Stress (mexanika) - Stress (mechanics)

Ushbu maqolada bir nechta muammolar mavjud. Iltimos yordam bering uni yaxshilang yoki ushbu masalalarni muhokama qiling munozara sahifasi. (Ushbu shablon xabarlarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling) Bu maqola mexanika bo'yicha mutaxassisning e'tiboriga muhtoj. Iltimos, sabab yoki a gapirish muammoni maqola bilan tushuntirish uchun ushbu shablonga parametr. WikiProject mexanikasi mutaxassisni jalb qilishga yordam berishi mumkin. (2013 yil mart) Ushbu maqola haqiqat aniqligi bahsli. Tegishli munozarani munozara sahifasi. Iltimos, bahsli bayonotlar mavjudligini ta'minlashga yordam bering ishonchli manbalar. (2013 yil mart) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Stress
Qoldiq stresslar ichida plastik protraktor aniqlanadi qutblangan nur.
Umumiy belgilar	σ
SI birligi	Paskal
Boshqa birliklar	lbf per kvadrat dyuym (lbf / in.)2 ) psi, bar
Yilda SI asosiy birliklari	Pa = kg ⋅m−1⋅s−2
Hajmi	${ displaystyle { mathsf {L}} ^ {- 1} { mathsf {M}} { mathsf {T}} ^ {- 2}}$

Serialning bir qismi
Davomiy mexanika
Qonunlar Konservatsiyalar Massa Momentum Energiya Tengsizliklar Klauziy – Duxem (entropiya)
Qattiq mexanika Deformatsiya Elastiklik chiziqli Plastisit Xuk qonuni Stress Cheklangan shtamm Infinitesimal zo'riqish Moslik Bükme Mexanikaga murojaat qiling ishqalanish Moddiy nosozlik nazariyasi Sinish mexanikasi
Suyuqlik mexanikasi Suyuqliklar Statika  · Dinamika Arximed printsipi  · Bernulli printsipi Navier - Stoks tenglamalari Puazayl tenglamasi  · Paskal qonuni Viskozite (Nyuton  · Nyuton bo'lmagan ) Suzish qobiliyati  · Aralash  · Bosim Suyuqliklar Yuzaki taranglik Kapillyar harakatlar Gazlar Atmosfera Boyl qonuni Charlz qonuni Gay-Lyussak qonuni Kombinatsiyalangan gaz qonuni Plazma
Reologiya Viskoelastiklik Reometriya Reometr Aqlli suyuqliklar Elektroreologik Magnetoreologik Ferrofluidlar
Olimlar Bernulli Boyl Koshi Charlz Eyler Gey-Lyussak Hooke Nyuton Navier Noll Paskal Stoks Truesdell

Yilda doimiy mexanika, stress a jismoniy miqdor ichki narsani ifodalaydi kuchlar qo'shni zarralar doimiy materialning bir-biriga ta'siri, shu bilan birga zo'riqish material deformatsiyasining o'lchovidir. Masalan, a qattiq vertikal chiziq ustunni qo'llab-quvvatlaydi vazn, satrdagi har bir zarra uning ostidagi zarralarni itaradi. Qachon suyuqlik ostida yopiq idishda bosim, har bir zarrachani atrofdagi barcha zarralar itaradi. Konteyner devorlari va bosim -dustik sirt (masalan, piston) ularga qarshi (Nyuton) reaktsiya. Ushbu makroskopik kuchlar aslida juda ko'p sonlarning aniq natijasidir molekulalararo kuchlar va to'qnashuvlar ulardagi zarralar orasidagi molekulalar. Stress tez-tez yunoncha sigma harflari bilan ifodalanadi (σ).

