Kvant holatlarining sodiqligi - Fidelity of quantum states

Yilda kvant mexanikasi, xususan kvant axborot nazariyasi, sodiqlik ikki kvant holatining "yaqinligi" o'lchovidir. U bir davlatning boshqasini aniqlash uchun sinovdan o'tishi ehtimolini bildiradi. Sadoqat a emas metrik makonida zichlik matritsalari, lekin uni aniqlash uchun ishlatilishi mumkin Bures metrikasi bu bo'shliqda.

Ikki berilgan zichlik operatorlari ${displaystyle ho}$ va ${displaystyle sigma}$ , sodiqlik odatda miqdor sifatida aniqlanadi ${displaystyle F (ho, sigma) = left [operatorname {tr} {sqrt {{sqrt {ho}} sigma {sqrt {ho}}}} ight] ^ {2}}$ .Qaerda maxsus holatda ${displaystyle ho}$ va ${displaystyle sigma}$ vakillik qilish sof kvant holatlari, ya'ni, ${displaystyle ho = | psi _ {ho} burchak! langle psi _ {ho} |}$ va ${displaystyle sigma = | psi _ {sigma} burchak! langle psi _ {sigma} |}$ , ta'rifi holatlar orasidagi to'rtburchaklar bilan qoplanishgacha kamayadi: ${displaystyle F (ho, sigma) = | langle psi _ {ho} | psi _ {sigma} burchak | ^ {2}}$ .Umumiy ta'rifdan ko'rinmasa ham, sodiqlik nosimmetrikdir: ${displaystyle F (ho, sigma) = F (sigma, ho)}$ .

Motivatsiya

Ikki berilgan tasodifiy o'zgaruvchilar ${displaystyle X, Y}$ qadriyatlar bilan ${displaystyle (1, ..., n)}$ (kategorik tasodifiy o'zgaruvchilar ) va ehtimolliklar ${displaystyle p = (p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {n})}$ va ${displaystyle q = (q_ {1}, q_ {2}, ldots, q_ {n})}$ , sodiqligi ${displaystyle X}$ va ${displaystyle Y}$ miqdori deb belgilanadi

{displaystyle F (X, Y) = left (sum _ {i} {sqrt {p_ {i} q_ {i}}} ight) ^ {2}}

.

Sodiqlik marginal taqsimot tasodifiy o'zgaruvchilar. Bu haqida hech narsa aytilmagan qo'shma tarqatish bu o'zgaruvchilar. Boshqacha qilib aytganda, vafo F (X, Y) ning kvadratidir ichki mahsulot ning ${displaystyle ({sqrt {p_ {1}}}, ldots, {sqrt {p_ {n}}})}$ va ${displaystyle ({sqrt {q_ {1}}}, ldots, {sqrt {q_ {n}}})}$ vektor sifatida qaraldi Evklid fazosi. E'tibor bering F (X, Y) = 1 va agar shunday bo'lsa p = q. Umuman, ${displaystyle 0leq F (X, Y) leq 1}$ . The o'lchov ${displaystyle sum _ {i} {sqrt {p_ {i} q_ {i}}}}$ nomi bilan tanilgan Bxattachariya koeffitsienti.

