Umumiy nisbiylikning nazariy motivatsiyasi - Theoretical motivation for general relativity

A umumiy nisbiylik uchun nazariy motivatsiyauchun motivatsiya, shu jumladan geodezik tenglama va Eynshteyn maydon tenglamasi, dan olish mumkin maxsus nisbiylik tekshirib dinamikasi zarralar dairesel orbitalar er haqida. Dairesel orbitalarni tekshirishda asosiy afzallik shundaki, Eynshteyn maydon tenglamasining echimini bilish mumkin apriori. Bu rasmiyatchilikni xabardor qilish va tekshirish vositasini beradi.

Umumiy nisbiylik ikkita savolga javob beradi:

1. Qanday qilib egrilik ning bo'sh vaqt ning harakatiga ta'sir qiladi materiya ?
2. Moddaning mavjudligi bo'shliqning egriligiga qanday ta'sir qiladi?

Oldingi savolga. Bilan javob berilgan geodezik tenglama. Ikkinchi savolga. Bilan javob beriladi Eynshteyn maydon tenglamasi. Geodezik tenglama va maydon tenglamasi a orqali bog'liq eng kam harakat tamoyili. Geodezik tenglama uchun motivatsiya bo'limda keltirilgan Dairesel orbitalar uchun geodezik tenglama Eynshteyn maydon tenglamasining motivatsiyasi bo'limda keltirilgan Stress - energiya tensori

Haqida maqolalar turkumining bir qismi
Umumiy nisbiylik
${displaystyle G_ {mu u} + Lambda g_ {mu u} = {frac {8pi G} {c ^ {4}}} T_ {mu u}}$
Kirish Tarix Matematik shakllantirish Sinovlar
Asosiy tushunchalar Nisbiylik printsipi Nisbiylik nazariyasi Malumot doirasi Inersial mos yozuvlar tizimi Dam olish ramkasi Impuls markazining ramkasi Yengil konus Ekvivalentlik printsipi Massa-energiya ekvivalenti Maxsus nisbiylik Ikki marta maxsus nisbiylik de Sitter o'zgarmas maxsus nisbiylik Shkalaning nisbiyligi Jahon chizig'i To'g'ri vaqt Riemann geometriyasi Energiya holati
Hodisalar Gravitoelektromagnetizm Kepler muammosi Gravitatsiya Gravitatsion maydon Gravitatsiya yaxshi Gravitatsion linzalar Gravitatsion to'lqinlar Gravitatsiyaviy qizil siljish Redshift Moviy siljish Vaqtni kengaytirish Gravitatsiyaviy vaqtning kengayishi Shapiro vaqtining kechikishi Gravitatsion potentsial Gravitatsiyaviy siqilish Gravitatsion qulash Kadrlarni tortish Geodezik ta'sir Aftidan ufq Voqealar ufqi Gravitatsiyaviy o'ziga xoslik Yalang'och o'ziga xoslik Qora tuynuk Oq teshik Bo'sh vaqt Bo'shliq Vaqt Bo'sh vaqt diagrammasi Minkovskiyning bo'sh vaqti Vaqtga o'xshash egri chiziq (CTC) Qurt teshigi Ellis qurti teshigi
Tenglamalar Rasmiylik Tenglamalar Lineer tortishish kuchi Eynshteyn maydon tenglamalari Fridman Geodeziya Matisson-Papapetrou-Dikson Xemilton-Jakobi-Eynshteyn Egrilik o'zgarmas (umumiy nisbiylik) Lorentsiya kollektori Rasmiylik ADM BSSN Nyuman - Penrose Post-Nyuton Ilg'or nazariya Kaluza-Klein nazariyasi Kvant tortishish kuchi Supergravitatsiya
Yechimlar Shvartschild (ichki makon ) Reissner-Nordström Gödel Kerr Kerr-Nyuman Kasner Lemetre-Tolman Taub-NUT Milne Robertson-Uoker pp-to'lqin van Stockum chang Veyl-Lyuis-Papapetrou Vakuumli eritma
Teoremalar Birxof teoremasi Geroxning bo'linish teoremasi Goldberg – Saks teoremasi Lovelok teoremasi Sochsiz teorema Penrose-Hawking singularlik teoremalari Ijobiy energiya teoremasi
Olimlar Eynshteyn Lorents Xilbert Puankare Shvartschild de Sitter Reissner Nordström Veyl Eddington Fridman Milne Tsviki Lemetre Gödel Wheeler Robertson Bardin Walker Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Xoking Raychaudxuri Teylor Xulz van Stokum Taub Nyuman Yau Torn boshqalar

Dairesel orbitalar uchun geodezik tenglama

Dumaloq orbitalarning kinetikasi

Ikkita fazoviy o'lchamlarda X va Y (orbitaning tekisligi) va vaqt vertikalida tasvirlangan, Yer atrofida joylashgan aylana orbitasining dunyo chizig'i, odatda vertikal o'qi sifatida joylashtirilgan. E'tibor bering, Yer atrofidagi orbit kosmosdagi aylana, ammo uning dunyo chizig'i kosmik vaqtdagi spiraldir.