Materiallar ichidagi kuchlanish turli xil mexanizmlar bilan paydo bo'lishi mumkin, masalan stress tashqi kuchlar tomonidan quyma materialga qo'llanilishi kabi (masalan tortishish kuchi ) yoki uning yuzasiga (masalan aloqa kuchlari, tashqi bosim yoki ishqalanish ). Har qanday deformatsiya (deformatsiya) qattiq moddadan ichki hosil bo'ladi elastik stress, a ning reaktsiya kuchiga o'xshash bahor, bu materialni asl deformatsiz holatiga qaytarishga moyildir. Suyuqliklarda va gazlar, faqat hajmni o'zgartiradigan deformatsiyalar doimiy elastik stress hosil qiladi. Ammo, agar deformatsiya vaqt o'tishi bilan asta-sekin o'zgarib tursa, hatto suyuqliklarda ham ba'zi bo'ladi yopishqoq stress, bu o'zgarishga qarshi. Elastik va yopishqoq stresslar odatda nom ostida birlashtiriladi mexanik stress.

Deformatsiya ahamiyatsiz yoki mavjud bo'lmagan taqdirda ham muhim stress bo'lishi mumkin (suv oqimini modellashtirishda keng tarqalgan taxmin). Stress tashqi kuchlar bo'lmagan taqdirda mavjud bo'lishi mumkin; shunday ichki stress masalan, ichida muhimdir oldindan kuchlanishli beton va temperli shisha. Stress, shuningdek, qo'llanilmasdan materialga berilishi mumkin aniq kuchlar, masalan haroratning o'zgarishi yoki kimyoviy tarkibi yoki tashqi tomonidan elektromagnit maydonlar (kabi) pyezoelektrik va magnetostriktiv materiallar).

Mexanik kuchlanish, deformatsiya va deformatsiyaning o'zgarish tezligi juda murakkab bo'lishi mumkin, garchi a chiziqli yaqinlashish miqdori etarli darajada kichik bo'lsa, amalda etarli bo'lishi mumkin. Belgilangan darajadan yuqori bo'lgan stress kuch chegaralari material doimiy deformatsiyaga olib keladi (masalan plastik oqim, sinish, kavitatsiya ) yoki hatto uni o'zgartiring kristall tuzilishi va kimyoviy tarkibi.

Ning ba'zi filiallarida muhandislik, atama stress vaqti-vaqti bilan "ichki kuch" ning sinonimi sifatida bo'shashgan ma'noda ishlatiladi. Masalan, ning tahlilida trusslar, bu uning maydoniga bo'linadigan kuchga emas, balki nurga ta'sir qiladigan umumiy tortish yoki siqish kuchiga ishora qilishi mumkin. ko'ndalang kesim.

Tarix

Qadim zamonlardan beri odamlar ongli ravishda materiallar ichidagi stressdan xabardor bo'lib kelganlar. XVII asrgacha stressni tushunish asosan intuitiv va empirik edi; va shunga qaramay, bu o'xshash hayratlanarli darajada murakkab texnologiyani keltirib chiqardi kompozit kamon va shisha puflamoqda.^[1]

Bir necha ming yillar davomida, ayniqsa, me'morlar va quruvchilar stressni eng samarali tarzda ushlab turish, uzatish va taqsimlash uchun ehtiyotkorlik bilan shakllangan yog'och to'sinlar va tosh bloklarni qanday qilib birlashtirishni o'rgandilar, masalan, aqlli qurilmalar bilan poytaxtlar, kamar, kuboklar, trusslar va uchuvchi tayanchlar ning Gotik soborlar.

Qadimgi va o'rta asr me'morlari ustunlar va nurlarning mos o'lchamlarini hisoblash uchun ba'zi geometrik usullarni va oddiy formulalarni ishlab chiqdilar, ammo 17-18 asrlarda zarur vositalar ixtiro qilingandan keyingina stressni ilmiy tushunish mumkin bo'ldi: Galiley Galiley qat'iy eksperimental usul, Rene Dekart "s koordinatalar va analitik geometriya va Nyuton "s harakat va muvozanat qonunlari va cheksiz kichiklarning hisobi.^[2] Ushbu vositalar yordamida, Avgustin-Lui Koshi bir hil muhitda stress uchun birinchi qat'iy va umumiy matematik modelni bera oldi.^{[iqtibos kerak ]} Koshi xayoliy sirt bo'ylab kuch uning normal vektorining chiziqli funktsiyasi ekanligini kuzatdi; va bundan tashqari, u nosimmetrik funktsiya bo'lishi kerak (nol umumiy impuls bilan).^{[iqtibos kerak ]}

Suyuqliklardagi stressni tushunish Nyutondan boshlandi, u parallel ravishda ishqalanish kuchlari (kesish kuchlanishi) uchun differentsial formulani taqdim etdi. laminar oqim.

