Parchalanish teoremasi - Disintegration theorem

Yilda matematika, parchalanish teoremasi natijasi o'lchov nazariyasi va ehtimollik nazariyasi. Bu a-ning ahamiyatsiz "cheklash" g'oyasini qat'iy belgilaydi o'lchov a nolni o'lchash pastki qismi bo'shliqni o'lchash savol ostida. Bu mavjudligi bilan bog'liq ehtimollik bo'yicha shartli o'lchovlar. Qaysidir ma'noda "parchalanish" a tuzilishiga qarama-qarshi jarayondir mahsulot o'lchovi.

Motivatsiya

Ning birlik kvadratini ko'rib chiqing Evklid samolyoti R², S = [0, 1] × [0, 1]. Ni ko'rib chiqing ehtimollik o'lchovi m belgilanadi S ikki o'lchovli cheklash bilan Lebesg o'lchovi λ² ga S. Ya'ni, voqea sodir bo'lish ehtimoli E ⊆ S shunchaki maydonidir E. Biz taxmin qilamiz E ning o'lchanadigan kichik qismidir S.

Ning bir o'lchovli to'plamini ko'rib chiqing S chiziq segmenti kabi L_x = {x} × [0, 1]. L_x m-o'lchov nolga ega; ning har bir kichik qismi L_x m-null o'rnatilgan; chunki Lebesg o'lchovlari maydoni a to'liq o'lchov maydoni,

{displaystyle Esubseteq L_ {x} mu (E) = 0 ni bildiradi.}

Haqiqatan ham, bu biroz qoniqtirmaydi. M ni "cheklangan" deb aytish yaxshi bo'lar edi L_x bir o'lchovli Lebesg o'lchovi λ¹, o'rniga nol o'lchov. "Ikki o'lchovli" hodisaning ehtimolligi E keyin olish mumkin edi ajralmas vertikal "tilimlarning" bir o'lchovli ehtimolliklar E ∩ L_x: rasmiy ravishda, agar m bo'lsa_x bir o'lchovli Lebesg o'lchovini bildiradi L_x, keyin

{displaystyle mu (E) = int _ {[0,1]} mu _ {x} (Ecap L_ {x}), mathrm {d} x}

har qanday "yoqimli" uchun E ⊆ S. Parchalanish teoremasi ushbu dalilni choralar nuqtai nazaridan qat'iy qiladi metrik bo'shliqlar.

Teorema bayoni

(Bundan keyin, P(X) to'plamini bildiradi Borel ehtimollik o'lchovlari metrik bo'shliq (X, d).) Teoremaning taxminlari quyidagicha:

Ruxsat bering Y va X ikki bo'ling Radon bo'shliqlari (ya'ni a topologik makon shunday har bir Borel ehtimollik o'lchovi kuni M bu ichki muntazam masalan. ajratiladigan har qanday ehtimollik o'lchovi bo'lgan metrik bo'shliqlar Radon o'lchovi ).
M ∈ ga ruxsat bering P(Y).
Π ga ruxsat bering: Y → X Borel bo'lingo'lchanadigan funktsiya. Bu erda $ phi $ ni "parchalanish" funktsiyasi deb hisoblash kerak. Y, bo'linish ma'nosida Y ichiga ${displaystyle {pi ^ {- 1} (x) | xin X}}$ . Masalan, yuqoridagi turtki beruvchi misol uchun ta'rif berish mumkin ${displaystyle pi ((a, b)) = a, (a, b) in [0,1] imes [0,1]}$ buni beradi ${displaystyle pi ^ {- 1} (a) = imes [0,1]}$ , biz olishni istagan bir bo'lak.
Ruxsat bering ${displaystyle u}$ ∈ P(X) bo'lishi oldinga siljish ${displaystyle u}$ = π_∗(m) = m ∘ π⁻¹. Ushbu o'lchov x ning taqsimlanishini ta'minlaydi (bu voqealarga to'g'ri keladi ${displaystyle pi ^ {- 1} (x)}$ ).

Teoremaning xulosasi: a mavjud ${displaystyle u}$ -deyarli hamma joyda ehtimollik o'lchovlarining noyob aniqlangan oilasi {m_x}_x∈X ⊆ P(Y) ning "parchalanishini" ta'minlaydi ${displaystyle mu}$ ichiga ${displaystyle {mu _ {x}} _ {xin X}}$ ), shu kabi:

funktsiya ${displaystyle xmapsto mu _ {x}}$ Borelni o'lchash mumkin, bu ma'noda ${displaystyle xmapsto mu _ {x} (B)}$ har bir Borel bilan o'lchanadigan to'plam uchun Borel bilan o'lchanadigan funktsiya B ⊆ Y;
m_x "yashaydi" tola π⁻¹(x): uchun ${displaystyle u}$ -deyarli barchasi x ∈ X,

{displaystyle mu _ {x} chap (Ysetminus pi ^ {- 1} (x) ight) = 0,}

va shuning uchun m_x(E) = m_x(E ∩ π⁻¹(x));

Borel bilan o'lchanadigan har bir funktsiya uchun f : Y → [0, ∞],

{displaystyle int _ {Y} f (y), mathrm {d} mu (y) = int _ {X} int _ {pi ^ {- 1} (x)} f (y), mathrm {d} mu _ {x} (y) mathrm {d} u (x).}

Xususan, har qanday tadbir uchun E ⊆ Y, qabul qilish f bo'lish ko'rsatkich funktsiyasi ning E,^[1]

{displaystyle mu (E) = int _ {X} mu _ {x} left (Eight), mathrm {d} u (x).}

Ilovalar

Mahsulot bo'shliqlari

Dastlabki misol, parchalanish teoremasi qo'llaniladigan mahsulot bo'shliqlari muammosining alohida hodisasi edi.

