Parallel transport - Parallel transport

Vektorni yopiq tsikl atrofida (A dan N dan B ga va orqaga A ga) sferada parallel tashish. Uning burilish burchagi,

{ displaystyle alpha}

, pastadir ichidagi maydonga mutanosib.

Yilda geometriya, parallel transport geometrik ma'lumotlarni a-da tekis egri chiziqlar bo'ylab tashish usuli ko'p qirrali. Agar kollektor an bilan jihozlangan bo'lsa affine ulanish (a kovariant hosilasi yoki ulanish ustida teginish to'plami ), demak, bu ulanish manifold vektorlarini egri chiziqlar bo'ylab tashish uchun imkon beradi, shunda ular qoladi parallel ulanishga nisbatan.

Shu sababli ulanish uchun parallel transport, qaysidir ma'noda, manifoldning mahalliy geometriyasini egri chiziq bo'ylab harakatlantirish usulini beradi: ya'ni ulanish yaqin nuqtalarning geometriyalari. Parallel transportning ko'plab tushunchalari mavjud bo'lishi mumkin, ammo bitta - bitta chiziqning geometriyasini egri chiziq bilan bog'lash usulining spetsifikatsiyasi - bu ulanish. Aslida, odatdagi ulanish tushunchasi bu cheksiz parallel transport analogi. Yoki, aksincha, parallel transport - bu ulanishning mahalliy amalga oshirilishi.

Parallel transport ulanishning mahalliy amalga oshirilishini ta'minlagani kabi, shuningdek, mahalliy aloqani ham amalga oshiradi egrilik sifatida tanilgan holonomiya. The Ambrose - Singer teoremasi egrilik va holonomiya o'rtasidagi bu aloqani aniq belgilaydi.

Ning boshqa tushunchalari ulanish o'zlarining parallel transport tizimlari bilan jihozlangan. Masalan, a Koszul aloqasi a vektor to'plami shuningdek, vektorlarni kovariant hosilasi bilan parallel ravishda tashishga imkon beradi. An Ehresmann yoki Karton aloqasi ta'minot a egri chiziqlarni ko'tarish kollektordan a ning umumiy maydonigacha asosiy to'plam. Bunday egri chiziqni ko'tarishni ba'zan parallel tashish deb hisoblash mumkin mos yozuvlar tizimlari.

Vektorli to'plamda parallel tashish

Ruxsat bering M silliq manifold bo'ling. Ruxsat bering E→M bo'lishi a vektor to'plami bilan kovariant hosilasi ∇ va γ: Men→M a silliq egri chiziq ochiq oraliq bilan parametrlangan Men. A Bo'lim ${ displaystyle X}$ ning ${ displaystyle E}$ birga γ deyiladi parallel agar

{ displaystyle nabla _ {{ dot { gamma}} (t)} X = 0 { text {for}} t in I ,}

Aytaylik, bizga element berildi e₀ ∈ E_P da P = γ(0) ∈ M, bo'limdan ko'ra. The parallel transport ning e₀ birga γ ning kengaytmasi e₀ parallel ravishda Bo'lim X kuni γ.Aniqroq, X ning noyob bo'limi E birga γ shu kabi

${ displaystyle nabla _ { dot { gamma}} X = 0}$
${ displaystyle X _ { gamma (0)} = e_ {0}.}$

Shuni esda tutingki, har qanday berilgan koordinata patchida (1) an belgilaydi oddiy differentsial tenglama, bilan dastlabki holat (2) tomonidan berilgan. Shunday qilib Pikard-Lindelef teoremasi echimning mavjudligi va o'ziga xosligini kafolatlaydi.

Shunday qilib, ∇ ulanish tolalar elementlarini egri chiziq bo'ylab harakatlanish usulini belgilaydi va bu ta'minlanadi chiziqli izomorfizmlar tolalar orasidagi egri chiziq bo'ylab:

{ displaystyle Gamma ( gamma) _ {s} ^ {t}: E _ { gamma (s)} rightarrow E _ { gamma (t)}}

γ ustida yotgan vektor makonidan (s) ga that (t). Ushbu izomorfizm parallel transport egri chiziq bilan bog'liq xarita. Shu tarzda olingan tolalar orasidagi izomorfizmlar, umuman olganda, egri chiziqning tanlanishiga bog'liq bo'ladi: agar ular bo'lmasa, unda har bir egri chiziq bo'ylab parallel transport yordamida parallel kesmalarni aniqlash mumkin. E hamma ustidan M. Bu faqat agar mumkin bo'lsa egrilik ning zero nolga teng.

