Tartib raqami - Ordinal number

Ω gacha bo'lgan tartib raqamlarni aks ettirish^ω. Spiralning har bir burilishi ω ning bitta kuchini ifodalaydi

Yilda to'plam nazariyasi, an tartib raqami, yoki tartibli, a tushunchasining bir umumlashtirilishi tabiiy son ob'ektlarning (ehtimol cheksiz) to'plamini birin-ketin tartibga solish usulini tavsiflash uchun ishlatiladi.

Ob'ektlarning har qanday cheklangan to'plamini faqat hisoblash jarayonida tartibga solish mumkin: ob'ektlarni aniq tabiiy sonlar bilan belgilash. Tartib sonlarining asosiy g'oyasi bu jarayonni, ehtimol cheksiz to'plamlar uchun umumlashtirish va jarayonning har bir bosqichi uchun "yorliq" ni taqdim etishdir. Shunday qilib, tartib raqamlari ob'ektlar to'plamlarini tartib bilan tartibga solish uchun zarur bo'lgan "yorliqlar" dir.

Tartiblash uchun tartib sonidan foydalaniladi buyurtma turi a yaxshi buyurtma qilingan o'rnatilgan (garchi bu yaxshi buyurtma uchun ishlamasa ham tegishli sinf ). Yaxshi buyurtma qilingan to'plam - bu quyidagicha munosabatlarga ega bo'lgan to'plam:

(Trikotomiya ) Har qanday elementlar uchun x va y, ushbu so'zlardan biri aniq:
- x < y
- x > y
- x = y
(Transitivlik ) Har qanday elementlar uchun x, y, z, agar x > y va y > z, keyin x > z.
(Yaxshi asos ) Har qanday bo'sh bo'lmagan kichik to'plamda eng kichik element mavjud, ya'ni u elementga ega x boshqa element yo'qligi uchun y pastki qismda qaerda x > y.

Yaxshi buyurtma qilingan ikkita to'plam bir xil buyurtma turiga ega, agar u mavjud bo'lsa bijection birinchi to'plamdagi munosabatni, ikkinchi to'plamdagi munosabatni o'zgartiradigan bir to'plamdan boshqasiga.

Holbuki, tartib qoidalari foydalidir buyurtma berish to'plamdagi narsalar, ular ajralib turadi asosiy raqamlar, bu to'plamdagi ob'ektlar sonini aniqlash uchun foydalidir. Garchi ordinallar va kardinallar orasidagi farq har doim ham cheklangan to'plamlarda ko'rinmasa ham (biri ikkinchisiga faqat yorliqlarni sanash orqali o'tishi mumkin) cheksiz ordinallar bir xil kardinalga mos kelishi mumkin. Bundan tashqari, yaxshi buyurtma berib bo'lmaydigan to'plamlar bo'lishi mumkin va ularning asosiy raqamlari tartib raqamlariga mos kelmaydi. (Masalan, bunday to'plamlarning mavjudligi quyidagilardan kelib chiqadi Zermelo-Fraenkel to'plamlari nazariyasi tanlov aksiomasining inkor qilinishi bilan.) Boshqa turdagi sonlar singari, tartiblar ham bo'lishi mumkin qo'shilgan, ko'paytirilgan va eksponentlangan, garchi ushbu operatsiyalarning hech biri komutativ emas.

Ordinallar tomonidan kiritilgan Jorj Kantor 1883 yilda^[1] cheksiz ketma-ketliklarni joylashtirish va tasniflash uchun olingan to'plamlar, u ilgari 1872 yilda - noyobligini o'rganayotganda tanishtirgan trigonometrik qatorlar.^[2]

Ordinalalar natural sonlarni kengaytiradi

A tabiiy son (shu nuqtai nazardan, raqamni o'z ichiga oladi 0 ) ikki maqsadda ishlatilishi mumkin: tasvirlash uchun hajmi a o'rnatilgan, yoki tasvirlash uchun pozitsiya ketma-ketlikdagi elementning Cheklangan to'plamlar bilan cheklangan bo'lsa, bu ikkita tushuncha bir-biriga to'g'ri keladi va chekli to'plamni chiziqli ketma-ketlikka kiritishning yagona usuli mavjud (qadar izomorfizm). Biroq, cheksiz to'plamlar bilan ishlashda, hajm tushunchasini ajratib ko'rsatish kerak, bu esa unga olib keladi asosiy raqamlar va bu erda tasvirlangan tartib raqamlariga olib keladigan pozitsiya tushunchasi. Buning sababi shundaki, har qanday to'plam faqat bitta o'lchamga ega (uning hajmi) kardinallik ), ko'plab nonizomorfiklar mavjud yaxshi buyurtmalar quyida aytib o'tilganidek, har qanday cheksiz to'plamning.

Kardinal son tushunchasi o'ziga xos tuzilishga ega bo'lmagan to'plam bilan bog'liq bo'lsa, ordinallar ushbu turdagi to'plamlar bilan chambarchas bog'liqdir. yaxshi buyurtma qilingan (shu qadar chambarchas bog'liqki, aslida ba'zi matematiklar ikki tushunchani farqlamaydilar). Yaxshi buyurtma qilingan to'plam - bu a butunlay buyurtma qilingan to'plam (har qanday ikkita element berilgan holda bittasi kichikroq va kattaroqligini izchil ravishda belgilaydi), bunda to'plamning har bir bo'sh bo'lmagan kichik qismi eng kichik elementga ega bo'ladi. Xususan, cheksiz narsa yo'q kamayish ketma-ketlik. (Biroq, cheksiz ortib boruvchi ketma-ketliklar bo'lishi mumkin.) Ordinallardan har qanday yaxshi tartiblangan to'plam elementlarini belgilash uchun foydalanish mumkin (eng kichik element 0, undan keyingisi 1, keyingisi 2 va hokazo) ), va to'plamning "uzunligini" to'plam elementi uchun yorliq bo'lmagan eng kichik tartib bilan o'lchash. Ushbu "uzunlik" ga deyiladi buyurtma turi to'plamning.

Har qanday tartib, undan oldingi tartiblar to'plami bilan belgilanadi. Aslida, tartiblarning eng keng tarqalgan ta'rifi aniqlaydi har bir tartib kabi undan oldingi tartiblar to'plami. Masalan, 42-tartibli tartib ordinatorlarning tartib turini unga nisbatan kamroq, ya'ni 0 dan (barcha tartiblarning eng kichigi) 41 gacha (42 ning bevosita oldingisi) tartiblaridir va u odatda to'plam sifatida aniqlanadi { 0,1,2,…, 41}. Aksincha, har qanday to'plam S pastga yopilgan tartiblarning - har qanday tartibli a uchun in degan ma'noni anglatadi S va har qanday tartibli β S - tartibli (yoki aniqlanishi mumkin).

Cheksiz tartiblar ham mavjud: eng kichik cheksiz tartiblar ${ displaystyle omega}$ ,^[3] bu tabiiy sonlarning tartib turi (cheklangan tartib) va hatto bilan aniqlanishi mumkin o'rnatilgan natural sonlar. Darhaqiqat, natural sonlar to'plami har qanday tartiblar qatori kabi yaxshi tartiblangan va u pastga qarab yopilganligi sababli, u bilan bog'liq tartib bilan aniqlanishi mumkin (aynan shu tarzda ${ displaystyle omega}$ aniqlanadi).

Ω² tartibini grafik "gugurt cho'p" tasviri. Har bir tayoq ω · shakl tartibiga mos keladi.m+n qayerda m va n natural sonlar.

