Élie Cartan - Élie Cartan

Élie Cartan
Elie Cartan.jpg
Professor Elie Jozef Kartan
Tug'ilgan(1869-04-09)1869 yil 9-aprel
Dolomieu, Isère, Frantsiya
O'ldi1951 yil 6-may(1951-05-06) (82 yosh)
Parij, Frantsiya
MillatiFrantsiya
Olma materParij universiteti
Ma'lumYolg'on guruhlar (Kartan teoremasi )
Vektorli bo'shliqlar va tashqi algebra
Differentsial geometriya
Maxsus va umumiy nisbiylik
Differentsial shakllar
Kvant mexanikasi (spinorlar, aylanuvchi vektorlar )
Elie Cartan nomidagi narsalar ro'yxati
MukofotlarLekonte mukofoti (1930)
Lobachevskiy mukofoti (1937)
Prezidenti Frantsiya Fanlar akademiyasi (1946)
Qirollik jamiyatining a'zosi (1947)
Ilmiy martaba
MaydonlarMatematika va fizika
InstitutlarParij universiteti
École Normale Supérieure
TezisSur la structure des groupes de transformations finis et continus (1894)
Doktor doktoriGaston Darboux
Sofus yolg'on
DoktorantlarCharlz Ehresmann
Mohsen Hashtroodi
Kentaro Yano
Boshqa taniqli talabalarChen Xingshen

Elie Jozef Kartan, ForMemRS (Frantsiya:[kaʁtɑ̃]; 1869 yil 9 aprel - 1951 yil 6 may) nazariyasida fundamental ishlarni olib borgan nufuzli frantsuz matematiki edi Yolg'on guruhlar, differentsial tizimlar (ning koordinatasiz geometrik formulasi PDElar ) va differentsial geometriya. U shuningdek katta hissa qo'shdi umumiy nisbiylik va bilvosita kvant mexanikasi.[1][2][3] U yigirmanchi asrning eng buyuk matematiklaridan biri sifatida tan olingan.[3]

Uning o'g'li Anri Kardan da ishlaydigan nufuzli matematik edi algebraik topologiya.

Hayot

Élie Cartan 1869 yil 9-aprelda qishloqda tug'ilgan Dolomieu, Isère Jozef Kartan (1837-1917) va Anne Kottazga (1841-1927). Jozef Kartan qishloqning temirchisi edi; Élie Cartan, bolaligi "har kuni tongdan boshlangan anvilarning zarbalari" ostida o'tganini va "onasi, bolalar va uyni boqishdan ozod bo'lgan noyob daqiqalarda, yigiruv g'ildiragi ". Elining katta singlisi Janne-Mari (1867–1931) edi, u kiyim tikuvchiga aylandi; otasining temirchisida ishlaydigan temirchiga aylangan ukasi Leon (1872-1956); va singlisi Anna Cartan (1878-1923), qisman Éli ta'sirida bo'lgan École Normale Supérieure (Élie ilgari bo'lgani kabi) va kasbini litsey (o'rta maktab) da matematika o'qituvchisi sifatida tanladi.

Élie Cartan Dolomieudagi boshlang'ich maktabga o'qishga kirdi va maktabdagi eng yaxshi o'quvchi edi. Uning o'qituvchilardan biri M. Dyupuy "Elie Kartan uyatchan talaba edi, lekin uning ko'zlarida g'ayrioddiy zukkolik nuri porlab turardi va bu ajoyib xotira bilan birlashtirildi" deb esladi. Antonin Dubost, keyin vakili Isere, maktabga tashrif buyurdi va Cartanning g'ayrioddiy qobiliyatlaridan hayratga tushdi. U Cartanni a. Da stipendiya olish uchun tanlovda qatnashishni tavsiya qildi litsey. Kartan tanlovga M. Dyupuy rahbarligida tayyorlandi va o'n yoshida o'tdi. U besh yil (1880-1885) Vena kollejida, so'ngra ikki yil (1885-1887) Grenobl Litseyida o'tkazdi. 1887 yilda u ko'chib o'tdi Janson de Sailly litseyi ikki yil davomida fanlarni o'rganish uchun Parijda; u erda u sinfdoshi bilan uchrashdi va do'stlashdi Jan-Batist Perrin (1870-1942), keyinchalik Frantsiyada taniqli fizik bo'lgan.