Berilgan klassik ikkitasining farqlanish o'lchovi ehtimollik taqsimoti, ikkita kvant holatini ajratish o'lchovini quyidagicha rag'batlantirish mumkin. Agar eksperimentator a yoki yo'qligini aniqlashga urinayotgan bo'lsa kvant holati ikkita imkoniyatdan biri ${displaystyle ho}$ yoki ${displaystyle sigma}$ , ular davlatda amalga oshirishi mumkin bo'lgan eng umumiy o'lchov bu POVM to'plami tomonidan tavsiflangan Hermitiyalik ijobiy yarim cheksiz operatorlar ${displaystyle {F_ {i}}}$ . Agar eksperimentatorga berilgan holat bo'lsa ${displaystyle ho}$ , ular natijaga guvoh bo'lishadi ${displaystyle i}$ ehtimollik bilan ${displaystyle p_ {i} = operator nomi {tr} (ho F_ {i})}$ va shunga o'xshash ehtimollik bilan ${displaystyle q_ {i} = operator nomi {tr} (sigma F_ {i})}$ uchun ${displaystyle sigma}$ . Ularning kvant holatlarini farqlash qobiliyati ${displaystyle ho}$ va ${displaystyle sigma}$ keyinchalik ularning klassik ehtimollik taqsimotlarini farqlash qobiliyatiga tengdir ${displaystyle p}$ va ${displaystyle q}$ . Tabiiyki, eksperimentator o'zi topa oladigan eng yaxshi POVMni tanlaydi, shuning uchun bu kvant sadoqatini kvadrat shaklida aniqlaydi Bxattachariya koeffitsienti barcha mumkin bo'lgan POVM-lar ustidan ekstremal bo'lganda ${displaystyle {F_ {i}}}$ :

{displaystyle F (ho, sigma) = min _ {{F_ {i}}} F (X, Y) = min _ {{F_ {i}}} chap (sum _ {i} {sqrt {operator nomi {tr} (ho F_ {i}) operator nomi {tr} (sigma F_ {i})}} ight) ^ {2}.}

Fuchs va Caves tomonidan ushbu aniq nosimmetrik ta'rif keyingi bobda keltirilgan oddiy assimetrik formulaga teng ekanligini ko'rsatdi.^[1]

Ta'rif

Ikkita zichlik matritsasi berilgan r va σ, sodiqlik bilan belgilanadi^[2]

{displaystyle F (ho, sigma) = left (operator nomi {tr} {sqrt {{sqrt {ho}} sigma {sqrt {ho}}}} ight) ^ {2},}

bu erda ijobiy yarim yarim matritsa uchun ${displaystyle M}$ , ${displaystyle {sqrt {M}}}$ uning noyobligini anglatadi ijobiy kvadrat ildiz tomonidan berilganidek spektral teorema. Klassik ta'rifdan Evklidning ichki mahsuloti bilan almashtiriladi Xilbert-Shmidt ichki mahsulot.

Kvant holati sodiqligining ba'zi muhim xususiyatlari quyidagilardan iborat:

Simmetriya. ${displaystyle F (ho, sigma) = F (sigma, ho)}$ .
Cheklangan qiymatlar. Har qanday kishi uchun ${displaystyle ho}$ va ${displaystyle sigma}$ , ${displaystyle 0leq F (ho, sigma) leq 1}$ va ${displaystyle F (ho, ho) = 1}$ .
Ehtimollar taqsimoti orasidagi sodiqlikka muvofiqlik. Agar ${displaystyle ho}$ va ${displaystyle sigma}$ qatnov, ta'rifi soddalashtiradi ${displaystyle F (ho, sigma) = left [operatorname {tr} {sqrt {ho sigma}} ight] ^ {2} = left (sum _ {k} {sqrt {p_ {k} q_ {k}}} ight ) ^ {2} = F ({oldsymbol {p}}, {oldsymbol {q}}),}$ qayerda ${displaystyle p_ {k}, q_ {k}}$ ning xos qiymatlari ${displaystyle ho, sigma}$ navbati bilan. Buni ko'rish uchun, agar ekanligini eslang ${displaystyle [ho, sigma] = 0}$ unda ular bo'lishi mumkin xuddi shu asosda diagonallashtirilgan: ${displaystyle ho = sum _ {i} p_ {i} | iangle langle i | {ext {and}} sigma = sum _ {i} q_ {i} | iangle langle i |,}$ Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${displaystyle operatorname {tr} {sqrt {ho sigma}} = operatorname {tr} left (sum _ {k} {sqrt {p_ {k} q_ {k}}} | iangle! langle i | ight) = sum _ { k} {sqrt {p_ {k} q_ {k}}}.}$
Sof holatlar uchun soddalashtirilgan iboralar. Agar ${displaystyle ho}$ bu toza, ${displaystyle ho = | psi _ {ho} burchak! langle psi _ {ho} |}$ , keyin ${displaystyle F (ho, sigma) = langle psi _ {ho} | sigma | psi _ {ho} burchak}$ . Bu quyidagidan kelib chiqadi ${displaystyle F (ho, sigma) = chap (operator nomi {tr} {sqrt {| psi _ {ho} burchak burchagi psi _ {ho} | sigma | psi _ {ho} burchak burchagi psi _ {ho} |}} ight ) ^ {2} = burchak psi _ {ho} | sigma | psi _ {ho} burchak chap (operator nomi {tr} {sqrt {| psi _ {ho} burchak burchagi psi _ {ho} |}} ight) ^ { 2} = langle psi _ {ho} | sigma | psi _ {ho} burchak.}$ Agar ikkalasi ham bo'lsa ${displaystyle ho}$ va ${displaystyle sigma}$ toza, ${displaystyle ho = | psi _ {ho} burchak! langle psi _ {ho} |}$ va ${displaystyle sigma = | psi _ {sigma} burchak! langle psi _ {sigma} |}$ , keyin ${displaystyle F (ho, sigma) = | langle psi _ {ho} | psi _ {sigma} burchak | ^ {2}}$ . Bu yuqoridagi ifodadan darhol kelib chiqadi ${displaystyle ho}$ toza.

