Bo'lim darajasi - Rank of a partition

Uning sifatida ko'rsatilgan bo'lim darajasi Yosh diagramma

Freeman Dyson 2005 yilda

Yilda matematika, ayniqsa maydonlarida sonlar nazariyasi va kombinatorika, musbat butun sonning bo'linish darajasi aniq tamsayı bilan bog'liq bo'lim. Aslida adabiyotda martabaning kamida ikki xil ta'rifi uchraydi. Ushbu maqolaning aksariyati bilan bog'liq bo'lgan birinchi ta'rif, bo'limning darajasi bu qismdagi qismlarning sonini qismning eng katta qismidan chiqarib tashlash natijasida olingan raqamdir. Kontseptsiya tomonidan kiritilgan Freeman Dyson jurnalda chop etilgan maqolada Evrika.^[1] U ma'lum narsalarni o'rganish doirasida taqdim etildi muvofiqlik xususiyatlari bo'lim funktsiyasi hind matematik dahosi tomonidan kashf etilgan Srinivasa Ramanujan. Kombinatorikada bir xil ismga ega bo'lgan boshqa kontseptsiya ishlatiladi, bu erda unvonning kattaligi kattaligi olinadi Durfee maydoni bo'limning qismi.

Ta'rif

Tomonidan bo'lim musbat tamsayı n biz cheklangan multiset λ = {λ degan ma'noni anglatadi_k, λ_{k − 1},. . . , λ₁ } quyidagi ikkita shartni qondiradigan musbat tamsayılar:

• λ_k ≥. . . ≥ λ₂ ≥ λ₁ > 0.
• λ_k +. . . + λ₂ + λ₁ = n.

Agar λ_k, . . . , λ₂, λ₁ aniq, ya'ni agar

• λ_k >. . . > λ₂ > λ₁ > 0

keyin bo'lim λ deyiladi a qattiq bo'lim ning n. Butun sonlar λ_k, λ_{k − 1}, ..., λ₁ ular qismlar bo'limning qismi. Bo'limdagi qismlar soni λ bu k va bo'limning eng katta qismi λ_k. Bo'limning darajasi λ (oddiy yoki qat'iy bo'lsin) sifatida belgilanadi λ_k − k.^[1]

Bo'limlari qatorlari n quyidagi qiymatlarni qabul qiling va boshqalar yo'q:^[1]

n − 1, n −3, n −4, . . . , 2, 1, 0, −1, −2, . . . , −(n − 4), −(n − 3), −(n − 1).

Quyidagi jadvalda 5-sonli turli bo'limlarning qatorlari keltirilgan.

Izohlar

Berilgan darajaga ega bo'lgan qancha bo'limni aniqlash uchun quyidagi yozuvlardan foydalaniladi. Ruxsat bering n, q musbat tamsayılar bo'ling va m har qanday tamsayı bo'lishi mumkin.

• Bo'limlarining umumiy soni n bilan belgilanadi p(n).
• Bo'limlari soni n unvon bilan m bilan belgilanadi N(m, n).
• Bo'limlari soni n darajasiga muvofiq m modul q bilan belgilanadi N(m, q, n).
• Ning qattiq bo'limlari soni n bilan belgilanadi Q(n).
• Ning qattiq bo'limlari soni n unvon bilan m bilan belgilanadi R(m, n).
• Ning qattiq bo'limlari soni n darajasiga muvofiq m modul q bilan belgilanadi T(m, q, n).

Masalan,

p(5) = 7 , N(2, 5) = 1 , N(3, 5) = 0 , N(2, 2, 5) = 5 .

Q(5) = 3 , R(2, 5) = 1 , R(3, 5) = 0 , T(2, 2, 5) = 2.