Ehtimol, tartiblarning aniq bir sezgisini ulardan bir nechtasini o'rganish orqali hosil qilish mumkin: yuqorida aytib o'tilganidek, ular 0, 1, 2, 3, 4, 5,… natural sonlaridan boshlanadi. barchasi natural sonlar birinchi cheksiz tartib tartibida keladi, va undan keyin ω + 1, ω + 2, ω + 3 va boshqalar keladi. (To'liq qo'shimcha nimani anglatishini keyinroq aniqlanadi: ularni faqat nomlar sifatida ko'rib chiqing.) Bularning hammasidan keyin ω · 2 (ya'ni ω + ω) keladi, ω · 2 + 1, ω · 2 + 2 va h.k. keyin ω · 3, keyin esa ω · 4 da. Endi tartiblar to'plami shu tarzda shakllangan (ω ·m+n, qayerda m va n natural sonlardir) o'zi bilan bog'liq tartib tartibiga ega bo'lishi kerak: va bu ω². Bundan tashqari, ω bo'ladi³, keyin ω⁴va boshqalar, va ω^ω, keyin ω^{ω^ω}, keyinroq ω^{ω^{ω^ω}}, va hatto keyinroq ε₀ (epsilon hech narsa emas ) (nisbatan kichik - hisoblanadigan - tartib qoidalariga bir nechta misollar keltirish uchun). Buni cheksiz davom ettirish mumkin (har safar tartib raqamlarini sanab o'tishda "va hokazo" deb aytganda, u kattaroq tartibni belgilaydi). Eng kichigi sanoqsiz tartib - barcha hisoblanadigan tartiblarning yig'indisi, sifatida ko'rsatilgan ω₁ yoki ${ displaystyle Omega}$ .^[4]^[5]^[6]

Ta'riflar

Yaxshi buyurtma qilingan to'plamlar

A yaxshi buyurtma qilingan har bir bo'sh bo'lmagan ichki qism eng kichik elementni o'z ichiga oladi. hisobga olib qaram tanlov aksiomasi, bu to'plamni aytishga tengdir butunlay buyurtma qilingan va cheksiz kamayish ketma-ketligi yo'q (ikkinchisini tasavvur qilish osonroq). Amalda yaxshi buyurtma berishning ahamiyati murojaat qilish imkoniyati bilan oqlanadi transfinite induksiyasi, bu, asosan, elementning o'tmishdoshlaridan ushbu elementning o'ziga o'tadigan har qanday xususiyat barcha elementlarga to'g'ri kelishi kerakligini aytadi (berilgan yaxshi tartiblangan to'plamning). Agar hisoblash holatlari (kompyuter dasturi yoki o'yinlari) yaxshi buyurtma berilishi mumkin bo'lsa - shunday qilib har bir qadam "pastki" bosqichga o'tadigan bo'lsa, u holda hisoblash tugaydi.

Yaxshi tartiblangan ikkita to'plamni, agar ular faqat "o'z elementlarining yorlig'i" bilan farq qilsalar, yoki ko'proq rasmiy ravishda ajratish noo'rin: agar birinchi to'plam elementlari ikkinchi to'plam elementlari bilan birlashtirilishi mumkin bo'lsa, shunday bo'lsa element birinchi to'plamda boshqasidan kichikroq, keyin birinchi element sherigi ikkinchi to'plamdagi ikkinchi element sherikdan kichikroq va aksincha. Bunday yakkama-yakka yozishma an deyiladi tartib izomorfizmi, va ikkita yaxshi tartiblangan to'plamlar tartib-izomorfik yoki deyiladi o'xshash (buni anglash bilan ekvivalentlik munosabati ).

Rasmiy ravishda, agar a qisman buyurtma ≤ to'plamda aniqlanadi S, va to'plamda qisman tartib '' aniqlanadi S ' , keyin posets (S, ≤) va (S ' , ≤ ') mavjud tartib izomorfik agar mavjud bo'lsa bijection f buyurtmani saqlaydigan. Anavi, f(a) ≤' f(b) agar va faqat agar a ≤ b. Ikki yaxshi tartiblangan to'plamlar o'rtasida tartib izomorfizm mavjud bo'lsa, izomorfizm noyobdir: bu ikkala to'plamni mohiyatan bir xil deb hisoblashni va izomorfizm turining (sinfining) "kanonik" vakilini izlashni juda oqilona qiladi. Aynan shu narsa ordinallar tomonidan ta'minlanadi va shuningdek, har qanday yaxshi tartiblangan to'plam elementlarining kanonik yorlig'ini beradi. Har bir yaxshi buyurtma qilingan o'rnatish (S, <) ularning tabiiy tartibida bitta aniq tartib sonidan kam tartiblar to'plamiga tartib-izomorfikdir. Ushbu kanonik to'plam bu buyurtma turi ning (S,<).

Aslida, tartib tartibini $ an $ deb belgilash uchun mo'ljallangan izomorfizm sinfi yaxshi buyurtma qilingan to'plamlarning to'plami: ya'ni ekvivalentlik sinfi uchun ekvivalentlik munosabati "izomorfik tartibda bo'lish". Biroq, ekvivalentlik klassi odatdagidek to'plam uchun juda katta bo'lganligi sababli texnik qiyinchiliklar mavjud Zermelo – Fraenkel (ZF) to'plam nazariyasini rasmiylashtirish. Ammo bu jiddiy qiyinchilik emas. Tartibni deyish mumkin buyurtma turi sinfdagi har qanday to'plamdan.

Ekvivalentlik sinfi sifatida tartibning ta'rifi

Masalan, tartib raqamlarining asl ta'rifi Matematikaning printsipi, yaxshi buyurtma berishning tartib turini shu yaxshi tartibga o'xshash (buyurtma-izomorfik) barcha yaxshi buyurtmalar to'plami sifatida belgilaydi: boshqacha qilib aytganda, tartib raqami chinakam yaxshi tartiblangan to'plamlarning ekvivalentligi sinfidir. Ushbu ta'rifdan voz kechish kerak ZF va tegishli tizimlar aksiomatik to'plam nazariyasi chunki bu ekvivalentlik sinflari to'plamni shakllantirish uchun juda katta. Biroq, ushbu ta'rif hali ham ishlatilishi mumkin tip nazariyasi va Kvinening aksiomatik to'plamlar nazariyasida Yangi fondlar va tegishli tizimlar (bu erda juda hayratlanarli alternativ echim beradi Burali-Forti paradoksi eng katta tartib).

Von Neyman ordinallarning ta'rifi

Tartibni an deb belgilashdan ko'ra ekvivalentlik sinfi yaxshi tartiblangan to'plamlardan, bu (kanonik ravishda) sinfni ifodalovchi aniq tartiblangan to'plam sifatida aniqlanadi. Shunday qilib, tartib raqami yaxshi tartiblangan to'plam bo'ladi; va har bir yaxshi tartiblangan to'plam aniq tartib raqamiga tartib-izomorfik bo'ladi.

Yaxshi buyurtma qilingan har bir to'plam uchun ${ displaystyle T}$ , ${ displaystyle a mapsto T _ {$ belgilaydi tartib izomorfizmi o'rtasida ${ displaystyle T}$ ning barcha kichik to'plamlari to'plami ${ displaystyle T}$ shaklga ega ${ displaystyle T _ {$ inklyuziya bilan buyurtma qilingan. Bu tomonidan tavsiya etilgan standart ta'rifga turtki beradi Jon fon Neyman, endi ta'rifi deb ataladi fon Neyman ordinatorlari: "har bir tartib barcha kichik tartiblarning yaxshi tartiblangan to'plamidir." Belgilarda λ = [0, λ).^[7]^[8] Rasmiy ravishda:

To'plam S tartibli agar va faqat agar S bu qat'iy ravishda a'zolikni va har bir elementni o'rnatish uchun yaxshi buyurtma qilingan S ning ham kichik qismidir S.

Shunday qilib, tabiiy sonlar ushbu ta'rif bo'yicha tartib tartibida bo'ladi. Masalan, 2 4 = {0, 1, 2, 3} elementi va 2 qiymati {0, 1} ga teng va shuning uchun u {0, 1, 2, 3} ning kichik to'plamidir.