Ekvivalent ifoda.

Vafodorligining ekvivalent ifodasini yozish mumkin iz normasi

{displaystyle F (ho, sigma) = lVert {sqrt {ho}} {sqrt {sigma}} Vert _ {operatorname {tr}} ^ {2} = {Big (} operatorname {tr} | {sqrt {ho}} {sqrt {sigma}} | {Katta)} ^ {2},}

qaerda mutlaq qiymat operatori bu erda quyidagicha aniqlanadi ${displaystyle | A | equiv {sqrt {A ^ {xanjar} A}}}$ .

Kubitlar uchun aniq ifoda.

Agar ${displaystyle ho}$ va ${displaystyle sigma}$ ikkalasi ham qubit davlatlar, sodiqlik deb hisoblash mumkin^[2]^[3]

{displaystyle F (ho, sigma) = operator nomi {tr} (ho sigma) +2 {sqrt {det (ho) det (sigma)}}.}

Qubit holati shuni anglatadi ${displaystyle ho}$ va ${displaystyle sigma}$ ikki o'lchovli matritsalar bilan ifodalanadi. Ushbu natija buni e'tiborga olishdan kelib chiqadi ${displaystyle M = {sqrt {ho}} sigma {sqrt {ho}}}$ a ijobiy yarim yarim operator, demak ${displaystyle operatorname {tr} {sqrt {M}} = {sqrt {lambda _ {1}}} + {sqrt {lambda _ {2}}}}$ , qayerda ${displaystyle lambda _ {1}}$ va ${displaystyle lambda _ {2}}$ ning (salbiy bo'lmagan) o'ziga xos qiymatlari ${displaystyle M}$ . Agar ${displaystyle ho}$ (yoki ${displaystyle sigma}$ ) toza, bu natija yanada soddalashtirilgan ${displaystyle F (ho, sigma) = operator nomi {tr} (ho sigma)}$ beri ${displaystyle mathrm {Det} (ho) = 0}$ sof davlatlar uchun.

Muqobil ta'rif

Ba'zi mualliflar muqobil ta'rifdan foydalanadilar ${displaystyle F ': = {sqrt {F}}}$ va bu miqdorni vafo deb atang.^[4] Ning ta'rifi ${displaystyle F}$ ammo keng tarqalgan.^[5]^[6]^[7] Chalkashmaslik uchun, ${displaystyle F '}$ "kvadrat ildizga sodiqlik" deb atash mumkin edi. Qanday bo'lmasin, har doim vafodorlik ishlatilganda qabul qilingan ta'rifga aniqlik kiritish tavsiya etiladi.

