Novikov - Veselov tenglamasi - Novikov–Veselov equation

Yilda matematika, Novikov - Veselov tenglamasi (yoki Veselov - Novikov tenglamasi) ning tabiiy (2 + 1) o'lchovli analogidir Korteweg – de Fris (KdV) tenglamasi. KdV ning boshqa (2 + 1) o'lchovli analogidan farqli o'laroq, the Kadomtsev-Petviashvili tenglamasi, bu integral orqali teskari tarqoq konvertatsiya 2 o'lchovli statsionar uchun Shredinger tenglamasi. Xuddi shunday, Korteveg-de-Vriz tenglamasi 1-o'lchovli Shredinger tenglamasi uchun teskari sochish konvertatsiyasi orqali integrallanadi. Tenglama nomi bilan nomlangan S.P.Novikov va uni nashr etgan A.P.Veselov Novikov va Veselov (1984).

Ta'rif

Novikov-Veselov tenglamasi eng ko'p yozilgan

${ displaystyle { begin {aligned} & kısalt _ {t} v = 4 ; Re chap {4 qismli _ {z} ^ {3} v + qismli _ {z} (vw) -E kısalt _ {z} w o'ng }, & qismli _ { bar {z}} w = -3 qisman _ {z} v, end {aligned}}}$

(1)

qayerda ${ displaystyle v = v (x_ {1}, x_ {2}, t),}$ ${ displaystyle w = w (x_ {1}, x_ {2}, t)}$ va quyidagi standart yozuv kompleks tahlil ishlatilgan: ${ displaystyle Re}$ bo'ladi haqiqiy qism,

{ displaystyle kısalt _ {z} = { frac {1} {2}} ( qismli _ {x_ {1}} - i qisman _ {x_ {2}}), quad qisman _ { bar {z}} = { frac {1} {2}} ( kısalt _ {x_ {1}} + i qisman _ {x_ {2}}).}

Funktsiya ${ displaystyle v}$ odatda haqiqiy baholangan deb hisoblanadi. Funktsiya ${ displaystyle w}$ orqali aniqlangan yordamchi funktsiya ${ displaystyle v}$ gacha holomorfik chaqirish, ${ displaystyle E}$ bog'liq 2 o'lchovli Shredinger tenglamasining energiya darajasiga mos keladigan haqiqiy parametrdir

{ displaystyle L psi = E psi, quad L = - Delta + v (x, t), quad Delta = kısalt _ {x_ {1}} ^ {2} + qismli _ {x_ {2}} ^ {2}.}

Boshqa chiziqsiz integrallanadigan tenglamalar bilan bog'liqlik

Funktsiyalar qachon ${ displaystyle v}$ va ${ displaystyle w}$ Novikov-Veselov tenglamasida faqat bitta fazoviy o'zgaruvchiga bog'liq, masalan. ${ displaystyle v = v (x_ {1}, t)}$ , ${ displaystyle w = w (x_ {1}, t)}$ , keyin tenglama klassikgacha qisqartiriladi Korteweg – de Fris tenglamasi. Agar Novikov-Veselov tenglamasida bo'lsa ${ displaystyle E to pm infty}$ , keyin tenglama KdV tenglamasining boshqa (2 + 1) o'lchovli analogiga kamayadi Kadomtsev-Petviashvili tenglamasi (navbati bilan KP-I va KP-II ga) (Zaxarov va Shulman 1991 yil ).

Tarix

Lineer bo'lmagan echish uchun teskari sochish konvertatsiyasi usuli qisman differentsial tenglamalar (PDE) kashf qilish bilan boshlanadi C.S. Gardner, J.M.Grin, M.D.Kruskal, R.M. Miura (Gardner va boshq. 1967 yil ), Korteveg-de-Vriz tenglamasini 1-o'lchovli statsionar Shredinger tenglamasi uchun teskari sochilish muammosi orqali birlashtirish mumkinligini namoyish etdi. Ushbu kashfiyotning algebraik xususiyati tomonidan ochilgan Bo'shashgan kim Korteweg – de Vriz tenglamasini quyidagi operator shaklida yozish mumkinligini ko'rsatdi (shunday deb ataladi) Bo'shashgan juftlik ):

${ displaystyle { frac { qismli L} { qismli t}} = [L, A],}$

(2)

qayerda ${ displaystyle L = - kısalt _ {x} ^ {2} + v (x, t)}$ , ${ displaystyle A = kısalt _ {x} ^ {3} + { frac {3} {4}} (v (x, t) qisman _ {x} + qismli _ {x} v (x, t))}$ va ${ displaystyle [ cdot, cdot]}$ a komutator. Tenglama (1) - bu tenglamalar uchun moslik sharti

{ displaystyle { begin {aligned} & L psi = lambda psi, & psi _ {t} = A psi end {aligned}}}

ning barcha qiymatlari uchun ${ displaystyle lambda}$ .

Keyinchalik, shaklning namoyishi (2kabi fizikaviy jihatdan juda qiziqarli bo'lgan chiziqli bo'lmagan tenglamalar uchun topilgan Kadomtsev-Petviashvili tenglamasi, sinus-Gordon tenglamasi, chiziqli bo'lmagan Shredinger tenglamasi va boshqalar. Bu chiziqli bo'lmagan qisman differentsial tenglamalarni integratsiyalash uchun teskari sochilish transformatsiyasi nazariyasining keng rivojlanishiga olib keldi.