Umumiy nuqtai

Ta'rif

Stress chegaraning barcha yo'nalishlari uchun ushbu chegaraning birligi uchun "kichik" chegara bo'ylab kuch sifatida aniqlanadi.^[3] Asosiy fizik kattalikdan (kuchdan) va sof geometrik kattalikdan (maydondan) kelib chiqqan holda, stress ham tezlik kabi asosiy miqdor, moment yoki energiya, bu materialning tabiati yoki uning jismoniy sabablarini aniq hisobga olmasdan miqdoriy tahlil qilish mumkin.

Doimiy mexanikaning asosiy asoslaridan kelib chiqib, stress bu makroskopik kontseptsiya. Ya'ni, uning ta'rifi va tahlilida ko'rib chiqilgan zarrachalar tarkibi va holati bo'yicha bir hil bo'lib ko'rilishi uchun etarlicha kichik bo'lishi kerak, ammo shunga qaramay ularni e'tiborsiz qoldiradigan darajada katta bo'lishi kerak. kvant effektlar va molekulalarning batafsil harakatlari. Shunday qilib, ikkita zarracha orasidagi kuch aslida ularning molekulalari orasidagi juda katta miqdordagi atom kuchlarining o'rtacha qiymatidir; va tortishish kabi uch o'lchovli jismlarning asosiy qismi orqali harakat qiladigan massa, tezlik va kuchlar kabi fizik kattaliklar ular ustida bir tekis taqsimlangan deb hisoblanadi.^{[4]:90–106-betlar} Kontekstga qarab, zarrachalar boshqa mikroskopik xususiyatlardan o'rtacha, masalan, donalari kabi o'rtacha bo'lishga imkon beradigan darajada katta deb taxmin qilish mumkin. metall novda yoki tolalar bir parcha yog'och.

Miqdoriy ravishda stress, bilan ifodalanadi Koshi tortish vektori T tortish kuchi sifatida aniqlanadi F xayoliy ajratuvchi sirt bo'ylab materialning qo'shni qismlari o'rtasida S, maydoniga bo'lingan S.^[5]:s.41-50 A suyuqlik tinch holatda kuch sirtga perpendikulyar va tanishdir bosim. A qattiq yoki a oqim yopishqoq suyuqlik, kuch F ga perpendikulyar bo'lmasligi mumkin S; shuning uchun sirtdagi stressni skalyar emas, balki vektor miqdori deb hisoblash kerak. Bundan tashqari, yo'nalish va kattalik odatda yo'nalishga bog'liq S. Shunday qilib, materialning stress holati a tomonidan tavsiflanishi kerak tensor, deb nomlangan (Koshi) stress tensori; bu chiziqli funktsiya bilan bog'liq normal vektor n yuzaning S stressga T bo'ylab S. Tanlanganlarga nisbatan koordinatalar tizimi, Koshi stress tenzori a shaklida ifodalanishi mumkin nosimmetrik matritsa 3 × 3 haqiqiy sonlar. Hatto a ichida bir hil tanasi, stress tensori har joyda o'zgarishi mumkin va vaqt o'tishi bilan o'zgarishi mumkin; shuning uchun material ichidagi stress, umuman olganda, vaqtga qarab o'zgarib turadi tensor maydoni.

Oddiy va kesma stress

Umuman olganda, stress T bu zarracha P boshqa zarrachaga tegishli Q bir sirt bo'ylab S ga nisbatan har qanday yo'nalishga ega bo'lishi mumkin S. Vektor T ikki komponentning yig'indisi sifatida qaralishi mumkin: the normal stress (siqilish yoki kuchlanish ) yuzaga perpendikulyar va kesish stressi bu sirtga parallel.