Boshqa xususiyatlar

Unitar invariantlik

To'g'ridan-to'g'ri hisoblash shuni ko'rsatadiki, sodiqlik saqlanib qoladi unitar evolyutsiya, ya'ni

{displaystyle; F (ho, sigma) = F (Uho; U ^ {*}, Usigma U ^ {*})}

har qanday kishi uchun unitar operator ${displaystyle U}$ .

Uhlmann teoremasi

Ikki sof holat uchun ularning sodiqligi bir-biriga to'g'ri kelishini ko'rdik. Uhlmann teoremasi^[8] ushbu bayonotni aralash holatlarga, ularning tozalanishiga qarab umumlashtiradi:

Teorema $ R $ va '$ ta'sir qiladigan zichlik matritsalari bo'lsin Cⁿ. $ R $ ga ruxsat bering^¹⁄₂ $ r $ va $ ning noyob musbat kvadrat ildizi bo'ling

{displaystyle | psi _ {ho} burchak = sum _ {i = 1} ^ {n} (ho ^ {{1} / {2}} | e_ {i} burchak) otimes | e_ {i} mathbb dagi burchak { C} ^ {n} otimes mathbb {C} ^ {n}}

bo'lishi a tozalash ning r (shuning uchun ${displaystyle extstyle {| e_ {i} burchak}}$ ortonormal asosdir), keyin quyidagi tenglik mavjud:

{displaystyle F (ho, sigma) = max _ {| psi _ {sigma} angle} | langle psi _ {ho} | psi _ {sigma} angle | ^ {2}}

qayerda ${displaystyle | psi _ {sigma} burchak}$ $ Delta $ ning tozalanishi. Shuning uchun, umuman olganda, sodiqlik - bu poklanish orasidagi maksimal qoplanishdir.

Isbotning eskizi

Oddiy dalilni quyidagicha chizish mumkin. Ruxsat bering ${displaystyle extstyle | Omega burchagi}$ vektorni belgilang

{displaystyle | Omega burchagi = sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} burchak otimes | e_ {i} burchak}

va σ^¹⁄₂ $ Delta $ ning noyob ijobiy kvadrat ildizi bo'ling Unitar birlik tufayli buni ko'ramiz kvadrat ildiz omillari va tanlash ortonormal asoslar, σ ning o'zboshimchalik bilan tozalanishi shaklga ega

{displaystyle | psi _ {sigma} angle = (sigma ^ {{1} / {2}} V_ {1} otimes V_ {2}) | Omega burchak}

qayerda V_menbor unitar operatorlar. Endi biz to'g'ridan-to'g'ri hisoblaymiz

{displaystyle | langle psi _ {ho} | psi _ {sigma} angle | ^ {2} = | langle Omega | (ho ^ {{1} / {2}} otimes I) (sigma ^ {{1} / { 2}} V_ {1} otimes V_ {2}) | Omega angle | ^ {2} = | operatorname {tr} (ho ^ {{1} / {2}} sigma ^ {{1} / {2}} V_ {1} V_ {2} ^ {T}) | ^ {2}.}

Ammo umuman, har qanday kvadrat matritsa uchun A va unitar U, to'g'ri | tr (AU) | ≤ tr ((A^*A)^¹⁄₂). Bundan tashqari, agar tenglikka erishilsa U^* unititar operator hisoblanadi qutbli parchalanish ning A. Bundan to'g'ridan-to'g'ri Uhlmann teoremasi kelib chiqadi.

Aniq dekompozitsiyalar bilan tasdiqlangan

Uhlmann teoremasini isbotlashning muqobil va aniq usulini taqdim etamiz.

Ruxsat bering ${displaystyle | psi _ {ho} burchak}$ va ${displaystyle | psi _ {sigma} burchak}$ poklanish bo'lishi ${displaystyle ho}$ va ${displaystyle sigma}$ navbati bilan. Boshlash uchun buni ko'rsatib beraylik ${displaystyle | langle psi _ {ho} | psi _ {sigma} angle | leq operatorname {tr} | {sqrt {ho}} {sqrt {sigma}} |}$ .