Kartan ro'yxatdan o'tgan École Normale Supérieure 1888 yilda. U erda ma'ruzalarda qatnashgan Charlz Hermit (1822–1901), Jyul tannarxi (1848–1910), Gaston Darboux (1842–1917), Pol Appell (1855–1930), Emil Pikard (1856–1941), Eduard Gursat (1858-1936) va Anri Puankare (1854-1912), kimning ma'ruzalari Cartan eng yuqori fikrda edi.

1891 yilda École Normale Superieure-ni tugatgandan so'ng, Cartan Frantsiya armiyasiga chaqirildi, u erda bir yil xizmat qildi va serjant unvoniga ega bo'ldi. Keyingi ikki yil davomida (1892-1894) Cartan ENSga qaytib keldi va sinfdoshi Artur Tressening (1868-1958) tavsiyalari asosida o'qigan Sofus yolg'on 1888–1889 yillarda tasniflash mavzusida ishlagan oddiy Lie guruhlari tomonidan boshlangan Vilgelm o'ldirish. 1892 yilda Lie Darboux va Tannery zavodining taklifiga binoan Parijga keldi va Cartan bilan birinchi marta uchrashdi.

Kartan nomzodlik dissertatsiyasini himoya qildi, O'zgarishlarning cheklangan doimiy guruhlari tuzilishi 1894 yilda Sorbonnadagi Fanlar fakultetida. 1894 yildan 1896 yilgacha Kartan ma'ruzachi edi Montpele universiteti; 1896 yildan 1903 yilgacha u Fanlar fakultetida o'qituvchi edi Lion universiteti.

1903 yilda Lionda bo'lganida Kartan Mari-Luiza Byankoniga (1880-1950) uylandi; o'sha yili Kartan Fanlar fakultetining professori bo'ldi Nensi universiteti. 1904 yilda Kartanning birinchi o'g'li, Anri Kardan, keyinchalik nufuzli matematik bo'lgan, tug'ilgan; 1906 yilda bastakorga aylangan yana bir Jan Kartan o'g'li tug'ildi. 1909 yilda Cartan oilasini Parijga ko'chirdi va Sorbonnadagi Fanlar fakultetida o'qituvchi bo'lib ishladi. 1912 yilda Kartan Puankaredan olgan ma'lumotnomasiga asosan u erda professor bo'ldi. U 1940 yilda nafaqaga chiqqaniga qadar Sorbonnada qoldi va hayotining so'nggi yillarini matematikadan qizlar uchun "Ecole Normale Supérieure" da o'qitdi.

Cartan talabasi sifatida, geometr Shiing-Shen Chern yozgan:[4]

Odatda [Kartan bilan uchrashuv] ning ertasiga men undan xat olardim. U aytar edi: "Siz ketganingizdan so'ng, men sizning savollaringiz haqida ko'proq o'ylardim ..." - u ba'zi natijalarga ega edi va yana bir nechta savollar va hk. U bu hujjatlarning hammasini oddiy bilar edi Yolg'on guruhlar, Yolg'on algebralar, barchasi yoddan. Uni ko'chada ko'rganingizda, ma'lum bir masala paydo bo'lganda, u eski konvertni tortib olib, biron bir narsa yozib, sizga javobini berar edi. Va ba'zida bir xil javobni olish uchun bir necha soat yoki hatto kunlarim kerak edi ... Men juda ko'p ishlashim kerak edi.

1921 yilda u chet el a'zosi bo'ldi Polsha Ta'lim Akademiyasi va 1937 yilda chet el a'zosi Niderlandiya Qirollik san'at va fan akademiyasi.[5] 1938 yilda u Ilm birligi uchun Xalqaro Kongresslarni tashkil qilish uchun tashkil etilgan Xalqaro qo'mitada ishtirok etdi.[6]

U 1951 yilda uzoq davom etgan kasallikdan so'ng Parijda vafot etdi.