Agar normal birlik vektori bo'lsa n yuzaning ( Q tomonga P) sobit deb qabul qilinadi, normal komponentni bitta raqam bilan ifodalash mumkin nuqta mahsuloti T · n. Agar bu raqam ijobiy bo'lsa P "tortmoqda" Q (valentlik kuchlanishi), va agar salbiy bo'lsa P qarshi "itarib" Q (siqilish kuchlanishi) keyin kesuvchi komponent vektordir T − (T · n)n.

Birlik

Stressning o'lchami bosim va shuning uchun uning koordinatalari odatda bosim bilan bir xil birliklarda o'lchanadi: ya'ni, paskallar (Pa, ya'ni, Nyutonlar per kvadrat metr ) ichida Xalqaro tizim, yoki funt per kvadrat dyuym ichida (psi) Imperial tizim. Mexanik stresslar osongina million Paskaldan oshib ketganligi sababli, megapaskalni anglatuvchi MPa stressning odatiy birligi hisoblanadi.

Sabablari va oqibatlari

Moddiy tanadagi stress ko'plab jismoniy sabablarga, shu jumladan tashqi ta'sirlarga va ichki jismoniy jarayonlarga bog'liq bo'lishi mumkin. Ushbu agentlarning ba'zilari (tortishish kabi, o'zgaradi harorat va bosqich va elektromagnit maydonlar) materialning asosiy qismiga ta'sir qiladi, joylashuvi va vaqti bilan doimiy ravishda o'zgarib turadi. Boshqa vositalar (tashqi yuklanishlar va ishqalanish, atrof-muhit bosimi va aloqa kuchlari kabi) ma'lum sirtlarda, chiziqlarda yoki nuqtalarda to'plangan kuchlanish va kuchlarni yaratishi mumkin; va, ehtimol, juda qisqa vaqt oralig'ida (kabi impulslar to'qnashuvlar tufayli). Yilda faol moddalar, mikroskopik zarralarning o'ziyurarligi makroskopik stress rejimlarini hosil qiladi.^[7] Umuman olganda, tanadagi stress taqsimoti a bilan ifodalanadi qismli doimiy funktsiya makon va vaqt.

Aksincha, stress odatda materialga turli xil ta'sirlar bilan, shu kabi jismoniy xususiyatlarning o'zgarishi bilan bog'liq ikki tomonlama buzilish, qutblanish va o'tkazuvchanlik. Tashqi agent tomonidan stressni kiritish, odatda, ba'zilarini yaratadi deformatsiya (deformatsiya) materialda, hatto uni aniqlash uchun juda kichik bo'lsa ham. Qattiq materialda bunday kuchlanish o'z navbatida cho'zilgan reaksiya kuchiga o'xshash ichki elastik kuchlanish hosil qiladi bahor, materialni asl deformatsiz holatiga qaytarishga intilish. Suyuq materiallar (suyuqliklar, gazlar va plazmalar ) ta'rifi bo'yicha faqat ularning hajmini o'zgartiradigan deformatsiyalarga qarshi tura oladi. Ammo, agar deformatsiya vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadigan bo'lsa, hatto suyuqlikda ham bu o'zgarishga qarshi bo'lgan ba'zi yopishqoq stresslar bo'ladi. Bunday stresslar tabiatda kesish yoki normal bo'lishi mumkin. Suyuqliklardagi siljish stresslarining molekulyar kelib chiqishi haqida maqolada keltirilgan yopishqoqlik. Oddiy yopishqoq stresslar uchun xuddi shunday narsani Sharma (2019) da topish mumkin.^[8]

Stress va uning ta'siri va sabablari, shu jumladan deformatsiya va deformatsiyaning o'zgarish tezligi o'rtasidagi bog'liqlik juda murakkab bo'lishi mumkin (a chiziqli yaqinlashish miqdori etarli darajada kichik bo'lsa, amalda etarli bo'lishi mumkin). Belgilangan darajadan yuqori bo'lgan stress kuch chegaralari material doimiy deformatsiyaga olib keladi (masalan plastik oqim, sinish, kavitatsiya ) yoki hatto uni o'zgartiring kristall tuzilishi va kimyoviy tarkibi.