Shtatlarni tozalashning umumiy shakli:

{displaystyle {egin {aligned} | psi _ {ho} angle & = sum _ {k} {sqrt {lambda _ {k}}} | lambda _ {k} burchak otimes | u_ {k} burchak, | psi _ {sigma} angle & = sum _ {k} {sqrt {mu _ {k}}} | mu _ {k} angle otimes | v_ {k} angle, end {hizalangan}}}

edi

{displaystyle | lambda _ {k} burchak, | mu _ {k} burchak}

ular xususiy vektorlar ning

{displaystyle ho, sigma}

va

{displaystyle {u_ {k}} _ {k}, {v_ {k}} _ {k}}

o'zboshimchalik bilan ortonormal asoslardir. Tozalashlarning bir-biriga to'g'ri kelishi

{displaystyle langle psi _ {ho} | psi _ {sigma} angle = sum _ {jk} {sqrt {lambda _ {j} mu _ {k}}} langle lambda _ {j} | mu _ {k} burchak, langle u_ {j} | v_ {k} burchak = operator nomi {tr} chap ({sqrt {ho}} {sqrt {sigma}} Uight),}

bu erda unitar matritsa

{displaystyle U}

sifatida belgilanadi

{displaystyle U = chap (sum _ {k} | mu _ {k} burchak! langle u_ {k} | ight), chap (sum _ {j} | v_ {j} burchak! langle lambda _ {j} | ight ).}

Endi tengsizlikni qo'llash orqali xulosaga kelish mumkin

{displaystyle | operator nomi {tr} (AU) | leq operator nomi {tr} ({sqrt {A ^ {xanjar} A}}) ekviv operator nomi {tr} | A |}

:

{displaystyle | langle psi _ {ho} | psi _ {sigma} angle | = | operatorname {tr} ({sqrt {ho}} {sqrt {sigma}} U) | leq operatorname {tr} | {sqrt {ho} } {sqrt {sigma}} |.}

E'tibor bering, bu tengsizlik uchburchak tengsizligi matritsaning birlik qiymatlariga nisbatan qo'llaniladi. Darhaqiqat, umumiy matritsa uchun

{displaystyle Aequiv sum _ {j} s_ {j} (A) | a_ {j} angle! langle b_ {j} |}

va unitar

{displaystyle U = sum _ {j} | b_ {j} angle! langle w_ {j} |}

, bizda ... bor

{displaystyle {egin {aligned} | operatorname {tr} (AU) | & = left | operatorname {tr} left (sum _ {j} s_ {j} (A) | a_ {j} angle! langle b_ {j}) | ,, sum _ {k} | b_ {k} burchak! langle w_ {k} | ight) ight | & = left | sum _ {j} s_ {j} (A) langle w_ {j} | a_ { j} burchak ight | & leq sum _ {j} s_ {j} (A), | langle w_ {j} | a_ {j} angle | & leq sum _ {j} s_ {j} (A) & = operator nomi {tr} | A |, oxiri {hizalangan}}}

qayerda

{displaystyle s_ {j} (A) geq 0}

(har doim haqiqiy va salbiy bo'lmagan) birlik qiymatlari ning

{displaystyle A}

, kabi yagona qiymat dekompozitsiyasi. Tengsizlik to'yingan va qachon tenglikka aylanadi

{displaystyle langle w_ {j} | a_ {j} burchak = 1}

, ya'ni qachon

{displaystyle U = sum _ {k} | b_ {k} burchak! burchak a_ {k} |,}

va shunday qilib

{displaystyle AU = {sqrt {AA ^ {xanjar}}} equiv | A |}

. Yuqoridagilar shuni ko'rsatadiki

{displaystyle | langle psi _ {ho} | psi _ {sigma} angle | = operatorname {tr} | {sqrt {ho}} {sqrt {sigma}} |}

tozalash paytida

{displaystyle | psi _ {ho} burchak}

va

{displaystyle | psi _ {sigma} burchak}

shundaymi?

