Tarjima (geometriya) - Translation (geometry)

Tarjima har qanday nuqta yoki bo'shliqni ma'lum yo'nalishda bir xil miqdordagi harakatga keltiradi.

The aks ettirish qizil shaklning o'qga qarshi, so'ngra hosil bo'lgan yashil shaklning ikkinchi o'qga birinchisiga parallel ravishda aks etishi natijasida umumiy harakat paydo bo'ladi, bu qizil shaklning ko'k shaklidagi holatiga tarjimasi.

Yilda Evklid geometriyasi, a tarjima a geometrik o'zgarish figuraning yoki fazoning har bir nuqtasini ma'lum yo'nalishda bir xil masofaga siljitadigan. Tarjimani doimiyning qo'shilishi sifatida ham izohlash mumkin vektor har bir nuqtaga yoki kelib chiqishi ning koordinatalar tizimi. A Evklid fazosi, har qanday tarjima an izometriya.

Funktsiya sifatida

Agar ${ displaystyle mathbf {v}}$ deb nomlanuvchi sobit vektor tarjima vektoriva ${ displaystyle mathbf {p}}$ bu ba'zi bir ob'ektning dastlabki pozitsiyasi, keyin tarjima vazifasi ${ displaystyle T _ { mathbf {v}}}$ kabi ishlaydi ${ displaystyle T _ { mathbf {v}} ( mathbf {p}) = mathbf {p} + mathbf {v}}$ .

Agar ${ displaystyle T}$ tarjima, keyin rasm kichik to'plam ${ displaystyle A}$ ostida funktsiya ${ displaystyle T}$ bo'ladi tarjima qilish ning ${ displaystyle A}$ tomonidan ${ displaystyle T}$ . Ning tarjimasi ${ displaystyle A}$ tomonidan ${ displaystyle T _ { mathbf {v}}}$ ko'pincha yoziladi ${ displaystyle A + mathbf {v}}$ .

Gorizontal va vertikal tarjimalar

Yilda geometriya, a vertikal tarjima (shuningdek, nomi bilan tanilgan vertikal siljish) a tarjima ning vertikal o'qiga parallel yo'nalishda geometrik ob'ektning Dekart koordinatalar tizimi.^[1]^[2]^[3]

Funktsiyaning turli xil antiderivativlarining grafikalari f(x) = 3x² - 2. Hammasi bir-birining vertikal tarjimalari.

Ko'pincha vertikal tarjimalar funktsiya grafigi. Agar f ning har qanday funktsiyasix, keyin funktsiya grafigi f(x) + v (uning qiymatlari a qo'shib berilgan doimiy v ning qiymatlariga f) grafasining vertikal tarjimasi orqali olinishi mumkin f(x) masofa bo'yicha v. Shu sababli funktsiya f(x) + v ba'zan a deb nomlanadi vertikal tarjima ning f(x).^[4] Masalan, antidiviv vositalar funktsiyaning barchasi bir-biridan a bilan farq qiladi integratsiyaning doimiyligi va shuning uchun bir-birining vertikal tarjimalari.^[5]

Yilda funktsional grafika, a gorizontal tarjima a transformatsiya natijada asosiy grafani chap tomonga yoki o'ng tomonga yo'naltirishga teng bo'lgan grafik paydo bo'ladi x-aksis. Grafik tarjima qilingan k grafadagi har bir nuqtani siljitish orqali gorizontal birliklar k gorizontal ravishda

Uchun asosiy funktsiya f(x) va a doimiy k, tomonidan berilgan funktsiya g(x) = f(x − k), chizilgan bo'lishi mumkin f(x) siljigan k gorizontal ravishda

Agar funktsiya o'zgarishi haqida geometrik o'zgarishlar haqida gapirilgan bo'lsa, unda nima uchun funktsiyalar gorizontal ravishda tarjima qilinganligi aniqroq bo'lishi mumkin. Ga tarjimalarga murojaat qilganda Dekart tekisligi ushbu turdagi yozuvlarga tarjimalarni kiritish tabiiy:

${ displaystyle (x, y) rightarrow (x + a, y + b)}$

yoki

${ displaystyle T (x, y) = (x + a, y + b)}$

qayerda ${ displaystyle a}$ va ${ displaystyle b}$ gorizontal va vertikal o'zgarishlar.