Oddiy stress

Ba'zi hollarda tanadagi stress bitta raqam yoki bitta vektor (raqam va yo'nalish) bilan etarli darajada tavsiflanishi mumkin. Uchtasi oddiy stress muhandislik dizaynida tez-tez uchraydigan holatlar quyidagilardir bir tomonlama normal stress, oddiy qirqish stressi, va izotropik normal stress.^[9]

Uniaksial normal stress

Oddiy stress holatidagi odatiy holat - bir xil material va tasavvurlar bilan tekis novda ta'sirlanishidir kuchlanish kattalikning qarama-qarshi kuchlari bilan ${ displaystyle F}$ uning o'qi bo'ylab. Agar tizim mavjud bo'lsa muvozanat va vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi va barning og'irligini e'tiborsiz qoldirish mumkin, keyin barning har bir transversal qismi orqali yuqori qism bir xil kuch bilan pastki qismni tortishi kerak, F to'liq tasavvurlar maydoni orqali uzluksizligi bilan, A. Shunday qilib, har qanday gorizontal sirt bo'ylab barda the kuchlanish shunchaki ushbu kuchlarning kattaligi bilan hisoblab chiqilgan bitta son bilan ifodalanishi mumkin, Fva tasavvurlar maydoni, A.

Boshqa tomondan, agar kimdir barni o'qi bilan parallel ravishda uzunligi bo'ylab kesilganligini tasavvur qilsa, kesilgan bo'ylab ikkala yarim o'rtasida hech qanday kuch bo'lmaydi (shu sababli stress bo'lmaydi).

Ushbu turdagi stressni (oddiy) normal stress yoki bir tomonlama stress deb atash mumkin; xususan, (bir tomonlama, oddiy va boshqalar) tortishish kuchlanishi.^[9] Agar yuk bo'lsa siqilish barda, uni cho'zishdan ko'ra, tahlil kuch bilan bir xil bo'ladi F va stress ${ displaystyle sigma}$ o'zgarish belgisi va stress bosim bosimi deb ataladi.

Ushbu tahlil stressning butun kesma bo'ylab teng ravishda taqsimlanishini nazarda tutadi. Amalda, barning uchlariga qanday biriktirilganiga va qanday ishlab chiqarilganiga qarab, bu taxmin haqiqiy bo'lmasligi mumkin. Bunday holda, qiymat ${ displaystyle sigma}$ = F/A deb nomlangan faqat o'rtacha stress bo'ladi muhandislik stressi yoki nominal stress. Biroq, barning uzunligi bo'lsa L uning diametridan ko'p marta katta D., va unda qo'pol nuqsonlar yo'q yoki ichki stress, keyin stress bir necha baravar ko'p bo'lgan har qanday tasavvurlar bo'ylab bir tekis taqsimlangan deb taxmin qilish mumkin D. ikkala uchidan. (Ushbu kuzatuv Sen-Venant printsipi ).

Oddiy stress eksenel kuchlanish va siqilishdan tashqari boshqa ko'plab holatlarda paydo bo'ladi. Agar kesmasi bir xil va nosimmetrik bo'lgan elastik novda uning simmetriya tekisliklaridan birida egilsa, natijada egilish stressi baribir normal (kesimga perpendikulyar) bo'ladi, lekin kesma bo'yicha farq qiladi: tashqi qismi valentlik stressida bo'ladi, ichki qismi esa siqiladi. Oddiy stressning yana bir varianti bu halqa stressi silindrsimon devorlarda paydo bo'ladi quvur yoki idish bosimli suyuqlik bilan to'ldirilgan.