{displaystyle {sqrt {ho}} {sqrt {sigma}} U = | {sqrt {ho}} {sqrt {sigma}} |}

. Ushbu tanlov davlatlardan qat'iy nazar mumkin bo'lganligi sababli, biz nihoyat shunday xulosaga kelishimiz mumkin

{displaystyle operatorname {tr} | {sqrt {ho}} {sqrt {sigma}} | = max | langle psi _ {ho} | psi _ {sigma} burchak |.}

Oqibatlari

Uhlmann teoremasining ba'zi bevosita oqibatlari

Fidelity o'z argumentlarida nosimmetrikdir, ya'ni. F (r, p) = F (σ, r). E'tibor bering, bu asl ta'rifdan aniq emas.
F (r, ph) [0,1] da yotadi Koshi-Shvarts tengsizligi.
F (r, σ) = 1, agar faqat r = if bo'lsa, chunki Ψ_r = Ψ_σ r = σ degan ma'noni anglatadi.

Shunday qilib, sodiqlik deyarli metrikaga o'xshab ketayotganini ko'rishimiz mumkin. Buni rasmiylashtirish va aniqlash orqali foydali qilish mumkin

{displaystyle cos ^ {2} heta _ {ho sigma} = F (ho, sigma),}

Sifatida burchak davlatlar o'rtasida ${displaystyle ho}$ va ${displaystyle sigma}$ . Yuqoridagi xususiyatlardan kelib chiqadiki ${displaystyle heta _ {ho sigma}}$ manfiy emas, uning kiritilishida nosimmetrik va faqat agar shunday bo'lsa, nolga teng ${displaystyle ho = sigma}$ . Bundan tashqari, uning uchburchak tengsizligiga bo'ysunishini isbotlash mumkin,^[4] shuning uchun bu burchak holat fazosidagi metrik: the Fubini - o'rganish metrikasi.^[9]

Tegishli ehtimollik taqsimotlari orasidagi sodiqlik bilan bog'liqlik

Ruxsat bering ${displaystyle {E_ {k}} _ {k}}$ o'zboshimchalik bilan bo'ling operator tomonidan baholanadigan ijobiy o'lchov (POVM); ya'ni operatorlar to'plami ${displaystyle E_ {k}}$ qoniqarli ${displaystyle sum _ {k} E_ {k} = I}$ , ${displaystyle E_ {j} E_ {k} = delta _ {jk} E_ {j}}$ va ${displaystyle E_ {k} ^ {2} = E_ {k}}$ . Keyin, har qanday juftlik holati uchun ${displaystyle ho}$ va ${displaystyle sigma}$ , bizda ... bor

{displaystyle {sqrt {F (ho, sigma)}} leq sum _ {k} {sqrt {operatorname {tr} (E_ {k} ho)}} {sqrt {operatorname {tr} (E_ {k} sigma)} } ekviv sum _ {k} {sqrt {p_ {k} q_ {k}}},}

bu erda biz oxirgi qadamda belgiladik

{displaystyle p_ {k}, q_ {k}}

o'lchov orqali olingan ehtimollik taqsimotlari

{displaystyle ho, sigma}

POVM bilan

{displaystyle {E_ {k}} _ {k}}

.

Bu shuni ko'rsatadiki, ikkita kvant holati orasidagi vafoning kvadrat ildizi yuqori bilan chegaralangan Bxattachariya koeffitsienti har qanday mumkin bo'lgan POVM-da mos keladigan ehtimollik taqsimoti o'rtasida. Darhaqiqat, bu haqiqatan ham haqiqatdir

{displaystyle F (ho, sigma) = min _ {{E_ {k}}} F ({oldsymbol {p}}, {oldsymbol {q}}),}

qayerda

{displaystyle F ({oldsymbol {p}}, {oldsymbol {q}}) ekviv chap (sum _ {k} {sqrt {p_ {k} q_ {k}}} ight) ^ {2}}

, va minimal barcha mumkin bo'lgan POVM-larda olinadi.

