Ruxsat etilgan arifmetik - Fixed-point arithmetic

Bu maqola ehtimol o'z ichiga oladi original tadqiqotlar. Iltimos uni yaxshilang tomonidan tasdiqlash qilingan va qo'shilgan da'volar satrda keltirilgan. Faqat asl tadqiqotlardan iborat bayonotlar olib tashlanishi kerak. (2019 yil sentyabr) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Yilda hisoblash, a belgilangan raqam vakillik a haqiqiy ma'lumotlar turi dan keyin (va ba'zida bundan oldin ham) belgilangan raqamlarga ega bo'lgan raqam uchun radius nuqtasi ("." o'nli kasrdan keyin ingliz kasrli tizimida). Ruxsat etilgan raqamli tasvirni yanada murakkab (va hisoblash uchun talabchan) bilan taqqoslash mumkin suzuvchi nuqta raqamni ko'rsatish.

Belgilangan raqamlar vakili uchun foydalidir kasr qiymatlari, ijro etilganda, odatda 2-asosda yoki 10-bazada protsessor yo'q suzuvchi nuqta birligi (FPU) eski yoki arzon narxlardagi kabi ko'milgan mikroprotsessorlar va mikrokontrollerlar, agar belgilangan nuqta mavjud dastur uchun yaxshilangan ishlashni yoki aniqlikni ta'minlasa yoki ulardan foydalanish muammo uchun tabiiyroq bo'lsa (masalan, burchaklar ).

Vakillik

Belgilangan ma'lumotlar turining qiymati asosan an tamsayı bu turga qarab aniq bo'lmagan aniq omil bilan miqyoslanadi. Masalan, 1.23 qiymati 1/1000 o'lchov koeffitsienti bilan aniqlangan ma'lumot turida 1230 sifatida ko'rsatilishi mumkin va 1,230,000 qiymati o'lchov koeffitsienti 1000 bilan 1230 sifatida ifodalanishi mumkin. Suzuvchi nuqta ma'lumot turlaridan farqli o'laroq, masshtablash koeffitsienti bir xil turdagi barcha qiymatlar uchun bir xil bo'ladi va butun hisoblash davomida o'zgarmaydi.

O'lchov omili odatda a kuch 10 (insonga qulaylik uchun) yoki 2 kuch (hisoblash samaradorligi uchun). Biroq, boshqa miqyosli omillar vaqti-vaqti bilan ishlatilishi mumkin, masalan. soatlik vaqt qiymati bir soniya aniqligi bilan qiymatlarni olish uchun 1/3600 o'lchov koeffitsienti bilan belgilangan nuqtali tur sifatida ifodalanishi mumkin.

Belgilangan nuqta turining maksimal qiymati shunchaki kattalashtirish koeffitsienti bilan ko'paytirilgan asosiy tamsayı turida ifodalanadigan eng katta qiymatdir; va shunga o'xshash minimal qiymat uchun.

Amaliyotlar

Raqamni sobit nuqta turidan masshtab koeffitsienti bilan aylantirish uchun R o'lchov koeffitsienti bilan boshqa turga S, asosiy tamsayı ko'paytirilishi kerak R va bo'lingan S; ya'ni nisbatga ko'paytiriladi R/S. Masalan, 1.23 = 123/100 qiymatini masshtab koeffitsienti bo'lgan turdan aylantirish uchun R= 1/100 o'lchov koeffitsienti bilan biriga S= 1/1000, asosiy 123 sonini (1/100) / (1/1000) = 10 ga ko'paytirib, 1230/1000 tasvirini olish kerak. Agar S bo'linmaydi R (xususan, agar yangi o'lchov koeffitsienti bo'lsa S asl nusxadan kattaroqdir R), yangi tamsayı bo'lishi kerak yumaloq. Yuvarlama qoidalari va usullari odatda tilning xususiyatlariga kiradi.

