Bükme - Bending - Wikipedia

Anning egilishi Men- nur

Yilda amaliy mexanika, egilish (shuningdek, nomi bilan tanilgan egiluvchanlik) ingichka kishining xatti-harakatini tavsiflaydi tizimli tashqi ta'sirga uchragan element yuk elementning uzunlamasına o'qiga perpendikulyar ravishda qo'llaniladi.

Strukturaviy element uning o'lchamlaridan kamida bittasi qolgan ikkitasining kichik qismi, odatda 1/10 yoki undan kam qismi bo'lishi kerak deb taxmin qilinadi.^[1] Uzunlik kenglik va qalinlikdan ancha uzunroq bo'lganda, element a deb nomlanadi nur. Masalan, a shkaf novda sarkma kiyim og'irligi ostida kiyim osgichlari egiluvchanlikni boshdan kechirayotgan nurlarning misoli. Boshqa tomondan, a qobiq uzunligi va kengligi bir xil tartibda bo'lgan, ammo strukturaning qalinligi ("devor" deb nomlanuvchi) sezilarli darajada kichik bo'lgan har qanday geometrik shaklning tuzilishi. Katta diametrli, ammo yupqa devorli, qisqa trubka, uning uchlarida qo'llab-quvvatlanadigan va yon tomonga yuklangan, bu egiluvchanlikni boshdan kechirayotgan qobiqning misoli.

Saralash bo'lmaganda, muddat egilish noaniq, chunki bukilish barcha ob'ektlarda mahalliy ravishda sodir bo'lishi mumkin. Shuning uchun, atamani aniqroq ishlatish uchun muhandislar quyidagi kabi aniq ob'ektga murojaat qilishadi; The tayoqlarning egilishi,^[2] The nurlarning egilishi,^[1] The plitalarning egilishi,^[3] The chig'anoqlarning egilishi^[2] va hokazo.

Nurlarning kvazi-statik egilishi

Ko'ndalang yuk tushganda uning ichida nur deformatsiyalanadi va stress paydo bo'ladi. Kvazi-statik holatda egilish miqdori burilish va rivojlanayotgan stresslar vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi deb taxmin qilinadi. Uchlarida qo'llab-quvvatlanadigan va o'rtada pastga qarab yuklangan gorizontal nurda, pastki qismidagi material cho'zilgan holda, nurning yuqori qismidagi material siqiladi. Yanal yuklardan kelib chiqadigan ichki stresslarning ikki shakli mavjud:

• Kesish stressi yonma-yon yuklanishiga parallel ravishda va yuk yo'nalishiga perpendikulyar bo'lgan tekisliklarda bir-birini to'ldiruvchi kesish kuchlanishi;
• To'g'ridan-to'g'ri siqilish stressi nurning yuqori qismida va to'g'ridan-to'g'ri kuchlanish stressi nurning pastki qismida.

Ushbu so'nggi ikkita kuch a hosil qiladi er-xotin yoki lahza chunki ular kattaligi teng va yo'nalishi qarama-qarshi. Bu egilish momenti egiluvchanlikni boshdan kechirayotgan nurning xarakterli sarkma deformatsiyasiga qarshi turadi. Ba'zi soddalashtirilgan taxminlardan foydalanilganda nurda stress taqsimotini juda aniq taxmin qilish mumkin.^[1]

Eyler-Bernulli egilish nazariyasi

Egilgan nurning elementi: tolalar konsentrik yoylarni hosil qiladi, yuqori tolalar siqilib, pastki tolalar cho'ziladi.

Nurning egilish momentlari

In Eyler-Bernulli nazariyasi yupqa nurlarning asosiy taxminlari "tekislik kesimlari tekislikda qoladi". Boshqacha qilib aytganda, bo'lim bo'ylab kesish tufayli yuzaga keladigan har qanday deformatsiya hisobga olinmaydi (kesish deformatsiyasi yo'q). Bundan tashqari, ushbu chiziqli taqsimot faqat maksimal kuchlanish stressdan kam bo'lsa, amal qiladi stressni keltirib chiqarish materialning. Daromaddan yuqori bo'lgan stresslar uchun maqolaga murojaat qiling plastik bükme. Hosildorlik paytida, bo'limda boshdan kechirilgan maksimal stress (ning eng uzoq nuqtalarida neytral o'q (nurning)) sifatida belgilanadi egiluvchanlik kuchi.