Misol

Olish parabola y = x² , gorizontal tarjima o'ng tomonga 5 birlik bilan ifodalanadi T((x,y)) = (x + 5, y). Endi biz ushbu konvertatsiya yozuvini algebraik yozuv bilan bog'lashimiz kerak. Fikrni ko'rib chiqing (a.b) nuqtaga o'tadigan asl parabolada (v,d) tarjima qilingan parabolada. Bizning tarjimamizga ko'ra, v = a + 5 va d = b. Asl paraboladagi nuqta shu edi b = a². Bizning yangi fikrimizni bog'liqlik bilan tavsiflash mumkin d va v xuddi shu tenglamada. b = d va a = v - 5. Shunday qilib d = b = a² = (v − 5)² Bu bizning yangi parabolamizning barcha nuqtalari uchun to'g'ri kelganligi sababli, yangi tenglama y = (x − 5)².

Klassik fizikada qo'llanilishi

Yilda klassik fizika, tarjima harakati bu o'zgaruvchan harakatdir pozitsiya aksincha, ob'ektning aylanish. Masalan, Uittakerning so'zlariga ko'ra:^[6]

Agar tanani bir pozitsiyadan ikkinchisiga o'tkazilsa va tananing har bir nuqtasining boshlang'ich va oxirgi nuqtalarini birlashtiruvchi chiziqlar parallel uzunlikdagi to'g'ri chiziqlar to'plami bo'lsa ℓ, shunday qilib jismning kosmosdagi yo'nalishi o'zgarmas bo'lib, siljish a deb ataladi ℓ masofa orqali chiziqlar yo'nalishiga parallel ravishda tarjima.
— E. T. Uittaker: Zarralar va qattiq jismlarning analitik dinamikasi to'g'risida risola, p. 1

Tarjima - bu barcha nuqtalarning o'rnini o'zgartiradigan operatsiya ${ displaystyle (x, y, z)}$ formulaga muvofiq ob'ektning

{ displaystyle (x, y, z) to (x + Delta x, y + Delta y, z + Delta z)}

qayerda ${ displaystyle ( Delta x, Delta y, Delta z)}$ bir xil vektor ob'ektning har bir nuqtasi uchun. Tarjima vektori ${ displaystyle ( Delta x, Delta y, Delta z)}$ ob'ektning barcha nuqtalari uchun umumiy ma'lum bir turini tavsiflaydi ko'chirish odatda a deb nomlangan ob'ektning chiziqli uni almashtirishni o'z ichiga olgan siljishlardan farqlash uchun joy almashtirish burchakli siljishlar.

Ko'rib chiqayotganda bo'sh vaqt, o'zgarishi vaqt koordinatasi tarjima deb hisoblanadi.

Operator sifatida

The tarjima operatori asl holatidagi funktsiyani aylantiradi, ${ displaystyle f ( mathbf {v})}$ , yakuniy pozitsiyaning funktsiyasiga, ${ displaystyle f ( mathbf {v} + mathbf { delta})}$ . Boshqa so'zlar bilan aytganda, ${ displaystyle T _ { mathbf { delta}}}$ shunday aniqlanganki ${ displaystyle T _ { mathbf { delta}} f ( mathbf {v}) = f ( mathbf {v} + mathbf { delta}).}$ Bu operator funktsiyadan ko'ra mavhumroq, chunki ${ displaystyle T _ { mathbf { delta}}}$ asosiy vektorlarning o'zi emas, balki ikkita funktsiya o'rtasidagi munosabatni belgilaydi. Tarjima operatori har xil funktsiyalarni bajarishi mumkin, masalan tarjima operatori to'lqin funktsiyasida ishlaydi, bu kvant mexanikasi sohasida o'rganiladi.

Guruh sifatida

Barcha tarjimalar to'plami tarjima guruhi ${ displaystyle mathbb {T}}$ , fazoning o'zi uchun izomorf bo'lgan va a oddiy kichik guruh ning Evklid guruhi ${ displaystyle E (n)}$ . The kvant guruhi ning ${ displaystyle E (n)}$ tomonidan ${ displaystyle mathbb {T}}$ uchun izomorfik ortogonal guruh ${ displaystyle O (n)}$ :

{ displaystyle E (n) / mathbb {T} cong O (n)}

Tarjima kommutativ bo'lgani uchun, tarjima guruhi abeliya. Mumkin bo'lgan cheksiz ko'p tarjimalar mavjud, shuning uchun tarjima guruhi cheksiz guruh.

