirichlet taqsimoti a konjugat taqsimoti salbiy multinomial taqsimotga. Bu haqiqat analitik ravishda olib boriladigan narsalarga olib keladi aralash taqsimot.Kategoriyalar tasodifiy vektori uchun ${ displaystyle mathbf {x} = (x_ {1}, nuqtalar, x_ {m})}$, a ga muvofiq taqsimlanadi salbiy multinomial taqsimot, birikma taqsimoti uchun taqsimotga integratsiyalash orqali olinadi p deb o'ylash mumkin tasodifiy vektor Dirichlet tarqatilishidan so'ng:

${ displaystyle Pr ( mathbf {x} mid x_ {0}, alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha}}) = = int _ { mathbf {p}} Pr ( mathbf {x} mid x_ {0}, mathbf {p}) Pr ( mathbf {p} mid alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha}}) { textrm {d}} mathbf {p}}$

${ displaystyle Pr ( mathbf {x} mid x_ {0}, alfa _ {0}, { boldsymbol { alpha}}) = = frac { Gamma left ( sum _ {i = 0} ^ {m} {x_ {i}} o'ng)} { Gamma (x_ {0}) prod _ {i = 1} ^ {m} x_ {i}!}} { Frac {1} { mathrm {B} ({ boldsymbol { alpha}})}} int _ { mathbf {p}} prod _ {i = 0} ^ {m} p_ {i} ^ {x_ {i} + alpha _ {i} -1} { textrm {d}} mathbf {p}}$

natijada quyidagi formula olinadi:

${ displaystyle Pr ( mathbf {x} mid x_ {0}, alfa _ {0}, { boldsymbol { alpha}}) = = frac { Gamma left ( sum _ {i = 0} ^ {m} {x_ {i}} o'ng)} { Gamma (x_ {0}) prod _ {i = 1} ^ {m} x_ {i}!}} { Frac {{ mathrm {B}} ( mathbf {x _ {+}} + { boldsymbol { alpha}} _ {+})} { mathrm {B} ({ boldsymbol { alpha}} _ {+})} }}$

qayerda ${ displaystyle mathbf {x _ {+}}}$ va ${ displaystyle { boldsymbol { alpha}} _ {+}}$ ular ${ displaystyle m + 1}$ skalar qo'shilishi natijasida hosil bo'lgan o'lchovli vektorlar ${ displaystyle x_ {0}}$ va ${ displaystyle alpha _ {0}}$ uchun ${ displaystyle m}$ o'lchovli vektorlar ${ displaystyle mathbf {x}}$ va ${ displaystyle { boldsymbol { alpha}}}$ navbati bilan va ${ displaystyle mathrm {B}}$ ning ko'p o'zgaruvchan versiyasi beta funktsiyasi. Ushbu tenglamani quyidagicha aniq yozishimiz mumkin

${ displaystyle Pr ( mathbf {x} mid x_ {0}, alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha}}) = x_ {0} { frac { Gamma ( sum _ { i = 0} ^ {m} x_ {i}) Gamma ( sum _ {i = 0} ^ {m} alpha _ {i})} { Gamma ( sum _ {i = 0} ^ { m} (x_ {i} + alfa _ {i}))}}} prod _ {i = 0} ^ {m} { frac { Gamma (x_ {i} + alfa _ {i})} { Gamma (x_ {i} +1) Gamma ( alfa _ {i})}}.}$

Shu bilan bir qatorda formulalar mavjud. Bitta qulay vakillik^[1] bu

${ displaystyle Pr ( mathbf {x} mid x_ {0}, alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha}}) = { frac { Gamma (x _ { bullet})}} Gamma (x_ {0}) prod _ {i = 1} ^ {m} Gamma (x_ {i} +1)}} times { frac { Gamma ( alpha _ { bullet})} { prod _ {i = 0} ^ {m} Gamma ( alfa _ {i})}} times { frac { prod _ {i = 0} ^ {m} Gamma (x_ {i} + alfa _ {i})} { Gamma (x _ { bullet} + alfa _ { bullet})}}}$

qayerda ${ displaystyle x _ { bullet} = x_ {0} + x_ {1} + cdots + x_ {m}}$ va ${ displaystyle alpha _ { bullet} = alfa _ {0} + alfa _ {1} + cdots + alfa _ {m}}$.

