Umumjahon miqdorini aniqlash - Universal quantification - Wikipedia

Yilda mantiq, a universal miqdoriy miqdor ning bir turi miqdoriy, a mantiqiy doimiy qaysi talqin qilingan sifatida "har qanday berilgan" yoki "hamma uchun". Bu a taklif funktsiyasi bolishi mumkin mamnun har kim tomonidan a'zo a nutq sohasi. Boshqacha qilib aytganda, bu predikatsiya a mulk yoki munosabat domenning har bir a'zosiga. Bu tasdiqlaydi ichida predikat qamrov doirasi universal miqdordagi har bir narsaga to'g'ri keladi qiymat a predikat o'zgaruvchisi.

Odatda, bilan belgilanadi o'girildi A (∀) mantiqiy operator belgi, bu predikat o'zgaruvchisi bilan birgalikda ishlatilganda a deb nomlanadi universal miqdor ("∀x", "∀(x)"yoki ba'zan tomonidan"${ displaystyle (x)}$"yolg'iz). Umumjahon miqdorini farqlash mavjud bo'lgan miqdoriy miqdor ("mavjud"), bu faqat xususiyat yoki munosabat domenning kamida bitta a'zosi uchun tegishli ekanligini tasdiqlaydi.

Umuman, miqdor bo'yicha maqola maqolada keltirilgan miqdoriy miqdor (mantiq). Belgilar kodlangan U + 2200 ∀ BARCHA UCHUN (HTML∀ · & ForAll;, & forall; · matematik belgi sifatida).

Asoslari

Aytaylik, bunga berilgan

2 · 0 = 0 + 0, va 2 · 1 = 1 + 1, va 2 · 2 = 2 + 2 va boshqalar.

Bu a kabi ko'rinadi mantiqiy birikma "va" ning takroriy ishlatilishi sababli. Biroq, "va boshqalar" in birikmasi sifatida talqin qilinishi mumkin emas rasmiy mantiq. Buning o'rniga, bayonotni qayta o'zgartirish kerak:

Barcha natural sonlar uchun n, 2·n = n + n.

Bu universal miqdoriy ko'rsatkichlardan foydalangan holda bitta bayonot.

Ushbu bayonot asl nusxadan ko'ra aniqroq deb aytish mumkin. "Va boshqalar" da norasmiy o'z ichiga oladi natural sonlar va boshqa hech narsa yo'q, bu qat'iyan berilmagan. Umumjahon miqdorida esa tabiiy sonlar aniq ko'rsatilgan.

Ushbu alohida misol to'g'ri, chunki har qanday natural sonni almashtirish mumkin edi n va bayonot "2 ·n = n + n"to'g'ri bo'lar edi. Aksincha,

Barcha natural sonlar uchun n, 2·n > 2 + n

bu yolg'on, chunki agar n masalan, 1 bilan almashtirildi, "2 · 1> 2 + 1" so'zi noto'g'ri. "2 · ning ahamiyati yo'qn > 2 + n"uchun to'g'ri eng natural sonlar n: hatto bitta mavjudot qarshi misol universal miqdoriylikni yolg'onligini isbotlash uchun etarli.

Boshqa tomondan, hamma uchun kompozit raqamlar n, 2·n > 2 + nto'g'ri, chunki qarshi misollarning hech biri kompozit raqamlar emas. Bu muhimligini ko'rsatadi nutq sohasi, qaysi qiymatlarni belgilaydi n olishi mumkin.^{[eslatma 1]} Xususan, agar so'zlashuv sohasi faqat ma'lum bir predikatni qondiradigan narsalardan iborat bo'lishi bilan cheklangan bo'lsa, unda umumjahon miqdorini aniqlash uchun bu mantiqiy shartli. Masalan,

Barcha kompozit raqamlar uchun n, 2·n > 2 + n

bu mantiqiy ekvivalent ga

Barcha natural sonlar uchun n, agar n kompozit, keyin 2 ·n > 2 + n.

Bu erda "agar ... keyin" konstruktsiyasi mantiqiy shartli ekanligini ko'rsatadi.

Notation

Yilda ramziy mantiq, universal miqdoriy belgi ${ displaystyle forall}$ (burilgan "A "a sans-serif shrift, Unicode U + 2200) universal miqdoriy ko'rsatkichni ko'rsatish uchun ishlatiladi. Birinchi marta shu tarzda ishlatilgan Gerxard Gentzen bilan o'xshashlik bilan 1935 yilda Juzeppe Peano "s ${ displaystyle mavjud}$ (E ga aylantirildi) uchun yozuv ekzistensial miqdoriy miqdor va keyinchalik Peano yozuvidan foydalanish Bertran Rassel.^[1]

Masalan, agar P(n) predikat "2 ·n > 2 + n"va N bo'ladi o'rnatilgan tabiiy sonlar, keyin:

${ displaystyle forall n ! in ! mathbb {N} ; P (n)}$

bu (yolg'on) bayonot:

Barcha natural sonlar uchun n, 2·n > 2 + n.