Quyidagilar to'g'ri bo'lgan nurlarni ko'rib chiqing:

• Nur dastlab tekis va ingichka bo'lib, har qanday konus engil bo'ladi
• Material izotrop (yoki) ortotrop ), chiziqli elastik va bir hil har qanday tasavvurlar bo'ylab (lekin uning uzunligi bo'yicha shart emas)
• Faqat kichik burilishlar hisobga olinadi

Bunday holda, nurning burilishini tavsiflovchi tenglama (${ displaystyle w}$) quyidagicha taqsimlanishi mumkin:

${ displaystyle { cfrac { mathrm {d} ^ {2} w (x)} { mathrm {d} x ^ {2}}} = { frac {M (x)} {E (x) I (x)}}}$

bu erda uning egilgan shakli ikkinchi lotin ${ displaystyle x}$ uning egriligi sifatida talqin etiladi, ${ displaystyle E}$ bo'ladi Yosh moduli, ${ displaystyle I}$ bo'ladi maydon harakatsizlik momenti tasavvurlar va ${ displaystyle M}$ nurning ichki egilish momentidir.

Agar qo'shimcha ravishda nur bo'lsa bir hil uning uzunligi bo'ylab, shuningdek toraymagan (ya'ni doimiy kesma) va qo'llaniladigan ko'ndalang yuk ostida burilib ketadi ${ displaystyle q (x)}$, quyidagilarni ko'rsatish mumkin:^[1]

${ displaystyle EI ~ { cfrac { mathrm {d} ^ {4} w (x)} { mathrm {d} x ^ {4}}} = q (x)}$

Bu nurni bukish uchun Eyler-Bernulli tenglamasi.

Nurni siljitish uchun eritma olingandan so'ng, egilish momenti (${ displaystyle M}$) va kesish kuchi (${ displaystyle Q}$) nurda aloqalar yordamida hisoblash mumkin

${ displaystyle M (x) = - EI ~ { cfrac { mathrm {d} ^ {2} w} { mathrm {d} x ^ {2}}} ~; ~ ~ Q (x) = { cfrac { mathrm {d} M} { mathrm {d} x}}.}$

Oddiy nurlarning egilishi ko'pincha Eyler-Bernulli nurlari tenglamasi bilan tahlil qilinadi. Oddiy bükme nazariyasidan foydalanish shartlari:^[4]

1. Nurga bo'ysunadi sof egilish. Bu degani kesish kuchi nolga teng va burama va eksenel yuklarning mavjud emasligi.
2. Materiallar izotrop (yoki ortotrop ) va bir hil.
3. Materiallar bo'ysunadi Xuk qonuni (u chiziqli elastik va plastik deformatsiyaga uchramaydi).
4. Dastlab nur butun uzunlik bo'ylab doimiy bo'lgan tasavvurlar bilan to'g'ri keladi.
5. Nur egilish tekisligida simmetriya o'qiga ega.
6. Nurning nisbati shundan iboratki, u maydalash, ajin tushirish yoki yon tomonga burish o'rniga emas, balki egilish natijasida ishlamay qoladi. buklanish.
7. Bükme paytida nurning tasavvurlari tekislikda qoladi.

Nosimmetrik ravishda burilgan nurning burilishi va superpozitsiya printsipi

Siqish va tortish kuchlari egiluvchi yuklar ostida nur o'qi yo'nalishi bo'yicha rivojlanadi. Ushbu kuchlar qo'zg'atadi stresslar nur ustiga. Maksimal bosim kuchi nurning eng yuqori chetida, maksimal tortishish kuchi nurning pastki chetida joylashgan. Bu ikkala qarama-qarshi o'rtasidagi stresslar maksimal farq qiladi chiziqli, shuning uchun ular orasidagi chiziqli yo'lda hech qanday egilish stressi bo'lmagan nuqta mavjud. The lokus bu nuqtalarning neytral o'qi. Ushbu hudud stresssiz va past kuchlanishli qo'shni hududlar tufayli egilishda bir xil tasavvurlar nurlaridan foydalanish yukni qo'llab-quvvatlashning ayniqsa samarali vositasi emas, chunki u tok yoqasida bo'lgunga qadar nurlarning to'liq quvvatidan foydalanmaydi. qulash. Keng gardishli nurlar (Men- nurlar ) va truss to'siqlar ushbu samarasizlikni samarali ravishda bartaraf etish, chunki ular ushbu stress holatidagi mintaqadagi materiallar miqdorini minimallashtirishga imkon beradi.