Oddiy siljish stressi

Stressning yana bir oddiy turi elim yoki kauchuk singari elastik materialning bir tekis qalin qatlami qatlamga parallel kuchlar bilan qarama-qarshi yo'nalishda tortilgan ikkita qattiq jismga mahkam yopishganda paydo bo'ladi; yoki a ning jag'lari bilan kesilgan yumshoq metall novdaning bir qismi qaychi kabi vosita. Ruxsat bering F bu kuchlarning kattaligi bo'ling va M bu qatlamning o'rta tekisligi bo'ling. Xuddi oddiy stress holatida bo'lgani kabi, qatlamning bir tomonidagi qismi M xuddi shu kuch bilan boshqa qismini tortishi kerak F. Kuchlarning yo'nalishi ma'lum bo'lsa, ular bo'ylab stress M shunchaki bitta raqam bilan ifodalanishi mumkin ${ displaystyle tau}$ , shunchaki ushbu kuchlarning kattaligi bilan hisoblab chiqilgan, F va tasavvurlar maydoni, A.

Biroq, odatdagi stressdan farqli o'laroq, bu oddiy qirqish stressi perpendikulyar emas, balki ko'rib chiqilgan kesimga parallel ravishda yo'naltiriladi.^[9] Har qanday samolyot uchun S qatlamga perpendikulyar, aniq ichki kuch bo'ylab S, va shuning uchun stress, nolga teng bo'ladi.

Eksenel yuklangan barda bo'lgani kabi, amalda ham kesish kuchlanishi qatlam bo'ylab bir tekis taqsimlanmasligi mumkin; shuning uchun avvalgidek nisbat F/A faqat o'rtacha ("nominal", "muhandislik") stress bo'ladi. Biroq, bu o'rtacha ko'pincha amaliy maqsadlar uchun etarli.^[10]:292-bet A kabi silindrsimon novda bo'lganda ham kesish kuchlanishi kuzatiladi mil uning uchlarida qarama-qarshi torklarga duchor bo'ladi. Bunday holda, har bir kesmaning kesish kuchi kesimga parallel, lekin o'qga nisbatan teginsel ravishda yo'naltiriladi va o'qdan uzoqlashganda ortadi. Kesishning sezilarli stressi o'rta plastinkada ("to'r") paydo bo'ladi I-nurlari bükme yuklari ostida, so'nggi plastinkalarni cheklaydigan tarmoq tufayli ("gardish").

Izotropik stress

Stressning yana bir oddiy turi, moddiy tanasi har tomonga teng siqilgan yoki taranglashgan holatda bo'ladi. Masalan, ba'zi bir idishda yoki katta miqdordagi suyuqlik massasi tarkibida bo'lsin, dam olish holatida bo'lgan suyuqlik yoki gazning bir qismida; yoki oltita yuzga teng perpendikulyar kuchlar yordamida bosilib yoki tortib olinadigan elastik materialning kubiklari ichida - har ikkala holatda ham material bir hil, ichki stresssiz bo'lishi va tortishish kuchi va boshqa tashqi kuchlarning ta'siri bilan beparvo bo'lishi mumkin.

Bunday vaziyatlarda har qanday xayoliy ichki sirtdagi stress kattaligi bo'yicha teng bo'lib chiqadi va har doim sirt yo'nalishidan mustaqil ravishda sirtga perpendikulyar ravishda yo'naltiriladi. Ushbu turdagi stressni chaqirish mumkin izotropik normal yoki shunchaki izotrop; agar u siqilgan bo'lsa, u deyiladi gidrostatik bosim yoki shunchaki bosim. Ta'rif bo'yicha gazlar valentlik kuchlanishiga bardosh bera olmaydi, lekin ba'zi suyuqliklar ba'zi hollarda hayratlanarli darajada katta miqdordagi izotropik valentlik kuchlanishiga chiday oladi. qarang Z-naycha.

Shiling kuchlanishlari

Qismlar aylanish simmetriyasi, g'ildiraklar, o'qlar, quvurlar va ustunlar kabi muhandislikda juda keng tarqalgan. Ko'pincha bunday qismlarda yuzaga keladigan stress naqshlari rotatsion yoki hatto tengdir silindrsimon simmetriya. Bundaylarni tahlil qilish silindr kuchlanishlari domen va / yoki stress tensorining o'lchamini kamaytirish uchun simmetriyadan foydalanishi mumkin.