Xuddi shunday, agar Q(n) predikatdir "n kompozitdir ", keyin

${ displaystyle forall n ! in ! mathbb {N} ; { bigl (} Q (n) rightarrow P (n) { bigr)}}$

(haqiqiy) so'z:

Barcha natural sonlar uchun n, agar n kompozit, keyin 2 ·n > 2 + n

va beri "n kompozitdir "shuni nazarda tutadi n allaqachon tabiiy son bo'lishi kerak, biz ushbu bayonotni unga tenglashtiramiz:

${ displaystyle forall n ; { bigl (} Q (n) rightarrow P (n) { bigr)}}$

Barcha kompozit raqamlar uchun n, 2·n > 2 + n.

Kantifikatsiya qilish uchun yozuvlarning bir nechta o'zgarishini (barcha shakllarga tegishli) topish mumkin miqdoriy miqdor maqola. Faqatgina universal miqdoriy aniqlash uchun ishlatiladigan maxsus yozuv mavjud:

${ displaystyle (n { in} mathbb {N}) , P (n)}$

Qavslar sukut bo'yicha universal miqdoriy ko'rsatkichni ko'rsatadi.

Xususiyatlari

Salbiy

E'tibor bering, miqdoriy taklif funktsiyasi bayonot; Shunday qilib, bayonotlar kabi, miqdoriy funktsiyalarni bekor qilish mumkin. Aksariyat matematiklar va mantiqchilar inkorni ko'rsatadigan yozuvlardan iborat: ${ displaystyle lnot }$. Biroq, ba'zilari tilda (~).

Masalan, agar P (x) "x uylangan" degan taklif funktsiyasidir, keyin, a nutq olami Barcha tirik odamlarning Xsi, universal miqdoriy miqdor

Har qanday tirik odamga berilgan x, u kishi turmush qurgan

berilgan:

${ displaystyle forall {x} { in} mathbf {X} , P (x)}$

Ko'rinib turibdiki, bu qaytarib bo'lmaydigan yolg'ondir. Haqiqatan ham, bu aytilgan

Hech qanday tirik odamga berilgan narsa emas x, u kishi turmush qurgan

yoki ramziy ma'noda:

${ displaystyle lnot for all {x} { in} mathbf {X} , P (x)}$.

Agar bayonot to'g'ri kelmasa har bir So'zlar olamining elementi, demak, nutq koinotini bo'sh emas deb hisoblasak, bayonot yolg'on bo'lgan kamida bitta element bo'lishi kerak. Ya'ni, inkor qilish ${ displaystyle forall {x} { in} mathbf {X} , P (x)}$ mantiqan tengdir "Tirik odam bor x kim turmushga chiqmagan bo'lsa ", yoki:

${ displaystyle mavjud {x} { in} mathbf {X} , lnot P (x)}$

Umuman olganda, taklif funktsiyasining universal miqdorini inkor qilish $ a $ dir ekzistensial miqdoriy miqdor ushbu taklif funktsiyasining inkor etilishi; ramziy ma'noda,

${ displaystyle lnot for all {x} { in} mathbf {X} , P (x) equiv mavjud {x} { in} mathbf {X} , lnot P (x) )}$

"Hamma odamlar turmushga chiqmagan" (ya'ni "turmushga chiqmagan odam bor") degani bo'lsa, "hamma turmush qurmaganlar" (ya'ni "turmush qurganlar yo'q") deb yozish noto'g'ri.

${ displaystyle lnot mavjud {x} { in} mathbf {X} , P (x) equiv for all {x} { in} mathbf {X} , lnot P (x) ) not equiv lnot for all {x} { in} mathbf {X} , P (x) equiv mavjud {x} { in} mathbf {X} , lnot P (x)}$

Boshqa biriktiruvchi vositalar

Umumjahon (va ekzistensial) miqdoriy ko'rsatkich o'zgaruvchan holda bo'ylab harakatlanadi mantiqiy bog`lovchilar ∧, ∨, → va ↚, boshqa operand ta'sir qilmasa; anavi:

${ displaystyle { begin {aligned} P (x) land ( mavjud {y} { in} mathbf {Y} , Q (y)) & equiv mavjud {y} { in} mathbf {Y} , (P (x) land Q (y)) P (x) lor ( mavjud {y} { in} mathbf {Y} , Q (y)) & equiv {y} { in} mathbf {Y} , (P (x) lor Q (y)), & { text {}}}} mathbf {Y} neq emptyset sharti bilan mavjud P (x) to ( mavjud {y} { in} mathbf {Y} , Q (y)) & equiv mavjud {y} { in} mathbf {Y} , (P (x) to Q (y)), & { text {sharti bilan}} mathbf {Y} neq emptyset P (x) nleftarrow ( mavjud {y} { in} mathbf {Y} , Q (y)) & equiv mavjud {y} { in} mathbf {Y} , (P (x) nq chap tomon Q (y)) P (x) land ( forall {y} { in} mathbf {Y} , Q (y)) & equiv forall {y} { in} mathbf {Y} , (P (x) land Q (y)), & { text {}} mathbf {Y} neq emptyset P (x) lor ( forall {y} { in} mathbf {Y} , Q (y)) & equiv for all {y} { in} mathbf {Y} , (P (x) lor Q (y)) P (x) to ( forall {y} { in} mathbf {Y} , Q (y)) & equiv for all {y} { in} mathbf {Y} , (P (x) to Q (y)) P (x) nleftarrow ( forall {y} { in} mathbf {Y} , Q (y)) & equiv forall {y} { in} mathbf {Y} , (P (x) nstarrow Q (y)), & { text {}}} = mathbf {Y} neq emptyset end {aligned} sharti bilan }}$

Aksincha, mantiqiy bog'lovchilar uchun ↑, ↓, ↛ va ←, miqdoriy ko'rsatkichlar:

${ displaystyle { begin {aligned} P (x) uparrow ( mavjud {y} { in} mathbf {Y} , Q (y)) & equiv for all {y} { in} mathbf {Y} , (P (x) uparrow Q (y)) P (x) downarrow ( mavjud {y} { in} mathbf {Y} , Q (y)) & equiv forall {y} { in} mathbf {Y} , (P (x) downarrow Q (y)), & { text {}}}} mathbf {Y} neq emptyset P (x) nrightarrow ( mavjud {y} { in} mathbf {Y} , Q (y)) & equiv for all {y} { in} mathbf {Y} , (P (x) ntoyoq Q (y)), & { text {sharti bilan}} mathbf {Y} neq emptyset P (x) gets ( mavjud {y} { in} mathbf {Y} , Q (y)) & equiv for all {y} { in} mathbf {Y} , (P (x) Q (y)) P (x) uparrow ( forall {y} { in} mathbf {Y} , Q (y)) & equiv mavjud {y} { in} mathbf {Y} , (P (x) uparrow Q (y)), & { text {}}} mathbf {Y} neq emptyset P (x) downarrow ( forall {y} { in} mathbf {Y} , Q (y)) & equiv mavjud {y} { in} mathbf {Y} , (P (x) pastki Q (y)) P (x) ntizim ( forall {y}) { in} mathbf {Y} , Q (y)) & equiv mavjud {y} { in} mathbf {Y} , (P (x) ntizim Q (y)) P (x) gets ( forall {y} { in} mathbf {Y} , Q (y)) & equiv mavjud {y} { in} mathbf {Y} , (P (x) ) Q ( y)), & { text {sharti bilan}} mathbf {Y} neq emptyset end {aligned}}}$

Xulosa chiqarish qoidalari

A xulosa chiqarish qoidasi gipotezadan xulosaga qadar mantiqiy qadamni oqlaydigan qoida. Umumjahon miqdorini ishlatadigan xulosa chiqarishning bir nechta qoidalari mavjud.

Umumjahon instantiatsiya degan xulosaga keladi, agar propozitsion funktsiya universal haqiqat ekanligi ma'lum bo'lsa, u nutq olamining istalgan o'zboshimchalik elementi uchun to'g'ri bo'lishi kerak. Ramziy ma'noda, bu quyidagicha ifodalanadi

${ displaystyle forall {x} { in} mathbf {X} , P (x) to P (c)}$

qayerda v nutq olamining mutlaqo o'zboshimchalik elementi.

Umumjahon umumlashtirish xulosa qiladi, agar propozitsiya funktsiyasi, agar u nutq koinotining har qanday o'zboshimchalik elementi uchun to'g'ri bo'lsa, universal bo'lishi kerak. Ramziy ravishda, o'zboshimchalik uchun v,

${ displaystyle P (c) to for all {x} { in} mathbf {X} , P (x).}$

Elementv to'liq o'zboshimchalik bilan bo'lishi kerak; aks holda, mantiq amal qilmaydi: agar v o'zboshimchalik bilan emas va uning o'rniga nutq olamining o'ziga xos elementi, keyin P (v) faqat propozitsiya funktsiyasining ekzistensial miqdorini anglatadi.