Oddiy egilish paytida nurda bükme stresini aniqlashning klassik formulasi:^[5]

${ displaystyle sigma _ {x} = { frac {M_ {z} y} {I_ {z}}} = { frac {M_ {z}} {W_ {z}}}}$

qayerda

• ${ displaystyle { sigma _ {x}}}$ bukish stressi
• ${ displaystyle M_ {z}}$ - neytral o'q haqida moment
• ${ displaystyle y}$ - neytral o'qga perpendikulyar masofa
• ${ displaystyle I_ {z}}$ - the maydonning ikkinchi momenti neytral o'qi haqida z.
• ${ displaystyle W_ {z}}$ - neytral o'qga qarshilik ko'rsatish momenti z. ${ displaystyle W_ {z} = I_ {z} / y}$

Eyler-Bernulli nurlarini bukish nazariyasining kengaytmalari

Plastik bükme

Tenglama ${ displaystyle sigma = { tfrac {My} {I_ {x}}}}$ haddan tashqari tolaga (ya'ni nurning neytral o'qdan uzoqroq qismidagi) kuchlanish stressni keltirib chiqarish u qurilgan materialning. Yuqori yuklarda stress taqsimoti chiziqli bo'lmaydi va egiluvchan materiallar oxir-oqibat a ga kiradi plastik menteşe kuchlanish kattaligi nurning hamma joyidagi rentabellik stresiga teng bo'lgan holat, bu kuchlanish kuchlanishdan tortib siqilishga o'zgaradigan neytral o'qda uzilish bilan. Ushbu plastik menteşe holati odatda a sifatida ishlatiladi chegara holati temir konstruktsiyalarni loyihalashda.

Murakkab yoki assimetrik bükme

Yuqoridagi tenglama faqat kesma nosimmetrik bo'lgan taqdirda amal qiladi. Asimmetrik kesimlarga ega bo'lgan bir hil nurlar uchun nurdagi maksimal egilish kuchlanishi quyidagicha berilgan

${ displaystyle sigma _ {x} (y, z) = - { frac {M_ {z} ~ I_ {y} + M_ {y} ~ I_ {yz}} {I_ {y} ~ I_ {z} -I_ {yz} ^ {2}}} y + { frac {M_ {y} ~ I_ {z} + M_ {z} ~ I_ {yz}} {I_ {y} ~ I_ {z} -I_ {yz } ^ {2}}} z}$^[6]

qayerda ${ displaystyle y, z}$ o'ng tomonda ko'rsatilgandek stressni aniqlash kerak bo'lgan kesmaning bir nuqtasining koordinatalari, ${ displaystyle M_ {y}}$ va ${ displaystyle M_ {z}}$ $ y $ va $ z $ haqida egilish momentlari centroid boltalar, ${ displaystyle I_ {y}}$ va ${ displaystyle I_ {z}}$ y va z o'qlari haqidagi maydonning ikkinchi momentlari (harakatsizlik momentlaridan ajralib turadi) va ${ displaystyle I_ {yz}}$ bo'ladi maydon momentlarining hosilasi. Ushbu tenglamadan foydalanib, moment yo'nalishi yoki kesma shakli qanday bo'lishidan qat'i nazar, nur kesimining istalgan nuqtasida egilish kuchlanishini hisoblash mumkin. Yozib oling ${ displaystyle M_ {y}, M_ {z}, I_ {y}, I_ {z}, I_ {yz}}$ kesmada bir nuqtadan ikkinchisiga o'zgarmaslik.