1976 yilda a oy krateri uning nomi bilan atalgan. Oldin, u Apollonius D deb nomlangan.

Ish

In Travaux, Cartan o'z ishini 15 yo'nalishga ajratadi. Zamonaviy terminologiyadan foydalanib, ular:

  1. Yolg'on nazariyasi
  2. Yolg'on guruhlarining vakolatxonalari
  3. Giperkompleks raqamlar, bo'linish algebralari
  4. PDE tizimlari, Kartan-Kaxler teoremasi
  5. Ekvivalentlik nazariyasi
  6. Integral tizimlar, uzayish nazariyasi va involyutsiyadagi tizimlar
  7. Cheksiz o'lchovli guruhlar va psevdogruplar
  8. Differentsial geometriya va harakatlanuvchi ramkalar
  9. Tuzilmaviy guruhlarga ega umumiy joylar va ulanishlar, Karton aloqasi, holonomiya, Veyl tensori
  10. Yolg'on guruhlari geometriyasi va topologiyasi
  11. Riemann geometriyasi
  12. Nosimmetrik bo'shliqlar
  13. Topologiyasi ixcham guruhlar va ularning bir hil bo'shliqlar
  14. Integral invariantlar va klassik mexanika
  15. Nisbiylik, spinorlar

Kartanning matematik ishini hozirgi kunda ko'pchilik zamonaviy matematikaning markaziy va eng muhim qismi deb biladigan va uni shakllantirish va rivojlantirishda birinchi o'rinda turadigan differentsial manifoldlarda tahlilni rivojlantirish deb ta'riflash mumkin. Ushbu maydon Lie guruhlari, qisman differentsial tizimlar va differentsial geometriyaga asoslangan; bular, asosan, Cartan hissalari orqali, endi bir-biri bilan chambarchas bog'langan va birlashtirilgan va kuchli vositani tashkil etadi.

Yolg'on guruhlar

Kardan dissertatsiyadan keyin o'ttiz yil davomida yolg'on guruhlari sohasida deyarli yolg'iz edi. Lie ushbu guruhlarni asosan analitik ravishda sonli parametrlarga qarab analitik ko'p qirrali analitik transformatsiyalar tizimi deb hisoblagan. Ushbu guruhlarni o'rganishga juda samarali yondashuv 1888 yilda ochilgan Vilgelm o'ldirish muntazam ravishda guruhni boshqa manifoldlardagi mumkin bo'lgan harakatlaridan mustaqil ravishda o'rganishni boshladi. O'sha paytda (va 1920 yilgacha) faqat mahalliy xususiyatlar ko'rib chiqilgan, shuning uchun o'ldirishni o'rganishning asosiy ob'ekti guruhning Lie algebrasi bo'lib, u mahalliy xususiyatlarni aniq algebraik atamalarda to'liq aks ettiradi. Killingning eng katta yutug'i barcha oddiy murakkab Lie algebralarini aniqlashda edi; ammo uning dalillari ko'pincha nuqsonli edi va Kartanning tezisi asosan mahalliy nazariyaga qat'iy poydevor berishga va o'ldirish ko'rsatgan oddiy Lie algebralarining har bir turiga mansub bo'lgan alohida Lie algebralarining mavjudligini isbotlashga bag'ishlandi. mumkin. Keyinchalik Cartan mahalliy nazariyani ikkita asosiy masalani aniq echish bilan yakunladi, buning uchun u butunlay yangi usullarni ishlab chiqishi kerak edi: oddiy haqiqiy Lie algebralarini tasniflash va oddiy Lie algebralarining barcha kamaytirilmaydigan chiziqli tasvirlarini og'irlik tushunchasi yordamida aniqlash. u shu maqsadda taqdim etgan vakolatxonaning. 1913 yilda Cartan kashf etgan ortogonal guruhlarning chiziqli tasavvurlarini aniqlash jarayonida edi spinorlar keyinchalik kvant mexanikasida bunday muhim rol o'ynadi.