Bir xil sobit nuqta turidagi ikkita qiymatni qo'shish yoki olib tashlash uchun asosiy tamsayılarni qo'shish yoki olib tashlash va ularning umumiy koeffitsientini saqlash kifoya. Natijada, yo'q bo'lsa, xuddi shu turda to'liq ifodalanishi mumkin toshib ketish sodir bo'ladi (ya'ni ikkita butun sonning yig'indisi asosiy tamsayı turiga to'g'ri kelishi sharti bilan). Agar raqamlar har xil sobit nuqtali turlarga ega bo'lsa, har xil miqyoslash koeffitsientlari mavjud bo'lsa, unda ulardan biri yig'indidan oldin boshqasiga aylantirilishi kerak.

Ikkita sobit sonli sonni ko'paytirish uchun ikkita asosiy tamsayıni ko'paytirish kifoya va natijaning miqyosi koeffitsienti ularning masshtablash omillarining hosilasi deb o'ylang. Ushbu operatsiyani bajarish yaxlitlashni o'z ichiga olmaydi. Masalan, 123 raqamlarini 1/1000 (0.123) ga va 25ni 1/10 (2.5) ga ko'paytirganda 123 × 25 = 3075 (1/1000) × (1/10) = 1/10000 ga teng bo'lgan butun son hosil bo'ladi. , ya'ni 3075/10000 = 0.3075. Agar ikkita operand bir xil sobit nuqta turiga tegishli bo'lsa va natija ham shu turda ifodalanishi kerak bo'lsa, unda ikkita butun sonning ko'paytmasi umumiy masshtab koeffitsienti bilan aniq ko'paytirilishi kerak; bu holda natija yaxlitlanishi kerak va toshib ketishi mumkin. Masalan, umumiy koeffitsient 1/100 bo'lsa, 1,23 ni 0,25 ga ko'paytirish 123 ni 25 ga ko'paytirganda 3075 hosil bo'lishini oraliq ko'lam koeffitsienti 1/10000 ga olib keladi. So'ngra 1/100 ga ko'paytirilib, ishlatilgan yaxlitlash uslubiga qarab 31 (0,31) yoki 30 (0,30) hosil bo'ladi, natijada 1/100 o'lchov koeffitsienti hosil bo'ladi.

Ikkita sobit sonli raqamlarni bo'lishish uchun bittasi ularning asosiy tamsayılari sonini oladi va miqyoslash koeffitsienti ularning masshtablash omillari miqdoridir. Birinchi bo'lim umuman yaxlitlashni o'z ichiga oladi. Masalan, 3456 ga 1/100 (34.56) ga va 1234 ga 1/1000 (1.234) ga bo'lingan holda 3456 ÷ 1234 = 3 (yaxlitlangan) shkala koeffitsienti (1/100) / (1/1000) = bilan butun son hosil bo'ladi. 10, ya'ni 30. Birinchi navbatda dividendni aniqroq turga o'tkazish orqali aniqroq natijaga erishish mumkin: xuddi shu misolda, bo'linishdan oldin 1/100 (34,56) shkalasi bilan 3456 ni 1/100000 (34,56) ga nisbatan 3,456,000 ga aylantirish. 1234 tomonidan 1/1000 (1.234) tomonidan o'lchov koeffitsienti (1/100000) / (1/1000) = 1/100 bilan 3456000 ÷ 1234 = 2801 (yaxlitlangan) hosil bo'ladi, ya'ni 28.01 (30 o'rniga). Agar ikkala operand ham, kerakli natijada ham miqyoslash koeffitsienti bir xil bo'lsa, unda ikkita tamsayıning miqdori aniq umumiy koeffitsient bilan ko'paytirilishi kerak.

Ikkilik va o'nlik

Belgilangan nuqtalarning eng keng tarqalgan ikkita klassi o'nlik va ikkilikdir. O'nli sobit nuqta turlari o'nga teng bo'lgan miqyoslash koeffitsientiga ega; ikkilik sobit nuqta turlari uchun bu ikkitaning kuchi.