Tengsizlikning isboti

Ilgari ko'rsatilgandek, vafoning kvadrat ildizi quyidagicha yozilishi mumkin ${displaystyle {sqrt {F (ho, sigma)}} = operator nomi {tr} | {sqrt {ho}} {sqrt {sigma}} |,}$ bu unitar operator mavjudligiga tengdir ${displaystyle U}$ shu kabi

{displaystyle {sqrt {F (ho, sigma)}} = operator nomi {tr} ({sqrt {ho}} {sqrt {sigma}} U).}

Buni eslab

{displaystyle sum _ {k} E_ {k} = I}

har qanday POVM uchun amal qiladi, keyin yozishimiz mumkin

{displaystyle {sqrt {F (ho, sigma)}} = operator nomi {tr} ({sqrt {ho}} {sqrt {sigma}} U) = sum _ {k} operator nomi {tr} ({sqrt {ho}}) E_ {k} E_ {k} {sqrt {sigma}} U) leq sum _ {k} {sqrt {operatorname {tr} (E_ {k} ho) operatorname {tr} (E_ {k} sigma)}}, }

oxirgi qadamda biz Koshi-Shvarts tengsizligidan foydalanganmiz

{displaystyle | operator nomi {tr} (A ^ {xanjar} B) | ^ {2} leq operator nomi {tr} (A ^ {xanjar} A) operator nomi {tr} (B ^ {xanjar} B)}

.

Kvant operatsiyalari bo'yicha o'zini tutish

Ikki davlat o'rtasidagi sadoqat selektiv bo'lmaganida hech qachon pasaymasligini ko'rsatish mumkin kvant operatsiyasi ${displaystyle {mathcal {E}}}$ davlatlarga nisbatan qo'llaniladi:^[10]

{displaystyle F ({mathcal {E}} (ho), {mathcal {E}} (sigma)) geq F (ho, sigma),}

har qanday izni saqlab qolish uchun to'liq ijobiy xarita

{displaystyle {mathcal {E}}}

.

Masofani kuzatib borish bilan bog'liqlik

Biz belgilashimiz mumkin iz masofa nuqtai nazaridan ikkita A va B matritsalar orasidagi iz normasi tomonidan

{displaystyle D (A, B) = {frac {1} {2}} | A-B | _ {m {tr}} ,.}

A va B ikkala zichlik operatori bo'lsa, bu ning kvant umumlashtirilishi statistik masofa. Bu dolzarbdir, chunki kuzatuv masofasi vafodorlikning yuqori va pastki chegaralarini belgilaydi Fuks-van de Grafning tengsizligi,^[11]

{displaystyle 1- {sqrt {F (ho, sigma)}} leq D (ho, sigma) leq {sqrt {1-F (ho, sigma)}}.}

Ko'pincha iz masofasini hisoblash sodiqlikka qaraganda osonroq yoki bog'lab turadi, shuning uchun bu munosabatlar juda foydali. Shtatlarning kamida bittasi a bo'lgan holatda sof holat Ψ, pastki chegara kuchaytirilishi mumkin.

{displaystyle 1-F (psi, ho) leq D (psi, ho),}.