1925 yildan keyin Cartan topologik savollarga tobora ko'proq qiziqish bildirdi. Veylning ixcham guruhlar bo'yicha ajoyib natijalaridan kelib chiqqan holda, Lie guruhlarining global xususiyatlarini o'rganish uchun yangi usullarni ishlab chiqdi; Xususan, u topologik jihatdan bog'liq bo'lgan Lie guruhi Evklid fazosi va ixcham guruh hosilasi ekanligini ko'rsatdi va ixcham Lie guruhlari uchun u yotgan manifoldning mumkin bo'lgan fundamental guruhlarini Lie algebra tuzilishidan o'qish mumkinligini aniqladi. guruh. Va nihoyat, u Lie ixcham Lie guruhlarining Betti sonlarini aniqlash usulini bayon qildi va yana bu masalani Lie algebralaridagi algebraik savolga qisqartirdi va shu vaqtdan beri to'liq echimini topdi.

Yolg'on guruhlar

Kartan (Lie ortidan) "chekli uzluksiz guruhlar" (yoki "chekli o'zgarish guruhlari") deb atagan Lie guruhlari tuzilishi muammosini hal qilgandan so'ng, Cartan "Lie pseudogroups" deb nomlanadigan "cheksiz uzluksiz guruhlar" ga o'xshash masalani qo'ydi, Lie guruhlarining cheksiz o'lchovli analogi (Lie guruhlarining boshqa cheksiz umumlashmalari mavjud). Cartan tomonidan ko'rib chiqilgan Lie pseudogroup - bu bir xil o'zgarishni o'z ichiga olgan va ushbu to'plamdagi ikkita transformatsiyani shakllantirish natijasi bir xil to'plamga tegishli bo'lgan xususiyatga ega bo'lgan bo'shliqning pastki to'plamlari orasidagi o'zgarishlarning to'plamidir. Ikki transformatsiyaning tarkibi har doim ham imkoni bo'lmagani uchun, transformatsiyalar to'plami guruh emas (ammo zamonaviy terminologiyada guruhoid), shuning uchun psevdogrup nomi berilgan. Kartan faqat manifoldlarning konvertatsiyasini ko'rib chiqmoqda, chunki ular uchun manifoldlarning bo'linishi ko'rib chiqilayotgan transformatsiyalar tomonidan joylashtirilgan sinflarga bo'linmaydi. Transformatsiyalarning bunday psevdogruplari ibtidoiy deb nomlanadi. Kartan shuni ko'rsatdiki, har qanday cheksiz o'lchovli ibtidoiy psevdogruppa murakkab analitik o'zgarishlarning oltita sinfdan biriga tegishli: 1) n murakkab o'zgaruvchining barcha analitik transformatsiyalarining psevdogrupi; 2) doimiy Jacobian bilan n kompleks o'zgaruvchilarning barcha analitik transformatsiyalarining psevdogrupi (ya'ni barcha hajmlarni bir xil kompleks songa ko'paytiradigan transformatsiyalar); 3) Jacobian biriga teng bo'lgan (ya'ni hajmlarni saqlaydigan transformatsiyalar) n kompleks o'zgaruvchilarning barcha analitik transformatsiyalarining psevdogrupi; 4) ma'lum bir er-xotin integralni saqlaydigan 2n> 4 kompleks o'zgaruvchilarning barcha analitik o'zgarishlarining psevdogrupi (simpektik psevdogrup); 5) yuqorida aytib o'tilgan juft integralni murakkab funktsiyaga ko'paytiradigan 2n> 4 kompleks o'zgaruvchilarning barcha analitik transformatsiyalarining psevdogrupi; 6) ma'lum bir shaklni murakkab funktsiyaga ko'paytiradigan 2n + 1 kompleks o'zgaruvchilarning barcha analitik transformatsiyalarining psevdogroupi (kontaktli psevdogrup). Haqiqiy o'zgaruvchilarning analitik funktsiyalari bilan aniqlangan haqiqiy o'zgarishlarning ibtidoiy psevdogruplari uchun o'xshash psevdogruplar sinflari mavjud.