Aniqlik uchun dairesel yer orbitasini (spiral) ko'rib chiqing dunyo chizig'i ) zarrachaning Zarra v tezlik bilan harakat qiladi. Erdagi kuzatuvchi uzunlik zarrachaning ramkasida qisqarganligini ko'radi. Zarralar bilan harakatlanadigan o'lchov tayoqchasi er kuzatuvchisiga qisqaroq ko'rinadi. Shuning uchun harakat yo'nalishidagi orbitaning atrofi nisbatan uzunroq ko'rinadi ${displaystyle pi}$ orbitaning diametridan kattaroq.^[1]

Yilda maxsus nisbiylik ichida zarrachaning 4-to'g'ri tezligi harakatsiz (tezlashmaydigan) erning ramkasi

${displaystyle u = chap (gamma, gamma {mathbf {v} c} kundan ortiq)}$

bu erda c yorug'lik tezligi, ${displaystyle mathbf {v}}$ bu 3 tezlik va ${displaystyle gamma}$ bu

${displaystyle gamma = {1 over {sqrt {1 - {{mathbf {v} cdot mathbf {v}} over c ^ {2}}}}}}$.

4 tezlik vektorining kattaligi doimo o'zgarmas bo'ladi

${displaystyle u_ {alfa} u ^ {alfa} = - 1}$

qaerdan foydalanmoqdamiz Minkovskiy metrikasi

${displaystyle eta ^ {mu u} = eta _ {mu u} = {egin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1end {pmatrix}}}$.

Shuning uchun 4 tezlik tezligi kattaligi a Lorents skalar.

Yerdagi 4 tezlanish (tezlanmaydigan) ramka

${displaystyle aequiv {{du} over {d au}} = {d over {d au}} {left (gamma, gamma {mathbf {v} over c} ight)} = {left (0, gamma ^ {2}) {mathbf {a} ustidan c ^ {2}} ight)} = {left (0, -gamma ^ {2} {{mathbf {v} cdot mathbf {v}} over c ^ {2}} {{mathbf { r}} ustidan r ^ {2}} ight)}}$

qayerda ${displaystyle d au}$ zarrachaning ramkasida o'lchangan tegishli vaqt oralig'idan c marta ko'pdir. Bu Yer ramkasidagi vaqt oralig'i bilan bog'liq

${displaystyle cdt = gamma d au}$.

Bu erda dumaloq orbitada 3 tezlanish bo'ladi

${displaystyle mathbf {a} = -omega ^ {2} mathbf {r} = - {mathbf {v} cdot mathbf {v}} {{mathbf {r}} ustidan r ^ {2}}}$

qayerda ${displaystyle omega}$ aylanayotgan zarrachaning burchak tezligi va ${displaystyle mathbf {r}}$ zarrachaning 3 pozitsiyasidir.

4 tezlik tezligi kattaligi doimiydir. Bu shuni anglatadiki, 4 tezlanish 4 tezlikka perpendikulyar bo'lishi kerak. Shuning uchun 4 tezlanish va 4 tezlikning ichki hosilasi har doim nolga teng. Ichki mahsulot a Lorents skalar.

Fazo vaqtining egriligi: Geodezik tenglama

Tezlashish uchun tenglama umumlashtirilishi mumkin, natijada geodezik tenglama

${displaystyle {{du ^ {mu}} ustidan {d au}} - a ^ {mu} = 0}$

${displaystyle {{du ^ {mu}} over {d au}} + {R ^ {mu}} _ {alfa u eta} u ^ {alfa} x ^ {u} u ^ {eta} = 0}$

qayerda ${displaystyle x ^ {mu}}$ zarrachaning 4 pozitsiyasidir va ${displaystyle {R ^ {mu}} _ {alfa u eta}}$ bo'ladi egrilik tomonidan berilgan tensor

${displaystyle {R ^ {mu}} _ {alfa u eta} = {1 ustidan r ^ {2}} eta _ {alfa eta} {delta ^ {mu}} _ {u}}$

qayerda ${displaystyle {delta ^ {mu}} _ {u}}$ bo'ladi Kronecker delta funktsiyasi va bizda cheklovlar mavjud

${displaystyle u_ {alfa} u ^ {alfa} = - 1}$

va

${displaystyle a_ {alfa} u ^ {alfa} = 0}$.

Dumaloq orbitalar geodezik tenglamani qondirishi osonlik bilan tasdiqlanadi. Geodezik tenglama aslida umumiyroq. Dairesel orbitalar - bu tenglamaning muayyan echimi. Dairesel orbitalardan tashqari echimlar joiz va amal qiladi.