Katta egilish deformatsiyasi

Tananing katta deformatsiyalari uchun tasavvurlardagi stress ushbu formulaning kengaytirilgan versiyasi yordamida hisoblanadi. Avvaliga quyidagi taxminlarni kiritish kerak:

1. Yassi qismlarni taxmin qilish - deformatsiyadan oldin va keyin tananing ko'rib chiqilgan qismi tekis bo'lib qoladi (ya'ni aylanmaydi).
2. Ushbu kesmada kesmaning normal vektoriga perpendikulyar bo'lgan kesish va normal kuchlanishlar, bu kesimga parallel bo'lgan normal kuchlanishlarga ta'sir qilmaydi.

Bükülme radiusi qachon katta bükme mulohazalarini amalga oshirish kerak ${ displaystyle rho}$ o'nta balandlikdan kichik h:

${ displaystyle rho <10 soat.}$

Ushbu taxminlar bilan katta egiluvchanlikdagi stress quyidagicha hisoblanadi:

${ displaystyle sigma = { frac {F} {A}} + { frac {M} { rho A}} + { frac {M} {{I_ {x}} '}} y { frac { rho} { rho + y}}}$

qayerda

${ displaystyle F}$ bu normal holat kuch

${ displaystyle A}$ bu bo'lim maydon

${ displaystyle M}$ bukilish momenti

${ displaystyle rho}$ mahalliy bükülme radiusi (joriy qismda bükme radiusi)

${ displaystyle {{I_ {x}} '}}$ bo'ylab inertsiya momenti x-aksis, da ${ displaystyle y}$ joy (qarang Shtayner teoremasi )

${ displaystyle y}$ bilan birga pozitsiyadir y- stress bo'lgan bo'lim sohasidagi eksa ${ displaystyle sigma}$ hisoblanadi.

Burilish radiusi ${ displaystyle rho}$ cheksizlikka yaqinlashadi va ${ displaystyle y ll rho}$, asl formulasi qaytib keldi:

${ displaystyle sigma = {F over A} pm { frac {My} {I}}}$.

Timoshenko egilish nazariyasi

Timoshenko nurlarining deformatsiyasi. Oddiy miqdor miqdori bo'yicha aylanadi ${ displaystyle theta}$ bu teng emas ${ displaystyle dw / dx}$.

1921 yilda, Timoshenko nurlarning tenglamasiga qirqish ta'sirini qo'shish orqali Eyler-Bernulli nurlari nazariyasida takomillashtirilgan. Timoshenko nazariyasining kinematik taxminlari:

• nurning o'qiga normallar deformatsiyadan keyin to'g'ri bo'lib qoladi
• deformatsiyadan keyin nur qalinligida hech qanday o'zgarish bo'lmaydi

Shu bilan birga, deformatsiyadan keyin o'qga perpendikulyar bo'lib turishi uchun o'qga normal holatlar kerak emas.

Ushbu taxminlar bo'yicha chiziqli elastik, izotropik, doimiy tasavvurlar nurlarining bir hil nurlarini kvazistatik egilishi uchun tenglama^[7]

${ displaystyle EI ~ { cfrac { mathrm {d} ^ {4} w} { mathrm {d} x ^ {4}}} = q (x) - { cfrac {EI} {kAG}} ~ { cfrac { mathrm {d} ^ {2} q} { mathrm {d} x ^ {2}}}}$

qayerda ${ displaystyle I}$ bo'ladi maydon harakatsizlik momenti kesmaning, ${ displaystyle A}$ tasavvurlar maydoni, ${ displaystyle G}$ bo'ladi qirqish moduli, ${ displaystyle k}$ a qirqishni tuzatish koeffitsientiva ${ displaystyle q (x)}$ qo'llaniladigan ko'ndalang yuk. Bilan materiallar uchun Puassonning nisbati (${ displaystyle nu}$) 0,3 ga yaqin bo'lsa, to'rtburchaklar tasavvurlar uchun kesishni to'g'rilash koeffitsienti taxminan

${ displaystyle k = { cfrac {5 + 5 nu} {6 + 5 nu}}}$

Aylanish (${ displaystyle varphi (x)}$) normalning tenglamasi bilan tavsiflanadi

${ displaystyle { cfrac { mathrm {d} varphi} { mathrm {d} x}} = - { cfrac { mathrm {d} ^ {2} w} { mathrm {d} x ^ { 2}}} - { cfrac {q (x)} {kAG}}}$