Adabiyotlar

^ C. A. Fuchs, C. M. g'orlari: "Kvant mexanikasida mavjud bo'lgan ma'lumotlarning ansamblga bog'liq chegaralari", Jismoniy tekshiruv xatlari 73, 3047(1994)
^ ^a ^b R. Jozsa, Aralash kvant davlatlari uchun sodiqlik, J. Mod. Opt. 41, 2315-2233 (1994). DOI: http://doi.org/10.1080/09500349414552171
^ M. Xyubner, Zichlik matritsalari uchun Bures masofasini aniq hisoblash, Fizika. Lett. A 163, 239-242 (1992). DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601%2892%2991004-B
^ ^a ^b Nilsen, Maykl A.; Chuang, Isaak L. (2000). Kvant hisoblash va kvant haqida ma'lumot. Kembrij universiteti matbuoti. doi:10.1017 / CBO9780511976667. ISBN 978-0521635035.
^ Bengtsson, Ingemar (2017). Kvant holatlari geometriyasi: Kvant chalkashishiga kirish. Kembrij, Buyuk Britaniya, Nyu-York, NY: Kembrij universiteti matbuoti. ISBN 978-1-107-02625-4.
^ Devorlar, D. F .; Milburn, G. J. (2008). Kvant optikasi. Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-28573-1.
^ Jaeger, Gregg (2007). Kvant ma'lumotlari: umumiy nuqtai. Nyu-York London: Springer. ISBN 978-0-387-35725-6.
^ Uhlmann, A. (1976). ∗ -algebra holatidagi "o'tish ehtimoli" " (PDF). Matematik fizika bo'yicha ma'ruzalar. 9 (2): 273–279. Bibcode:1976RpMP .... 9..273U. doi:10.1016/0034-4877(76)90060-4. ISSN 0034-4877.
^ K. Jitskovski, I. Bengtsson, Kvant holatlari geometriyasi, Kembrij universiteti matbuoti, 2008, 131
^ Nilsen, M. A. (1996-06-13). "Chigallikdagi sodiqlik va kvant xatolarini tuzatish". arXiv:quant-ph / 9606012. Bibcode:1996quant.ph..6012N. Iqtibos jurnali talab qiladi | jurnal = (Yordam bering)
^ C. A. Fuchs va J. van de Graf, "Kvant mexanik holatlari uchun kriptografik farqlash choralari", IEEE Trans. Inf. Nazariya 45, 1216 (1999). arXiv: quant-ph / 9712042

Quantiki: sodiqlik

[1] C. A. Fuchs, C. M. g'orlari: "Kvant mexanikasida mavjud bo'lgan ma'lumotlarning ansamblga bog'liq chegaralari", Jismoniy tekshiruv xatlari 73, 3047(1994)

[JozsaJMO1994-2] R. Jozsa, Aralash kvant davlatlari uchun sodiqlik, J. Mod. Opt. 41, 2315-2233 (1994). DOI: http://doi.org/10.1080/09500349414552171

[HubnerPLA1992-3] M. Xyubner, Zichlik matritsalari uchun Bures masofasini aniq hisoblash, Fizika. Lett. A 163, 239-242 (1992). DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601%2892%2991004-B

[Nielsen_Chuang-4] Nilsen, Maykl A.; Chuang, Isaak L. (2000). Kvant hisoblash va kvant haqida ma'lumot. Kembrij universiteti matbuoti. doi:10.1017 / CBO9780511976667. ISBN 978-0521635035.

[5] Bengtsson, Ingemar (2017). Kvant holatlari geometriyasi: Kvant chalkashishiga kirish. Kembrij, Buyuk Britaniya, Nyu-York, NY: Kembrij universiteti matbuoti. ISBN 978-1-107-02625-4.

[6] Devorlar, D. F .; Milburn, G. J. (2008). Kvant optikasi. Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-28573-1.

[7] Jaeger, Gregg (2007). Kvant ma'lumotlari: umumiy nuqtai. Nyu-York London: Springer. ISBN 978-0-387-35725-6.

[Uhlmann1976-8] Uhlmann, A. (1976). ∗ -algebra holatidagi "o'tish ehtimoli" " (PDF). Matematik fizika bo'yicha ma'ruzalar. 9 (2): 273–279. Bibcode:1976RpMP .... 9..273U. doi:10.1016/0034-4877(76)90060-4. ISSN 0034-4877.

[9] K. Jitskovski, I. Bengtsson, Kvant holatlari geometriyasi, Kembrij universiteti matbuoti, 2008, 131

[10] Nilsen, M. A. (1996-06-13). "Chigallikdagi sodiqlik va kvant xatolarini tuzatish". arXiv:quant-ph / 9606012. Bibcode:1996quant.ph..6012N. Iqtibos jurnali talab qiladi | jurnal = (Yordam bering)

[11] C. A. Fuchs va J. van de Graf, "Kvant mexanik holatlari uchun kriptografik farqlash choralari", IEEE Trans. Inf. Nazariya 45, 1216 (1999). arXiv: quant-ph / 9712042

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]