Buni ko'rsatishi mumkin transfinite induksiyasi har bir yaxshi tartiblangan to'plam bu tartiblarning aynan biriga buyurtma-izomorfik, ya'ni saqlanadigan tartib mavjud biektiv funktsiya ular orasida.

Bundan tashqari, har bir tartibning elementlari tartib qoidalarining o'zi. Ikkita tartib berilgan S va T, S ning elementidir T agar va faqat agar S a to'g'ri to'plam ning T. Bundan tashqari, ham S ning elementidir T, yoki T ning elementidir Syoki ular tengdir. Shunday qilib, har bir ordinal to'plami butunlay buyurtma qilingan. Bundan tashqari, har bir ordinal to'plami yaxshi buyurtma qilingan. Bu natural sonlarning har bir to'plami yaxshi tartibda bo'lishini umumlashtiradi.

Binobarin, har bir tartib S dan kichikroq tartibli elementlarga ega bo'lgan to'plamdir S. Masalan, har bir tartib tartibining a supremum, to'plamdagi barcha tartiblarning birlashishini olish natijasida olingan tartib. Ushbu birlashma to'plamning o'lchamidan qat'i nazar, mavjud birlashma aksiomasi.

Barcha ordinallar sinfi to'plam emas. Agar u to'plam bo'lsa, uni tartibli va shu tariqa o'ziga zid bo'lgan o'z a'zosi ekanligini ko'rsatish mumkin edi qattiq a'zolik bo'yicha buyurtma. Bu Burali-Forti paradoksi. Barcha ordinallar sinfi har xil "Ord", "ON" yoki "∞" deb nomlanadi.

Tartib cheklangan agar va faqat qarama-qarshi tartib yaxshi tartiblangan bo'lsa, bu uning bo'sh bo'lmagan kichik to'plamlarining har birida bo'lsa maksimal.

Boshqa ta'riflar

Tartib ta'rifining boshqa zamonaviy formulalari mavjud. Masalan, muntazamlik aksiomasi, quyidagilar to'plam uchun tengdir x:

x tartibli,
x a o'tish davri, va belgilangan a'zolik trichotomous kuni x,
x o'tish davri butunlay buyurtma qilingan belgilangan qo'shilish bilan,
x o'tish davri to'plamlarining o'tish davri.

Ushbu ta'riflarni ishlatib bo'lmaydi asoslanmagan to'siq nazariyalari. Bilan o'rnatilgan nazariyalarda urelements, ta'rifda urelementlarning tartibda ko'rinishini istisno qilishiga ishonch hosil qilish kerak.

Transfinite ketma-ketligi

Agar a har qanday tartibli va bo'lsa X ning elementlari to'plami, a-indekslangan ketma-ketligi X $ a $ dan $ gacha bo'lgan funktsiya X. Ushbu tushuncha, a transfinite ketma-ketlik (agar a cheksiz bo'lsa) yoki tartibli-indekslangan ketma-ketlik, a tushunchasining umumlashtirilishi ketma-ketlik. Oddiy ketma-ketlik a = p holatiga, cheklangan a esa a ga to'g'ri keladi kulcha (matematika), a.k.a. string (informatika).

Transfinite induksiyasi

Transfinite induksiyasi har qandayida ham mavjud yaxshi buyurtma qilingan o'rnatilgan, ammo tartib qoidalariga nisbatan shu qadar muhimki, bu erda to'xtashga arziydi.

Berilgan a tartibidan kichik tartiblar to'plamidan a ning o'ziga o'tadigan har qanday xususiyat barcha tartiblarga to'g'ri keladi.

Ya'ni, agar P(a) har doim to'g'ri P(β) hamma uchun to'g'ri keladi b , keyin P(a) uchun to'g'ri barchasi a. Yoki ko'proq amaliy: mulkni isbotlash uchun P a ning barcha tartib qoidalari uchun u kichiklar uchun allaqachon ma'lum bo'lgan deb taxmin qilish mumkin b .

Transfinite rekursiya

Transfinite induksiyasi nafaqat narsalarni isbotlash, balki ularni aniqlash uchun ham ishlatilishi mumkin. Bunday ta'rif odatda aytiladi transfinite rekursiya - natija aniq belgilanganligining isboti transfinite induksiyasidan foydalanadi. Ruxsat bering F a (sinf) funktsiyasini belgilang F ordinallarda aniqlanishi kerak. Endi g'oyani aniqlashda F(a) aniqlanmagan tartibli a uchun, buni taxmin qilish mumkin F(β) hamma uchun allaqachon aniqlangan b va shu bilan uchun formulasini bering F(a) F(β). Keyinchalik transfinite induksiya natijasida a ga qadar va shu jumladan rekursiya formulasini qondiradigan bitta va bitta funktsiya borligi kelib chiqadi.

Bu erda transfinite rekursiya yordamida ordinallarga ta'rifning misoli keltirilgan (batafsil ma'lumot keyinroq beriladi): funktsiyani aniqlang F ruxsat berish orqali F(a) to'plamda bo'lmagan eng kichik tartib bo'lishi {F(β) | β , ya'ni barchadan iborat to'plam F(β) uchun b . Ushbu ta'rif quyidagilarni nazarda tutadi F(β) aniqlash jarayonida ma'lum bo'lgan F; bu ravshan aylana aynan aynan transfinitsiyali rekursiya ta'rifi beradi. Aslini olib qaraganda, F(0) mantiqiy, chunki tartib yo'q β <0va to'plam {F(β) | β <0} bo'sh Shunday qilib F(0) 0 ga teng (barchaning eng kichigi). Endi bu F(0) ma'lum, ta'rifi qo'llaniladi F(1) mantiqiy (bu singleton to'plamida bo'lmagan eng kichik tartib {F(0)} = {0}) va boshqalar (the va hokazo aynan transfinusiy induksiya). Ma'lum bo'lishicha, bu misol juda hayajonli emas, chunki isbotlangan F(a) = a aniq tartibda transfinusiy induktsiya bilan ko'rsatilishi mumkin bo'lgan barcha a tartib qoidalari uchun.

Voris va cheklangan tartiblar

Har qanday nolga teng bo'lmagan tartibda minimal element, nol bo'ladi. U maksimal elementga ega bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin. Masalan, 42 ning maksimal qiymati 41 ga, ω + 6 ning maksimal maximum + 5 qiymatiga ega. Boshqa tomondan, $ p $ maksimal qiymatga ega emas, chunki eng katta tabiiy son yo'q. Agar tartibda maksimal a bo'lsa, u a dan keyingi navbatda bo'ladi va u a deb nomlanadi voris tartibida, ya'ni a ning davomchisi, a + 1 yozilgan. Fon Neumann ordinallarning ta'rifida a ning vorisi hisoblanadi ${ displaystyle alpha cup { alpha }}$ chunki uning elementlari a va a ning elementlari.^[7]

Nolga teng bo'lmagan tartib emas voris deyiladi chegara tartib. Ushbu atamaning bir asosi shundaki, chegara tartib darajasi bu chegara topologik ma'noda barcha kichik tartiblar (ostida buyurtma topologiyasi ).

Qachon ${ displaystyle langle alpha _ { iota} | iota < gamma rangle}$ γ limiti bilan indekslangan tartibli indekslangan ketma-ketlik va ketma-ketlik ortib bormoqda, ya'ni ${ displaystyle alpha _ { iota} < alpha _ { rho} !}$ har doim ${ displaystyle iota < rho, !}$ uning chegara to'plamning eng yuqori chegarasi sifatida aniqlanadi ${ displaystyle { alpha _ { iota} | iota < gamma }, !}$ ya'ni ketma-ketlikning har qanday muddatidan kattaroq eng kichik tartib (u har doim mavjud). Shu ma'noda, chegaraviy tartib barcha kichik tartiblarning chegarasi (o'zi tomonidan indekslangan). To'g'ridan-to'g'ri qo'yadigan bo'lsak, bu kichikroq tartiblar to'plamining supremumidir.