Bükme momenti (${ displaystyle M}$) va kesish kuchi (${ displaystyle Q}$) tomonidan berilgan

${ displaystyle M (x) = - EI ~ { cfrac { mathrm {d} varphi} { mathrm {d} x}} ~; ~ ~ Q (x) = kAG chap ({ cfrac {) mathrm {d} w} { mathrm {d} x}} - varphi right) = - EI ~ { cfrac { mathrm {d} ^ {2} varphi} { mathrm {d} x ^ { 2}}} = { cfrac { mathrm {d} M} { mathrm {d} x}}}$

Nurlarning dinamik egilishi

Nurlarning dinamik egilishi,^[8] shuningdek, nomi bilan tanilgan egiluvchan tebranishlar birinchi bo'lib tekshirilgan Daniel Bernulli 18-asr oxirida. Bernulli tebranish nurlari harakatining tenglamasi uni yuqori baholashga intilardi tabiiy chastotalar nurlari va tomonidan sezilarli darajada yaxshilandi Reyli 1877 yilda o'rta tekislikda aylanish qo'shilishi bilan. 1921 yilda Stiven Timoshenko qirqish ta'sirini bükme nurlarining dinamik ta'siriga qo'shib, nazariyani yanada takomillashtirdi. Bu nazariyani dinamik Eyler-Bernulli nazariyasi etarli bo'lmagan yuqori tebranish chastotalari bilan bog'liq muammolar uchun ishlatishga imkon berdi. Nurlarning dinamik egilishi haqidagi Eyler-Bernulli va Timoshenko nazariyalari muhandislar tomonidan keng qo'llanilmoqda.

Eyler-Bernulli nazariyasi

Qo'llaniladigan ko'ndalang yuk ostida doimiy kesmaning ingichka, izotropik, bir hil nurlarini dinamik egilishi uchun Eyler-Bernulli tenglamasi ${ displaystyle q (x, t)}$ bu^[7]

${ displaystyle EI ~ { cfrac { kısmi ^ {4} w} { qismli x ^ {4}}} + m ~ { cfrac { qismli ^ {2} w} { qismli t ^ {2} }} = q (x, t)}$

qayerda ${ displaystyle E}$ Yosh moduli, ${ displaystyle I}$ - kesmaning inersiya momenti, ${ displaystyle w (x, t)}$ nurning neytral o'qining burilishidir va ${ displaystyle m}$ nurning birlik uzunligiga massa.

Bepul tebranishlar

Nurda ko'ndalang yuk bo'lmagan holat uchun egilish tenglamasi shaklni oladi

${ displaystyle EI ~ { cfrac { qismli ^ {4} w} { qismli x ^ {4}}} + m ~ { cfrac { qismli ^ {2} w} { qismli t ^ {2} }} = 0}$

Keyin nurning erkin, harmonik tebranishlari quyidagicha ifodalanishi mumkin

${ displaystyle w (x, t) = { text {Re}} [{ hat {w}} (x) ~ e ^ {- i omega t}] quad demak, quad { cfrac { qisman ^ {2} w} { qismli t ^ {2}}} = - omega ^ {2} ~ w (x, t)}$

va egilish tenglamasini quyidagicha yozish mumkin

${ displaystyle EI ~ { cfrac { mathrm {d} ^ {4} { hat {w}}} { mathrm {d} x ^ {4}}} - m omega ^ {2} { hat {w}} = 0}$

Yuqoridagi tenglamaning umumiy echimi quyidagicha

${ displaystyle { hat {w}} = A_ {1} cosh ( beta x) + A_ {2} sinh ( beta x) + A_ {3} cos ( beta x) + A_ {4 } sin ( beta x)}$

qayerda ${ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, A_ {4}}$ doimiy va${ displaystyle beta: = chap ({ cfrac {m} {EI}} ~ omega ^ {2} o'ng) ^ {1/4}}$

Konsolning rejimi shakllari Men- nur
1-chi bükme	1-burama	1-vertikal egilish
Ikkinchi yonboshlash	2-burama	2-vertikal egilish

Timoshenko - Rayli nazariyasi

1877 yilda Rayleay nurlar kesimining aylanish inersiyasi ta'sirini qo'shib dinamik Eyler-Bernulli nurlari nazariyasini takomillashtirishni taklif qildi. Timoshenko bu nazariyani 1922 yilda nurlar tenglamasiga qirqish ta'sirini qo'shib takomillashtirdi. Timoshenko-Rayley nazariyasida nurning o'rta yuzasiga normal deformatsiyalarga yo'l qo'yiladi.