Ikkilik sobit nuqtali turlardan eng ko'p foydalaniladi, chunki qayta tiklash operatsiyalari tezda amalga oshirilishi mumkin bit siljishlar. Ikkilik sobit nuqtali raqamlar ikkitaning kasr kuchlarini to'liq aks ettirishi mumkin, ammo ikkitomonlama suzuvchi nuqta raqamlari singari, o'nlikning kasr kuchlarini to'liq aks ettira olmaydi. Agar o'nlikning aniq kasr kuchlari kerak bo'lsa, unda kasr formatidan foydalanish kerak. Masalan, o'ndan bir qismi (0,1) va yuzdan bir qismi (0,01) faqat taxminan ikkilik sobit nuqta yoki ikkilik suzuvchi nuqta tasvirlari bilan ifodalanishi mumkin, ular aniq o'nli sobit yoki o'nli suzuvchi nuqta tasvirlarida ifodalanishi mumkin. . Ushbu vakolatxonalar ko'p jihatdan kodlanishi mumkin, shu jumladan ikkilik kodli o‘nli kasr (BCD).

Notation

Ikkilik sobit nuqta sonida so'z uzunligi va radius nuqtasini ko'rsatish uchun turli xil yozuvlar mavjud. Quyidagi ro'yxatda, f qismli bitlar sonini anglatadi, m kattalik yoki tamsayı bitlar soni, s imzo bitlari soni va b bitlarning umumiy soni.

• Qf: "Q" prefiksi. Masalan, Q15 kasrli 15 bitli sonni ifodalaydi. Ushbu yozuv noaniq, chunki unda so'zning uzunligi ko'rsatilmagan, ammo odatda so'zning uzunligi ishlatilayotgan maqsad protsessorga qarab 16 yoki 32 bit bo'lishi taxmin qilinadi.^[1]
• Qm.f: "Q" yozuvining noaniq shakli. So'zning barchasi 2 ning to'ldiruvchi tamsayı bo'lgani uchun ishora biti nazarda tutilgan. Masalan, Q1.30 32 bit 2 ning komplekt tamomi sifatida saqlangan 1 tamsayıli bit va 30 qismli bitli sonni tavsiflaydi.^[1][2]
• fxm.b: "Fx" prefiksi yuqoridagiga o'xshash, ammo nuqta juftligining ikkinchi elementi sifatida uzunlik so'zidan foydalanadi. Masalan, fx1.16 16 bitli so'zda 1 kattalik bit va 15 qismli bit bo'lgan sonni tasvirlaydi.^[3]
• s:m:f: Shunga qaramay, boshqa yozuvlarga belgi biti kiradi, masalan PS2 GS foydalanuvchi qo'llanmasi.^[4] Bundan tashqari, u odatdagi ishlatilishidan ajratuvchi sifatida nuqta o'rniga ko'p nuqta qo'yish bilan farq qiladi. Masalan, ushbu yozuvda 0: 8: 0 belgisiz 8-bitli butun sonni ifodalaydi.
• (p, q) Ichida ishlatiladi PL / I dasturlash tili, belgilash uchun p umumiy raqamlar (belgini hisobga olmaganda) bilan q radius nuqtasidan keyin. q ijobiy yoki manfiy, radius esa ikkilik yoki o‘nli bo‘lishi mumkin.
• <s,p,i> LabVIEW dasturlash tili bilan ishlatilganidek, 'FXP' sobit nuqta raqamlari uchun. Qaerda s yoki + yoki ±, mos ravishda imzosiz yoki 2 ning to'ldiruvchi imzolangan raqamini bildiradi. Ushbu format bildiradi p umumiy raqamlar bilan men "butun sonli qism". Shunisi e'tiborga loyiqki, ushbu format "birliklar" o'rnini o'zboshimchalik bilan joylashtirishga imkon beradi, bu esa berilgan raqamlar ichida bo'lishi shart emas. Anavi; jami bitlar p tabiiy tamsayı bo'lishi kerak, men kattaroq, nol yoki hatto salbiy bo'lishi mumkin - bu holatlar shunchaki sonning turli xil miqyoslash omillariga mos keladi.

