L shaharlar boshqaradi - LHôpitals rule - Wikipedia

L'Hopital qoidasini misol sifatida qo'llash f(x) = gunoh (x) va g(x) = −0.5x: funktsiya h(x) = f(x)/g(x) noma'lum x = 0, lekin barchasida doimiy funktsiyani bajarish mumkin R belgilash orqali h(0) = f′(0)/g′(0) = −2.

Yilda matematika, aniqrog'i hisob-kitob, L'Hopitalning qoidasi yoki L'Hospital qoidasi (Frantsiya:[lopital], Ingliz tili: /ˌloʊpiːˈtɑːl/, loh-pee-TAHL ) baholash texnikasini taqdim etadi chegaralar ning noaniq shakllar. Qoidaning qo'llanilishi (yoki takroriy qo'llanilishi) ko'pincha noaniq shaklni almashtirish bilan osonlikcha baholanadigan iboraga aylantiradi. Bu qoida 17-asr nomi bilan atalgan Frantsuz matematik Giyom de l'Hopital. Ushbu qoida ko'pincha L'Hopitalga tegishli bo'lsa-da, teorema unga birinchi marta 1694 yilda shveytsariyalik matematik tomonidan kiritilgan Yoxann Bernulli.

L'Hopital qoidasida funktsiyalar uchun aytilgan f va g qaysiki farqlanadigan ochiq joyda oraliq Men ehtimol bir nuqtadan tashqari v tarkibida Men, agar ${ displaystyle lim _ {x to c} f (x) = lim _ {x to c} g (x) = 0 { text {or}} pm infty,}$ va ${ displaystyle g '(x) neq 0}$ Barcha uchun x yilda Men bilan x ≠ vva ${ displaystyle lim _ {x to c} { frac {f '(x)} {g' (x)}}}$ mavjud, keyin

${ displaystyle lim _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}} = = lim _ {x to c} { frac {f '(x)} {g '(x)}}.}$

Numerator va maxrajning differentsiatsiyasi ko'pincha kvotani soddalashtiradi yoki uni to'g'ridan-to'g'ri baholanadigan chegaraga aylantiradi.

Tarix

Giyom de l'Hopital (shuningdek, yozilgan l'Hospital^[a]) ushbu qoidani 1696 yilgi kitobida e'lon qildi Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes tahlil qiling (so'zma-so'z tarjima: Egri chiziqlarni tushunish uchun cheksiz kichikni tahlil qilish), birinchi darslik differentsial hisob.^[1][b] Biroq, bu qoida shveytsariyalik matematik tomonidan kashf etilgan deb ishoniladi Yoxann Bernulli.^[3][4]

Umumiy shakl

L'Hopital qoidalarining umumiy shakli ko'plab holatlarni qamrab oladi. Ruxsat bering v va L bo'lishi kengaytirilgan haqiqiy raqamlar (ya'ni haqiqiy sonlar, ijobiy cheksiz yoki salbiy cheksizlik). Ruxsat bering Men bo'lish ochiq oraliq o'z ichiga olgan v (ikki tomonlama chegara uchun) yoki so'nggi nuqta bilan ochiq interval v (a. uchun bir tomonlama chegara yoki a cheksizlikda chegara agar v cheksiz). Haqiqiy qadrlangan funktsiyalar f va g deb taxmin qilinadi farqlanadigan kuni Men ehtimol bundan mustasno vva qo'shimcha ravishda ${ displaystyle g '(x) neq 0}$ kuni Men ehtimol bundan mustasno v. Bundan tashqari, taxmin qilinmoqda ${ displaystyle lim _ {x to c} { frac {f '(x)} {g' (x)}} = L.}$ Shunday qilib, qoida lotin nisbati cheklangan yoki cheksiz chegaraga ega bo'lgan holatlarga nisbatan qo'llaniladi, lekin bu nisbat doimiy ravishda o'zgarib turadigan holatlarga emas. x tobora yaqinlashmoqda v.