Ushbu taxminlar bo'yicha doimiy tasavvurlar chiziqli elastik, izotrop, bir hil nurning egilishi uchun tenglama^[7][9]

${ displaystyle { begin {aligned} & EI ~ { frac { qismli ^ {4} w} { qismli x ^ {4}}} + m ~ { frac { qismli ^ {2} w} { qisman t ^ {2}}} - chap (J + { frac {EIm} {kAG}} o'ng) { frac { qismli ^ {4} w} { qisman x ^ {2} ~ qisman t ^ {2}}} + { frac {Jm} {kAG}} ~ { frac { qismli ^ {4} w} { qismli t ^ {4}}} [6pt] = {} & q ( x, t) + { frac {J} {kAG}} ~ { frac { qismli ^ {2} q} { qisman t ^ {2}}} - { frac {EI} {kAG}} ~ { frac { qismli ^ {2} q} { qismli x ^ {2}}} end {aligned}}}$

qayerda ${ displaystyle J = { tfrac {mI} {A}}}$ bo'ladi inertsiya qutb momenti kesmaning, ${ displaystyle m = rho A}$ - bu nurning birlik uzunligiga massa, ${ displaystyle rho}$ nurning zichligi, ${ displaystyle A}$ tasavvurlar maydoni, ${ displaystyle G}$ kesish moduli va ${ displaystyle k}$ a qirqishni tuzatish koeffitsienti. Poisson nisbati bo'lgan materiallar uchun (${ displaystyle nu}$) 0,3 ga yaqin bo'lsa, qirqishni tuzatish koeffitsienti taxminan

${ displaystyle { begin {aligned} k & = { frac {5 + 5 nu} {6 + 5 nu}} quad { text {to'rtburchaklar kesma}} [6pt] & = { frac {6 + 12 nu +6 nu ^ {2}} {7 + 12 nu +4 nu ^ {2}}} quad { text {dairesel kesma}} end {hizalangan}} }$

Bepul tebranishlar

Erkin, harmonik tebranishlar uchun Timoshenko-Rayli tenglamalari shaklga ega

${ displaystyle EI ~ { cfrac { mathrm {d} ^ {4} { hat {w}}} { mathrm {d} x ^ {4}}} + m omega ^ {2} left ( { cfrac {J} {m}} + { cfrac {EI} {kAG}} right) { cfrac { mathrm {d} ^ {2} { hat {w}}} { mathrm {d } x ^ {2}}} + m omega ^ {2} chap ({ cfrac { omega ^ {2} J} {kAG}} - 1 o'ng) ~ { hat {w}} = 0 }$

Ning barcha hosilalari ekanligini ta'kidlab, bu tenglamani echish mumkin ${ displaystyle w}$ bekor qilish uchun bir xil shaklga ega bo'lishi kerak va shuning uchun shaklning echimi ${ displaystyle e ^ {kx}}$ kutilishi mumkin. Ushbu kuzatish xarakterli tenglama

${ displaystyle alpha ~ k ^ {4} + beta ~ k ^ {2} + gamma = 0 ~; ~~ alfa: = EI ~, ~~ beta: = m omega ^ {2} chap ({ cfrac {J} {m}} + { cfrac {EI} {kAG}} o'ng) ~, ~~ gamma: = m omega ^ {2} chap ({ cfrac { omega ^ {2} J} {kAG}} - 1 o'ng)}$

