Diffeomorfizm guruhlarining vakillik nazariyasi - Representation theory of diffeomorphism groups

Yilda matematika, uchun manba vakillik nazariyasi ning guruh ning diffeomorfizmlar a silliq manifold M bu dastlabki kuzatuvdir (uchun M bog'langan) ushbu guruh vaqtinchalik harakat qiladi M.

Tarix

Mavzuning 1975 yildagi tadqiqot qog'ozi Anatoliy Vershik, Isroil Gelfand va M. I. Graev mavzuga bo'lgan dastlabki qiziqishni tadqiq qilish uchun bog'laydi nazariy fizika ning mahalliy joriy algebra, oldingi yillarda. Bo'yicha tadqiqotlar cheklangan konfiguratsiya vakolatxonalari hujjatlarida bo'lgan R. S. Ismagilov (1971) va A. A. Kirillov (1974). Fizikaga qiziqish namoyishlari a sifatida tavsiflanadi o'zaro faoliyat mahsulot C^∞(M) · Farq (M).

Qurilishlar

Shuning uchun ruxsat bering M bo'lishi a n- o'lchovli ulangan farqlanadigan manifold va x har qanday nuqta bo'lishi. Faraz qilaylik (M) yo'nalishni saqlovchi bo'lish diffeomorfizm guruhi ning M (faqat hisobga olish komponenti xaritalar homotopik Agar xohlasangiz identifikatsiya diffeomorfizmiga) va Diff_x¹(M) stabilizator ning x. Keyin, M sifatida aniqlanadi bir hil bo'shliq

Farq (M) / Farq_x¹(M).

Buning o'rniga algebraik nuqtai nazardan, ${ displaystyle C ^ { infty} (M)}$ bo'ladi algebra ning silliq funktsiyalar ustida M va ${ displaystyle I_ {x} (M)}$ bo'ladi ideal yo'qolgan silliq funktsiyalar x. Ruxsat bering ${ displaystyle I_ {x} ^ {n} (M)}$ n-1gacha g'oyib bo'ladigan silliq funktsiyalarning idealidir qisman lotin da x. ${ displaystyle I_ {x} ^ {n} (M)}$ Diff guruhi ostida o'zgarmasdir_x¹(M) x-ni o'rnatadigan diffeomorfizmlarning. Uchun n > 0 guruh Diff_xⁿ(M) deb belgilanadi kichik guruh Diff_x¹(M) identifikator vazifasini bajaradi ${ displaystyle I_ {x} (M) / I_ {x} ^ {n} (M)}$ . Shunday qilib, bizda zanjir bor

Farq (M) ⊃ farq qiladi_x¹(M) ⊃ ... ⊃ Farq_xⁿ(M) ⊃ ...

Mana farq_xⁿ(M) a oddiy kichik guruh Diff_x¹(M), ya'ni biz qarashimiz mumkinligini anglatadi kvant guruhi

Farq_x¹(M) / Farq_xⁿ(M).

Foydalanish harmonik tahlil, diffeomorfizm guruhidagi haqiqiy yoki murakkab qiymatli funktsiya (etarlicha yaxshi topologik xususiyatlarga ega) bo'lishi mumkin. buzilgan farq qiladi_x¹(M) vakolatlarni qadrlaydigan funktsiyalar tugadi M.

Vakillarni etkazib berish

Xo'sh, Diff qanday vakolatxonalar mavjud_x¹(M)? Agar bizda bo'lsa, haqiqatdan foydalanaylik guruh homomorfizmi φ:G → H, agar bizda a H- vakillik, biz cheklangan narsalarni olishimiz mumkin G- vakillik. Shunday qilib, agar bizda vakil bo'lsa

Farq_x¹(M) / Farq_xⁿ(M),

biz Diffning vakilini olishimiz mumkin_x¹(M).

Keling, ko'rib chiqamiz

Farq_x¹(M) / Farq_x²(M)

birinchi. Bu izomorfik uchun umumiy chiziqli guruh GL⁺(n, R) (va biz faqat diffeomorfizmlarni saqlab qolish yo'nalishini ko'rib chiqamiz va shuning uchun determinant ijobiy). GL vakili qanday?⁺(n, R)?

{ displaystyle GL ^ {+} (n, mathbb {R}) cong mathbb {R} ^ {+} marta SL (n, mathbb {R})}

.

Biz SL vakillarini bilamiz (n, R) sodda tensorlar ustida n o'lchamlari. Qanday qilib R⁺ qismmi? Bu mos keladi zichlik, yoki boshqacha qilib aytganda, tensor tagida qanday qilib qayta tiklanadi aniqlovchi ning Jacobian at diffeomorfizmning x. (Buni shunday deb o'ylang konformal vazn agar xohlasangiz, faqat bu erda konformali tuzilish yo'q). (Aytgancha, bizda murakkab zichlikka ega bo'lishga hech narsa to'sqinlik qilmaydi).

Shunday qilib, biz diffeomorfizm guruhining tenzor (zichlik bilan) vakillarini kashf qildik.

Keling, ko'rib chiqamiz

Farq_x¹(M) / Farq_xⁿ(M).

Bu cheklangan o'lchovli guruh. Bizda zanjir bor

Farq_x¹(M) / Farq_x¹(M) ⊂ ... ⊂ Farq_x¹(M) / Farq_xⁿ(M) ⊂ ...

Bu erda "⊂" belgilarini in'ektsion homomorfizm ma'nosida o'qish kerak, ammo bu kanonik bo'lganligi sababli, biz ushbu guruhlar bir-birining ichiga joylashtirilgan deb taxmin qilishimiz mumkin.

Har qanday vakil

Farq_x¹(M) / Farq_x^m(M)

avtomatik ravishda vakili sifatida aylantirilishi mumkin

Farq_x¹/ Farq_xⁿ(M)

agar n > m. Aytaylik, bizda vakili bor

Farq_x¹/ Farq_x^{p + 2}

bu takrorlashdan kelib chiqmaydi

Farq_x¹/ Farq_x^{p + 1}.

Keyin, biz qo'ng'iroq qilamiz tola to'plami bu kabi vakili bilan tola (ya'ni farq_x¹/ Farq_x^{p + 2} bo'ladi tuzilish guruhi ) a jet to'plami tartib p.

Yon izoh: Bu, albatta, usuli kelib chiqadigan vakolatxonalar kichik guruh bilan Diff_x¹(M) va katta guruh Diff (M).

Bir-biriga bog'langan tuzilish

Umuman olganda, tensor va reaktiv to'plamlarning bo'limlari maydoni qisqartirilmaydigan tasavvurga ega bo'lar edi va biz ko'pincha ularning pastki vakilligini ko'rib chiqamiz. Bizni o'rganish orqali ushbu vakillarning tuzilishini o'rganishimiz mumkin intertwiners ular orasida.

Agar tola Difning qisqartirilmagan vakili bo'lmasa_x¹(M), keyin har bir tolani kichikroq qilib xaritalaydigan nolga teng bo'lmagan intertwinerga ega bo'lishimiz mumkin vakolatxona. Shuningdek, tashqi hosila kosmosdan aralashgan differentsial shakllar yuqori darajadagi boshqasiga. (Boshqa hosilalar emas, chunki ulanishlar diffeomorfizmlar ostida o'zgarmas emas, ammo ular mavjud kovariant.) qisman lotin diffeomorfizm o'zgarmas emas. Buyurtmaning reaktiv to'plamining bo'limlarini oladigan lotin intertwiner mavjud p buyurtma jeti to'plamining bo'limlariga p + 1.