Taqdimotni umumlashtirishga harakat qilayotganda (2) ikki o'lchovga, bittasi shunchaki ahamiyatsiz holatlar uchun (operatorlar) tegishli ekanligini aniqlaydi ${ displaystyle L}$ , ${ displaystyle A}$ , ${ displaystyle B}$ doimiy koeffitsientlarga yoki operatorga ega bo'lish ${ displaystyle L}$ o'zgaruvchilarning biriga nisbatan 1 dan katta bo'lmagan tartibli differentsial operator). Biroq, S.V. Manakov shuni ko'rsatdiki, ikki o'lchovli holatda quyidagi tasvirni ko'rib chiqish to'g'ri bo'ladi (bundan keyin Manakov L-A-B uchligi deb ataladi):

${ displaystyle { frac { qismli L} { qismli t}} = [L, A] + BL,}$

(3)

yoki teng ravishda, tenglamalarning muvofiqligi shartini izlash

{ displaystyle { begin {aligned} & L psi = lambda psi, & psi _ {t} = A psi end {aligned}}}

da bitta belgilangan qiymat parametr ${ displaystyle lambda}$ (Manakov 1976 yil ).

Vakillik (3) 2 o'lchovli Shredinger operatori uchun ${ displaystyle L}$ S.P.Novikov va A.P.Veselov tomonidan (Novikov va Veselov 1984 yil ). Mualliflar, shuningdek, 2-o'lchovli Shredinger tenglamasi uchun teskari sochilish konvertatsiyasi orqali integrallanadigan evolyutsiya tenglamalari iyerarxiyasini tuzdilar. Ushbu evolyutsiya tenglamalari to'plami (ba'zan uni Novikov-Veselov tenglamalari iyerarxiyasi deb ham atashadi), xususan, (1).

Jismoniy dasturlar

The Novikov-Veselov tenglamasining dispersiz versiyasi chiziqli bo'lmagan geometrik optikaning modelida olingan (Konopelchenko va Moro 2004 yil ).

Qarorlarning xulq-atvori

Novikov-Veselov tenglamasiga echimlarning xatti-harakatlari, asosan, ushbu echim uchun tarqalgan ma'lumotlarning muntazamligiga bog'liq. Agar tarqaladigan ma'lumotlar muntazam bo'lsa, unda vaqt o'tishi bilan eritma bir xilda yo'qoladi. Agar tarqalish ma'lumotlari o'ziga xos xususiyatlarga ega bo'lsa, unda echim rivojlanishi mumkin solitonlar. Masalan, Grinevichning tarqoq ma'lumotlari -Zaxarov Novikov-Veselov tenglamasining solitonli eritmalari singular nuqtalarga ega.

Solitonlar an'anaviy ravishda chiziqli integrallanuvchi tenglamalar nazariyasining asosiy o'rganish ob'ekti hisoblanadi. Novikov-Veselov tenglamasining musbat energiyadagi solitonlari bir o'lchovli holatga o'xshash shaffof potentsialdir (unda solitonlar aks etmaydigan potentsialdir). Biroq, mavjud bo'lgan bir o'lchovli holatdan farqli o'laroq taniqli eksponent ravishda parchalanadigan solitonlar, Novikov-Veselov tenglamasi (hech bo'lmaganda nolga teng bo'lmagan energiyada) eksponent jihatdan lokalizatsiya qilingan solitonlarga ega emas (Novikov 2011 yil ).

Adabiyotlar

Gardner, KS.; Grin, JM.; Kruskal, MD; Miura, R.M. (1967), "Korteweg-de Vriz tenglamasini echish usuli", Fizika. Ruhoniy Lett., 19 (19): 1095–1098, Bibcode:1967PhRvL..19.1095G, doi:10.1103 / PhysRevLett.19.1095
Konopelchenko, B.; Moro, A. (2004), "Lineer bo'lmagan geometrik optikada integral tenglamalar", Amaliy matematika bo'yicha tadqiqotlar, 113 (4): 325–352, arXiv:nlin / 0403051, doi:10.1111 / j.0022-2526.2004.01536.x
Manakov, S.V. (1976), "Teskari tarqalish usuli va ikki o'lchovli evolyutsiya tenglamalari", Uspekhi mat. Nauk, 31 (5): 245–246 (Ingliz tiliga tarjima: Russian Math. Surveys 31 (1976), № 5, 245-246.)
Novikov, R.G. (2011), "Ijobiy energiyada Novikov-Veselov tenglamasi uchun eksponensial lokalize solitonlarning yo'qligi", Fizika xatlari A, 375 (9): 1233–1235, arXiv:1010.0770, Bibcode:2011 yil PHH..375.1233N, doi:10.1016 / j.physleta.2011.01.052
Novikov, S.P.; Veselov, AP (1984), "Sonli zona, ikki o'lchovli, potentsial Shredinger operatorlari. Aniq formulalar va evolyutsiyalar tenglamalari" (PDF), Sov. Matematika. Dokl., 30: 588–591
Zaxarov, V.E .; Shulman, E.I. (1991), "Lineer bo'lmagan tizimlarning yaxlitligi va bezovtalanish nazariyasi", Zaxarovda V.E. (tahr.), Integrallik nima?, Lineer bo'lmagan dinamikadagi Springer seriyasi, Berlin: Springer-Verlag, 185-250 betlar, ISBN 3-540-51964-5