Aniq yo'qotish va toshib ketish

Belgilangan nuqta operatsiyalari, raqamlaridan ko'p sonli natijalarga olib kelishi mumkin operandlar, ma'lumotni yo'qotish mumkin. Masalan, sobit nuqtani ko'paytirish natijasi ikkita operanddagi raqamlar sonining yig'indisi kabi ko'p sonli raqamlarga ega bo'lishi mumkin. Natijani operandlar bilan bir xil sonli raqamlarga moslashtirish uchun javob bo'lishi kerak yumaloq yoki kesilgan. Agar shunday bo'lsa, qaysi raqamlarni saqlashni tanlash juda muhimdir. Ikkita sobit raqamni bir xil formatga ko'paytirganda, masalan ${ displaystyle I}$ butun sonli raqamlar va ${ displaystyle Q}$ fraksiyonel raqamlar, javob qadar bo'lishi mumkin ${ displaystyle 2I}$ butun sonli raqamlar va ${ displaystyle 2Q}$ kasrli raqamlar.

Oddiylik uchun, ko'pgina belgilangan nuqtalarni ko'paytirish protseduralari operandlar bilan bir xil natija formatidan foydalanadi. Bu o'rta raqamlarni saqlashga ta'sir qiladi; The Men- eng kam sonli raqamlar soni va Q- eng muhim kasr sonlarining soni. Ushbu qiymatdan pastga yo'qolgan kasr sonlari, kasrni ko'paytirishda tez-tez uchraydigan aniq yo'qotishni anglatadi. Agar biron bir tamsayı raqam yo'qolsa, qiymat tubdan noto'g'ri bo'ladi. Ba'zi bir modelga asoslangan sobit nuqtali paketlar^[5] natija formatini kiritish formatidan farqli ravishda ko'rsatishga imkon bering, bu foydalanuvchiga aniqlikni maksimal darajaga ko'tarish va to'ldirishdan qochish imkonini beradi.

Bo'lish kabi ba'zi operatsiyalar, ko'pincha ichki natijalarni cheklaydi, shuning uchun har qanday ijobiy to'lib toshish joriy format bilan ifodalanishi mumkin bo'lgan eng katta songa olib keladi. Xuddi shu tarzda, salbiy to'ldirish, joriy format bilan ifodalangan eng katta salbiy songa olib keladi. Cheklovda qurilgan bu ko'pincha deyiladi to'yinganlik.

Ba'zi protsessorlar apparatni qo'llab-quvvatlaydi to'lib toshgan bayroq hosil qilishi mumkin istisno toshib ketishi haqida, ammo bu vaqtda tegishli natijani saqlab qolish uchun odatda kech bo'ladi.

Kompyuter tilini amalga oshirish

Juda oz sonli kompyuter tillari, eng kam sonli raqamning o'ng tomonidagi radius nuqtasidan tashqari, sobit nuqta qiymatlarini ichki qo'llab-quvvatlashni o'z ichiga oladi. tamsayı ), chunki ko'pgina ilovalar uchun ikkilik yoki kasrli suzuvchi nuqta vakolatxonalarini ishlatish odatda sodda va etarlicha aniq. Suzuvchi nuqta tasvirlarini sobit nuqta tasvirlariga qaraganda osonroq ishlatish mumkin, chunki ular kengroq dinamik diapazonni boshqarishi mumkin va dasturchilarga radius nuqtasidan keyingi raqamlar sonini ko'rsatishni talab qilmaydi. Ammo, agar ular kerak bo'lsa, aniq raqamlar hatto dasturlash tillarida ham amalga oshirilishi mumkin C va C ++, odatda bunday yordamni o'z ichiga olmaydi.

Belgilangan nuqtadan keng tarqalgan foydalanish BCD raqamlar pul qiymatlarini saqlash uchun mo'ljallangan, bu erda ikkilangan suzuvchi nuqtalarning aniq bo'lmagan qiymatlari ko'pincha majburiyat hisoblanadi. Tarixiy nuqtai nazardan, o'nli ma'lumotlar turlari uchun odatiy nuqta tasvirlari odatiy hol edi; masalan, ichida PL / I yoki COBOL. The Ada dasturlash tili ikkala sobit nuqta (ikkilik va o'nlik) va suzuvchi nuqta uchun o'rnatilgan yordamni o'z ichiga oladi. JOVIAL va Coral 66 ham suzuvchi va ham belgilangan nuqta turlarini taqdim etadi.