Ricci egriligi tensori va izi

The Ricci egriligi tensor - qisqarish bilan berilgan maxsus egrilik tenzori

${displaystyle R_ {alfa eta} equiv {R ^ {u}} _ {alfa u eta}}$.

Ricci tensorining izi, deb nomlangan skalar egriligi, bo'ladi

${displaystyle Requiv {R ^ {alfa}} _ {alfa}}$.

Mahalliy koordinatalar tizimidagi geodezik tenglama

Xuddi shu radiusda aylana orbitalari.

Hozir yaqin atrofda ikkita zarracha bo'lgan vaziyatni ko'rib chiqing dumaloq qutbli radiusi bo'yicha Yerning orbitalari ${displaystyle r}$ va tezlik ${displaystyle v}$.

Zarralar bajariladi oddiy garmonik harakat er haqida va bir-biriga nisbatan. Ular ekvatordan o'tayotganda bir-birlaridan maksimal masofada joylashgan. Ularning traektoriyalar qutblarda kesib o'tadi.

Bizda zarrachalardan biri bilan birgalikda harakatlanadigan kosmik kemamiz borligini tasavvur qiling. Hunarmandning tomi, ${displaystyle {o'tkir {mathbf {z}}}}$ yo'nalishi, bilan mos keladi ${displaystyle mathbf {r}}$ yo'nalish. Hunarmandning old qismi ${displaystyle {sharp {mathbf {x}}}}$ yo'nalishi va ${displaystyle {sharp {mathbf {y}}}}$ yo'nalish hunarmandning chap tomonida joylashgan. Kosmik kema orbitaning kattaligi bilan taqqoslaganda kichik, shunda mahalliy ramka mahalliy Lorents ramkasi bo'ladi. Ikki zarrachaning 4-ajralishi quyidagicha berilgan ${displaystyle {o'tkir {x}} ^ {mu}}$. Kosmik kemaning mahalliy doirasida geodezik tenglama quyidagicha berilgan

${displaystyle {{d ^ {2} {o'tkir {x}} ^ {mu}} ustidan {d au ^ {2}}} + {o'tkir {{R} ^ {mu}}} _ {alfa u eta} { o'tkir {u}} ^ {alfa} {o'tkir {x}} ^ {u} {o'tkir {u}} ^ {eta} = 0}$

qayerda

${displaystyle {o'tkir {u}} ^ {mu} = {{d {o'tkir {x}} ^ {mu}} ustidan {d au}}}$

va

${displaystyle {o'tkir {{R} ^ {mu}}} _ {alfa u eta}}$

mahalliy doiradagi egrilik tensori.

Kovariant hosilasi sifatida geodezik tenglama

Yassi bo'shliqda va kuchlar bo'lmaganda zarracha uchun harakat tenglamasi

${displaystyle {{d {u} ^ {mu}} ustidan {d au}} = 0}$.

Agar biz zarrachani egri vaqt oralig'ida geodeziya bo'ylab harakatlanishini talab qilsak, u holda egri bo'shliqdagi o'xshash ibora

${displaystyle {{D {o'tkir {u}} ^ {mu}} ustidan {D au}} = {{d {o'tkir {u}} ^ {mu}} ustidan {d au}} + {Gamma ^ {mu} } _ {alfa eta} {o'tkir {u}} ^ {alfa} {o'tkir {u}} ^ {eta} = 0}$

Bu erda chapdagi lotin kovariant hosilasi, bu normal hosilani egri vaqt oralig'ida hosilaga umumlashtirishdir. Bu yerda

${displaystyle {Gamma ^ {mu}} _ {alfa eta}}$

a Christoffel belgisi.

Egrilik Christoffel belgisi bilan bog'liq

${displaystyle {o'tkir {{R} ^ {mu}}} _ {alfa u eta} = {{qisman {{Gamma} ^ {mu}}} _ {alfa eta} ustidan {qisman x ^ {u}}} - {{qisman {{Gamma} ^ {mu}}} _ {alfa u} ustidan {qisman x ^ {eta}}} + {{Gamma} ^ {mu}} _ {gamma u} {{Gamma} ^ {gamma }} _ {alfa eta} - {{Gamma} ^ {mu}} _ {gamma eta} {{Gamma} ^ {gamma}} _ {alfa u}}$.