In nisbiylik nazariyasi, makon va vaqtni yagona sifatida davolash tufayli bo'sh vaqt, tarjimalar tarkibidagi o'zgarishlarga ham murojaat qilishi mumkin vaqt koordinatasi. Masalan, Galiley guruhi va Puankare guruhi vaqtga nisbatan tarjimalarni o'z ichiga oladi.

Panjara guruhlari

Bir xil kichik guruh uch o'lchovli tarjima guruhining panjara guruhlari, qaysiki cheksiz guruhlar, lekin tarjima guruhlaridan farqli o'laroq nihoyatda hosil bo'lgan. Ya'ni, cheklangan ishlab chiqaruvchi to'plam butun guruhni yaratadi.

Matritsaning namoyishi

Tarjima bu afinaning o'zgarishi bilan yo'q sobit nuqtalar. Matritsalarni ko'paytirish har doim bor kelib chiqishi sobit nuqta sifatida. Shunga qaramay, umumiy narsa bor vaqtinchalik echim foydalanish bir hil koordinatalar tarjimasini namoyish qilish vektor maydoni bilan matritsani ko'paytirish: 3 o'lchovli vektorni yozing ${ displaystyle mathbf {v} = (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})}$ sifatida 4 bir hil koordinatalardan foydalaniladi ${ displaystyle mathbf {v} = (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}, 1)}$ .^[7]

Ob'ektni a tomonidan tarjima qilish uchun vektor ${ displaystyle mathbf {v}}$ , har bir hil vektor ${ displaystyle mathbf {p}}$ (bir hil koordinatalarda yozilgan) shu bilan ko'paytirilishi mumkin tarjima matritsasi:

{ displaystyle T _ { mathbf {v}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_ {x} 0 & 1 & 0 & v_ {y} 0 & 0 & 1 & v_ {z} 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}}

Quyida ko'rsatilganidek, ko'paytma kutilgan natijani beradi:

{ displaystyle T _ { mathbf {v}} mathbf {p} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_ {x} 0 & 1 & 0 & v_ {y} 0 & 0 & 1 & v_ {z} 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} p_ {x} p_ {y} p_ {z} 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} p_ {x} + v_ {x} p_ {y } + v_ {y} p_ {z} + v_ {z} 1 end {bmatrix}} = mathbf {p} + mathbf {v}}

Tarjima matritsasining teskari tomonini vektor yo'nalishini o'zgartirib olish mumkin:

{ displaystyle T _ { mathbf {v}} ^ {- 1} = T _ {- mathbf {v}}. !}

Xuddi shunday, tarjima matritsalari mahsuloti vektorlarni qo'shish orqali beriladi:

{ displaystyle T _ { mathbf {v}} T _ { mathbf {w}} = T _ { mathbf {v} + mathbf {w}}. !}

Chunki vektorlarning qo'shilishi kommutativ, shuning uchun tarjima matritsalarini ko'paytirish ham komutativdir (ixtiyoriy matritsalarni ko'paytirishdan farqli o'laroq).

O'qlarning tarjimasi

Geometrik tarjima ko'pincha geometrik ob'ektning holatini o'zgartiradigan faol jarayon sifatida qaraladigan bo'lsa, a shunga o'xshash natija koordinata tizimini o'zi harakatga keltiradigan, lekin ob'ektni sobit qoldiradigan passiv o'zgarish orqali erishish mumkin. Faol geometrik tarjimaning passiv versiyasi a sifatida tanilgan eksa tarjimasi.

Translational simmetriya

Tarjimadan oldin va keyin bir xil ko'rinishga ega bo'lgan ob'ekt deyiladi tarjima simmetriyasi. Umumiy misol davriy funktsiyalar, qaysiki o'ziga xos funktsiyalar tarjima operatorining.

Shuningdek qarang

Tashqi havolalar

Tarjimani o'zgartirish da tugun
Geometrik tarjima (interaktiv animatsiya) Math is Fun
2D tarjimasini tushunish va 3D tarjimani tushunish Rojer Germundsson tomonidan, Wolfram namoyishlari loyihasi.

