Transvers o'lchov - Transverse measure

Yilda matematika, a o'lchov a haqiqiy vektor maydoni deb aytilgan ko'ndalang agar u tayinlasa, berilgan to'plamga nolni o'lchash hammaga tarjima qilish cheklangan va belgilash paytida ushbu to'plamning ijobiy (ya'ni nolga teng bo'lmagan) o'lchov ixcham to'plam.

Ta'rif

Ruxsat bering V a bilan birga haqiqiy vektor maydoni bo'ling metrik bo'shliq u tegishli bo'lgan tuzilma a to'liq joy. A Borel o'lchovi m deb aytilgan ko'ndalang Borel bilan o'lchanadigan kichik to'plamga S ning V agar

• ixcham ichki to'plam mavjud K ning V 0 m(K) <+ ∞; va
• m(v + S) = 0 hamma uchun v ∈ V, qayerda

${ displaystyle v + S = {v + s in V | s in S }}$

ning tarjimasi S tomonidan v.

Birinchi talab, masalan, ahamiyatsiz o'lchov ko'ndalang o'lchov deb hisoblanmaydi.

Misol

Misol tariqasida oling V bo'lish Evklid samolyoti R² odatdagi Evklid normasi / metrik tuzilishi bilan. O'lchovni aniqlang m kuni R² sozlash orqali m(E) bir o'lchovli bo'lish Lebesg o'lchovi ning kesishgan joyi E birinchi koordinata o'qi bilan:

${ displaystyle mu (E) = lambda ^ {1} { big (} {x in mathbf {R} | (x, 0) in E subseteq mathbf {R} ^ {2} } { big)}.}$

Yilni to'plamga misol K ijobiy va cheklangan bilan m- o'lchov K = B₁(0), yopiq birlik to'pi ega bo'lgan kelib chiqishi haqida m(K) = 2. Endi to'plamni oling S ikkinchi koordinata o'qi bo'lish. Har qanday tarjima (v₁, v₂) + S ning S birinchi koordinata o'qini aniq bir nuqtada uchratadi, (v₁, 0). Bitta nuqta Lebesgue nolga teng bo'lgani uchun, m((v₁, v₂) + S) = 0 va shunga o'xshash m ga ko'ndalang S.

Shuningdek qarang

• Keng tarqalgan va uyatchan to'plamlar

Adabiyotlar

• Xant, Brayan R. va Zauer, Tim va York, Jeyms A. (1992). "Tarqalishi: cheksiz o'lchovli bo'shliqlarda" deyarli har bir "tarjima-o'zgarmas". Buqa. Amer. Matematika. Soc. (N.S.). 27 (2): 217–238. arXiv:matematik / 9210220. doi:10.1090 / S0273-0979-1992-00328-2.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)