Bu ham yozilishi mumkin

${ displaystyle Pr ( mathbf {x} mid x_ {0}, alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha}}) = = frac { mathrm {B} (x _ { bullet} , alpha _ { bullet})} { mathrm {B} (x_ {0}, alfa _ {0})}} prod _ {i = 1} ^ {m} { frac { Gamma ( x_ {i} + alfa _ {i})} {x_ {i}! Gamma ( alfa _ {i})}}.}$

Xususiyatlari

Marginal taqsimotlar

Olish uchun marginal taqsimot Dirichlet manfiy multinomial tasodifiy o'zgaruvchilarning bir qismiga faqatgina ahamiyatsizni tashlash kerak ${ displaystyle alpha _ {i}}$ning (kimdir marginallashtirmoqchi bo'lgan o'zgaruvchilar) dan ${ displaystyle { boldsymbol { alpha}}}$ vektor. Qolgan tasodifiy o'zgaruvchilarning birgalikdagi taqsimlanishi quyidagicha ${ displaystyle mathrm {DNM} (x_ {0}, alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha _ {-}}})}$ qayerda ${ displaystyle { boldsymbol { alpha _ {-}}}}$ o'chirilgan vektor ${ displaystyle alpha _ {i}}$.

Shartli taqsimotlar

Agar m- o'lchovli x quyidagicha bo'linadi

${ displaystyle mathbf {x} = { begin {bmatrix} mathbf {x} ^ {(1)} mathbf {x} ^ {(2)} end {bmatrix}} { text {with registri}} { begin {bmatrix} q times 1 (mq) times 1 end {bmatrix}}}$

va shunga ko'ra ${ displaystyle { boldsymbol { alpha}}}$

${ displaystyle { boldsymbol { alpha}} = { begin {bmatrix} { boldsymbol { alpha}} ^ {(1)} { boldsymbol { alpha}} ^ {(2)} end {bmatrix}} { text {o'lchamlari bilan}} { begin {bmatrix} q times 1 (mq) times 1 end {bmatrix}}}$

keyin shartli taqsimlash ning ${ displaystyle mathbf {x} ^ {(1)}}$ kuni ${ displaystyle mathbf {x} ^ {(2)}}$ bu ${ Displaystyle mathrm {DNM} (x_ {0} ^ { prime}, alfa _ {0} ^ { prime}, { boldsymbol { alpha}} ^ {(1)})}$ qayerda

${ displaystyle x_ {0} ^ { prime} = x_ {0} + sum _ {i = 1} ^ {m-q} x_ {i} ^ {(2)}}$

va

${ displaystyle alpha _ {0} ^ { prime} = alfa _ {0} + sum _ {i = 1} ^ {m-q} alpha _ {i} ^ {(2)}}$.

Anavi,

${ displaystyle Pr ( mathbf {x} ^ {(1)} mid mathbf {x} ^ {(2)}, x_ {0}, alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha}) }) = { frac { mathrm {B} (x _ { bullet}, alfa _ { bullet})} { mathrm {B} (x_ {0} ^ { prime}, alpha _ {0 } ^ { prime})}} prod _ {i = 1} ^ {q} { frac { Gamma (x_ {i} ^ {(1)} + alfa _ {i} ^ {(1) })} {(x_ {i} ^ {(1)}!) Gamma ( alfa _ {i} ^ {(1)})}}}$

Jami bo'yicha shartli

Dirichlet manfiy multinomial taqsimotning shartli taqsimlanishi ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} = n}$ bu Dirichlet-multinomial taqsimot parametrlari bilan ${ displaystyle n}$ va ${ displaystyle { boldsymbol { alpha}}}$. Anavi

${ displaystyle Pr ( mathbf {x} mid sum _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} = n, x_ {0}, alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha }}) = { frac {n! Gamma chap ( sum _ {i = 1} ^ {m} alfa _ {i} o'ng)} {{Gamma chap (n + sum _ {i = 1} ^ {m} alfa _ {i} right)}} prod _ {i = 1} ^ {m} { frac { Gamma (x_ {i} + alpha _ {i})}} x_ {i}! Gamma ( alfa _ {i})}}}$.