Limit tartibini belgilashning yana bir usuli - $ a $ chegara tartibidir, agar shunday bo'lsa, agar shunday bo'lsa:

$ A $ dan kichik tartib bor va har doim $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ bo'lgan $ bo'lsa, u holda $ phi

Shunday qilib quyidagi ketma-ketlikda:

0, 1, 2,…, ω, ω + 1

ω chegara tartibidir, chunki har qanday kichik tartib (bu misolda tabiiy son) uchun undan kattaroq, ammo baribir ω dan kichik boshqa tartib (tabiiy son) mavjud.

Shunday qilib, har bir tartib yoki nolga teng, yoki voris (aniq belgilangan o'tmishdoshning) yoki chegara. Ushbu farq juda muhimdir, chunki transfiniturs rekursiya bo'yicha ko'plab ta'riflar unga asoslanadi. Ko'pincha, funktsiyani belgilashda F barcha ordinallarda transfinitsiyali rekursiya orqali biri belgilaydi F(0) va F(a + 1) taxmin qilish F(a) aniqlanadi, so'ngra chegara tartiblari uchun bitta aniqlanadi F(δ) ning chegarasi sifatida F(β) hamma uchun β <δ (yoki tartib chegaralari ma'nosida, ilgari tushuntirilganidek, yoki boshqa biron bir chegara tushunchasi uchun, agar F tartib qiymatlarini qabul qilmaydi). Shunday qilib, ta'rifning qiziqarli bosqichi chegara tartiblari emas, balki voris qadamidir. Bunday funktsiyalar (ayniqsa uchun F kamaytirmaslik va tartib qiymatlarini olish) doimiy deb nomlanadi. Oddiy qo'shish, ko'paytirish va darajaga etkazish ularning ikkinchi argumentining funktsiyalari sifatida doimiydir (lekin rekursivsiz belgilanishi mumkin).

Ordinal sinflarini indekslash

Har qanday yaxshi tartiblangan to'plam noyob tartib raqamiga o'xshash (tartib-izomorfik) ${ displaystyle alpha}$ ; boshqacha qilib aytganda, uning elementlari tartib darajasidan kamroq ortib borayotgan modada indekslanishi mumkin ${ displaystyle alpha}$ . Bu, xususan, har qanday ordinallar to'plamiga taalluqlidir: har qanday ordinallar to'plami tabiiy ravishda ba'zi biridan kamroq ordinallar tomonidan indekslanadi ${ displaystyle alpha}$ . Xuddi shu narsa, biroz o'zgartirilgan holda, uchun sinflar ordinallar (ba'zi xususiyatlar bilan belgilanadigan to'plamni shakllantirish uchun juda katta bo'lgan ordinallar to'plami): ordinallarning har qanday klassi ordinallar tomonidan indekslanishi mumkin (va sinf barcha ordinallar sinfida cheksiz bo'lsa, bu uni qo'yadi barcha tartiblar sinfi bilan sinf-bijection). Shunday qilib ${ displaystyle gamma}$ -sinfdagi element ("0-chi" eng kichigi, "1-st" keyingi eng kichigi degan konventsiya bilan va boshqalar) haqida erkin gapirish mumkin. Rasmiy ravishda, ta'rif transfinite induksiyasi bilan: ${ displaystyle gamma}$ -sinfning uchinchi elementi aniqlangan (hamma uchun allaqachon belgilangan bo'lsa) ${ displaystyle beta < gamma}$ ) dan katta bo'lgan eng kichik element sifatida ${ displaystyle beta}$ - hamma uchun uchinchi element ${ displaystyle beta < gamma}$ .

Bu, masalan, chegara tartiblari sinfiga nisbatan qo'llanilishi mumkin: the ${ displaystyle gamma}$ - chegara yoki nol bo'lgan uchinchi tartib ${ displaystyle omega cdot gamma}$ (qarang tartibli arifmetik tartib sonini ko'paytirish ta'rifi uchun). Xuddi shunday, o'ylab ko'rish mumkin qo'shimchali ajralmas tartiblar (ikkita kichikroq tartibning yig'indisi bo'lmagan nolinchi tartibni anglatadi): the ${ displaystyle gamma}$ -th additively indecomposable order sifatida indekslanadi ${ displaystyle omega ^ { gamma}}$ . Tartibli sinflarni indeksatsiya qilish uslubi ko'pincha aniq nuqtalar nuqtai nazaridan foydalidir: masalan, ${ displaystyle gamma}$ - uchinchi tartib ${ displaystyle alpha}$ shu kabi ${ displaystyle omega ^ { alpha} = alfa}$ yozilgan ${ displaystyle varepsilon _ { gamma}}$ . Bular "epsilon raqamlari ".

Yopiq cheksiz to'plamlar va sinflar

Sinf ${ displaystyle C}$ ordinallar deyilgan cheksiz, yoki kofinal, har qanday tartib berilganida ${ displaystyle alpha}$ bor ${ displaystyle beta}$ yilda ${ displaystyle C}$ shu kabi ${ displaystyle alpha < beta}$ (u holda sinf tegishli sinf bo'lishi kerak, ya'ni to'plam bo'lishi mumkin emas). Bu aytilgan yopiq sinfdagi tartiblar ketma-ketligining chegarasi yana sinfda bo'lganda: yoki ekvivalent ravishda, indeksatsiya (class-) funktsiyasi bo'lganda ${ displaystyle F}$ uchun ma'noda doimiydir ${ displaystyle delta}$ chegara tartibli, ${ displaystyle F ( delta)}$ (the ${ displaystyle delta}$ -sinfdagi navbatdagi tartib) bu barchaning chegarasi ${ displaystyle F ( gamma)}$ uchun ${ displaystyle gamma < delta}$ ; bu ham yopilgan bilan bir xil, ichida topologik ma'nosi, uchun buyurtma topologiyasi (tegishli sinflarda topologiya haqida gaplashmaslik uchun, ushbu tartib bo'yicha topologiya uchun sinfning har qanday tartib bilan kesishishi yopilishini talab qilish mumkin, bu yana tengdir).

Ushbu tartib qoidalari sinflari alohida ahamiyatga ega yopiq va chegarasiz, ba'zan chaqiriladi klublar. Masalan, barcha chegaraviy tartiblar sinfi yopiq va chegarasiz: bu har doim berilgan tartibdan kattaroq chegara ordinatori borligini va chegara tartib chegaralari chegara tartibli ekanligini (agar terminologiya shunday bo'lsa, baxtli haqiqat) umuman ma'noga ega bo'lish uchun!). Qo'shimchani ajratib bo'lmaydigan tartiblar klassi yoki ${ displaystyle varepsilon _ { cdot}}$ ordinallar yoki sinf kardinallar, barchasi chegarasiz yopiq; to'plami muntazam ammo kardinallar cheklanmagan, ammo yopiq emas va har qanday cheklangan ordinallar to'plami yopiq, ammo chegaralanmagan.

Agar sinf har bir yopiq chegaralanmagan sinf bilan bo'shashmasdan kesishgan bo'lsa, statsionar bo'ladi. Yopiq cheksiz sinflarning barcha superklasslari statsionar, statsionar sinflar esa chegarasiz, ammo yopiq bo'lmagan statsionar va yopiq chegaralanmagan subklassi bo'lmagan statsionar sinflar mavjud (masalan, hisoblash kofinalligi bilan barcha chegara ordinallari sinfi). Ikki yopiq chegaralanmagan sinflarning kesishishi yopiq va chegarasiz bo'lganligi sababli, statsionar sinf va yopiq chegaralanmagan sinfning kesishishi harakatsizdir. Ammo ikkita statsionar sinflarning kesishishi bo'sh bo'lishi mumkin, masalan. koordinatali ordinallar sinfi ω hisoblanmaydigan koordinatali ordinallar sinfi bilan.