Ba'zi asosiy natijalar

Ruxsat bering n, q musbat tamsayılar bo'ling va m har qanday tamsayı bo'lishi mumkin.^[1]

• ${ displaystyle N (m, n) = N (-m, n)}$
• ${ displaystyle N (m, q, n) = N (q-m, q, n)}$
• ${ displaystyle N (m, q, n) = sum _ {r = - infty} ^ { infty} N (m + rq, n)}$

Ramanujanning uyg'unliklari va Dysonning taxminlari

Srinivasa Ramanujan 1919 yilda nashr etilgan maqolasida quyidagilarni isbotladi kelishuvlar bo'lim funktsiyasini o'z ichiga olgan p(n):^[2]

• p(5 n + 4) ≡ 0 (mod 5)
• p(7n + 5) ≡ 0 (mod 7)
• p(11n + 6) ≡ 0 (mod 11)

Ushbu natijaga izoh berishda Dyson "... ammo biz 5-qismning bo'linishini isbotlashimiz mumkin" deb ta'kidladin + 4 ni beshta teng miqdordagi kichik sinflarga bo'lish mumkin, dalillardan qanday qilib bo'linish haqida aniq tasavvurga ega bo'lish qoniqarsizdir. Biz ishlab chiqaruvchi funktsiyalarga murojaat qilmaydigan dalilni talab qilamiz,. . . ".^[1] Disson o'zi oldiga qo'ygan vazifani bajarish uchun bo'lim darajasi haqidagi g'oyani taqdim etdi. Ushbu yangi g'oyadan foydalanib, u quyidagi taxminlarni ilgari surdi:

• N(0, 5, 5n + 4) = N(1, 5, 5n + 4) = N(2, 5, 5n + 4) = N(3, 5, 5n + 4) = N(4, 5, 5n + 4)
• N(0, 7, 7n + 5) = N(1, 7, 7n + 5) = N(2, 7, 7n + 5) = . . . = N(6, 7, 7n + 5)

Ushbu taxminlar Atkin va Svinnerton-Dyer tomonidan 1954 yilda isbotlangan.^[3]

Quyidagi jadvallarda 4 (5 ×) butun sonlarning bo'linmalari qanday ko'rsatilgann + 4 bilan n = 0) va 9 (5 ×n + 4 bilan n = 1) beshta teng sonli kichik sinflarga bo'ling.

Funktsiyalarni yaratish

• Ning yaratuvchi funktsiyasi p(n) Eyler tomonidan kashf etilgan va barchaga ma'lum.^[4]

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} p (n) x ^ {n} = prod _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {(1-x) ^ {k})}}}$

• Uchun ishlab chiqaruvchi funktsiya N(m, n) quyida keltirilgan:^[5]

${ displaystyle sum _ {m = - infty} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} N (m, n) z ^ {m} q ^ {n} = 1 + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {q ^ {n ^ {2}}} { prod _ {k = 1} ^ {n} (1-zq ^ {k}) ( 1-z ^ {- 1} q ^ {k})}}}$

• Uchun ishlab chiqaruvchi funktsiya Q ( n ) quyida keltirilgan:^[6]

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} Q (n) x ^ {n} = prod _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(1-x) ^ {2k-1})}}}$

• Uchun ishlab chiqaruvchi funktsiya Q ( m , n ) quyida keltirilgan:^[6]

${ displaystyle sum _ {m, n = 0} ^ { infty} Q (m, n) z ^ {m} q ^ {n} = 1 + sum _ {s = 1} ^ { infty} { frac {q ^ {s (s + 1) / 2}} {(1-zq) (1-zq ^ {2}) cdots (1-zq ^ {s})}}}$

Muqobil ta'rif

Kombinatorikada bu ibora bo'limning darajasi ba'zan boshqa kontseptsiyani tavsiflash uchun ishlatiladi: bo'limning darajasi λ eng katta butun sondir men shunday qilib, λ kamida bor men ularning har biri kichik bo'lmagan qismlar men.^[7] Bunga teng ravishda, bu asosiy diagonalning uzunligi Yosh diagramma yoki Ferrers diagrammasi λ uchun, yoki tomonning uzunligi Durfee maydoni λ.

5-qismning darajalari jadvali quyida keltirilgan.

Qo'shimcha o'qish

• Reyting bo'limi funktsiyasi uchun asimptotik formulalar:^[8]
• Daraja funktsiyasi uchun kelishuvlar:^[9]
• Darajani BG darajasiga umumlashtirish:^[10]

Shuningdek qarang

• Bo'limning krankasi

Adabiyotlar