E'tibor bering, tenglama bog'liq emas ${ displaystyle x_ {0}}$ yoki ${ displaystyle alpha _ {0}}$.

Korrelyatsiya matritsasi

Uchun ${ displaystyle alpha _ {0}> 2}$ yozuvlari korrelyatsiya matritsasi bor

${ displaystyle rho (X_ {i}, X_ {i}) = 1.}$

${ displaystyle rho (X_ {i}, X_ {j}) = { frac { operatorname {cov} (X_ {i}, X_ {j})} { sqrt { operatorname {var} (X_ {) i}) operator nomi {var} (X_ {j})}}} = { sqrt { frac { alpha _ {i} alpha _ {j}} {( alfa _ {0} + alpha _ {i} -1) ( alfa _ {0} + alfa _ {j} -1)}}}.}$

Og'ir dumli

Dirichlet manfiy multinomial a og'ir dumaloq taqsimot. Unda yo'q cheklangan anglatadi uchun ${ displaystyle alpha _ {0} leq 1}$ va u cheksizdir kovaryans matritsasi uchun ${ displaystyle alpha _ {0} leq 2}$. Shuning uchun u aniqlanmagan moment hosil qiluvchi funktsiya.

Birlashtirish

Agar

${ displaystyle X = (X_ {1}, ldots, X_ {m}) sim operator nomi {DNM} (x_ {0}, alfa _ {0}, alfa _ {1}, ldots, alfa _ {m})}$

keyin, ijobiy obuna bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsa men va j vektordan tushiriladi va ularning yig'indisi bilan almashtiriladi,

${ displaystyle X '= (X_ {1}, ldots, X_ {i} + X_ {j}, ldots, X_ {m}) sim operator nomi {DNM} chap (x_ {0}, alfa) _ {0}, alfa _ {1}, ldots, alfa _ {i} + alfa _ {j}, ldots, alfa _ {m} o'ng).}$

Ilovalar

Dirichlet manfiy multinomial urn modeli sifatida

Dirichlet manfiy multinomialini ham urn modeli qachon bo'lsa ${ displaystyle x_ {0}}$ musbat tamsayı. Har birida mavjud bo'lgan mustaqil va bir xil taqsimlangan multinomial sinovlarning ketma-ketligini ko'rib chiqing ${ displaystyle 1 + m}$ natijalar. Natijalarning birini "muvaffaqiyat" deb nomlang va ehtimol uning ehtimoli bor deb taxmin qiling ${ displaystyle p_ {0}}$. Boshqa ${ displaystyle m}$ natijalar - "muvaffaqiyatsizliklar" deb nomlangan - ehtimolliklarga ega ${ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {m}}$. Agar vektor bo'lsa ${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, cdots x_ {m})}$ oldingi nosozliklarning m turlarini sanaydi ${ displaystyle x_ {0}}$ muvaffaqiyat kuzatiladi, keyin ${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {m})}$ parametrlari bilan salbiy mulitnomial taqsimotga ega ${ displaystyle (x_ {0}, p_ {1}, ldots, p_ {m})}$.

Agar parametrlar bo'lsa ${ displaystyle (p_ {0}, p_ {1}, ldots, p_ {m})}$ parametrlari bilan Dirichlet taqsimotidan olingan ${ displaystyle ( alfa _ {0}, alfa _ {1}, ldots, alfa _ {m})}$, keyin hosil bo'lgan taqsimot ${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {m})}$ dirichlet manfiy multinomial hisoblanadi. Natijada tarqatish mavjud ${ displaystyle 2 + m}$ parametrlar.

Shuningdek qarang

• Beta salbiy binomial taqsimot
• Salbiy multinomial taqsimot
• Dirichlet-multinomial taqsimot

Adabiyotlar