Mahalliy doiradagi metrik tensor

Mahalliy doiradagi interval quyidagicha

${displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -c ^ {2} dt ^ {2} equiv g_ {mu u} d {o'tkir {x}} ^ {mu} d {o'tkir {x}} ^ {u}}$

${displaystyle = d {o'tkir {x}} ^ {2} + d {o'tkir {y}} ^ {2} + d {o'tkir {z}} ^ {2} -c ^ {2} d {o'tkir {t} } ^ {2} + 2gamma cos (heta) cos (phi), v, d {o'tkir {t}}, d {o'tkir {x}} + 2gamma cos (heta) sin (phi) v, d {o'tkir {t }}, d {o'tkir {y}} - 2gamma sin (heta) v, d {o'tkir {t}}, d {o'tkir {z}}}$

qayerda

${displaystyle heta}$ bilan burchak ${displaystyle z}$ o'qi (uzunlik) va

${displaystyle phi}$ bilan burchak ${displaystyle x}$ o'qi (kenglik).

Bu beradi metrik ning

${displaystyle g_ {mu u} = {egin {pmatrix} -1 & gamma cos (heta) cos (phi) {frac {v} {c}} & gamma cos (heta) sin (phi) {frac {v} {c}} & -gamma sin (heta) {frac {v} {c}} gamma cos (heta) cos (phi) {frac {v} {c}} & 1 & 0 & 0 gamma cos (heta) sin (phi) {frac {v } {c}} & 0 & 1 & 0 -gamma sin (heta) {frac {v} {c}} & 0 & 0 & 1end {pmatrix}}}$

mahalliy doirada.

Metrik tensorning teskari tomoni ${displaystyle g ^ {mu u}}$ shunday aniqlanganki

${displaystyle g_ {mu alfa} g ^ {alfa u} = delta _ {mu} ^ {u}}$

bu erda o'ngdagi atama Kronekker deltasi.

Cheksiz kichik 4 jildning o'zgarishi ${displaystyle dOmega}$ bu

${displaystyle d {o'tkir {Omega}} = {sqrt {-g}} d {Omega}}$

bu erda g - metrik tenzorning determinanti.

Metrik tensorning determinantining differentsiali

${displaystyle dg = gg ^ {mu u} dg_ {mu u} = - gg_ {mu u} dg ^ {mu u}}$.

Kristofel ramzlari va metrik tensor o'rtasidagi bog'liqlik

${displaystyle {{Gamma} ^ {alfa}} _ {mu u} = g ^ {alfa eta} {Gamma} _ {eta mu u}}$

${displaystyle {Gamma} _ {eta mu u} = {frac {1} {2}} chapda ({{qisman {g}} _ {eta u} {qisman x ^ {mu}}} + {{qisman {ustidan) g}} _ {eta mu} ustidan {qisman x ^ {u}}} - {{qisman {g}} _ {mu u} ustidan {qisman x ^ {eta}}} ight)}$.

Umumiy nisbiylikdagi eng kam harakat tamoyili

Eng kam harakat tamoyili shuni ta'kidlaydi dunyo chizig'i kosmosdagi ikki voqea orasidagi bu ikki voqea orasidagi harakatni minimallashtiradigan dunyo chizig'i. Yilda klassik mexanika olish uchun eng kam harakat tamoyilidan foydalaniladi Nyuton harakat qonunlari va uchun asosdir Lagranj dinamikasi. Nisbiylikda u quyidagicha ifodalanadi

${displaystyle S = int _ {1} ^ {2} {mathcal {L}}, dOmega}$

1 va 2-hodisalar orasida bu minimal. Bu erda S a skalar va

${displaystyle {mathcal {L}}}$

nomi bilan tanilgan Lagranj zichligi. Lagranj zichligi ikki qismga bo'linadi, bu aylanayotgan zarracha uchun zichlik ${displaystyle {mathcal {L}} _ {p}}$ va zichlik ${displaystyle {mathcal {L}} _ {e}}$ boshqa barcha zarralar, shu jumladan erni tashkil etuvchi tortishish maydonining,

${displaystyle {mathcal {L}} = {mathcal {L}} _ {p} + {mathcal {L}} _ {e}}$.

Egri chiziqda bo'sh vaqt, "eng qisqa" dunyo chizig'i shu geodezik bu geodeziya bo'ylab egrilikni minimallashtiradi. Keyin harakat dunyo chizig'ining egriligiga mutanosibdir. S skalar bo'lgani uchun skalar egriligi egrilikning tegishli o'lchovidir. Shuning uchun zarracha uchun harakat

${displaystyle S_ {p} = Sint _ {1} ^ {2} {o'tkir {R}}, d {o'tkir {Omega}} = Sint _ {1} ^ {2} {o'tkir {R}} {sqrt {- g}}, d {Omega} = Sint _ {1} ^ {2} g ^ {alfa eta} {o'tkir {R}} _ {alfa eta} {sqrt {-g}}, d {Omega}}$

qayerda ${displaystyle C}$ noma'lum doimiy. Ushbu doimiylik nazariyadan relyativiv bo'lmagan chegarada Nyutonning tortishish qonuniga kelishini talab qilish orqali aniqlanadi.