Ushbu ta'riflarni tartib tartiblari (to'g'ri) sinflari uchun shakllantirish o'rniga, ularni ma'lum tartib ostidagi tartiblar to'plami uchun shakllantirish mumkin. ${ displaystyle alpha}$ : Limit tartibining kichik to'plami ${ displaystyle alpha}$ ostida chegarasiz (yoki kofinal) deb aytiladi ${ displaystyle alpha}$ dan kam bo'lgan har qanday tartibni taqdim etdi ${ displaystyle alpha}$ to'plamdagi ba'zi tartiblardan kamroq. Umuman olganda, har qanday tartibning kichik qismini chaqirish mumkin ${ displaystyle alpha}$ kofinal in ${ displaystyle alpha}$ dan kam har bir tartibni taqdim etdi ${ displaystyle alpha}$ dan kam yoki teng to'plamdagi ba'zi tartib. Ichki qism ostida yopiq deb aytilgan ${ displaystyle alpha}$ agar buyurtma topologiyasi uchun yopiq bo'lsa yilda ${ displaystyle alpha}$ , ya'ni to'plamdagi tartib chegaralari to'plamda yoki tengdir ${ displaystyle alpha}$ o'zi.

Tartiblar arifmetikasi

Tartiblar bo'yicha uchta odatiy operatsiya mavjud: qo'shish, ko'paytirish va (tartibli) ko'rsatkich. Ularning har birini asosan ikki xil usul bilan aniqlash mumkin: yoki operatsiyani ifodalovchi aniq tartiblangan to'plamni qurish yoki transfinitsiyali rekursiya yordamida. The Cantor normal shakli tartib qoidalarini yozishning standartlashtirilgan usulini taqdim etadi. U har bir tartibni $ phi $ ning tartib kuchlarining cheklangan yig'indisi sifatida o'ziga xos tarzda ifodalaydi. Biroq, bu $ phi $ kabi o'z-o'ziga havola qilingan tasvirlar tufayli universal tartib yozuvlarining asosini tashkil eta olmaydi₀ = ω^ε₀. "Tabiiy" arifmetik operatsiyalar uzluksizlik hisobiga komutativlikni saqlaydi.

Sifatida talqin qilingan nimberlar, ordinallar ham nozik arifmetik amallarga bo'ysunadi.

Ordinallar va kardinallar

Kardinalning dastlabki tartibi

Har bir tartib tartibi bittadan birikadi kardinal, uning muhimligi. Agar ikkita tartib o'rtasida biektsiya bo'lsa (masalan.) ph = 1 + ω va ω + 1> ω), keyin ular bir xil kardinal bilan bog'lanadi. Tartibga o'xshash tartibli har qanday yaxshi buyurtma qilingan to'plam, ushbu tartib bilan bir xil kardinallikka ega. Berilgan kardinal bilan bog'liq bo'lgan eng kichik tartib, deyiladi dastlabki tartib bu kardinal. Har qanday sonli tartib (tabiiy son) boshlang'ich va boshqa hech qanday tartibli uning kardinaliga qo'shilmaydi. Ammo ko'pgina cheksiz ordinallar birlamchi emas, chunki ko'pgina cheksiz tartiblar bir xil kardinal bilan bog'lanadi. The tanlov aksiomasi har bir to'plam yaxshi tartibda bo'lishi mumkin, ya'ni har bir kardinalda boshlang'ich tartib bor degan gapga tengdir. Tanlangan aksioma bo'lgan nazariyalarda har qanday to'plamning asosiy soni boshlang'ich tartibiga ega va ulardan biri Von Neymanga kardinal topshiriq kardinal vakili sifatida. (Shu bilan birga, biz kardinal arifmetik va tartibli arifmetikani farqlash uchun ehtiyot bo'lishimiz kerak.) Tanlangan aksiomasiz o'rnatilgan nazariyalarda kardinal minimal darajaga ega bo'lgan ushbu kardinallik bilan to'plamlar to'plami bilan ifodalanishi mumkin (qarang. Skottning hiylasi ).

Skottning hiyla-nayranglaridan biri shundaki, u asosiy raqamni aniqlaydi ${ displaystyle 0}$ bilan ${ displaystyle { emptyset }}$ , bu ba'zi bir formulalarda tartib sonidir ${ displaystyle 1}$ . Von Neymanning asosiy topshirig'ini cheklangan ishlarga qo'llash va Skottning hiylasini cheksiz to'plamlarga yoki quduq buyurtmalariga yo'l qo'ymaslik uchun ishlatish aniqroq bo'lishi mumkin. E'tibor bering, kardinal va tartibli arifmetik sonli sonlarga mos keladi.

A-chi cheksiz boshlang'ich tartib yoziladi ${ displaystyle omega _ { alfa}}$ , bu har doim chegara tartibidir. Uning muhimligi yozilgan ${ displaystyle aleph _ { alpha}}$ . Masalan, ω ning kardinalligi₀ = ω bo'ladi ${ displaystyle aleph _ {0}}$ , bu ham $ lambda $ ning asosiy kuchi² yoki ε₀ (barchasi hisoblanadigan tartiblar). Shunday qilib $ phi $ ni aniqlash mumkin ${ displaystyle aleph _ {0}}$ , bundan tashqari, yozuv ${ displaystyle aleph _ {0}}$ kardinallarni yozishda va ord ordinallarni yozishda ishlatiladi (bu muhim, masalan, ${ displaystyle aleph _ {0} ^ {2}}$ = ${ displaystyle aleph _ {0}}$ Holbuki ${ displaystyle omega ^ {2}> omega}$ ). Shuningdek, ${ displaystyle omega _ {1}}$ eng kichik hisoblanmaydigan tartibdir (uning mavjudligini ko'rish uchun, tabiiy sonlarning yaxshi tartiblarining ekvivalentlik sinflari to'plamini ko'rib chiqing: har bir bunday yaxshi tartib, hisoblanadigan tartibni belgilaydi va ${ displaystyle omega _ {1}}$ ushbu to'plamning buyurtma turi), ${ displaystyle omega _ {2}}$ asosiyligi kattaroq bo'lgan eng kichik tartib ${ displaystyle aleph _ {1}}$ va boshqalar, va ${ displaystyle omega _ { omega}}$ ning chegarasi ${ displaystyle omega _ {n}}$ natural sonlar uchun n (kardinallarning har qanday chegarasi kardinaldir, shuning uchun bu chegara, aslida, birinchi kardinaldir ${ displaystyle omega _ {n}}$ ).

Hamkorlik

The uyg'unlik tartibli ${ displaystyle alpha}$ eng kichik tartib ${ displaystyle delta}$ bu tartibning turi kofinal pastki qismi ${ displaystyle alpha}$ . E'tibor bering, bir qator mualliflar maxfiylikni aniqlaydilar yoki undan faqat chegaraviy tartiblar uchun foydalanadilar. Tartiblar to'plami yoki boshqa har qanday yaxshi tartiblangan to'plamning aniqligi bu to'plamning buyurtma turining kofinalligidir.

Shunday qilib, chegaraviy tartib uchun a mavjud ${ displaystyle delta}$ - chegara bilan qat'iy ravishda ortib boruvchi ketma-ketlik ${ displaystyle alpha}$ . Masalan, $ mathbb {2} $ ning koeffitsienti $ mathbb {n} $, chunki ketma-ketlik ·m (qayerda m natural sonlar orasidagi diapazonlar) ω² ga intiladi; ammo, umuman olganda, har qanday hisoblanadigan chegara ordinal koeffitsientga ega. Hisoblanmaydigan chegara tartibli tartibda ham koeffitsientga ega bo'lishi mumkin ${ displaystyle omega _ { omega}}$ yoki hisoblab bo'lmaydigan bir xillik.

0 ning kofinalligi 0 ga teng. Va har qanday vorisli tartibning kofinalligi 1 ga teng. Har qanday chegara ordinalining kofinalligi kamida ${ displaystyle omega}$ .