Agar shunday bo'lsa

${ displaystyle lim _ {x to c} f (x) = lim _ {x to c} g (x) = 0}$

yoki

${ displaystyle lim _ {x to c} | f (x) | = lim _ {x to c} | g (x) | = infty,}$

keyin

${ displaystyle lim _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}} = L.}$

Garchi biz yozgan bo'lsak ham x → v davomida, cheklovlar bir tomonlama chegaralar ham bo'lishi mumkin (x → v⁺ yoki x → v⁻), qachon v ning cheklangan so'nggi nuqtasi Men.

Ikkinchi holda, bu gipoteza f farq qiladi dalilda cheksizgacha foydalanilmaydi (dalil bo'limi oxiridagi yozuvga qarang); Shunday qilib, qoida shartlari odatda yuqorida aytib o'tilganidek, qoida protsedurasining amal qilishi uchun etarli bo'lgan ikkinchi shart quyidagicha qisqacha bayon qilinishi mumkin: ${ displaystyle lim _ {x dan c} | g (x) | = infty.}$

Gipoteza ${ displaystyle g '(x) neq 0}$ adabiyotda eng ko'p uchraydi, ammo ba'zi mualliflar boshqa farazlarni boshqa joyga qo'shib, bu farazni chetlab o'tmoqdalar. Bitta usul^[5] funktsiya chegarasini chegaralash funktsiyasi hamma joyda tegishli oraliqda belgilanishi kerakligi haqidagi qo'shimcha talab bilan belgilashdan iborat Men ehtimol bundan mustasno v.^[c] Boshqa usul^[6] ikkalasini ham talab qilishdir f va g o'z ichiga olgan intervalda hamma joyda farqlanishi mumkin v.

Chekning mavjud bo'lishi to'g'risidagi talab

Bu talab

${ displaystyle lim _ {x to c} { frac {f '(x)} {g' (x)}}}$

mavjud bo'lishi juda muhimdir. Ushbu shartsiz, ${ displaystyle f '}$ yoki ${ displaystyle g '}$ söndürülmemiş salınımları ko'rsatishi mumkin ${ displaystyle x}$ yondashuvlar ${ displaystyle c}$, bu holda L'Hopital qoidasi qo'llanilmaydi. Masalan, agar ${ displaystyle f (x) = x + sin (x)}$, ${ displaystyle g (x) = x}$ va ${ displaystyle c = pm infty}$, keyin

${ displaystyle { frac {f '(x)} {g' (x)}} = { frac {1+ cos (x)} {1}};}$

bu ifoda chegaraga yaqinlashmaydi ${ displaystyle x}$ boradi ${ displaystyle c}$, chunki kosinus funktsiyasi o'rtasida tebranadi 1 va −1. Ammo asl funktsiyalar bilan ishlash, ${ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {f (x)} {g (x)}}}$ mavjudligini ko'rsatish mumkin:

${ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {f (x)} {g (x)}} = lim _ {x to infty} chap (1 + { frac { sin (x)} {x}} right) = 1.}$

Bunday holatda, xulosa qilish mumkin bo'lgan narsa shu

${ displaystyle liminf _ {x to c} { frac {f '(x)} {g' (x)}} leq liminf _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}} leq limsup _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}} leq limsup _ {x to c} { frac {f '(x)} {g' (x)}},}$

shuning uchun agar chegara f/g mavjud bo'lib, u pastki va yuqori chegaralar orasida bo'lishi kerak f′/g′. (Yuqoridagi misolda bu to'g'ri, chunki 1 haqiqatan ham 0 dan 2 gacha).

Misollar

• Belgilanmagan shaklni o'z ichiga olgan eksponent funktsiyani o'z ichiga olgan asosiy misol 0/0 da x = 0:

${ displaystyle { begin {aligned} lim _ {x to 0} { frac {e ^ {x} -1} {x ^ {2} + x}} & = lim _ {x to 0 } { frac {{ frac {d} {dx}} (e ^ {x} -1)} {{ frac {d} {dx}} (x ^ {2} + x)}} [ 4pt] & = lim _ {x to 0} { frac {e ^ {x}} {2x + 1}} [4pt] & = 1. end {aligned}}}$

• Bu o'z ichiga olgan batafsilroq misol 0/0. L'Hopital qoidasini bir marta qo'llash hali ham noaniq shaklga olib keladi. Bunday holda, chegara qoidani uch marta qo'llash orqali baholanishi mumkin:

${ displaystyle { begin {aligned} lim _ {x to 0} { frac {2 sin (x) - sin (2x)} {x- sin (x)}} & = lim _ {x to 0} { frac {2 cos (x) -2 cos (2x)} {1- cos (x)}} [4pt] & = lim _ {x to 0}) { frac {-2 sin (x) +4 sin (2x)} { sin (x)}} [4pt] & = lim _ {x to 0} { frac {-2 cos (x) +8 cos (2x)} { cos (x)}} [4pt] & = { frac {-2 + 8} {1}} [4pt] & = 6. oxiri {hizalanmış}}}$

• Bunga tegishli bir misol ∞/∞:

${ displaystyle lim _ {x to infty} x ^ {n} cdot e ^ {- x} = lim _ {x to infty} { frac {x ^ {n}} {e ^ {x}}} = lim _ {x to infty} { frac {nx ^ {n-1}} {e ^ {x}}} = n cdot lim _ {x to infty} { frac {x ^ {n-1}} {e ^ {x}}}.}$

Ko'rsatkich nolga teng bo'lgunga qadar L'Hopital qoidasini takroran qo'llang (agar n butun son) yoki manfiy (agar shunday bo'lsa) n kasrli) chegara nolga teng degan xulosaga kelish.

• Bu erda noaniq shaklni o'z ichiga olgan misol 0 · ∞ (pastga qarang), bu shakl sifatida qayta yozilgan ∞/∞:

${ displaystyle lim _ {x to 0 ^ {+}} x ln x = lim _ {x to 0 ^ {+}} { frac { ln x} { frac {1} {x }}} = lim _ {x to 0 ^ {+}} { frac { frac {1} {x}} {- { frac {1} {x ^ {2}}}}} = lim _ {x dan 0 ^ {+}} gacha - x = 0.}$

• Bilan bog'liq bir misol ipoteka kreditini to'lash formulasi va 0/0. Ruxsat bering P asosiy qarz (qarz miqdori) bo'lishi, r davr uchun foiz stavkasi va n davrlar soni. Qachon r nolga teng, har bir davr uchun to'lov miqdori ${ displaystyle { frac {P} {n}}}$ (faqat asosiy qarzni qaytarish sababli); bu nolga teng bo'lmagan foiz stavkalari formulasiga mos keladi:

${ displaystyle { begin {aligned} lim _ {r to 0} { frac {Pr (1 + r) ^ {n}} {(1 + r) ^ {n} -1}} & = P lim _ {r dan 0} { frac {(1 + r) ^ {n} + rn (1 + r) ^ {n-1}} {n (1 + r) ^ {n-1}} } [4pt] & = { frac {P} {n}}. End {aligned}}}$

• Quyidagi teoremani isbotlash uchun L'Hopital qoidasidan foydalanish mumkin. Agar f ning mahallasida ikki marta farqlanadi x, keyin

${ displaystyle { begin {aligned} lim _ {h to 0} { frac {f (x + h) + f (xh) -2f (x)} {h ^ {2}}} & = lim _ {h to 0} { frac {f '(x + h) -f' (xh)} {2h}} [4pt] & = lim _ {h to 0} { frac { f '' (x + h) + f '' (xh)} {2}} [4pt] & = f '' (x). end {hizalangan}}}$

• Ba'zida L'Hopital qoidasi hiyla-nayrang bilan qo'llaniladi: faraz qiling f(x) + f′(x) sifatida yaqinlashadi x → ∞ va bu ${ displaystyle e ^ {x} cdot f (x)}$ ijobiy yoki salbiy cheksizlikka yaqinlashadi. Keyin:

${ displaystyle lim _ {x to infty} f (x) = lim _ {x to infty} { frac {e ^ {x} cdot f (x)} {e ^ {x} }} = lim _ {x to infty} { frac {e ^ {x} { bigl (} f (x) + f '(x) { bigr)}} {e ^ {x}} } = lim _ {x to infty} { bigl (} f (x) + f '(x) { bigr)}}$

va hokazo,${ displaystyle lim _ {x to infty} f (x)}$ mavjud va${ displaystyle lim _ {x to infty} f '(x) = 0.}$

Natijada qo'shimcha gipoteza mavjud emas ${ displaystyle e ^ {x} cdot f (x)}$ ijobiy yoki salbiy cheksizlikka yaqinlashadi, ammo keyinchalik to'liq emas.