Shuning uchun zarracha uchun Lagranj zichligi

${displaystyle {mathcal {L}} _ {p} = Cg ^ {alfa eta} {хурц {R}} _ {alfa eta} {sqrt {-g}}}$.

Zarrachalar va er uchun harakat

${displaystyle S = int _ {1} ^ {2} Cg ^ {alfa eta} {хурц {R}} _ {alfa eta} {sqrt {-g}}, dOmega + int _ {1} ^ {2} { matematik {L}} _ {e}, dOmega}$.

R radiusli sfera yuzasida yotadigan dunyo chizig'ini metrik tensorini o'zgartirib topamiz. Chegaralarda yo'qolib ketadigan atamalarni minimallashtirish va e'tiborsiz qoldirish, shu jumladan g hosilasida ikkinchi darajali atamalar

${displaystyle 0 = delta S = int _ {1} ^ {2} Cleft ({o'tkir {R}} _ {alfa eta} - {1 over 2} {хурц {R}} g ^ {alfa eta} ight) delta g ^ {alfa eta} {sqrt {-g}}, dOmega -int _ {1} ^ {2} {o'tkir {T}} _ {alfa eta} delta g ^ {alfa eta} {sqrt {-g}} , dOmega}$

qayerda^[2]

${displaystyle {хурц {T}} _ {alfa eta} = {1 dan ortiq {sqrt {-g}}} chap ({d ustidan {dx ^ {u}}} {{qisman {mathcal {L}} _ {e }} ustidan {qisman chap ({{dg ^ {alfa eta}} dan {dx ^ {u}}} gacha)}} - {{qisman {mathcal {L}} _ {e}} ustidan {qisman g ^ { alfa eta}}} kam))}$

bo'ladi Hilbert stress-energiya tensori er hosil qilgan maydonning.

Stress-energiya va egrilik o'rtasidagi noma'lum doimiy omilga bog'liqlik

${displaystyle {o'tkir {T}} _ {alfa eta} = Kleft ({o'tkir {R}} _ {alfa eta} - {1 dan 2} gacha {o'tkir {R}}, g_ {alfa eta} ight)}$.

Stress - energiya tensori

Nyutonning tortishish qonuni

Diagramma 1. Bo'shliq vaqtining ko'rinishini o'zgartirish dunyo chizig'i tez sur'atlarda kuzatuvchi. Ushbu animatsiyada chiziq chizig'i bo'sh vaqt traektoriyasidir ("dunyo chizig'i ") zarrachalar. To'plar. ning ma'lum oralig'ida joylashtirilgan to'g'ri vaqt dunyo chizig'i bo'ylab. Qattiq diagonali chiziqlar engil konuslar kuzatuvchining hozirgi hodisasi uchun va shu hodisada kesishadi. Kichik nuqta - bu bo'shliqdagi boshqa o'zboshimchalik hodisalari. Kuzatuvchining hozirgi bir lahzali inersial moslamasi uchun vertikal yo'nalish vaqtni va gorizontal yo'nalish masofani bildiradi. Dunyo chizig'ining qiyaligi (vertikal bo'lishdan og'ish) - bu zarrachaning dunyo chizig'ining ushbu qismidagi tezligi. Shunday qilib, dunyo chizig'idagi burilishda zarracha tezlashadi. Kuzatuvchi tezlashganda, bir lahzali inertial mos yozuvlar tizimini o'zgartirib, bo'shliq vaqtining ko'rinishi qanday o'zgarganiga e'tibor bering. Ushbu o'zgarishlar Lorents o'zgarishi bilan boshqariladi. Shuni ham e'tiborga oling: * dunyo chizig'idagi to'plar kelajakdagi / keyingi tezlashuvlardan oldin / keyin / keyinroq kengayish tufayli ko'proq bo'shashgan. * tezlashishdan oldin bir vaqtning o'zida sodir bo'lgan voqealar keyinchalik turli vaqtlarda bo'ladi (sababli bir vaqtning o'zida nisbiylik ), * hodisalar vaqt kontseptsiyasi tufayli yorug'lik konusning chiziqlari orqali o'tadi, lekin tezlashishlar natijasida kelib chiqadigan qarashlarning o'zgarishi tufayli emas va * dunyo chizig'i doimo hozirgi hodisaning kelajak va o'tgan nurli konuslari ichida qoladi.

Nyutonning tortishish qonuni nisbiy bo'lmagan mexanikada massa ob'ekti bo'yicha tezlanish deyiladi ${displaystyle m}$ massaning boshqa ob'ekti tufayli ${displaystyle M}$ ga teng

${displaystyle mathbf {f} = {d ^ {2} mathbf {r} over d au ^ {2}} = - {GM over {c ^ {2} r ^ {3}}} mathbf {r}}$

qayerda ${displaystyle G}$ bo'ladi tortishish doimiysi, ${displaystyle mathbf {r}}$ massadan vektor ${displaystyle M}$ massaga ${displaystyle m}$ va ${displaystyle r}$ bu vektorning kattaligi. Vaqt t bilan o'lchanadi yorug'lik tezligi v

${displaystyle au equiv ct}$.