Qachon Y a deb yozilgan Dekart mahsuloti Y = X₁ × X₂ va π_men : Y → X_men tabiiydir proektsiya, keyin har bir tola π₁⁻¹(x₁) bolishi mumkin kanonik ravishda bilan aniqlangan X₂ Borel oilasi ehtimoli bo'yicha choralar mavjud ${displaystyle {mu _ {x_ {1}}} _ {x_ {1} in X_ {1}}}$ yilda P(X₂) (bu (π.)₁)_∗(m) - deyarli hamma joyda noyob aniqlangan) shunday

{displaystyle mu = int _ {X_ {1}} mu _ {x_ {1}}, mu chap (pi _ {1} ^ {- 1} (mathrm {d} x_ {1}) ight) = int _ { X_ {1}} mu _ {x_ {1}}, mathrm {d} (pi _ {1}) _ {*} (mu) (x_ {1}),}

bu xususan

{displaystyle int _ {X_ {1} imes X_ {2}} f (x_ {1}, x_ {2}), mu (mathrm {d} x_ {1}, mathrm {d} x_ {2}) = int _ {X_ {1}} chap (int _ {X_ {2}} f (x_ {1}, x_ {2}) mu (mathrm {d} x_ {2} | x_ {1}) ight) mu chap ( pi _ {1} ^ {- 1} (mathrm {d} x_ {1}) ight)}

va

{displaystyle mu (A imes B) = int _ {A} mu chap (B | x_ {1} ight), mu chap (pi _ {1} ^ {- 1} (mathrm {d} x_ {1}) ight ).}

Ga munosabat shartli kutish identifikatorlari bilan berilgan

{displaystyle operator nomi {E} (f | pi _ {1}) (x_ {1}) = int _ {X_ {2}} f (x_ {1}, x_ {2}) mu (mathrm {d} x_ { 2} | x_ {1}),}

{displaystyle mu (A imes B | pi _ {1}) (x_ {1}) = 1_ {A} (x_ {1}) cdot mu (B | x_ {1}).}

Vektorli hisob

Parchalanish teoremasini, shuningdek, "cheklangan" o'lchovni qo'llashni oqlash deb hisoblash mumkin vektor hisobi. Masalan, ichida Stoks teoremasi a ga tegishli vektor maydoni orqali oqayotgan ixcham sirt Σ ⊂ R³, Σ bo'yicha "to'g'ri" o'lchov uch o'lchovli Lebesg o'lchovining parchalanishi ekanligi aniq emas.³ $ phi $ va bu o'lchovning $ phi $ ga parchalanishi $ pi $ ning parchalanishi bilan bir xil.³ on da.^[2]

Shartli taqsimotlar

Parchalanish teoremasini statistikada shartli taqsimotlarni qat'iy davolash uchun qo'llash mumkin, bunda shartli ehtimollikning mutlaq mavhum formulalaridan qochish kerak.^[3]

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ Dellacheri, C .; Meyer, P.-A. (1978). Ehtimollar va potentsial. Shimoliy-Gollandiyalik matematik tadqiqotlar. Amsterdam: Shimoliy-Gollandiya. ISBN 0-7204-0701-X.
^ Ambrosio, L., Gigli, N. & Savare, G. (2005). Metrik bo'shliqlarda va ehtimollik o'lchovlari maydonida gradient oqimlari. ETH Tsyurix, Birkxauzer Verlag, Bazel. ISBN 978-3-7643-2428-5.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)
^ Chang, J.T .; Pollard, D. (1997). "Konditsionerlik parchalanish sifatida" (PDF). Statistica Neerlandica. 51 (3): 287. CiteSeerX 10.1.1.55.7544. doi:10.1111/1467-9574.00056.

[Dellacherie_Meyer-1] Dellacheri, C .; Meyer, P.-A. (1978). Ehtimollar va potentsial. Shimoliy-Gollandiyalik matematik tadqiqotlar. Amsterdam: Shimoliy-Gollandiya. ISBN 0-7204-0701-X.

[Ambrosio_Gigli_Savare-2] Ambrosio, L., Gigli, N. & Savare, G. (2005). Metrik bo'shliqlarda va ehtimollik o'lchovlari maydonida gradient oqimlari. ETH Tsyurix, Birkxauzer Verlag, Bazel. ISBN 978-3-7643-2428-5.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)

[Chang_Pollard-3] Chang, J.T .; Pollard, D. (1997). "Konditsionerlik parchalanish sifatida" (PDF). Statistica Neerlandica. 51 (3): 287. CiteSeerX 10.1.1.55.7544. doi:10.1111/1467-9574.00056.

[1]

[2]

[3]