Differentsial tizimlar

Kartanning differentsial tizimlar nazariyasidagi usullari, ehtimol uning eng katta yutug'idir. An'anani buzgan holda, u boshidanoq o'zgaruvchini va noma'lum funktsiyalarni tanlashdan mustaqil ravishda muammolarni butunlay o'zgarmas shaklda shakllantirish va echishga intildi. Shunday qilib u birinchi marta o'zboshimchalik bilan differentsial tizimning "umumiy" echimi nima ekanligini aniq ta'riflab bera oldi. Uning keyingi bosqichi barcha "singular" echimlarni ham "uzaytirilish" usuli bilan aniqlashga urinish edi, bu yangi noma'lum va yangi tenglamalarni berilgan tizimga qo'shilishidan iborat bo'lib, asl tizimning har qanday singular echimi yangi tizimning umumiy echimi. Garchi Cartan o'zining uslubiga murojaat qilgan har bir misolda barcha singular echimlarni to'liq aniqlashga olib borishini ko'rsatgan bo'lsa-da, u har doim o'zboshimchalik tizimida shunday bo'lishini umuman isbotlay olmadi; bunday dalil 1955 yilda tomonidan olingan Masatake Kuranishi.

Kartanning asosiy vositasi tashqi differentsial shakllarning hisob-kitobi bo'lib, u o'zining tezisidan keyingi o'n yil ichida uni yaratishda va rivojlantirishda yordam berdi, so'ngra differentsial geometriya, yolg'on guruhlari, analitik dinamikasi va turli xil muammolarga g'ayrioddiy mahorat bilan murojaat qildi. umumiy nisbiylik. U juda ko'p sonli misollarni muhokama qilib, ularni o'ta elliptik uslubda muomala qildi, bu faqat uning g'ayritabiiy algebraik va geometrik tushunchasi tufayli amalga oshirildi.

Differentsial geometriya

Kartanning differentsial geometriyaga qo'shgan hissasi ham unchalik ta'sirchan emas va u butun mavzuni jonlantirdi, deyish mumkin, chunki Riemann va Darbukning dastlabki asarlari xayoliy hisob-kitoblarda va kichik natijalarda yo'qolgan, chunki elementar geometriya va o'zgarmas nazariya oldingi avlod. Uning etakchi printsipi Darboux va Ribaucourning "harakatlanuvchi ramkalari" usulini sezilarli darajada kengaytirishi edi, bu usul u juda katta moslashuvchanlik va kuch bag'ishladi, bu esa klassik differentsial geometriyada amalga oshirilgan narsalardan ancha yuqori edi. Zamonaviy so'zlar bilan aytganda, usul bir xil asosga ega bo'lgan asosiy tolalar to'plamini va poydevorning har bir nuqtasida bir xil nuqtada E tolasiga ta'sir ko'rsatadigan guruhga teng bo'lgan tolaga ega bo'lgan E tolasi to'plamiga qo'shilishdan iborat. Agar E taglik ustidagi tangens to'plami bo'lsa (Lie aslida "aloqa elementlari" ning ko'p qirrali nomi bilan mashhur bo'lganligi sababli), mos keladigan guruh umumiy chiziqli guruh (yoki klassik evklid yoki riyemen geometriyasidagi ortogonal guruh). Cartanning boshqa ko'plab turdagi tolalar va guruhlarga ishlov berish qobiliyati unga tola to'plamining birinchi umumiy g'oyasini ishontirishga imkon beradi, garchi u buni hech qachon aniq belgilamagan bo'lsa ham. Ushbu kontseptsiya zamonaviy matematikaning barcha sohalarida, asosan global differentsial geometriya va algebraik va differentsial topologiyada eng muhimlaridan biriga aylandi. Kartan bundan foydalangan holda ulanishning ta'rifini shakllantirishda foydalangan bo'lib, u hozirda universal tarzda qo'llanilmoqda va bir nechta geometrlarning 1917 yildan keyin amalga oshirgan avvalgi urinishlarini bekor qilib, Riemann modelidan ko'ra umumiyroq va ehtimol tavsifga moslashgan "geometriya" turini topdi. koinotning umumiy nisbiylik yo'nalishi bo'yicha.