Adabiyotlar

^ De Berg, Mark; Cheong, Otfrid; Van Kreveld, Mark; Overmars, Mark (2008), Hisoblash geometriyasi algoritmlari va qo'llanilishi, Berlin: Springer, p. 91, doi:10.1007/978-3-540-77974-2, ISBN 978-3-540-77973-5.
^ Smit, Jeyms T. (2011), Geometriya usullari, John Wiley & Sons, p. 356, ISBN 9781118031032.
^ Folkner, Jon R. (2014), Proektsion geometriyada nonassociativ algebraning o'rni, Matematika aspiranturasi, 159, Amerika matematik jamiyati, p. 13, ISBN 9781470418496.
^ Dougherty, Edvard R.; Astol, Jaakko (1999), Tasvirga ishlov berish uchun chiziqli bo'lmagan filtrlar, Tasvirlash fanlari va muhandisligi bo'yicha SPIE / IEEE seriyalari, 59, SPIE Press, p. 169, ISBN 9780819430335.
^ Zil, Denis; Rayt, Uorren S. (2009), Yagona o'zgaruvchan hisoblash: Erta transandantallar, Jones & Bartlett Learning, p. 269, ISBN 9780763749651.
^ Edmund Teylor Uittaker (1988). Zarralar va qattiq jismlarning analitik dinamikasi to'g'risida risola (1936 yildagi to'rtinchi nashrning qayta nashr etilishi, Uilyam Makkreaning so'zboshisi bilan tahrirlangan). Kembrij universiteti matbuoti. p. 1. ISBN 0-521-35883-3.
^ Richard Pol, 1981 yil Robot manipulyatorlari: matematika, dasturlash va boshqarish: robot manipulyatorlarini kompyuter boshqaruvi, MIT Press, Kembrij, MA

Zazkis, R., Liljedahl, P., va Gadovskiy, K. Funktsiyalarni tarjima qilish tushunchalari: to'siqlar, sezgi va yo'nalishni o'zgartirish. Matematik xatti-harakatlar jurnali, 22, 437-450. Www.elsevier.com/locate/jmathb saytidan 2014 yil 29 aprelda olingan
Graflarning o'zgarishi: gorizontal tarjimalar. (2006 yil, 1 yanvar). BioMath: Graflarni o'zgartirish. 2014 yil 29 aprelda olingan

[1] De Berg, Mark; Cheong, Otfrid; Van Kreveld, Mark; Overmars, Mark (2008), Hisoblash geometriyasi algoritmlari va qo'llanilishi, Berlin: Springer, p. 91, doi:10.1007/978-3-540-77974-2, ISBN 978-3-540-77973-5.

[2] Smit, Jeyms T. (2011), Geometriya usullari, John Wiley & Sons, p. 356, ISBN 9781118031032.

[3] Folkner, Jon R. (2014), Proektsion geometriyada nonassociativ algebraning o'rni, Matematika aspiranturasi, 159, Amerika matematik jamiyati, p. 13, ISBN 9781470418496.

[4] Dougherty, Edvard R.; Astol, Jaakko (1999), Tasvirga ishlov berish uchun chiziqli bo'lmagan filtrlar, Tasvirlash fanlari va muhandisligi bo'yicha SPIE / IEEE seriyalari, 59, SPIE Press, p. 169, ISBN 9780819430335.

[5] Zil, Denis; Rayt, Uorren S. (2009), Yagona o'zgaruvchan hisoblash: Erta transandantallar, Jones & Bartlett Learning, p. 269, ISBN 9780763749651.

[Whittaker-6] Edmund Teylor Uittaker (1988). Zarralar va qattiq jismlarning analitik dinamikasi to'g'risida risola (1936 yildagi to'rtinchi nashrning qayta nashr etilishi, Uilyam Makkreaning so'zboshisi bilan tahrirlangan). Kembrij universiteti matbuoti. p. 1. ISBN 0-521-35883-3.

[7] Richard Pol, 1981 yil Robot manipulyatorlari: matematika, dasturlash va boshqarish: robot manipulyatorlarini kompyuter boshqaruvi, MIT Press, Kembrij, MA

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Kompyuter grafikasi
Vektorli grafikalar	Diffuziya egri chizig'i Piksel
2 o'lchovli grafikalar	2.5D
3D grafika	Yalang'ochlash Grafik proektsiya
Tushunchalar	Afinaning o'zgarishi Planar proektsiya Qaytish O'lchov Kesish matritsasi Tarjima