O'zining kofinalligiga teng bo'lgan tartib muntazam deb nomlanadi va u har doim boshlang'ich tartibda bo'ladi. Muntazam tartiblarning har qanday chegarasi boshlang'ich tartib chegaralarining chegarasidir va shuning uchun ham odatiy bo'lmagan taqdirda ham boshlang'ich bo'ladi, odatda bunday emas. Agar tanlov aksiomasi bo'lsa, unda ${ displaystyle omega _ { alfa +1}}$ har bir a uchun muntazam bo'ladi. Bunday holda 0, 1, ordinallar ${ displaystyle omega}$ , ${ displaystyle omega _ {1}}$ va ${ displaystyle omega _ {2}}$ muntazam, holbuki 2, 3, ${ displaystyle omega _ { omega}}$ va ω_{ω · 2} muntazam bo'lmagan dastlabki tartib qoidalari.

Har qanday tartib tartibining maxfiyligi a muntazam tartib, ya'ni kofinallik kofinalligi a ning kofinalligi bilan bir xil a. Demak, maxfiylik operatsiyasi idempotent.

Ba'zi "katta" hisoblanadigan tartiblar

Yuqorida aytib o'tilganidek (qarang Cantor normal shakli ), tartibli ε₀ tenglamani qondiradigan eng kichigi ${ displaystyle omega ^ { alpha} = alfa}$ , shuning uchun bu 0, 1, ${ displaystyle omega}$ , ${ displaystyle omega ^ { omega}}$ , ${ displaystyle omega ^ { omega ^ { omega}}}$ va hokazo. Ko'p tartiblarni ba'zi tartib funktsiyalarining sobit nuqtalari kabi belgilash mumkin (the ${ displaystyle iota}$ - uchinchi tartib shunday ${ displaystyle omega ^ { alpha} = alfa}$ deyiladi ${ displaystyle varepsilon _ { iota}}$ , keyin birini topishga harakat qilish mumkin ${ displaystyle iota}$ - uchinchi tartib shunday ${ displaystyle varepsilon _ { alpha} = alfa}$ , "va hokazo", ammo barcha nozikliklar "va boshqalar"). Buni muntazam ravishda bajarishga urinib ko'rish mumkin, ammo tartibni aniqlash va qurish uchun qaysi tizim ishlatilishidan qat'i nazar, tizim tomonidan tuzilgan barcha tartiblarning ustida joylashgan tartib har doim mavjud. Ehtimol, qurilish tizimini shu tarzda cheklaydigan eng muhim tartib bu Cherkov-Kleene tartibli, ${ displaystyle omega _ {1} ^ { mathrm {CK}}}$ (qaramay ${ displaystyle omega _ {1}}$ ismda bu tartib hisoblash mumkin), bu eng kichik tartib bo'lib, uni hech qanday tarzda a bilan ifodalash mumkin emas hisoblash funktsiyasi (albatta buni qat'iy qilish mumkin). Quyida katta tartibli buyruqlarni aniqlash mumkin ${ displaystyle omega _ {1} ^ { mathrm {CK}}}$ ammo, bu aniqning "isbot-nazariy kuchini" o'lchaydi rasmiy tizimlar (masalan, ${ displaystyle varepsilon _ {0}}$ ning kuchini o'lchaydi Peano arifmetikasi ). Hisoblanadigan kabi katta hisoblash tartiblari ruxsat etilgan tartiblar mantiqning turli qismlariga qiziqish ko'rsatadigan Cherkov-Kleen tartibidan yuqorida ham belgilanishi mumkin.^{[iqtibos kerak ]}

Topologiya va tartib qoidalari

Har qanday tartib sonini a ga yasash mumkin topologik makon bilan qo'shib buyurtma topologiyasi; bu topologiya diskret agar va faqat tartib soni hisoblanadigan kardinal bo'lsa, ya'ni ko'pi bilan ω bo'lsa. $ Delta + 1 $ kichik to'plami tartib topologiyasida ochiq, agar u bo'lsa ham kofinit yoki u element sifatida ω ni o'z ichiga olmaydi.

Ga qarang Topologiya va tartib qoidalari "Buyurtma topologiyasi" maqolasining bo'limi.

Pastga yopiq tartibli to'plamlar

To'plam pastga yopiq agar to'plam elementidan kamroq narsa ham to'plamda bo'lsa. Agar tartiblar to'plami pastga qarab yopilgan bo'lsa, u holda bu tartib tartibda bo'ladi - to'plamda bo'lmagan eng kichik tartib.

Misollar:

3 dan kichik tartiblar to'plami 3 = {0, 1, 2}, eng kichik tartib 3 dan kam emas.
Sonli tartiblar to'plami cheksiz, eng kichik cheksiz tartib: ω.
Hisoblanadigan tartiblar to'plami sanoqsiz, eng kichik sanoqsiz tartib: ω₁.

Tarix

Birinchi marta 1883 yilda paydo bo'lgan transfinite tartib raqamlari,^[9] Kantorning ishida paydo bo'lgan olingan to'plamlar. Agar P bu haqiqiy sonlar to'plami, olingan to'plam P ' ning to'plami chegara punktlari ning P. 1872 yilda Kantor to'plamlarni yaratdi P⁽ⁿ⁾ olingan operatsiyani qo'llash orqali n marta P. 1880 yilda u ushbu to'plamlar ketma-ketlikni tashkil etishini ta'kidladi P '⊇ ··· ⊇ P⁽ⁿ⁾ ⊇ P^(n + 1) ⊇ ···, va u derivatsiya jarayonini aniqlab davom ettirdi P^(∞) ushbu to'plamlarning kesishishi sifatida. Keyin u to'plamlarning ketma-ketligini cheksiz kengaytirish uchun olingan to'plam operatsiyasini va kesishmalarini takrorladi: P^(∞) ⊇ P^(∞ + 1) ⊇ P^(∞ + 2) ⊇ ··· ⊇ P^(2∞) ⊇ ··· ⊇ P^(∞²) ⊇ ···.^[10] ∞ ni o'z ichiga olgan yuqori belgilar faqat derivatsiya jarayoni bilan belgilangan indekslardir.^[11]

Kantor ushbu to'plamlardan teoremalarda foydalangan: (1) Agar P^(a) A indekslari uchun = =, keyin P ' hisoblash mumkin; (2) Aksincha, agar P ' hisoblash mumkin, keyin $ a $ ko'rsatkichi mavjud P^(a) = ∅. Ushbu teoremalar bo'linish orqali isbotlangan P ' ichiga juftlik bilan ajratish to'plamlar: P ' = (P '∖ P⁽²⁾) ∪ (P⁽²⁾ ∖ P⁽³⁾) ∪ ··· ∪ (P^(∞) ∖ P^(∞ + 1)) ∪ ··· ∪ P^(a). B uchun P^{(β + 1)} ning chegara nuqtalarini o'z ichiga oladi P^(β), to'plamlar P^(β) ∖ P^{(β + 1)} cheklov nuqtalari yo'q. Shuning uchun ular diskret to'plamlar, shuning uchun ular hisoblash mumkin. Birinchi teoremaning isboti: Agar P^(a) A indekslari uchun = =, keyin P ' hisoblanadigan to'plamlarning hisoblanadigan birlashmasi. Shuning uchun, P ' hisoblash mumkin.^[12]

Ikkinchi teorema a ning mavjudligini isbotlashni talab qiladi P^(a) = ∅. Buni isbotlash uchun Kantor ko'p sonli o'tmishdoshlarga ega bo'lgan barcha a ning to'plamini ko'rib chiqdi. Ushbu to'plamni aniqlash uchun u transfinit tartib sonlarini aniqladi va cheksiz indekslarni birinchi transfinit tartib sonini ω ga ω bilan almashtirish orqali tartiblarga o'zgartirdi. Kantor cheklangan ordinallar to'plamini birinchi deb atadi raqamlar sinfi. Ikkinchi sonlar klassi - oldingilari son-sanoqsiz to'plamni tashkil etadigan tartiblar to'plami. Oldingi ko'p sonli barcha a ning yig'indisi, ya'ni hisoblanadigan ordinallar to'plami - bu ikki sonli sinflarning birlashishi. Kantor ikkinchi raqamlar sinfining kardinalligi birinchi hisoblanmaydigan kardinallik ekanligini isbotladi.^[13]

Kantorning ikkinchi teoremasi quyidagicha bo'ladi: Agar P ' hisoblanadigan, keyin shunday hisoblanadigan tartibli a mavjud P^(a) = ∅. Uning isboti foydalanadi ziddiyat bilan isbot. Ruxsat bering P ' hisoblash mumkin va bunday a mavjud emas deb taxmin qiling. Ushbu taxmin ikkita holatni keltirib chiqaradi.