Bo'sh to'plam

An'anaga ko'ra, formula ${ displaystyle forall {x} { in} emptyset , P (x)}$ formulasidan qat'i nazar, har doim ham to'g'ri P(x); qarang bo'sh haqiqat.

Umumiy yopilish

The universal yopilish formuladan of - yo'q raqamli formuladan iborat erkin o'zgaruvchilar $ Delta $ har bir erkin o'zgaruvchiga universal miqdorni qo'shib olingan. Masalan, ning universal yopilishi

${ displaystyle P (y) land mavjud xQ (x, z)}$

bu

${ displaystyle forall y forall z (P (y) land mavjud xQ (x, z))}$.

Birgalikda

Yilda toifalar nazariyasi va nazariyasi boshlang'ich topoi, universal miqdorni quyidagicha tushunish mumkin o'ng qo'shma a funktsiya o'rtasida quvvat to'plamlari, teskari rasm to'plamlar orasidagi funktsiyaning funktsiyasi; xuddi shunday, ekzistensial miqdor bo'ladi chap qo'shma.^[2]

To'plam uchun ${ displaystyle X}$, ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {P}} X}$ uni belgilang poweret. Har qanday funktsiya uchun ${ displaystyle f: X to Y}$ to'plamlar orasida ${ displaystyle X}$ va ${ displaystyle Y}$, bor teskari rasm funktsiya ${ displaystyle f ^ {*}: { mathcal {P}} Y to { mathcal {P}} X}$ kodlar maydonining pastki qismlarini oladigan powerets o'rtasida f uning domenining kichik to'plamlariga qaytish. Ushbu funktsiyaning chap birikmasi ekzistensial miqdoriy hisoblanadi ${ displaystyle mavjud _ {f}}$ va o'ng qo'shimchalar universal miqdoriy ko'rsatkichdir ${ displaystyle forall _ {f}}$.

Anavi, ${ displaystyle mavjud _ {f} colon { mathcal {P}} X to { mathcal {P}} Y}$ har bir kichik to'plam uchun funktsiyadir ${ displaystyle S subset X}$, pastki qismni beradi ${ displaystyle mavjud _ {f} S kichik to'plam Y}$ tomonidan berilgan

${ displaystyle mavjud _ {f} S = {y in Y ; | ; da x in X mavjud f (x) = y quad land quad x in S }}$,

o'sha ${ displaystyle y}$ tasvirida ${ displaystyle S}$ ostida ${ displaystyle f}$. Xuddi shunday, universal miqdor ${ displaystyle forall _ {f} colon { mathcal {P}} X to { mathcal {P}} Y}$ har bir kichik to'plam uchun funktsiyadir ${ displaystyle S subset X}$, pastki qismni beradi ${ displaystyle forall _ {f} S subset Y}$ tomonidan berilgan

${ displaystyle forall _ {f} S = {y in Y ; | ; forall x in X f (x) = y quad S in quad x degan ma'noni anglatadi }}$,

o'sha ${ displaystyle y}$ kimning ustunligi ostida ${ displaystyle f}$ tarkibida mavjud ${ displaystyle S}$.

Qanday ishlatilgan bo'lsa, o'lchovlarning tanish shakli birinchi darajali mantiq funktsiyasini olish orqali olinadi f noyob funktsiya bo'lish ${ displaystyle!: X dan 1} gacha$ Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${ displaystyle { mathcal {P}} (1) = {T, F }}$ true va false qiymatlarini ushlab turuvchi ikki elementli to'plam, kichik to'plam S uchun pastki qism predikat ${ displaystyle S (x)}$ ushlab turadi va

${ displaystyle { begin {array} {rl} { mathcal {P}} (!) colon { mathcal {P}} (1) & to { mathcal {P}} (X) T & mapsto X F & mapsto {} end {array}}}$

${ displaystyle mavjud _ {!} S = mavjud x.S (x),}$

agar bu to'g'ri bo'lsa ${ displaystyle S}$ bo'sh emas va

${ displaystyle forall _ {!} S = forall x.S (x),}$

agar S X bo'lmasa, bu noto'g'ri.

Yuqorida keltirilgan universal va ekzistensial miqdorlar preheaf kategoriyasi.

Shuningdek qarang

• Mavjud miqdoriy miqdor
• Birinchi tartibli mantiq
• Mantiqiy belgilar ro'yxati - Unicode belgisi uchun ∀

Izohlar

Adabiyotlar

• Xinman, P. (2005). Matematik mantiq asoslari. A K Peters. ISBN  1-56881-262-0.
• Franklin, J. va Daoud, A. (2011). Matematikadan isbot: kirish. Kew kitoblari. ISBN  978-0-646-54509-7.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola) (2-bob)

Tashqi havolalar

• Ning lug'at ta'rifi har bir Vikilug'atda