Xususan, bir nuqtadan boshlangan yopiq egri chiziq atrofida parallel transport x belgilaydi avtomorfizm tangensli bo'shliqning x bu ahamiyatsiz bo'lishi shart emas. Ga asoslangan barcha yopiq egri chiziqlar bilan belgilangan parallel transport avtomorfizmlari x shakl transformatsiya guruhi deb nomlangan holonomiya guruhi ∇ da x. Ushbu guruh va ∇ at egrilik qiymati o'rtasida yaqin bog'liqlik mavjud x; bu mazmuni Ambrose-Singer holonomiya teoremasi.

Parallel tashishdan ulanishni tiklash

Kovariant hosilasi Given berilgan bo'lsa, γ egri chiziq bo'ylab parallel transport shartni integrallash yo'li bilan olinadi ${ displaystyle scriptstyle { nabla _ { dot { gamma}} = 0}}$ . Aksincha, agar parallel transportning tegishli tushunchasi mavjud bo'lsa, unda differentsiatsiya bilan mos keladigan ulanishni olish mumkin. Ushbu yondashuv, asosan, bog'liqdir Knebelman (1951); qarang Guggenxaymer (1977). Lumiste (2001) ushbu yondashuvni ham qabul qiladi.

Manifolddagi xaritalar to'plamining har bir egri chizig'ini belgilashni ko'rib chiqing

{ displaystyle Gamma ( gamma) _ {s} ^ {t}: E _ { gamma (s)} rightarrow E _ { gamma (t)}}

shu kabi

${ displaystyle Gamma ( gamma) _ {s} ^ {s} = Id}$ , shaxsning o'zgarishi E_{γ (lar)}.
${ displaystyle Gamma ( gamma) _ {u} ^ {t} circ Gamma ( gamma) _ {s} ^ {u} = Gamma ( gamma) _ {s} ^ {t}.}$
Γ ning γ ga bog'liqligi, sva t "silliq".

3. holatdagi silliqlik tushunchasini aniqlash biroz qiyin (quyida keltirilgan tola to'plamlarida parallel tashish). Xususan, Kobayashi va Nomizu kabi zamonaviy mualliflar, ulanishning parallel transportini, umuman olganda, silliqlik osonroq ifodalanadigan boshqa ma'noda aloqadan kelib chiqqan deb hisoblashadi.

Shunga qaramay, parallel tashish uchun bunday qoidani hisobga olgan holda, bog'liq bo'lgan cheksiz kichik aloqani tiklash mumkin E quyidagicha. $ Infty $ ning farqlanadigan egri chizig'i bo'lsin M boshlang'ich nuqta γ (0) va dastlabki teginish vektori bilan X = γ ′ (0). Agar V ning qismi E γ dan keyin, keyin ruxsat bering

{ displaystyle nabla _ {X} V = lim _ {h to 0} { frac { Gamma ( gamma) _ {h} ^ {0} V _ { gamma (h)} - V _ { gamma (0)}} {h}} = chap. { frac {d} {dt}} Gamma ( gamma) _ {t} ^ {0} V _ { gamma (t)} o'ng | _ {t = 0}.}

Bu bog'liq bo'lgan cheksiz kichik ulanishni belgilaydi E. Ushbu cheksiz ulanishdan bir xil parallel transportni Γ tiklaydi.

Maxsus holat: teginish to'plami

Ruxsat bering M silliq manifold bo'ling. Keyin ulanish teginish to'plami ning M, deb nomlangan affine ulanish, (afine) deb nomlangan egri chiziqlar sinfini ajratib turadi. geodeziya (Kobayashi va Nomizu, 1-jild, III bob). Yumshoq egri γ: Men → M bu afin geodezik agar ${ displaystyle { dot { gamma}}}$ parallel ravishda ko'chiriladi ${ displaystyle gamma}$ , anavi

{ displaystyle Gamma ( gamma) _ {s} ^ {t} { dot { gamma}} (s) = { dot { gamma}} (t). ,}

Vaqtga nisbatan lotinni oladigan bo'lsak, bu tanishroq shaklga ega

{ displaystyle nabla _ {{ dot { gamma}} (t)} { dot { gamma}} = 0. ,}

Riemann geometriyasida parallel transport

Ichida (psevdo ) Riemann geometriyasi, a metrik ulanish parallel transport xaritalashlari saqlanadigan har qanday ulanishdir metrik tensor. Shunday qilib, metrik ulanish har qanday ikkita vektor uchun har qanday connection ulanishdir X, Y . T_{γ (lar)}

{ displaystyle langle Gamma ( gamma) _ {s} ^ {t} X, Gamma ( gamma) _ {s} ^ {t} Y rangle _ { gamma (t)} = = langle X , Y rangle _ { gamma (lar)}.}

Atamasini olish t = 0, bog'liq bo'lgan differentsial operator ∇ metrikaga nisbatan mahsulot qoidasini bajarishi kerak:

{ displaystyle Z langle X, Y rangle = langle nabla _ {Z} X, Y rangle + langle X, nabla _ {Z} Y rangle.}