1-holat: P^(β) ∖ P^{(β + 1)} barcha hisoblanadigan β uchun bo'sh emas. Ushbu juftlikdagi ajratilgan to'plamlarning soni juda ko'p bo'lganligi sababli, ularning birlashishi hisoblanmaydi. Ushbu birlashma P ', shuning uchun P ' hisoblash mumkin emas.
2-holat: P^(β) ∖ P^{(β + 1)} ba'zi bir hisoblash uchun bo'sh is. Beri P^{(β + 1)} ⊆ P^(β), bu shuni anglatadi P^{(β + 1)} = P^(β). Shunday qilib, P^(β) a mukammal to'plam, shuning uchun uni hisoblash mumkin emas.^[14] Beri P^(β) ⊆ P ', to'plam P ' hisoblash mumkin emas.

Ikkala holatda ham P ' hisoblash mumkin emas, bu zid P ' hisoblash mumkin. Shunday qilib, shunday hisoblanadigan tartibli a bor P^(a) = ∅. Kantorning olingan to'plamlar va tartib sonlar bilan ishlashi Kantor-Bendikson teoremasi.^[15]

Kantor vorislar, chegaralar va muhimlikdan foydalanib tartib sonlari va sonlar sinflarining cheksiz ketma-ketligini yaratdi.^[16] (A + 1) - sonlar klassi - oldingi raqamlar a-sonli sinf bilan bir xil kardinallik to'plamini tashkil etadigan tartiblar to'plami. (A + 1) - sonlar sinfining kardinalligi bu a - sonlar sinfidan keyin darhol kardinallikdir.^[17] A chegara tartibli a uchun a-chi sonlar sinfi b [18] Uning asosiy kuchi - bu raqamlar sinflarining asosiy xususiyatlarining chegarasi.

Agar n sonli, the n- raqamlar sinfi asosiy xususiyatga ega ${ displaystyle aleph _ {n-1}}$ . Agar a ≥ ω bo'lsa, a-chi raqamlar sinfi kardinallikka ega ${ displaystyle aleph _ { alpha}}$ .^[19] Shuning uchun, raqamlar sinflarining tub mohiyati bir-biriga mos keladi alef raqamlari. Shuningdek, a-chi sonlar klassi oldingi sonlar sinflaridan farq qiladigan tartiblardan iborat bo'lib, agar a cheksiz tartib bo'lsa. Shuning uchun, sonlar sonining chegarasiz tartiblari juft tartibda ajratilgan to'plamlarga bo'linadi.

Shuningdek qarang

Hisoblash
Juft va toq tartib qoidalari
Birinchi hisoblanmaydigan tartib
Oddiy bo'shliq
Surreal raqam, negativlarni o'z ichiga olgan tartiblarni umumlashtirish

Izohlar

^ Thorough introductions are given by (Levy 1979 ) va (Jech 2003 ).
^ Hallett, Michael (1979), "Towards a theory of mathematical research programmes. I", Britaniya falsafasi jurnali, 30 (1): 1–25, doi:10.1093/bjps/30.1.1, JANOB 0532548. See the footnote on p. 12.
^ "Matematik ramzlar to'plami". Matematik kassa. 2020-03-01. Olingan 2020-08-12.
^ "To'liq nazariya belgilarining to'liq ro'yxati". Matematik kassa. 2020-04-11. Olingan 2020-08-12.
^ "Ordinal Numbers | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Olingan 2020-08-12.
^ Vayshteyn, Erik V. "Ordinal Number". mathworld.wolfram.com. Olingan 2020-08-12.
^ ^a ^b von Neumann 1923
^ (Levy 1979, p. 52) attributes the idea to unpublished work of Zermelo in 1916 and several papers by von Neumann the 1920s.
^ Cantor 1883. English translation: Ewald 1996, pp. 881–920
^ Ferreirós 1995, pp. 34–35; Ferreirós 2007, pp. 159, 204–5
^ Ferreirós 2007, p. 269
^ Ferreirós 1995, 35-36 betlar; Ferreirós 2007, p. 207
^ Ferreirós 1995, 36-37 betlar; Ferreirós 2007, p. 271
^ Dauben 1979, p. 111
^ Ferreirós 2007, pp. 207–8
^ Dauben 1979, 97-98 betlar
^ Hallett 1986, 61-62 bet
^ Tait 1997, p. 5 footnote
^ The first number class has cardinality ${ displaystyle aleph _ {0}}$ . Matematik induksiya isbotlaydi n-th number class has cardinality ${displaystyle aleph _{n-1}}$ . Since the ω-th number class is the union of the n-th number classes, its cardinality is ${ displaystyle aleph _ { omega}}$ , ning chegarasi ${displaystyle aleph _{n-1}}$ . Transfinite induksiyasi proves that if α ≥ ω, the α-th number class has cardinality ${displaystyle aleph _{alpha }}$ .

Adabiyotlar

Kantor, Georg (1883), "Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten. 5.", Matematik Annalen, 21 (4): 545–591, doi:10.1007 / bf01446819, S2CID 121930608. Alohida nashr etilgan: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre.
Cantor, Georg (1897), "Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. II", Matematik Annalen, 49 (2): 207–246, doi:10.1007/BF01444205, S2CID 121665994 English translation: Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers II.
Konvey, Jon H.; Guy, Richard (2012) [1996], "Cantor's Ordinal Numbers", Raqamlar kitobi, Springer, pp. 266–7, 274, ISBN 978-1-4612-4072-3
Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Garvard universiteti matbuoti, ISBN 0-674-34871-0CS1 maint: ref = harv (havola).
Evald, Uilyam B., ed. (1996), From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Volume 2, Oksford universiteti matbuoti, ISBN 0-19-850536-1.
Ferreirós, José (1995), "'What fermented in me for years': Cantor's discovery of transfinite numbers" (PDF), Tarix matematikasi, 22: 33–42, doi:10.1006/hmat.1995.1003CS1 maint: ref = harv (havola).
Ferreirós, José (2007), Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought (2nd revised ed.), Birxauzer, ISBN 978-3-7643-8349-7CS1 maint: ref = harv (havola).
Hallett, Michael (1986), Cantorian Set nazariyasi va o'lchamining cheklanishi, Oksford universiteti matbuoti, ISBN 0-19-853283-0.
Hamilton, A. G. (1982), "6. Ordinal and cardinal numbers", Numbers, Sets, and Axioms : the Apparatus of Mathematics, Nyu-York: Kembrij universiteti matbuoti, ISBN 0-521-24509-5.
Kanamori, Akixiro (2012), "Nazariyani Kantordan Koenga o'rnating" (PDF), in Gabbay, Dov M.; Kanamori, Akixiro; Woods, John H. (eds.), Sets and Extensions in the Twentieth Century, Cambridge University Press, pp. 1–71, ISBN 978-0-444-51621-3.
Levy, A. (2002) [1979], Asosiy to'siqlar nazariyasi, Springer-Verlag, ISBN 0-486-42079-5.
Jech, Thomas (2013), Nazariyani o'rnating (2-nashr), Springer, ISBN 978-3-662-22400-7.
Sierpiński, W. (1965), Kardinal va oddiy sonlar (2nd ed.), Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe Also defines ordinal operations in terms of the Cantor Normal Form.
Suppes, Patrik (1960), Aksiomatik to'plam nazariyasi, D.Van Nostrand, ISBN 0-486-61630-4.
Tait, William W. (1997), "Frege versus Cantor and Dedekind: On the Concept of Number" (PDF), in William W. Tait (ed.), Early Analytic Philosophy: Frege, Russell, Wittgenstein, Open Court, pp. 213–248, ISBN 0-8126-9344-2.
fon Neyman, Jon (1923), "Zur Einführung der transfiniten Zahlen", Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum, 1: 199–208, archived from asl nusxasi 2014-12-18, olingan 2013-09-15CS1 maint: ref = harv (havola)
fon Neyman, Jon (January 2002) [1923], "On the introduction of transfinite numbers", in Jean van Heijenoort (ed.), Frejdan Gödelgacha: Matematik mantiq bo'yicha manbaviy kitob, 1879–1931 (3rd ed.), Harvard University Press, pp. 346–354, ISBN 0-674-32449-8 - ning inglizcha tarjimasi von Neumann 1923.