Umumiy stress

Ko'pincha, mexanik jismlar bir vaqtning o'zida bir nechta stressni boshdan kechirishadi; bu deyiladi birlashgan stress. Oddiy va siljish kuchlanishida stressning kattaligi ma'lum yo'nalishga perpendikulyar bo'lgan sirtlar uchun maksimal bo'ladi ${ displaystyle d}$, va parallel bo'lgan har qanday sirt bo'ylab nol ${ displaystyle d}$. Kesish kuchlanishi faqat bitta aniq yo'nalishga perpendikulyar bo'lgan sirtlarda nolga teng bo'lganda, kuchlanish deyiladi ikki tomonlama, va ikkita normal yoki kesma stresslarning yig'indisi sifatida qaralishi mumkin. Eng umumiy holatda, chaqiriladi triaksial stress, kuchlanish har bir sirt elementi bo'yicha nolga teng.

Koshi kuchlanish tensori

Birlashtirilgan stresslarni bitta vektor bilan tavsiflab bo'lmaydi. Tananing butun hajmi davomida material xuddi shu tarzda ta'kidlangan bo'lsa ham, har qanday xayoliy sirtdagi stress bu sirt yo'nalishiga bog'liq bo'lib, ahamiyatsiz emas.

Biroq, Koshi stress vektori ekanligini kuzatdi ${ displaystyle T}$ bir sirt bo'ylab har doim a bo'ladi chiziqli funktsiya yuzaning normal vektor ${ displaystyle n}$, unga perpendikulyar bo'lgan birlik uzunlik vektori. Anavi, ${ displaystyle T = { boldsymbol { sigma}} (n)}$, bu erda funktsiya ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}}}$ qondiradi

${ displaystyle { boldsymbol { sigma}} ( alfa u + beta v) = alfa { boldsymbol { sigma}} (u) + beta { boldsymbol { sigma}} (v)}$

har qanday vektor uchun ${ displaystyle u, v}$ va har qanday haqiqiy sonlar ${ displaystyle alfa, beta}$.Funktsiya ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}}}$, endi (Koshi) stress tensori, bir xil stressli tananing stress holatini to'liq tavsiflaydi. (Bugungi kunda ikkita fizikaviy vektor kattaliklari orasidagi har qanday chiziqli bog'lanish a deb ataladi tensor, Koshining materialdagi "taranglikni" (stresslarni) tasvirlash uchun asl ishlatilishini aks ettiradi.) In tensor hisobi, ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}}}$ ning ikkinchi darajali tenzori sifatida tasniflanadi turi (0,2).

Vektorlar orasidagi har qanday chiziqli xarita singari, stress tensori ham tanlangan har qanday joyda ifodalanishi mumkin Dekart koordinatalar tizimi haqiqiy sonlarning 3 × 3 matritsasi bo'yicha. Koordinatalar raqamlanganligiga qarab ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$ yoki nomlangan ${ displaystyle x, y, z}$, matritsa quyidagicha yozilishi mumkin

${ displaystyle { begin {bmatrix} sigma _ {11} & sigma _ {12} & sigma _ {13} sigma _ {21} & sigma _ {22} & sigma _ {23 } sigma _ {31} & sigma _ {32} & sigma _ {33} end {bmatrix}} quad quad quad}$ yoki ${ displaystyle quad quad quad { begin {bmatrix} sigma _ {xx} & sigma _ {xy} & sigma _ {xz} sigma _ {yx} & sigma _ {yy} & sigma _ {yz} sigma _ {zx} & sigma _ {zy} & sigma _ {zz} end {bmatrix}}}$

Stress vektori ${ displaystyle T = { boldsymbol { sigma}} (n)}$ bilan sirt bo'ylab normal vektor ${ displaystyle n}$ (bu shunday kovariant - "qator; gorizontal" - vektor) koordinatalari bilan ${ displaystyle n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}}$ keyin matritsa mahsulotidir ${ displaystyle T = n cdot { boldsymbol { sigma}}}$ (bu erda yuqori indeksdagi T bo'ladi transpozitsiya va natijada biz olamiz kovariant (qator) vektor) (qarang Koshi stressining tensori ), anavi