ISO / IEC TR 18037^[6] C dasturlash tili uchun sobit nuqtali ma'lumotlar turlarini belgilaydi; kelgusi yillarda sotuvchilar sobit nuqtali arifmetika uchun til kengaytmalarini amalga oshirishi kutilmoqda. Ruxsat etilgan qo'llab-quvvatlash amalga oshiriladi GCC.^[7][8]

Belgilangan nuqta bilan aralashmaslik kerak O'nli suzuvchi nuqta kabi dasturlash tillarida C # va Python.

Deyarli barchasi aloqador ma'lumotlar bazalari, va SQL, sobit o'nlik arifmetikasi va raqamlarni saqlashni qo'llab-quvvatlash. PostgreSQL maxsus xususiyatga ega raqamli 1000 raqamgacha bo'lgan raqamlarni aniq saqlash uchun yozing.^[9]

Dasturiy ta'minotni qo'llash misollari

Ushbu bo'lim o'z ichiga olishi mumkin beg'araz, haddan tashqari, yoki ahamiyatsiz misollar. Iltimos maqolani takomillashtirish ko'proq tavsiflovchi matn qo'shish va olib tashlash orqali kamroq o'rinli misollar. Vikipediyani ko'ring yaxshiroq maqolalar yozish uchun qo'llanma keyingi takliflar uchun. (2018 yil avgust)