Geodeziya

Agar ∇ metrik aloqa bo'lsa, u holda affine geodeziya odatiy hisoblanadi geodeziya Riemann geometriyasi va mahalliy masofani minimallashtirish egri chiziqlari. Aniqrog'i, birinchi navbatda, agar shunday bo'lsa γ: Men → M, qayerda Men ochiq interval, geodeziya, keyin esa norma ${ displaystyle { dot { gamma}}}$ doimiy yonib turadi Men. Haqiqatdan ham,

{ displaystyle { frac {d} {dt}} langle { dot { gamma}} (t), { dot { gamma}} (t) rangle = 2 langle nabla _ {{ nuqta { gamma}} (t)} { nuqta { gamma}} (t), { nuqta { gamma}} (t) rangle = 0.}

Ning arizasidan kelib chiqadi Gauss lemmasi agar shunday bo'lsa A ning normasi ${ displaystyle { dot { gamma}} (t)}$ keyin metrik tomonidan indikatsiya qilingan masofa, ikkitasi orasidagi juda yaqin egri chiziqlar γ, demoq γ(t₁) va γ(t₂) tomonidan berilgan

{ displaystyle { mbox {dist}} { big (} gamma (t_ {1}), gamma (t_ {2}) { big)} = A | t_ {1} -t_ {2} | .}

Yuqoridagi formula etarlicha yaqin bo'lmagan nuqtalar uchun to'g'ri kelmasligi mumkin, chunki geodeziya, masalan, manifoldni o'rab olishi mumkin (masalan, sharda).

Umumlashtirish

Parallel tashish faqat vektor to'plamida aniqlangan emas, balki boshqa ulanish turlari uchun umumiylik bilan aniqlanishi mumkin. Bitta umumlashtirish uchun asosiy aloqalar (Kobayashi va Nomizu 1996 yil, 1-jild, II bob). Ruxsat bering P → M bo'lishi a asosiy to'plam kollektor ustida M tuzilishga ega Yolg'on guruh G va asosiy aloqa ω. Vektorli to'plamlarda bo'lgani kabi, asosiy aloqa ω on P har bir egri chiziq uchun belgilanadi M, xaritalash

{ displaystyle Gamma ( gamma) _ {s} ^ {t}: P _ { gamma (s)} rightarrow P _ { gamma (t)}}

fiber dan ortiq tolaga (s) ga that (t) ning izomorfizmi bo'lgan bir hil bo'shliqlar: ya'ni ${ displaystyle Gamma _ { gamma (s)} gu = g Gamma _ { gamma (s)}}$ har biriga g∈G.

Parallel transportni yanada umumlashtirish ham mumkin. Kontekstida Ehresmann aloqalari, bu erda ulanish maxsus tushunchaga bog'liq "gorizontal ko'tarish "tegang bo'shliqlarni aniqlash mumkin gorizontal ko'targichlar orqali parallel tashish. Karton aloqalari Ehresmannning qo'shimcha tuzilishga ega bo'lgan ulanishidir, bu esa parallel transportni ma'lum bir narsani "aylantiruvchi" xarita deb hisoblashga imkon beradi model maydoni manifolddagi egri chiziq bo'ylab. Ushbu prokat deyiladi rivojlanish.

Yaqinlashish: Shildning narvonlari

Ikki pog'ona Shildning narvoni. Segmentlar A₁X₁ va A₂X₂ ning parallel tashilishining birinchi tartibiga yaqinlashishdir A₀X₀ egri chiziq bo'ylab.

Parallel transportni diskret ravishda taxminan bilan taqqoslash mumkin Shildning narvoni, bu egri chiziq bo'ylab cheklangan qadamlarni bajaradi va taxminanLevi-Civita parallelogrammalari taxminiy ravishda parallelogrammalar.

Shuningdek qarang

Egri fazoviy vaqt matematikasiga asosiy kirish
Aloqa (matematika)
Rivojlanish (differentsial geometriya)
Affine aloqasi
Kovariant lotin
Geodeziya (umumiy nisbiylik)
Geometrik faza
Yolg'on lotin
Shildning narvoni
Levi-Civita parallelogramoidi
parallel egri, xuddi shunday nomlangan, ammo boshqacha tushuncha

Adabiyotlar

Guggenxaymer, Geynrix (1977), Differentsial geometriya, Dover, ISBN 0-486-63433-7
Knebelman (1951), "Nisbiy parallellik bo'shliqlari", Matematika yilnomalari, 2, Matematika yilnomalari, jild. 53, № 3, 53 (3): 387–399, doi:10.2307/1969562, JSTOR 1969562
Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Differentsial geometriya asoslari, 1-jild, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3; 2-jild, ISBN 0-471-15732-5.
Lumiste, Ü. (2001) [1994], "Kollektordagi ulanishlar", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press

Tashqi havolalar

Sferik geometriya demosi. Tegishli vektorlarning sharga parallel ravishda tashilishini namoyish qiluvchi applet.