Motivistik zeta funktsiyasi - Motivic zeta function

Bu maqola emas keltirish har qanday manbalar. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Manbaga ega bo'lmagan materialga qarshi chiqish mumkin va olib tashlandi. Manbalarni toping: "Motivik zeta funktsiyasi"  – Yangiliklar  · gazetalar  · kitoblar  · olim  · JSTOR (2009 yil avgust) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Yilda algebraik geometriya, motivatsion zeta funktsiyasi a silliq algebraik xilma-xillik ${displaystyle X}$ bo'ladi rasmiy quvvat seriyalari

${displaystyle Z (X, t) = sum _ {n = 0} ^ {infty} [X ^ {(n)}] t ^ {n}}$

Bu yerda ${displaystyle X ^ {(n)}}$ bo'ladi ${displaystyle n}$- ning nosimmetrik kuchi ${displaystyle X}$, ya'ni ${displaystyle X ^ {n}}$ ning harakati bilan nosimmetrik guruh ${displaystyle S_ {n}}$va ${displaystyle [X ^ {(n)}]}$ sinfidir ${displaystyle X ^ {(n)}}$ motivlar rishtasida (pastga qarang).

Agar yer maydoni sonli, va bittasi hisoblash chorasini qo'llaydi ${displaystyle Z (X, t)}$, birini oladi mahalliy zeta funktsiyasi ning ${displaystyle X}$.

Agar er maydoni murakkab raqamlar bo'lsa va ulardan biri qo'llaniladi Eyler xarakteristikasi ga ixcham qo'llab-quvvatlovchilar bilan ${displaystyle Z (X, t)}$, biri oladi ${displaystyle 1 / (1-t) ^ {chi (X)}}$.

Motiv choralar

A motivatsion o'lchov xarita ${displaystyle mu}$ cheklangan turdagi to'plamdan sxemalar ustidan maydon ${displaystyle k}$ kommutativga uzuk ${displaystyle A}$, uchta xususiyatni qondirish

${displaystyle mu (X),}$ ning izomorfizm sinfiga bog'liq ${displaystyle X}$,

${displaystyle mu (X) = mu (Z) + mu (Xsetminus Z)}$ agar ${displaystyle Z}$ ning yopiq subkema hisoblanadi ${displaystyle X}$,

${displaystyle mu (X_ {1} imes X_ {2}) = mu (X_ {1}) mu (X_ {2})}$.

Masalan, agar ${displaystyle k}$ cheklangan maydon va ${displaystyle A = {mathbb {Z}}}$ butun sonlarning halqasi, keyin ${displaystyle mu (X) = # (X (k))}$ motivatsion o'lchovni belgilaydi hisoblash o'lchovi.

Agar er maydoni murakkab sonlar bo'lsa, u holda ixcham tayanchlarga ega bo'lgan Eyler xarakteristikasi tamsayılar qiymatlari bilan turtki o'lchovini belgilaydi.

Zeta motivatsion o'lchovga nisbatan ishlaydi ${displaystyle mu}$ rasmiy kuch seriyasidir ${displaystyle A [[t]]}$ tomonidan berilgan

${displaystyle Z_ {mu} (X, t) = sum _ {n = 0} ^ {infty} mu (X ^ {(n)}) t ^ {n}}$.

Bor universal motivatsion o'lchov. Bu navlarning K halqasida qiymatlarni oladi, ${displaystyle A = K (V)}$, bu ramzlar tomonidan yaratilgan halqa ${displaystyle [X]}$, barcha navlar uchun ${displaystyle X}$, munosabatlarga bo'ysunadi

${displaystyle [X '] = [X],}$ agar ${displaystyle X '}$ va ${displaystyle X}$ izomorfik,

${displaystyle [X] = [Z] + [Xsetminus Z]}$ agar ${displaystyle Z}$ ning yopiq subvarietyidir ${displaystyle X}$,

${displaystyle [X_ {1} imes X_ {2}] = [X_ {1}] cdot [X_ {2}]}$.

Universal motivatsion o'lchov motivatsion zeta funktsiyasini keltirib chiqaradi.

Misollar

Ruxsat bering ${displaystyle mathbb {L} = [{mathbb {A}} ^ {1}]}$ sinfini belgilang afinaviy chiziq.

${displaystyle Z ({mathbb {A}} ^ {n}, t) = {frac {1} {1- {mathbb {L}} ^ {n} t}}}$

${displaystyle Z ({mathbb {P}} ^ {n}, t) = prod _ {i = 0} ^ {n} {frac {1} {1- {mathbb {L}} ^ {i} t}} }$

Agar ${displaystyle X}$ silliq proektsiyali qisqartirilmaydi egri chiziq ning tur ${displaystyle g}$ tan olish a chiziq to'plami 1 daraja va motivatsion o'lchov qaysi sohada qiymatlarni oladi ${displaystyle {mathbb {L}}}$ teskari, keyin

${displaystyle Z (X, t) = {frac {P (t)} {(1-t) (1- {mathbb {L}} t)}} ,,}$

qayerda ${displaystyle P (t)}$ daraja polinomidir ${displaystyle 2g}$. Shunday qilib, bu holda motivatsion zeta funktsiyasi oqilona. Yuqori o'lchovda motivatsion zeta funktsiyasi har doim ham oqilona emas.

Agar ${displaystyle S}$ silliqdir sirt algebraik yopiq xarakteristikalar maydoni ustida ${displaystyle 0}$, keyin sabablari uchun hosil qiluvchi funktsiya Hilbert sxemalari ning ${displaystyle S}$ tomonidan motivatsion zeta funktsiyasi bilan ifodalanishi mumkin Göttscheniki Formula

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} [S ^ {[n]}] t ^ {n} = prod _ {m = 1} ^ {infty} Z (S, {mathbb {L}} ^ {m-1} t ^ {m})}$

Bu yerda ${displaystyle S ^ {[n]}}$ uzunlikning Hilbert sxemasi ${displaystyle n}$ obunachilar ${displaystyle S}$. Afinaviy tekislik uchun ushbu formula beradi

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} [({mathbb {A}} ^ {2}) ^ {[n]}] t ^ {n} = prod _ {m = 1} ^ {infty} {frac {1} {1- {mathbb {L}} ^ {m + 1} t ^ {m}}}}$

Bu aslida bo'lim funktsiyasi.