• The Nest Labs Utilities kutubxonasi, sobit nuqta raqamlari uchun cheklangan makroslar va funktsiyalar to'plamini taqdim etadi, ayniqsa, ushbu raqamlar bilan sensorlarni namuna olish va sensor chiqishi natijalari bilan ishlashda.
• GnuCash - bu pulni kuzatib borish uchun C-da yozilgan dastur bo'lib, u pulning suzuvchi nuqtai nazaridan 1.6-versiyasiga binoan doimiy ravishda amalga oshirishga o'tdi. Ushbu o'zgarish yaxlitlash ustidan ko'proq nazorat qilish uchun suzuvchi nuqta tasvirlarining kamroq taxmin qilinadigan yaxlitlash xatolarini almashtirish uchun qilingan (masalan, eng yaqingacha) sent ).
• Tremor, Tost va TELBA kodini ochadigan dasturiy ta'minot kutubxonalari Ogg Vorbis, GSM to'liq stavkasi va MP3 navbati bilan audio formatlar. Ushbu kodeklarda qattiq arifmetikadan foydalaniladi, chunki ko'pgina audio dekodlash apparati qurilmalarida FPU mavjud emas (qisman pulni tejash uchun, lekin birinchi navbatda quvvatni tejash uchun - butun birliklar kremniy maydonida FPUga qaraganda ancha kichik) va audio dekodlash uchun ishlash talab qilinadi past tezlikda ishlaydigan qurilmalarda suzuvchi nuqta dasturiy ta'minotini amalga oshirish real vaqtda ishlab chiqarishni keltirib chiqarmaydi.
• Hammasi 3D grafika dvigatellari Sony-ning asl nusxasida O'yinlar markazi, Sega Saturn, Nintendo's Game Boy Advance (faqat 2D ), Nintendo DS (2D va 3D), Nintendo Gamecube^[10] va GP2X Wiz video o'yin tizimlari Tremor va Toast bilan bir xil sababga ko'ra aniq arifmetikadan foydalanadi: FPUsiz arxitektura bo'yicha ishlash qobiliyatini olish uchun (masalan, PlayStation o'zining transformatsion protsessorida 4.12bit qiymatlari uchun apparat yordamini o'z ichiga olgan).
• The OpenGL ES 1.x spetsifikatsiyasi sobit nuqta profilini o'z ichiga oladi, chunki u har doim FPUga ega bo'lmagan ko'milgan tizimlarga mo'ljallangan API hisoblanadi.
• TeX ikkilik nuqtadan keyin 16 bitli sobit nuqtadan foydalanadi ochkolar, barcha pozitsiyalarni hisoblash uchun. TeX shrift metrikasi fayllar o'nli kasrning chap tomonida 12 bit bo'lgan, 32-bit imzolangan sobit nuqta raqamlaridan foydalanadi.
• The DC va miloddan avvalgi dasturlar o'zboshimchalik bilan aniqlik kalkulyatorlar, lekin faqat (foydalanuvchi tomonidan belgilangan) aniq sonli kasr sonini kuzatib boring.
• VisSim Vizual ravishda dasturlashtirilgan blok-diagramma tili, sobit nuqtali operatsiyalarni simulyatsiya qilish va avtomatik ravishda ishlab chiqarishga imkon beradigan sobit nuqta blokini qo'llab-quvvatlaydi. Ham so'z hajmi, ham radix nuqtasi operator asosida ko'rsatilishi mumkin.
• Fraktint kabi raqamlarni ifodalaydi 2.2-savol belgilangan raqamli raqamlar,^[11] bilan eski kompyuterlarga rasm chizishni tezlashtirish 386 yoki 486SX protsessorlar, unda FPU yo'q edi.
• Qiyomat oxirgi edi birinchi shaxs otish sarlavha tomonidan id dasturi uning butun sonli bo'lmagan hisoblashlari uchun xaritalar tizimi, geometriya, renderlash, o'yinchi harakati va boshqalarni o'z ichiga olgan 16.16 sobit nuqta tasvirini ishlatish. Bu o'yin FPU holda 386 va 486SX protsessorlarda o'ynashi uchun qilingan. Muvofiqlik sababli, ushbu taqdimot hali ham zamonaviy tarzda qo'llaniladi Qiyomat manba portlari.
• Wavpack sobit nuqtali, kayıpsız audio kompresördür. Uning yaratuvchisi Devid Brayant suzuvchi nuqta o'rniga sobit amalga oshirish qarorini oqlaydi: "Men ishonamanki, butun sonli operatsiyalar siqishni yo'qotish xususiyatini buzishi mumkin bo'lgan chiplarning o'zgarishiga nozik chipga kamroq ta'sir qiladi".^[12]
• Belgilangan raqamlardan ba'zida rasmlar va videoframlarni saqlash va boshqarish uchun foydalaniladi. Protsessorlar SIMD tasvirni qayta ishlashga yo'naltirilgan birliklar qadoqlangan sobit nuqta ma'lumotlari bilan ishlash uchun mos ko'rsatmalarni o'z ichiga olishi mumkin.
• The Savol # uchun dasturlash tili Azure kvantli kompyuterlar, ushbu dastur kvant mantiq eshiklari, ning registrlari bo'yicha aniq arifmetikani bajarish uchun standart raqamli kutubxonani o'z ichiga oladi kubitlar.^[13]
• The TrueType shrift formati F26Dot6 uning ko'rsatmalaridagi ba'zi bir raqamlar uchun format (o'nli kasrning chap tomonida 26 bit bo'lgan 32-bit imzolangan sobit nuqta).^[14] Ushbu format minimal miqdordagi aniqlikni ta'minlash uchun tanlangan shama qilish va ishlash sabablariga ko'ra.^[15]
• The FixedPointNumbers to'plami uchun Yuliya ikkalasini ham amalga oshiradiⁿ va 2ⁿ-1 o'lchovli sobit nuqta raqamlari. Ikkinchisi tasvirni qayta ishlash uchun poydevor sifatida "butun son" uchun ham, suzuvchi nuqta intensivligi qiymatlari uchun ham doimiy o'lchovni taqdim etadi va shu bilan boshqa ko'plab tasvirlarni qayta ishlash doiralarida mavjud bo'lgan "255 == 1,0" (tenglamadan tashqari) dan saqlaydi.

Shuningdek qarang

• Ikkilik o'lchov
• Q (raqam formati)
• Libfiksmat - belgilangan nuqta matematikasi uchun C da yozilgan kutubxona
• Suzuvchi nuqta arifmetikasi
• Logaritmik sanoq tizimi

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish

• Uorren kichik, Genri S. (2013). Xakerning zavqi (2 nashr). Addison Uesli - Pearson Education, Inc. ISBN  978-0-321-84268-8.

Tashqi havolalar

• Oddiy sobit matematik
• Ruxsat etilgan arifmetik - kirish
• Ruxsat etilgan nuqtali vakillik va kasr matematikasi
• Ruxsat etilgan arifmetikaga hisoblangan ko'rinish, (PDF)
• Ada '83 asos, 5.3.2: Ruxsat etilgan nuqta turlari
• Julia uchun belgilangan raqamlar