Tezlashtirish ${displaystyle mathbf {f}}$ dan mustaqildir ${displaystyle m}$.

Aniqlik uchun. massa zarrasini ko'rib chiqing ${displaystyle m}$ massa bilan erning tortishish maydonida aylanish ${displaystyle M}$. Gravitatsiya qonuni yozilishi mumkin

${displaystyle mathbf {f} = - {4pi G {3c ^ {2}}} dan yuqori (r) mathbf {r}}$

qayerda ${displaystyle ho (r)}$ a ichidagi o'rtacha massa zichligi soha radiusning ${displaystyle r}$.

Stress - energiya tensorining 00 komponenti bo'yicha tortishish kuchi

Nyuton qonuni yozilishi mumkin

${displaystyle mathbf {f} = - {4pi G dan {3c ^ {4}}} gacha ({Mc ^ {2} dan V} ightgacha) mathbf {r}}$.

qayerda ${displaystyle V}$ bo'ladi hajmi radius sferasining ${displaystyle r}$. Miqdor ${displaystyle Mc ^ {2}}$ dan tan olinadi maxsus nisbiylik katta jismning qolgan energiyasi sifatida, er. Bu erni tashkil etuvchi barcha zarralarning tinchlanish energiyasining yig'indisi. Qavs ichidagi miqdor radiusli sharning o'rtacha tinchlik energiyasining zichligi ${displaystyle r}$ er haqida. Gravitatsiyaviy maydon radiusi r bo'lgan o'rtacha energiya zichligiga mutanosib. Bu 00 ning tarkibiy qismi stress-energiya tensori yilda nisbiylik chunki barcha energiya dam olish energiyasidir. Umuman olganda

${displaystyle T_ {00} = - {T ^ {0}} _ {0} = sum _ {i = 1} ^ {N} chap ({gamma _ {i} m_ {i} c ^ {2} V dan yuqori } yaxshi)}$

qayerda

${displaystyle gamma _ {i} equiv {1 over {sqrt {1 - {{mathbf {v} _ {i} cdot mathbf {v} _ {i}} over c ^ {2}}}}}}$

va ${displaystyle mathbf {v_ {i}}}$ erni tashkil etuvchi zarrachaning i tezligi ${displaystyle m_ {i}}$ zarrachaning qolgan massasida i. Erni tashkil etuvchi N zarrachalar mavjud.

Energiya zichligini relyativistik umumlashtirish

Stress - energiya tensorining tarkibiy qismlari.

Relelivistik bo'lmagan chegarada stress-energiya tensorining 00 komponentiga kamaytiradigan ikkita oddiy relyativistik mavjud.

${displaystyle u ^ {alfa} T_ {alfa eta} u ^ {eta} qorong'i T_ {00}}$

va iz

${displaystyle Tequiv {T ^ {alfa}} _ {alfa} = - u_ {alfa} u ^ {alfa} T = -u ^ {alfa} Teta _ {alfa eta} u ^ {eta} qorachiq -T_ {00} }$

qayerda ${displaystyle u ^ {alfa}}$ 4 tezlik.

Stress-energiya tensorining 00 komponenti relyativistik holatga ikki atamaning chiziqli birikmasi sifatida umumlashtirilishi mumkin

${displaystyle T_ {00} qorong'i u ^ {alfa} chap (AT_ {alfa eta} + BTeta _ {alfa eta} ight) u ^ {eta}}$

qayerda

${displaystyle A + B = 1}$

Tortish kuchi tufayli 4-tezlanish

Tortish kuchi ta'sirida 4-tezlanish yozilishi mumkin

${displaystyle f ^ {mu} = - 8pi {G dan {3c ^ {4}}} gacha chap ({A dan ortiq 2} T_ {alfa eta} + {B dan 2} gacha Teta _ {alfa eta} ight) delta _ { u} ^ {mu} u ^ {alfa} x ^ {u} u ^ {eta}}$.

Afsuski, bu tezlashtirish nolga teng emas ${displaystyle mu = 0}$ aylanma orbitalar uchun talab qilinganidek. 4 tezlik tezligi kattaligi doimiy bo'lganligi sababli, bu tezlanishga faqat 4 tezlikka perpendikulyar bo'lgan kuchning tarkibiy qismi yordam beradi. Shuning uchun biz 4 tezlikga parallel ravishda kuchning tarkibiy qismini chiqarib tashlashimiz kerak. Bu sifatida tanilgan Fermi - Walker transporti.^[3] Boshqa so'zlar bilan aytganda,

${displaystyle f ^ {mu} karavot f ^ {mu} + u ^ {mu} u_ {u} f ^ {u}}$.