Tashqi havolalar

"Ordinal number", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]
Ordinals at ProvenMath
Ordinal calculator GPL'd free software for computing with ordinals and ordinal notations
4-bob Don Monk's ma'ruza yozuvlari on set theory is an introduction to ordinals.

[1] Thorough introductions are given by (Levy 1979 ) va (Jech 2003 ).

[2] Hallett, Michael (1979), "Towards a theory of mathematical research programmes. I", Britaniya falsafasi jurnali, 30 (1): 1–25, doi:10.1093/bjps/30.1.1, JANOB 0532548. See the footnote on p. 12.

[3] "Matematik ramzlar to'plami". Matematik kassa. 2020-03-01. Olingan 2020-08-12.

[4] "To'liq nazariya belgilarining to'liq ro'yxati". Matematik kassa. 2020-04-11. Olingan 2020-08-12.

[5] "Ordinal Numbers | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Olingan 2020-08-12.

[6] Vayshteyn, Erik V. "Ordinal Number". mathworld.wolfram.com. Olingan 2020-08-12.

[von_Neumann1923pp199-208-7] von Neumann 1923

[8] (Levy 1979, p. 52) attributes the idea to unpublished work of Zermelo in 1916 and several papers by von Neumann the 1920s.

[9] Cantor 1883. English translation: Ewald 1996, pp. 881–920

[10] Ferreirós 1995, pp. 34–35; Ferreirós 2007, pp. 159, 204–5

[11] Ferreirós 2007, p. 269

[12] Ferreirós 1995, 35-36 betlar; Ferreirós 2007, p. 207

[13] Ferreirós 1995, 36-37 betlar; Ferreirós 2007, p. 271

[14] Dauben 1979, p. 111

[15] Ferreirós 2007, pp. 207–8

[16] Dauben 1979, 97-98 betlar

[17] Hallett 1986, 61-62 bet

[18] Tait 1997, p. 5 footnote

[19] The first number class has cardinality ${ displaystyle aleph _ {0}}$ . Matematik induksiya isbotlaydi n-th number class has cardinality ${displaystyle aleph _{n-1}}$ . Since the ω-th number class is the union of the n-th number classes, its cardinality is ${ displaystyle aleph _ { omega}}$ , ning chegarasi ${displaystyle aleph _{n-1}}$ . Transfinite induksiyasi proves that if α ≥ ω, the α-th number class has cardinality ${displaystyle aleph _{alpha }}$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[19]

Birinchi bir necha fon Neyman ordinatorlari
0	= { }	= ∅
1	= { 0 }	= {∅}
2	= { 0, 1 }	= { ∅, {∅} }
3	= { 0, 1, 2 }	= { ∅, {∅} , {∅, {∅}} }
4	= { 0, 1, 2, 3 }	= { ∅, {∅} , {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}} }

Raqam tizimlar
Hisoblanadigan to'plamlar	Natural sonlar ( ${ displaystyle mathbb {N}}$ ) Butun sonlar ( ${ displaystyle mathbb {Z}}$ ) Ratsional raqamlar ( ${ displaystyle mathbb {Q}}$ ) Konstruktiv raqamlar Algebraik sonlar ( ${ displaystyle mathbb {A}}$ ) Davrlar Hisoblanadigan raqamlar Aniq raqamlar Arifmetik raqamlar Gauss butun sonlari
Tarkib algebralari	Diviziya algebralari: Haqiqiy raqamlar ( ${ displaystyle mathbb {R}}$ ) Murakkab raqamlar ( ${ displaystyle mathbb {C}}$ ) Kvaternionlar ( ${ displaystyle mathbb {H}}$ ) Oktonionlar ( ${ displaystyle mathbb {O}}$ )
Split turlari	ustida ${ displaystyle mathbb {R}}$ : Split-kompleks sonlar Split-kvaternionlar Split-oktonionlar ustida ${ displaystyle mathbb {C}}$ : Bicomplex numbers Biquaternionlar Bioktonionlar
Boshqalar giperkompleks	Ikkala raqamlar Ikki qavatli kvaternionlar Ikkala kompleks sonlar Giperbolik kvaternionlar Sedeniyalar ( ${ displaystyle mathbb {S}}$ ) Split-biquaternionlar Multikompleks raqamlar Geometrik algebra Jismoniy makon algebrasi Bo'sh vaqt algebra
Boshqa turlari	Kardinal raqamlar Irratsional raqamlar Loyqa raqamlar Giperreal raqamlar Levi-Civita maydoni Surreal raqamlar Transandantal raqamlar Oddiy sonlar p-adik raqamlar (p-adik solenoidlar ) G'ayritabiiy raqamlar Superreal raqamlar
Tasnifi Ro'yxat

To'siq nazariyasi
Umumiy nuqtai	To'siq (matematika)
Aksiomalar	Qo'shish Tanlash hisoblanadigan qaram bo'lgan global Konstruktivlik (V = L) Qat'iylik Kenglik Cheksizlik Hajmi chegarasi Ulanish Quvvat o'rnatilgan Muntazamlik Ittifoq Martinning aksiomasi Aksioma sxemasi almashtirish spetsifikatsiya
Amaliyotlar	Dekart mahsuloti To'ldiruvchi De Morgan qonunlari Ajratilgan birlashma Kesishma Quvvat o'rnatilgan Farqni o'rnating Nosimmetrik farq Ittifoq
Tushunchalar Usullari	Kardinallik Kardinal raqam (katta ) Sinf Quriladigan koinot Davomiy gipoteza Diagonal argument Element buyurtma qilingan juftlik panjara Oila Majburlash Yakkama-yakka yozishmalar Tartib raqami Transfinite induksiyasi Venn diagrammasi
O'rnatish turlari	Hisoblanadigan Bo'sh Cheklangan (irsiy jihatdan ) Xira Cheksiz (Dedekind-cheksiz ) Rekursiv Ichki to'plam· Superset O'tish davri Hisoblab bo‘lmaydi Umumjahon
Nazariyalar	Shu bilan bir qatorda Aksiomatik Sodda Kantor teoremasi Zermelo Umumiy Matematikaning printsipi Yangi fondlar Zermelo – Fraenkel fon Neyman – Bernays – Gödel Mors-Kelli Kripke – Platek Tarski – Grotendik
Paradokslar Muammolar	Rassellning paradoksi Suslin muammosi Burali-Forti paradoksi
Nazariyotchilarni o'rnating	Ibrohim Fraenkel Bertran Rassel Ernst Zermelo Jorj Kantor Jon fon Neyman Kurt Gödel Pol Bernays Pol Koen Richard Dedekind Tomas Jech Torolf Skolem Willard Quine