Kartan Riman geometriyasining ancha oqlangan va sodda ko'rinishini olish uchun o'z ulanish kontseptsiyasidan qanday foydalanishni ko'rsatib berdi. Ammo ikkinchisiga uning asosiy hissasi - bu nosimmetrik Riman bo'shliqlarini kashf qilish va o'rganish edi, bu matematik nazariyaning tashabbuskori ham uni tugatishga olib kelgan. Nosimmetrik Riman bo'shliqlari har xil yo'llar bilan aniqlanishi mumkin, ulardan eng soddasi "simmetriya" fazosining har bir nuqtasi atrofida mavjudlikni postulutiv, nuqtani sobit qoldiradigan va masofalarni saqlaydigan. Cartan tomonidan kashf etilgan kutilmagan haqiqat shundaki, oddiy Lie guruhlari tasnifi orqali bu bo'shliqlarga to'liq tavsif berish mumkin; shuning uchun matematikaning turli sohalarida, masalan, avtomorf funktsiyalarda va analitik sonlar nazariyasida (aftidan, differentsial geometriyadan yiroq) bu bo'shliqlar tobora muhim ahamiyat kasb etayotgani ajablanarli emas.

Umumiy nisbiylikka alternativ nazariya

Shuningdek qarang: Umumiy nisbiylikka alternativalar

Kartan ham raqibning tortishish nazariyasini yaratdi Eynshteyn-Kartan nazariyasi.

Nashrlar

Kartanning hujjatlari uning Ouvres shikoyatlarida, 6 jildda to'plangan. (Parij, 1952–1955). Ikki ajoyib obzor bildirishnomasi S. S. Chern va C. Chevalley, Amerika Matematik Jamiyatining Axborotnomasida, 58 (1952); va J. H. C. Whitehead, Qirollik jamiyatining obituar xabarnomalarida (1952).

  • Kartan, Elie (1894), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, Tezis, Noni
  • Kartan, Elie (1899), "Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 3 (frantsuz tilida), Parij: Gautier-Villars, 16: 239–332, doi:10.24033 / asens.467, ISSN  0012-9593, JFM  30.0313.04
  • Leçons sur les invariants intégraux, German, Parij, 1922
  • Riemann de Géométrie des espaces, 1925
  • Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann, Gautier-Villars, 1928 yil
  • La théorie des groupes finis et continus va l'analysis situs, Gautier-Villars, 1930 yil
  • Leçons sur la géométrie proektsion kompleksi, Gautier-Villars, 1931 yil
  • La parallelisme absolu et la théorie unitaire du champ, Hermann, 1932
  • Les Espaces Métriques Fondés sur la Notion d'Arie, Hermann, 1933 yil[7]
  • La méthode de repère mobile, la théorie des groupes continus va boshqalar espaces généralisés, 1935[8]
  • Leçons sur la théorie des espaces à connexion projektiv, Gautier-Villars, 1937 yil[9]
  • La théorie des groupes finis and continus et la géométrie différentielle traitées par la méthode du repère mobile, Gautier-Villars, 1937 yil[10]
  • Cartan, Élie (1981) [1938], Spinorlar nazariyasi, Nyu York: Dover nashrlari, ISBN  978-0-486-64070-9, JANOB  0631850[11][12]
  • Les systèmes différentiels extérieurs et leurs ilovalar géométriques, Hermann, 1945 yil[13]
  • Oeuvres shikoyatlari, 6 qismdan iborat 3 qism, Parij 1952 yildan 1955 yilgacha, CNRS 1984 tomonidan qayta nashr etilgan:[14]
    • 1-qism: "Yolg'on guruhlari" (2 jildda), 1952 yil
    • 2-qism, jild 1: Algèbre, différentielles formalari, différentiels sistemalari, 1953 yil
    • 2-qism, jild 2: Final guruhlari, Systèmes différentiels, théories d'équivalence, 1953
    • 3-qism, jild 1: G'avvoslar, géométrie différentielle, 1955 yil
    • 3-qism, jild 2: Géémetrie différentielle, 1955 yil
  • Élie Cartan va Albert Eynshteyn: Mutlaq parallellik haqidagi maktublar, 1929-1932 / frantsuz va nemis tillaridagi asl matn, inglizcha tarjima. Jyul Leroy va Jim Ritter tomonidan, tahrir. Robert Debever tomonidan, Princeton University Press, 1979 y[15]