Bu hosil beradi

${displaystyle f ^ {mu} = - 8pi {G dan {3c ^ {4}}} gacha chap ({A dan ortiq 2} T_ {alfa eta} + + B dan 2} gacha Teta _ {alfa eta} ight) chap (delta) _ {u} ^ {mu} + u ^ {mu} u_ {u} ight) u ^ {alfa} x ^ {u} u ^ {eta}}$.

Mahalliy doiradagi kuch

${displaystyle {хурц {f}} ^ {mu} = - 8pi {G dan yuqori {3c ^ {4}}} gacha ({A dan yuqori 2} {o'tkir {T}} _ {alfa eta} + {B dan 2} gacha) {o'tkir {T}} g_ {alfa eta} ight) chap (delta _ {u} ^ {mu} + {o'tkir {u}} ^ {mu} {o'tkir {u}} _ {u} ight) {o'tkir { u}} ^ {alfa} {o'tkir {x}} ^ {u} {o'tkir {u}} ^ {eta}}$.

Eynshteyn maydon tenglamasi

Makon-vaqt buzilishining ikki o'lchovli vizualizatsiyasi. Moddaning mavjudligi bo'shliq geometriyasini o'zgartiradi, bu (egri) geometriya tortishish kuchi sifatida talqin etiladi.

Biz olamiz Eynshteyn maydon tenglamasi^[4] dairesel orbitalar uchun zarur bo'lgan tezlashtirishni tortishish kuchi tufayli tezlashuvga tenglashtirish orqali

${displaystyle a ^ {mu} = f ^ {mu}}$

${displaystyle {o'tkir {{R} ^ {mu}}} _ {alfa u eta} {o'tkir {u}} ^ {alfa} {o'tkir {x}} ^ {u} {o'tkir {u}} ^ {eta} = - {o'tkir {f}} ^ {mu}}$.

Bu bo'shliqning egriligi va stress-energiya tenzori o'rtasidagi bog'liqlik.

Ricci tensori bo'ladi

${displaystyle {sharp {R}} _ {alfa eta} = 8pi {G over {c ^ {4}}} chap ({A over 2} {хурц {T}} _ {alfa eta} + {B 2 dan yuqori) {o'tkir {T}} g_ {alfa eta} ight)}$.

Ricci tensorining izi

${displaystyle {o'tkir {R}} = {o'tkir {R}} _ {alfa} ^ {alfa} = 8pi {G dan {c ^ {4}}} gacha chap ({A 2} {o'tkir {T}} _ gacha {alfa} ^ {alfa} + {B 2} dan ortiq {o'tkir {T}} delta _ {alfa} ^ {alfa} ight) = 8pi {G dan {c ^ {4}}} gacha chap ({A dan 2} gacha) + 2Bight) {o'tkir {T}}}$.

Ricci tensorini eng kichik harakat tamoyilidan hisoblangan Ricci tensori bilan taqqoslash, Umumiy nisbiylik uchun nazariy motivatsiya # Umumiy nisbiylikdagi eng kam harakat tamoyili stress-energiya tenzorini Hilbert stress-energiyasi bilan aniqlash va A + B = 1 A, B va C dagi noaniqlikni yo'q qilishini unutmaslik.

${displaystyle A = 2}$

${displaystyle B = -1}$

va

${displaystyle C = chap (8pi {G dan {c ^ {4}}} gacha) ^ {- 1}}$.

Bu beradi

${displaystyle {sharp {R}} = - 8pi {G over {c ^ {4}}} {хурц {T}}}$.

Maydon tenglamasini yozish mumkin

${displaystyle {mathcal {G}} _ {alfa eta} = 8pi {G over {c ^ {4}}} {o'tkir {T}} _ {alfa eta}}$

qayerda

${displaystyle {mathcal {G}} _ {alfa eta} equiv {o'tkir {R}} _ {alfa eta} - {1 over 2} {хурц {R}} g_ {alfa eta}}$.

Bu stress-energiya zichligidan kelib chiqadigan bo'shliqning egriligini tavsiflovchi Eynshteyn maydon tenglamasi. Ushbu tenglama geodezik tenglama bilan bir qatorda yer atrofida aylanadigan orbitada aylanib chiqayotgan zarrachaning kinetikasi va dinamikasi bilan bog'liq. Ular umuman haqiqatdir.

Eynshteyn maydon tenglamasini echish

Eynshteyn maydon tenglamasini echish takroriy jarayonni talab qiladi. Eritma metrik tensorda ifodalanadi

${displaystyle g_ {mu u}}$.

