Gomologik ulanish - Homological connectivity

Yilda algebraik topologiya, homologik bog'lanish uning asosida topologik makonni tavsiflovchi xususiyatdir homologiya guruhlari. Bu xususiyat xususiyatlariga qaraganda o'xshash, ammo umumiyroq grafik aloqasi va topologik ulanish. Topologik makonning homologik bog'lanishining ko'plab ta'riflari mavjud X.^[1]

Ta'riflar

Asosiy ta'riflar

X bu gomologik jihatdan bog'liq agar uning 0-gomologik guruhi teng bo'lsa Z, ya'ni ${ displaystyle H_ {0} (X) cong mathbb {Z}}$ yoki unga teng ravishda, uning 0-chi qismi kamaytirilgan homologiya guruh ahamiyatsiz: ${ displaystyle { tilde {H_ {0}}} (X) cong 0}$ . Qachon X grafigi va uning to'plamidir ulangan komponentlar bu C, ${ displaystyle H_ {0} (X) cong mathbb {Z} ^ {| C |}}$ va ${ displaystyle { tilde {H_ {0}}} (X) cong mathbb {Z} ^ {| C | -1}}$ (qarang grafika gomologiyasi tafsilotlar uchun). Shuning uchun, gomologik ulanish bitta ulangan komponentga ega bo'lgan grafikka teng, bu esa unga tengdir grafik aloqasi. Bu a tushunchasiga o'xshaydi ulangan bo'shliq.

X bu gomologik jihatdan 1-ulangan agar u gomologik jihatdan bog'langan bo'lsa va qo'shimcha ravishda uning 1-gomologik guruhi ahamiyatsiz bo'lsa, ya'ni. ${ displaystyle H_ {1} (X) cong 0}$ .^[1] Qachon X vertex-set bilan bog'langan grafik V va chekka o'rnatilgan E, ${ displaystyle H_ {1} (X) cong mathbb {Z} ^ {| E | - | V | +1}}$ . Shuning uchun, gomologik 1-ulanish grafikaning a ga teng daraxt. Norasmiy ravishda, u mos keladi X a tushunchasiga o'xshash 1 o'lchovli "teshiklari" yo'q shunchaki bog'langan joy.

Umuman olganda, har qanday butun son uchun k, X bu gomologik jihatdan k-bog'langan agar u 0, 1, ..., tartibidagi kamaytirilgan homologik guruhlar bo'lsa k barchasi ahamiyatsiz. Qisqartirilgan homologiya guruhi 1, ..., uchun homologiya guruhiga teng ekanligini unutmang. k (faqat 0-chi kamaytirilgan gomologik guruh boshqacha).

The homologik bog'lanish ning X, bog'langan_H(X), eng kattasi k buning uchun X homologik jihatdan k- ulangan. Agar barcha kamaytirilgan gomologik guruhlar bo'lsa X ahamiyatsiz, keyin ulang_H(X) cheksiz deb ta'riflanadi. Boshqa tomondan, agar barcha kamaytirilgan gomologik guruhlar ahamiyatsiz bo'lsa, unda konn_H(X) -1 sifatida belgilanadi.

Variantlar

Ba'zi mualliflar homologik bog'lanishni 2 ga o'zgartirganligini aniqlaydilar, ya'ni. ${ displaystyle eta _ {H} (X): = { text {conn}} _ {H} (X) +2}$ .^[2]

Asosiy ta'rif butun son koeffitsientli gomologik guruhlarni ko'rib chiqadi. Gomologik guruhlarni boshqa koeffitsientlar bilan ko'rib chiqish ulanishning boshqa ta'riflariga olib keladi. Masalan, X bu F₂-gomologik jihatdan 1-ulangan agar uning koeffitsientlari bilan uning 1-gomologik guruhi₂ (2 o'lchamdagi tsiklik maydon) ahamiyatsiz, ya'ni: ${ displaystyle H_ {1} (X; mathbb {F} _ {2}) cong 0}$ .