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

  1. ^ O'Konnor, Jon J.; Robertson, Edmund F., "Elie Cartan", MacTutor Matematika tarixi arxivi, Sent-Endryus universiteti.
  2. ^ Élie Cartan da Matematikaning nasabnomasi loyihasi
  3. ^ a b O'Konnor, JJ; Robertson, E F (1999). 20-asrning buyuk matematiklari (PDF).
  4. ^ Jekson, Allin (1998). "Shiing Shen Chern bilan intervyu" (PDF).
  5. ^ "Élie J. Cartan (1869–1951)". Niderlandiya Qirollik san'at va fan akademiyasi. Olingan 19 iyul 2015.
  6. ^ Neurat, Otto (1938). "Yagona fan entsiklopedik integratsiya sifatida". Xalqaro yagona fan entsiklopediyasi. 1 (1): 1–27.
  7. ^ Knebelman, M. S. (1937). "Kitoblarni ko'rib chiqish: Les Espaces Métriques Fondés sur la Notion d'Arie". Amerika Matematik Jamiyati Axborotnomasi. 43 (3): 158–159. doi:10.1090 / S0002-9904-1937-06493-7. ISSN  0002-9904.
  8. ^ Levi, Garri (1935). "Sharh: La Méthode de Repère Mobile, La Théorie des Groupes Continus va Les Espaces Généralisés". Buqa. Amer. Matematika. Soc. 41 (11): 774. doi:10.1090 / s0002-9904-1935-06183-x.
  9. ^ Vanderslice, J. L. (1938). "Sharh: Leçons sur la théorie des espaces à connexion projektiv". Buqa. Amer. Matematika. Soc. 44 (1, 1 qism): 11-13. doi:10.1090 / s0002-9904-1938-06648-7.
  10. ^ Veyl, Xermann (1938). "Kartanlar guruhlar va differentsial geometriya bo'yicha". Buqa. Amer. Matematika. Soc. 44 (9, 1 qism): 598-601. doi:10.1090 / S0002-9904-1938-06789-4.
  11. ^ Gvinns, Uolles (1940). "Sharh: La Theórie des Spineurs Élie Cartan tomonidan " (PDF). Buqa. Amer. Matematika. Soc. 46 (11): 869–870. doi:10.1090 / s0002-9904-1940-07329-x.
  12. ^ Ruse, Garold Stenli (1939 yil iyul). "Sharh: Leçons sur le theórie des spineurs E. Cartan tomonidan ". Matematik gazeta. 23 (255): 320–323. doi:10.2307/3606453. JSTOR  3606453.
  13. ^ Tomas, J. M. (1947). "Sharh: Les systèmes différentiels extérieurs et leurs ilovalar géométriques". Buqa. Amer. Matematika. Soc. 53 (3): 261–266. doi:10.1090 / s0002-9904-1947-08750-4.
  14. ^ Cartan, Élie (1899), "Sur certainfes expressions différentielles et le problème de Pfaff", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 16: 239–332, doi:10.24033 / asens.467
  15. ^ "Sharh Élie Cartan, Albert Eynshteyn: Mutlaq parallellik haqidagi maktublar, 1929-1932 Robert Debever tomonidan tahrirlangan ". Atom olimlari byulleteni. 36 (3): 51. 1980 yil mart.

Tashqi havolalar

Uning ba'zi kitoblari va maqolalarining inglizcha tarjimalari: