Beta salbiy binomial taqsimot - Beta negative binomial distribution - Wikipedia

Beta Salbiy Binomial

Parametrlar	${ displaystyle alpha> 0}$ shakli (haqiqiy ) ${ displaystyle beta> 0}$ shakli (haqiqiy ) ${ displaystyle r> 0}$ - eksperiment to'xtatilguncha muvaffaqiyatsizliklar soni (tamsayı lekin uzaytirilishi mumkin haqiqiy )
Qo'llab-quvvatlash	k ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }
PMF	${ displaystyle { frac { Gamma (r + k)} {k! ; Gamma (r)}} { frac { mathrm {B} ( alfa + r, beta + k)} { mathrm {B} ( alfa, beta)}}}$
Anglatadi	${ displaystyle { begin {case} { frac {r beta} { alpha -1}} & { text {if}} alpha> 1 infty va { text {aks holda}}} end {case}}}$
Varians	${ displaystyle { begin {case} { frac {r ( alfa + r-1) beta ( alfa + beta -1)} {( alfa -2) {( alfa -1)} ^ {2}}} & { text {if}} alpha> 2 infty & { text {aks holda}} end {case}}}$
Noqulaylik	${ displaystyle { begin {case} { frac {( alfa + 2r-1) ( alfa +2 beta -1)} {( alpha -3) { sqrt { frac {r ( alpha) + r-1) beta ( alfa + beta -1)} { alfa -2}}}}} va { text {if}} alpha> 3 infty & { text {aks holda }} end {case}}}$
MGF	aniqlanmagan
CF	${ displaystyle { frac { Gamma ( alfa + r) Gamma ( alfa + beta)} { Gamma ( alfa + beta + r) Gamma ( alfa)}} {} _ {2 } F_ {1} (r, beta; alfa + beta + r; e ^ {it}) !}$ qayerda ${ displaystyle Gamma}$ bo'ladi gamma funktsiyasi va ${ displaystyle {} _ {2} F_ {1}}$ bo'ladi gipergeometrik funktsiya.

Yilda ehtimollik nazariyasi, a beta manfiy binomial taqsimot bo'ladi ehtimollik taqsimoti a diskret tasodifiy o'zgaruvchi  X olish uchun zarur bo'lgan muvaffaqiyatsizliklar soniga teng r ketma-ketlikdagi muvaffaqiyatlar mustaqil Bernulli sinovlari qaerda ehtimollik p har bir sinovda muvaffaqiyatga erishish, har qanday tajribada doimiy bo'lsa ham, o'zi a dan keyin tasodifiy o'zgaruvchidir beta-tarqatish, turli xil tajribalar orasida o'zgarib turadi. Shunday qilib tarqatish a birikma ehtimoli taqsimoti.

Ushbu taqsimot ikkala deb ham nomlangan teskari Markov-Polya taqsimoti va umumiy Waring tarqatish.^[1] Tarqatishning siljigan shakli "deb nomlangan beta-Paskal tarqatish.^[1]

Agar beta-tarqatishning parametrlari bo'lsa a va βva agar bo'lsa

${ displaystyle X mid p sim mathrm {NB} (r, p),}$

qayerda

${ displaystyle p sim { textrm {B}} ( alfa, beta),}$

keyin ning marginal taqsimoti X beta manfiy binomial tarqatish:

${ displaystyle X sim mathrm {BNB} (r, alfa, beta).}$

Yuqorida, NB (r, p) bo'ladi binomial manfiy taqsimot va B (a, β) bo'ladi beta-tarqatish.

Ta'rif

Agar ${ displaystyle r}$ tamsayı bo'lsa, u holda PMF ni yozish mumkin beta funktsiyasi,:

${ displaystyle f (k | alfa, beta, r) ​​= { binom {r + k-1} {k}} { frac { mathrm {B} ( alfa + r, beta + k) } { mathrm {B} ( alfa, beta)}}}$.

Umuman olganda PMF yozilishi mumkin

${ Displaystyle f (k | alfa, beta, r) ​​= { frac { Gamma (r + k)} {k! ; Gamma (r)}} { frac { mathrm {B} ( alfa + r, beta + k)} { mathrm {B} ( alfa, beta)}}}$

yoki

${ displaystyle f (k | alfa, beta, r) ​​= { frac { mathrm {B} (r + k, alfa + beta)} {{mathrm {B} (r, alpha)} } { frac { Gamma (k + beta)} {k! ; Gamma ( beta)}}}$.