Asoratlar

Ba'zida L'Hopital qoidasi, qo'shimcha qadamlar qo'yilmasa, cheklangan sonli qadamlarda javob berishga olib kelmaydi. Bunga quyidagilar kiradi:

• Ikki dastur baholanishi kerak bo'lgan asl iboraga qaytishiga olib kelishi mumkin:

${ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = lim _ { x to infty} { frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {e ^ {x} + e ^ {- x}}} = lim _ {x to infty} { frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = cdots.}$

Ushbu vaziyatni almashtirish orqali hal qilish mumkin ${ displaystyle y = e ^ {x}}$ va buni ta'kidlash y kabi cheksizlikka boradi x cheksizlikka boradi; ushbu almashtirish bilan ushbu muammoni bitta qoidani qo'llash bilan hal qilish mumkin:

${ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = lim _ { y to infty} { frac {y + y ^ {- 1}} {yy ^ {- 1}}} = lim _ {y to infty} { frac {1-y ^ {- 2 }} {1 + y ^ {- 2}}} = { frac {1} {1}} = 1.}$

Shu bilan bir qatorda, sonni va maxrajni ikkiga ko'paytirish mumkin ${ displaystyle e ^ {x},}$ bunda L'Hopital qoidasi darhol muvaffaqiyatli qo'llanilishi mumkin:^[7]

${ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = lim _ { x to infty} { frac {e ^ {2x} +1} {e ^ {2x} -1}} = lim _ {x to infty} { frac {2e ^ {2x}} { 2e ^ {2x}}} = 1.}$

• O'zboshimchalik bilan ko'p sonli arizalar hech qachon takrorlanmasdan javobga olib kelmasligi mumkin:

${ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {x ^ { frac {1} {2}} + x ^ {- { frac {1} {2}}}} {x ^ { frac {1} {2}} - x ^ {- { frac {1} {2}}}}} = lim _ {x to infty} { frac {{ frac {1} {2 }} x ^ {- { frac {1} {2}}} - { frac {1} {2}} x ^ {- { frac {3} {2}}}} {{ frac {1 } {2}} x ^ {- { frac {1} {2}}} + { frac {1} {2}} x ^ {- { frac {3} {2}}}}} = lim _ {x to infty} { frac {- { frac {1} {4}} x ^ {- { frac {3} {2}}} + { frac {3} {4}} x ^ {- { frac {5} {2}}}} {- { frac {1} {4}} x ^ {- { frac {3} {2}}} - { frac {3} {4}} x ^ {- { frac {5} {2}}}}} = cdots.}$

Bu holatda ham o'zgaruvchilar o'zgarishi bilan shug'ullanish mumkin, bu holda ${ displaystyle y = { sqrt {x}}}$:

${ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {x ^ { frac {1} {2}} + x ^ {- { frac {1} {2}}}} {x ^ { frac {1} {2}} - x ^ {- { frac {1} {2}}}}} = lim _ {y to infty} { frac {y + y ^ {- 1} } {yy ^ {- 1}}} = lim _ {y to infty} { frac {1-y ^ {- 2}} {1 + y ^ {- 2}}} = { frac { 1} {1}} = 1.}$

Shunga qaramay, alternativ yondashuv - bu raqamlashuvchi va maxrajni ko'paytirish ${ displaystyle x ^ {1/2}}$ L'Hopital qoidasini qo'llashdan oldin:

${ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {x ^ { frac {1} {2}} + x ^ {- { frac {1} {2}}}} {x ^ { frac {1} {2}} - x ^ {- { frac {1} {2}}}}} = lim _ {x to infty} { frac {x + 1} {x-1 }} = lim _ {x to infty} { frac {1} {1}} = 1.}$

Oddiy tuzoq L'Hopital qoidasini ba'zilar bilan ishlatadi doiraviy mulohaza a orqali lotinni hisoblash farq miqdori. Masalan, uchun lotin formulasini isbotlash vazifasini ko'rib chiqing vakolatlari x:

${ displaystyle lim _ {h to 0} { frac {(x + h) ^ {n} -x ^ {n}} {h}} = nx ^ {n-1}.}$

L'Hopital qoidasini qo'llash va lotinlarni topish h son va maxrajning hosilasi n xⁿ⁻¹ kutilganidek. Biroq, numeratorni farqlash, isbotlanayotgan faktdan foydalanishni talab qildi. Bu misol savol berib, chunki isbotlash jarayonida biron bir fakt isbotlanmasa kerak.

Qarama-qarshi misollar, maxrajning hosilasi nolga teng bo'lganda

Shartning zarurligi ${ displaystyle g '(x) neq 0}$ yaqin ${ displaystyle c}$ tufayli quyidagi qarshi misol orqali ko'rish mumkin Otto Stolz.^[8] Ruxsat bering ${ displaystyle f (x) = x + sin x cos x}$ va ${ displaystyle g (x) = f (x) e ^ { sin x}.}$ Unda chegara yo'q ${ displaystyle f (x) / g (x)}$ kabi ${ displaystyle x to infty.}$ Biroq,

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {f '(x)} {g' (x)}} & = { frac {2 cos ^ {2} x} {(2 cos ^ {2) } x) e ^ { sin x} + (x + sin x cos x) e ^ { sin x} cos x}} [4pt] & = { frac {2 cos x} {2 cos x + x + sin x cos x}} e ^ {- sin x}, end {hizalangan}}}$

0 ga intiladi ${ displaystyle x to infty}$. Ushbu turdagi boshqa misollar topildi Kichik Ralf P. Boas^[9]

Boshqa noaniq shakllar

Kabi boshqa noaniq shakllar 1^∞, 0⁰, ∞⁰, 0 · ∞va ∞ − ∞, ba'zan L'Hopital qoidasi yordamida baholanishi mumkin. Masalan, o'z ichiga olgan chegarani baholash ∞ − ∞, ikkita funktsiya farqini miqdorga o'tkazing:

${ displaystyle { begin {aligned} lim _ {x to 1} left ({ frac {x} {x-1}} - { frac {1} { ln x}} right) & = lim _ {x dan 1} { frac {x cdot ln x-x + 1} {(x-1) cdot ln x}} & quad (1) [6pt] & = lim _ {x to 1} { frac { ln x} {{ frac {x-1} {x}} + ln x}} & quad (2) [6pt] & = lim _ {x to 1} { frac {x cdot ln x} {x-1 + x cdot ln x}} & quad (3) [6pt] & = lim _ { x to 1} { frac {1+ ln x} {1 + 1 + ln x}} & quad (4) [6pt] & = lim _ {x to 1} { frac {1+ ln x} {2+ ln x}} [6pt] & = { frac {1} {2}}, end {aligned}}}$

bu erda L'Hopital qoidasi (1) dan (2) gacha va yana (3) dan (4) ga o'tishda qo'llaniladi.

L'Hopital qoidasi o'z ichiga olgan noaniq shakllarda ishlatilishi mumkin eksponentlar yordamida logarifmlar "ko'rsatkichni pastga siljitish" uchun. Bu erda noaniq shaklni o'z ichiga olgan misol 0⁰:

${ displaystyle lim _ {x to 0 ^ {+}} x ^ {x} = lim _ {x to 0 ^ {+}} e ^ { ln (x ^ {x})} = lim _ {x to 0 ^ {+}} e ^ {x cdot ln x} = e ^ { lim limitlar _ {x dan 0 ^ {+}} (x cdot ln x)} .}$

Chegarani ichkarisiga ko'chirish haqiqiydir eksponent funktsiya chunki eksponent funktsiya davomiy. Endi eksponent ${ displaystyle x}$ "pastga" tushirilgan. Chegara ${ displaystyle lim _ {x to 0 ^ {+}} x cdot ln x}$ noaniq shaklda 0 · ∞, lekin yuqoridagi misolda ko'rsatilgandek, buni aniqlash uchun l'Hopital qoidasidan foydalanish mumkin

${ displaystyle lim _ {x to 0 ^ {+}} x cdot ln x = 0.}$

Shunday qilib

${ displaystyle lim _ {x to 0 ^ {+}} x ^ {x} = e ^ {0} = 1.}$

Stolz-Sesaro teoremasi

Stolz-Sezaro teoremasi ketma-ketlik chegaralarini o'z ichiga olgan shunga o'xshash natija, ammo u cheklangan sondan foydalanadi farq operatorlari dan ko'ra hosilalar.