Buning echimlari kvartik tenglama bor

${ displaystyle k_ {1} = + { sqrt {z _ {+}}} ~, ~~ k_ {2} = - { sqrt {z _ {+}}} ~, ~~ k_ {3} = + { sqrt {z _ {-}}} ~, ~~ k_ {4} = - { sqrt {z _ {-}}}}$

qayerda

${ displaystyle z _ {+}: = { cfrac {- beta + { sqrt { beta ^ {2} -4 alpha gamma}}} {2 alpha}} ~, ~~ z _ {-} : = { cfrac {- beta - { sqrt { beta ^ {2} -4 alfa gamma}}} {2 alfa}}}$

Keyinchalik erkin tebranishlar uchun Timoshenko-Rayley nurlari tenglamasining umumiy echimini quyidagicha yozish mumkin

${ displaystyle { hat {w}} = A_ {1} ~ e ^ {k_ {1} x} + A_ {2} ~ e ^ {- k_ {1} x} + A_ {3} ~ e ^ { k_ {3} x} + A_ {4} ~ e ^ {- k_ {3} x}}$

Plitalarning kvazistatik egilishi

Ko'chirishni, o'rta sirtni (qizil) va normaldan o'rtacha sirtni (ko'k) ajratib turadigan ingichka plastinkaning deformatsiyasi.

Nurlarning aniqlovchi xususiyati shundaki, o'lchamlardan biri juda katta kattaroq qolgan ikkitasiga qaraganda. Tuzilishi tekis bo'lganda va uning o'lchamlaridan biri katta bo'lganda plastinka deyiladi kichikroq qolgan ikkitasiga qaraganda. Plastinadagi deformatsiyalar va stresslarni ta'riflashga harakat qiladigan bir nechta nazariyalar mavjud, ularning ikkitasi keng qo'llanilgan yuklar ostida. Bular

• Kirchhoff-Plitalarning sevgi nazariyasi (klassik plitalar nazariyasi deb ham yuritiladi)
• Mindlin-Reysner plitalari nazariyasi (shuningdek plitalarning birinchi tartibli qirqish nazariyasi deb ham yuritiladi)

Kirchhoff – Plitalarning sevgi nazariyasi

Kirchhoff-Love nazariyasining taxminlari quyidagicha

• o'rta sirtga normal bo'lgan to'g'ri chiziqlar deformatsiyadan keyin to'g'ri bo'lib qoladi
• o'rta sirtga normal bo'lgan to'g'ri chiziqlar deformatsiyadan keyin o'rta sirt uchun normal bo'lib qoladi
• deformatsiya paytida plastinka qalinligi o'zgarmaydi.

Ushbu taxminlar shuni anglatadi

${ displaystyle { begin {aligned} u _ { alpha} ( mathbf {x}) & = - x_ {3} ~ { frac { kısalt w ^ {0}} { qismli x _ { alfa}} } = - x_ {3} ~ w _ {, alpha} ^ {0} ~; ~~ alpha = 1,2 u_ {3} ( mathbf {x}) & = w ^ {0} (x_ {1}, x_ {2}) end {hizalangan}}}$

qayerda ${ displaystyle mathbf {u}}$ bu plastinkadagi nuqtaning siljishi va ${ displaystyle w ^ {0}}$ bu o'rta sirtning siljishi.

Kuch-quvvat o'zgarishi munosabatlari

${ displaystyle { begin {aligned} varepsilon _ { alpha beta} & = - x_ {3} ~ w _ {, alpha beta} ^ {0} varepsilon _ { alpha 3} & = 0 varepsilon _ {33} & = 0 end {aligned}}}$

Muvozanat tenglamalari

${ displaystyle M _ { alpha beta, alfa beta} + q (x) = 0 ~; ~~ M _ { alpha beta}: = int _ {- h} ^ {h} x_ {3} ~ sigma _ { alpha beta} ~ dx_ {3}}$

qayerda ${ displaystyle q (x)}$ bu plastinka yuzasiga normal qo'llaniladigan yuk.

Ko'chirishlar nuqtai nazaridan tashqi yuk bo'lmagan taqdirda izotrop, chiziqli elastik plastinka uchun muvozanat tenglamalari quyidagicha yozilishi mumkin.