PMF Gamma bilan ifodalangan

Ning xususiyatlaridan foydalanish Beta funktsiyasi, tamsayı bilan PMF ${ displaystyle r}$ quyidagicha yozilishi mumkin:

${ displaystyle f (k | alfa, beta, r) ​​= { binom {r + k-1} {k}} { frac { Gamma ( alfa + r) Gamma ( beta + k) Gamma ( alfa + beta)} { Gamma ( alfa + r + beta + k) Gamma ( alfa) Gamma ( beta)}}}$.

Umuman olganda, PMF quyidagicha yozilishi mumkin

${ displaystyle f (k | alfa, beta, r) ​​= { frac { Gamma (r + k)} {k! ; Gamma (r)}} { frac { Gamma ( alpha +) r) Gamma ( beta + k) Gamma ( alfa + beta)}} { Gamma ( alfa + r + beta + k) Gamma ( alfa) Gamma ( beta)}}}$.

PMF ko'tarilgan Pochammer belgisi bilan ifodalangan

PMF ko'pincha, shuningdek, jihatidan taqdim etiladi Pochammer belgisi butun son uchun ${ displaystyle r}$

${ displaystyle f (k | alfa, beta, r) ​​= { frac {r ^ {(k)} alpha ^ {(r)} beta ^ {(k)}} {k! ( alfa) + beta) ^ {(r)} (r + alfa + beta) ^ {(k)}}}}$

Xususiyatlari

Aniqlanmaydi

Beta manfiy binomiya identifikatsiya qilinmaydigan buni oddiygina almashtirish orqali osongina ko'rish mumkin ${ displaystyle r}$ va ${ displaystyle beta}$ yuqoridagi zichlikda yoki xarakterli funktsiya va uning o'zgarmasligini ta'kidlab o'tdi.

Boshqa tarqatish bilan bog'liqlik

Beta manfiy binomial taqsimot beta geometrik taqsimotni alohida holat sifatida o'z ichiga oladi ${ displaystyle r = 1}$. Shuning uchun taxminan geometrik taqsimot o'zboshimchalik bilan yaxshi. Bundan tashqari, salbiy binomial taqsimotni o'zboshimchalik bilan katta uchun yaqinlashadi ${ displaystyle alpha}$ va ${ displaystyle beta}$. Shuning uchun taxminan Poissonning tarqalishi katta uchun o'zboshimchalik bilan yaxshi ${ displaystyle alpha}$, ${ displaystyle beta}$ va ${ displaystyle r}$.

Og'ir dumli

By Stirlingning taxminiy qiymati beta-funktsiyaga buni osonlikcha ko'rsatish mumkin

${ displaystyle f (k | alfa, beta, r) ​​ sim { frac { Gamma ( alfa + r)} { Gamma (r) mathrm {B} ( alfa, beta)}} { frac {k ^ {r-1}} {( beta + k) ^ {r + alfa}}}}$

bu beta manfiy binomial taqsimot ekanligini anglatadi og'ir dumli va bu lahzalar dan kam yoki teng ${ displaystyle alpha}$ mavjud emas.

Shuningdek qarang

• Binomial manfiy taqsimot
• Dirichlet manfiy multinomial taqsimoti

Izohlar

Adabiyotlar

• Jonhnson, N.L .; Kotz, S .; Kemp, A.V. (1993) Bitta o'zgaruvchan diskret tarqatish, 2-nashr, Uili ISBN  0-471-54897-9 (6.2.3-bo'lim)
• Kemp, KD .; Kemp, A.V. (1956) "Umumlashtirilgan gipergeometrik taqsimotlar, Qirollik statistika jamiyati jurnali, B seriyalari, 18, 202–211
• Wang, Zhaoliang (2011) "Qo'llash bilan bitta aralash binomial tarqatish", Statistik rejalashtirish va xulosalar jurnali, 141 (3), 1153-1160 doi:10.1016 / j.jspi.2010.09.020

Tashqi havolalar

• Interfaol grafik: Bitta o'zgaruvchan tarqatish munosabatlari