Geometrik talqin

Tekislikdagi egri chiziqni ko'rib chiqing x-koordinat tomonidan berilgan g(t) va kimning y-koordinat tomonidan berilgan f(t), ikkala funktsiya doimiy ravishda, ya'ni lokus shaklning nuqtalari [g(t), f(t)]. Aytaylik f(v) = g(v) = 0. Nisbati chegarasi f(t)/g(t) kabi t → v tangensning nuqtadagi egri chiziqqa qiyaligi [g(v), f(v)] = [0,0]. Nuqtadagi egri chiziq [g(t), f(t)] tomonidan berilgan [g′(t), f′(t)]. L'Hopital qoidasi shuni ko'rsatadiki, qachon egri chizig'i qachon t = v egri chiziq boshlangunga yaqinlashganda teginish egri chizig'ining chegarasi, agar bu aniqlangan bo'lsa.

L'Hopital hukmronligining isboti

Maxsus ish

L'Hopital qoidasining isboti bu holda oddiy f va g bor doimiy ravishda farqlanadigan nuqtada v va bu erda differentsiatsiyaning birinchi turidan keyin cheklangan limit topiladi. Bu umumiy L'Hopital qoidasining isboti emas, chunki u o'z ta'rifida qat'iyroq, farqni ham talab qiladi v haqiqiy raqam bo'ling. Ko'pgina umumiy funktsiyalar doimiy hosilalarga ega bo'lgani uchun (masalan.) polinomlar, sinus va kosinus, eksponent funktsiyalar ), bu alohida e'tiborga loyiq ish.

Aytaylik f va g haqiqiy sonda doimiy ravishda farqlanadi v, bu ${ displaystyle f (c) = g (c) = 0}$va bu ${ displaystyle g '(c) neq 0}$. Keyin

${ displaystyle { begin {aligned} & lim _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}} = = lim _ {x to c} { frac {f (x) -0} {g (x) -0}} = lim _ {x to c} { frac {f (x) -f (c)} {g (x) -g (c)} } [6pt] = {} & lim _ {x to c} { frac { chap ({ frac {f (x) -f (c)} {xc}} right)} { chap ({ frac {g (x) -g (c)} {xc}} o'ng)}} = { frac { lim limitlar _ {x dan c} chap ({ frac {f ( x) -f (c)} {xc}} right)} { lim limitlar _ {x to c} chap ({ frac {g (x) -g (c)} {xc}} o'ng)}} = { frac {f '(c)} {g' (c)}} = = lim _ {x to c} { frac {f '(x)} {g' (x)} }. end {hizalangan}}}$

Bu lotinning farqga qarab belgilashidan kelib chiqadi. Oxirgi tenglik atamalarning davomiyligidan kelib chiqadi v. Xulosadagi chegara aniqlanmagan, chunki ${ displaystyle g '(c) neq 0}$.

L'Hopital qoidasining umumiy versiyasining isboti quyida keltirilgan.

Umumiy dalil

Quyidagi dalillar sababdir Teylor (1952), bu erda birlashtirilgan dalil 0/0 va ±∞/±∞ noaniq shakllar berilgan. Teylor turli xil dalillarni topish mumkinligini ta'kidlaydi Lettenmeyer (1936) va Vazevskiy (1949).

Ruxsat bering f va g da farazlarni qondiradigan funktsiyalar bo'lishi Umumiy shakl Bo'lim. Ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ so'nggi nuqta bilan gipotezada ochiq oraliq bo'ling v. Shuni hisobga olsak ${ displaystyle g '(x) neq 0}$ ushbu intervalda va g doimiy, ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ kichikroq tanlanishi mumkin, shunda g nolga teng emas ${ displaystyle { mathcal {I}}}$.^[d]

Har biriga x oralig'ida aniqlang ${ displaystyle m (x) = inf { frac {f '( xi)} {g' ( xi)}}}$ va ${ displaystyle M (x) = sup { frac {f '( xi)} {g' ( xi)}}}$ kabi ${ displaystyle xi}$ orasidagi barcha qiymatlar oralig'ida x va v. (Inf va sup ramzlari cheksiz va supremum.)

Diferensialligidan f va g kuni ${ displaystyle { mathcal {I}}}$, Koshining o'rtacha qiymat teoremasi har qanday ikkita alohida nuqta uchun buni ta'minlaydi x va y yilda ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ mavjud a ${ displaystyle xi}$ o'rtasida x va y shu kabi ${ displaystyle { frac {f (x) -f (y)} {g (x) -g (y)}} = { frac {f '( xi)} {g' ( xi)}} }$. Binobarin, ${ displaystyle m (x) leq { frac {f (x) -f (y)} {g (x) -g (y)}} leq M (x)})$ har xil tanlov uchun x va y oralig'ida. Qiymat g(x)-g(y) har doim nolga teng x va y intervalda, chunki u bo'lmasa, the o'rtacha qiymat teoremasi mavjudligini anglatadi p o'rtasida x va y shu kabi g ' (p)=0.

Ning ta'rifi m(x) va M(x) kengaytirilgan haqiqiy songa olib keladi va shuning uchun ular ± ∞ qiymatlarini qabul qilishlari mumkin. Quyidagi ikkita holatda, m(x) va M(x) nisbati chegaralarini belgilaydi f/g.

1-holat: ${ displaystyle lim _ {x to c} f (x) = lim _ {x to c} g (x) = 0}$

Har qanday kishi uchun x oralig'ida ${ displaystyle { mathcal {I}}}$va ishora qiling y o'rtasida x va v,

${ displaystyle m (x) leq { frac {f (x) -f (y)} {g (x) -g (y)}} = { frac {{ frac {f (x)} {) g (x)}} - { frac {f (y)} {g (x)}}} {1 - { frac {g (y)} {g (x)}}}} leq M (x) )}$

va shuning uchun y yondashuvlar v, ${ displaystyle { frac {f (y)} {g (x)}}}$ va ${ displaystyle { frac {g (y)} {g (x)}}}$ nolga aylaning va hokazo

${ displaystyle m (x) leq { frac {f (x)} {g (x)}} leq M (x).}$

2-holat: ${ displaystyle lim _ {x dan c} | g (x) | = infty}$

Har bir kishi uchun x oralig'ida ${ displaystyle { mathcal {I}}}$, aniqlang ${ displaystyle S_ {x} = {y mid y { text {}}} x { text {va}} c }} orasida$. Har bir nuqta uchun y o'rtasida x va v,

${ displaystyle m (x) leq { frac {f (y) -f (x)} {g (y) -g (x)}} = { frac {{ frac {f (y)} {) g (y)}} - { frac {f (x)} {g (y)}}} {1 - { frac {g (x)} {g (y)}}}} leq M (x) ).}$

Sifatida y yondashuvlar v, ikkalasi ham ${ displaystyle { frac {f (x)} {g (y)}}}$ va ${ displaystyle { frac {g (x)} {g (y)}}}$ nolga aylanadi va shuning uchun

${ displaystyle m (x) leq liminf _ {y in S_ {x}} { frac {f (y)} {g (y)}} leq limsup _ {y in S_ {x} } { frac {f (y)} {g (y)}} leq M (x).}$

The limit ustun va chegara past limiti mavjudligidan beri zarurdir f/g hali tashkil etilmagan.

Bu ham shunday

${ displaystyle lim _ {x to c} m (x) = lim _ {x to c} M (x) = lim _ {x to c} { frac {f '(x)} {g '(x)}} = L.}$

^[e]va

${ displaystyle lim _ {x to c} chap ( liminf _ {y in S_ {x}} { frac {f (y)} {g (y)}} right) = liminf _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}}}$ va ${ displaystyle lim _ {x to c} left ( limsup _ {y in S_ {x}} { frac {f (y)} {g (y)}} right) = limsup _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}}.}$

1-holatda, teoremani siqish buni belgilaydi ${ displaystyle lim _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}}}$ mavjud va unga teng L. 2-holatda va siqish teoremasi yana buni tasdiqlaydi ${ displaystyle liminf _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}} = limsup _ {x to c} { frac {f (x)} {g ( x)}} = L}$va shuning uchun chegara ${ displaystyle lim _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}}}$ mavjud va unga teng L. Bu isbotlanishi kerak bo'lgan natija.

2-holatda, bu taxmin f(x) cheksizgacha farqlar dalil ichida ishlatilmagan. Bu degani, agar |g(x) | kabi cheksizlikka ajralib turadi x yondashuvlar v va ikkalasi ham f va g L'Hopital qoidasi haqidagi farazlarni qondiradi, shunda limit haqida qo'shimcha taxmin qilishning hojati yo'q f(x): Hatto shunday bo'lishi mumkin f(x) mavjud emas. Bunday holda, L'Hopital teoremasi aslida Sezaro-Stoltsning natijasidir.^[10]

Qachon |g(x) | kabi cheksizlikka ajralib turadi x yondashuvlar v va f(x) at cheklangan chegaraga yaqinlashadi v, keyin L'Hopital qoidasi qo'llanilishi mumkin, ammo bu juda zarur emas, chunki asosiy limit hisob-kitobi shuni ko'rsatadiki, f(x)/g(x) kabi x yondashuvlar v nol bo'lishi kerak.

Xulosa

L'Hopital qoidasining sodda, ammo juda foydali natijasi - bu farqlanishning taniqli mezonidir. Unda quyidagilar aytilgan: taxmin qiling f da doimiy ava bu ${ displaystyle f '(x)}$ hamma uchun mavjud x o'z ichiga olgan ba'zi ochiq oraliqda a, ehtimol bundan mustasno ${ displaystyle x = a}$. Aytaylik, bundan tashqari ${ displaystyle lim _ {x dan a} f '(x)} gacha$ mavjud. Keyin ${ displaystyle f '(a)}$ mavjud va

${ displaystyle f '(a) = lim _ {x to a} f' (x).}$

Jumladan, f ' da doimiy a.

Isbot

Vazifalarni ko'rib chiqing ${ displaystyle h (x) = f (x) -f (a)}$ va ${ displaystyle g (x) = x-a}$. Ning uzluksizligi f da a bizga buni aytadi ${ displaystyle lim _ {x dan a} h (x) = 0} gacha$. Bundan tashqari, ${ displaystyle lim _ {x dan a} g (x) = 0} gacha$ chunki polinom funktsiyasi hamma joyda doimo uzluksiz bo'ladi. L'Hopital qoidasini qo'llash shuni ko'rsatadiki ${ displaystyle f '(a): = lim _ {x a} { frac {f (x) -f (a)} {xa}} = lim _ {x to a} { frac {h (x)} {g (x)}} = lim _ {x dan a} f '(x)} gacha$.

Shuningdek qarang

• L'Hopital munozarasi

Izohlar

Adabiyotlar

Manbalar

• Chatterji, Dipak (2005), Haqiqiy tahlil, PHI Learning Pvt. Ltd, ISBN  81-203-2678-4
• Krantz, Stiven G. (2004), Haqiqiy o'zgaruvchilar haqida ma'lumotnoma. Diferensial tenglamalar va Furye tahlili dasturlari bilan, Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., xiv + 201 bet, doi:10.1007/978-0-8176-8128-9, ISBN  0-8176-4329-X, JANOB  2015447
• Lettenmeyer, F. (1936), "Über die sogenannte Hospitalsche Regel", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1936 (174): 246–247, doi:10.1515 / crll.1936.174.246, S2CID  199546754
• Teylor, A. E. (1952), "L'Hospital qoidasi", Amer. Matematika. Oylik, 59 (1): 20–24, doi:10.2307/2307183, ISSN  0002-9890, JSTOR  2307183, JANOB  0044602
• Wazewski, T. (1949), "Quelques démonstrations uniformes pour tous les cas du théorème de l'Hôpital. Généralisations", Mat-fiz fizikasi. (frantsuz tilida), 47: 117–128, JANOB  0034430