${ displaystyle w _ {, 1111} ^ {0} + 2 ~ w _ {, 1212} ^ {0} + w _ {, 2222} ^ {0} = 0}$

To'g'ridan-to'g'ri tensor yozuvida,

${ displaystyle nabla ^ {2} nabla ^ {2} w = 0}$

Plitalarning Mindlin-Reysner nazariyasi

Ushbu nazariyaning maxsus farazi shundan iboratki, o'rta sirtga nisbatan normalar to'g'ri va o'zgarmas bo'lib qoladi, ammo deformatsiyadan keyin o'rta sirt uchun normal bo'lishi shart emas. Plastinkaning siljishlari quyidagicha berilgan

${ displaystyle { begin {aligned} u _ { alpha} ( mathbf {x}) & = - x_ {3} ~ varphi _ { alpha} ~; ~~ alpha = 1,2 u_ { 3} ( mathbf {x}) & = w ^ {0} (x_ {1}, x_ {2}) end {aligned}}}$

qayerda ${ displaystyle varphi _ { alpha}}$ odatdagi aylanishlar.

Ushbu taxminlardan kelib chiqadigan kuchlanish-joy almashtirish munosabatlari

${ displaystyle { begin {aligned} varepsilon _ { alpha beta} & = - x_ {3} ~ varphi _ { alpha, beta} varepsilon _ { alpha 3} & = { cfrac {1} {2}} ~ kappa left (w _ {, alpha} ^ {0} - varphi _ { alpha} right) varepsilon _ {33} & = 0 end {hizalangan }}}$

qayerda ${ displaystyle kappa}$ qirqishni tuzatish omilidir.

Muvozanat tenglamalari

${ displaystyle { begin {aligned} & M _ { alpha beta, beta} -Q _ { alpha} = 0 & Q _ { alpha, alpha} + q = 0 end {aligned}}}$

qayerda

${ displaystyle Q _ { alpha}: = kappa ~ int _ {- h} ^ {h} sigma _ { alpha 3} ~ dx_ {3}}$

Plitalarning dinamik egilishi

Kirchhoff ingichka plitalarining dinamikasi

Plitalarning dinamik nazariyasi plitalardagi to'lqinlarning tarqalishini, turgan to'lqinlar va tebranish rejimlarini o'rganishni aniqlaydi. Kirchhoff plitalarining dinamik egilishini boshqaradigan tenglamalar

${ displaystyle M _ { alpha beta, alfa beta} -q (x, t) = J_ {1} ~ { ddot {w}} ^ {0} -J_ {3} ~ { ddot {w }} _ {, alfa alfa} ^ {0}}$

qaerda, zichligi bo'lgan plastinka uchun ${ displaystyle rho = rho (x)}$,

${ displaystyle J_ {1}: = int _ {- h} ^ {h} rho ~ dx_ {3} ~; ~~ J_ {3}: = int _ {- h} ^ {h} x_ { 3} ^ {2} ~ rho ~ dx_ {3}}$

va

${ displaystyle { ddot {w}} ^ {0} = { frac { qismli ^ {2} w ^ {0}} { qismli t ^ {2}}} ~; ~~ { ddot {w }} _ {, alpha beta} ^ {0} = { frac { kısmi ^ {2} { ddot {w}} ^ {0}} { qisman x _ { alfa} , qisman x_ { beta}}}}$

Quyidagi rasmlarda dumaloq plastinkaning ba'zi tebranish usullari ko'rsatilgan.

• 

  rejimi k = 0, p = 1

• 

  rejimi k = 0, p = 2

• 

  rejimi k = 1, p = 2

Shuningdek qarang

• Bükme momenti
• Bükme mashinasi (tekis metall bükme)
• Tormoz (metall bükme)
• Brazier effekti
• Plitalarning egilishi
• Bükme (metallga ishlov berish)
• Davomiy mexanika
• Kontrafleksura
• Burilish (muhandislik)
• Moslashuvchan rulman
• Inertsiya maydonlarining momentlari ro'yxati
• Kesish va moment diagrammasi
• Kesish kuchi
• Sandviç nazariyasi
• Tebranish
• Plitalarning tebranishi

Adabiyotlar

Tashqi havolalar

• Moslashuvchan formulalar
• Yorug'lik stressi va burilish, nurni burish jadvallari