Muayyan bo'shliqlarda gomologik bog'lanish

Gomologik ulanish har xil bo'shliqlar uchun hisoblab chiqilgan, jumladan:

The mustaqillik kompleksi grafika;^[3]^[4]
Tasodifiy 2 o'lchovli soddalashtirilgan kompleks;^[1]
Tasodifiy k-o'lchovli soddalashtirilgan kompleks;^[5]
Tasodifiy gipergraf;^[6]
Tasodifiy Texnik kompleks.^[7]

Shuningdek qarang

Meshulamning o'yini bu grafada o'ynaladigan o'yin G, ning pastki chegarasini hisoblash uchun foydalanish mumkin homologik bog'lanish ning mustaqillik majmuasi G.

Adabiyotlar

^ ^a ^b ^v Linial *, Natan; Meshulam *, Roy (2006-08-01). "Tasodifiy 2-komplekslarning gomologik aloqasi". Kombinatorika. 26 (4): 475–487. doi:10.1007 / s00493-006-0027-9. ISSN 1439-6912. S2CID 10826092.
^ Axaroni, Ron; Berger, Eli; Kotlar, Dani; Ziv, Ran (2017-10-01). "Shteyn gumoni bilan". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Gamburg. 87 (2): 203–211. doi:10.1007 / s12188-016-0160-3. ISSN 1865-8784. S2CID 119139740.
^ Meshulam, Roy (2003-05-01). "Dominantlik raqamlari va homologiya". Kombinatoriya nazariyasi jurnali, A seriyasi. 102 (2): 321–330. doi:10.1016 / s0097-3165 (03) 00045-1. ISSN 0097-3165.
^ Adamashek, Mixal; Barmak, Jonathan Ariel (2011-11-06). "Grafik mustaqillik kompleksining ulanishining pastki chegarasida". Diskret matematika. 311 (21): 2566–2569. doi:10.1016 / j.disc.2011.06.010. ISSN 0012-365X.
^ Meshulam, R .; Wallach, N. (2009). "Tasodifiy k o'lchovli komplekslarning gomologik ulanishi". Tasodifiy tuzilmalar va algoritmlar. 34 (3): 408–417. arXiv:matematik / 0609773. doi:10.1002 / rsa.20238. ISSN 1098-2418. S2CID 8065082.
^ Kuli, Oliver; Xaksell, Penni; Kang, Mihyun; Sprüssel, Filipp (2016-04-04). "Tasodifiy gipergraflarning gomologik aloqasi". arXiv:1604.00842 [matematik CO ].
^ Bobrowski, Omer (2019-06-12). "Tasodifiy texnika komplekslarida gomologik bog'lanish". arXiv:1906.04861 [math.PR ].

[:0-1] v Linial *, Natan; Meshulam *, Roy (2006-08-01). "Tasodifiy 2-komplekslarning gomologik aloqasi". Kombinatorika. 26 (4): 475–487. doi:10.1007 / s00493-006-0027-9. ISSN 1439-6912. S2CID 10826092.

[2] Axaroni, Ron; Berger, Eli; Kotlar, Dani; Ziv, Ran (2017-10-01). "Shteyn gumoni bilan". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Gamburg. 87 (2): 203–211. doi:10.1007 / s12188-016-0160-3. ISSN 1865-8784. S2CID 119139740.

[:02-3] Meshulam, Roy (2003-05-01). "Dominantlik raqamlari va homologiya". Kombinatoriya nazariyasi jurnali, A seriyasi. 102 (2): 321–330. doi:10.1016 / s0097-3165 (03) 00045-1. ISSN 0097-3165.

[4] Adamashek, Mixal; Barmak, Jonathan Ariel (2011-11-06). "Grafik mustaqillik kompleksining ulanishining pastki chegarasida". Diskret matematika. 311 (21): 2566–2569. doi:10.1016 / j.disc.2011.06.010. ISSN 0012-365X.

[5] Meshulam, R .; Wallach, N. (2009). "Tasodifiy k o'lchovli komplekslarning gomologik ulanishi". Tasodifiy tuzilmalar va algoritmlar. 34 (3): 408–417. arXiv:matematik / 0609773. doi:10.1002 / rsa.20238. ISSN 1098-2418. S2CID 8065082.

[6] Kuli, Oliver; Xaksell, Penni; Kang, Mihyun; Sprüssel, Filipp (2016-04-04). "Tasodifiy gipergraflarning gomologik aloqasi". arXiv:1604.00842 [matematik CO ].

[7] Bobrowski, Omer (2019-06-12). "Tasodifiy texnika komplekslarida gomologik bog'lanish". arXiv:1906.04861 [math.PR ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]