Odatda tensor uchun dastlabki taxmin mavjud. Taxmin hisoblash uchun ishlatiladi Christoffel ramzlari, bu egrilikni hisoblash uchun ishlatiladi. Agar Eynshteyn maydon tenglamasi qondirilmasa, jarayon takrorlanadi.

Eritmalar ikki shaklda, vakuum eritmalari va vakuum bo'lmagan eritmalarda uchraydi. A vakuumli eritma stress-energiya tensori nolga teng bo'lgan narsa. Dairesel orbitalar uchun tegishli vakuumli eritma bu Shvartschild metrikasi. Bundan tashqari, bir qator bor aniq echimlar vakuum bo'lmagan eritmalar, kuchlanish tensori nolga teng bo'lmagan eritmalar.

Geodezik tenglamani echish

Geodezik tenglamalarni echish uchun Eynshteyn maydon tenglamasini yechish natijasida olingan metrik tensorni bilish kerak. Yoki Kristofel ramzlari yoki egrilik metrik tenzordan hisoblanadi. Keyinchalik geodezik tenglama tegishli bilan birlashtiriladi chegara shartlari.

Egri vaqt oralig'idagi elektrodinamika

Maksvell tenglamalari, egri vaqt oralig'idagi elektrodinamikaning tenglamalari - bu Maksvell tenglamalarini kvartirada umumlashtirish bo'sh vaqt (qarang Maxsus nisbiylikdagi Maksvell tenglamalarini shakllantirish ). Bo'sh vaqt egriligi elektrodinamikaga ta'sir qiladi. Egri vaqt oralig'idagi Maksvell tenglamalarini tekislikdagi tenglamadagi hosilalarni quyidagilar bilan almashtirish orqali olish mumkin: kovariant hosilalari. Manbadan olingan va manbasiz tenglamalar quyidagicha bo'ladi (cgs birliklari):

${displaystyle {4pi ustidan c} J ^ {b} = qisman _ {a} F ^ {ab} + {Gamma ^ {a}} _ {mu a} F ^ {mu b} + {Gamma ^ {b}} _ {mu a} F ^ {amu} equiv D_ {a} F ^ {ab} equiv {F ^ {ab}} _ {; a} ,!}$,

va

${displaystyle 0 = qisman _ {c} F_ {ab} + qisman _ {b} F_ {ca} + qisman _ {a} F_ {bc} = D_ {c} F_ {ab} + D_ {b} F_ {ca } + D_ {a} F_ {bc}}$

qayerda ${displaystyle, J ^ {a}}$ bo'ladi 4-oqim, ${displaystyle, F ^ {ab}}$ bo'ladi maydon kuchlanishi tensori, ${displaystyle, epsilon _ {abcd}}$ bo'ladi Levi-Civita belgisi va

${displaystyle {qisman ustidan {qisman x ^ {a}}} ekviv qisman _ {a} ekviv {} _ {, a} ekviv (qisman / qisman ct, abla)}$

bo'ladi 4 gradyanli. Takroriy indekslar bo'yicha yig'iladi Eynshteyn konvensiyasi. Biz natijalarni bir nechta umumiy yozuvlarda namoyish etdik.

Birinchi tensor tenglamasi bir hil bo'lmagan Maksvell tenglamalarining ifodasidir, Gauss qonuni va Maksvell tuzatishi bilan Amper qonuni. Ikkinchi tenglama bir hil tenglamalarning ifodasidir, Faradey induksiya qonuni va Magnetizm uchun Gauss qonuni.

Elektromagnit to'lqin tenglamasi tekis bo'shliqdagi tenglamadan ikki yo'l bilan o'zgartiriladi, hosila kovariant hosilasi bilan almashtiriladi va egrilikka bog'liq bo'lgan yangi atama paydo bo'ladi.

${displaystyle - {A ^ {alfa; eta}} _ {; eta} + {R ^ {alfa}} _ {eta} A ^ {eta} = {4pi c} J ^ {alfa}} ustidan$

qaerda 4 potentsial shunday aniqlanganki

${displaystyle F ^ {ab} = qisman ^ {b} A ^ {a} -partial ^ {a} A ^ {b} ,!}$.

Biz umumlashtirishni o'z zimmamizga oldik Lorenz o'lchovi egri vaqt oralig'ida

${displaystyle {A ^ {mu}} _ {; mu} = 0}$.

Shuningdek qarang

• Nyutonning umumiy nisbiylik motivlari

Adabiyotlar

• R. P. Feynman; F. B. Moringo va V. G. Vagner (1995). Feynman tortishish bo'yicha ma'ruzalar. Addison-Uesli. ISBN  0-201-62734-5.
• P. A. M. Dirac (1996). Nisbiylikning umumiy nazariyasi. Prinston universiteti matbuoti. ISBN  0-691-01146-X.