${ displaystyle { begin {bmatrix} T_ {1} & T_ {2} & T_ {3} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} n_ {1} & n_ {2} & n_ {3} end {bmatrix }} cdot { begin {bmatrix} sigma _ {11} & sigma _ {21} & sigma _ {31} sigma _ {12} & sigma _ {22} & sigma _ { 32} sigma _ {13} & sigma _ {23} & sigma _ {33} end {bmatrix}}}$

Orasidagi chiziqli munosabat ${ displaystyle T}$ va ${ displaystyle n}$ ning asosiy qonunlaridan kelib chiqadi chiziqli impulsning saqlanishi va statik muvozanat kuchlarning kuchi, shuning uchun har qanday moddiy va har qanday stress holatlari uchun matematik jihatdan aniq. Materialning har bir nuqtasida Koshi stressi tensorining tarkibiy qismlari muvozanat tenglamalarini qondiradi (Koshining harakat tenglamalari nol tezlashtirish uchun). Bundan tashqari, burchak momentumining saqlanishi stress tensori ekanligini anglatadi nosimmetrik, anavi ${ displaystyle sigma _ {12} = sigma _ {21}}$, ${ displaystyle sigma _ {13} = sigma _ {31}}$va ${ displaystyle sigma _ {23} = sigma _ {32}}$. Shuning uchun har qanday nuqtada va bir lahzada muhitning stress holati to'qqizta emas, balki faqat oltita mustaqil parametr bilan belgilanishi mumkin. Bular yozilgan bo'lishi mumkin

${ displaystyle { begin {bmatrix} sigma _ {x} & tau _ {xy} & tau _ {xz} tau _ {xy} & sigma _ {y} & tau _ {yz } tau _ {xz} & tau _ {yz} & sigma _ {z} end {bmatrix}}}$

qaerda elementlar ${ displaystyle sigma _ {x}, sigma _ {y}, sigma _ {z}}$ deyiladi ortogonal normal stresslar (tanlangan koordinata tizimiga nisbatan) va ${ displaystyle tau _ {xy}, tau _ {xz}, tau _ {yz}}$ The ortogonal siljish stresslari.

Koordinatalarning o'zgarishi

Koshi stress tenzori koordinatalar tizimining o'zgarishi ostida tenzorni o'zgartirish qonuniga bo'ysunadi. Ushbu o'zgartirish qonunining grafik tasviri bu Mohning doirasi stressni taqsimlash.

Nosimmetrik 3 × 3 haqiqiy matritsa sifatida stress tenzori ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}}}$ uchta o'zaro ortogonal birlik uzunligiga ega xususiy vektorlar ${ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, e_ {3}}$ va uchta haqiqiy o'zgacha qiymatlar ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3}}$, shu kabi ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}} e_ {i} = lambda _ {i} e_ {i}}$. Shuning uchun, o'qlari bo'lgan koordinata tizimida ${ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, e_ {3}}$, stress tensori diagonal matritsa bo'lib, faqat uchta normal komponentga ega ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3}}$ The asosiy stresslar. Agar uchta o'ziga xos qiymat teng bo'lsa, stress an bo'ladi izotrop siqilish yoki taranglik, har doim har qanday sirtga perpendikulyar, siljish stressi yo'q va tensor har qanday koordinata doirasidagi diagonal matritsadir.

Tensor maydoni sifatida stress

Umuman olganda, stress moddiy tanada bir tekis taqsimlanmagan va vaqtga qarab o'zgarishi mumkin. Shuning uchun stress tenzori har bir nuqta va har bir moment uchun an ni hisobga olgan holda aniqlanishi kerak cheksiz bu nuqtani o'rab turgan muhit zarrachasi va bu zarrachadagi o'rtacha kuchlanishlarni nuqtadagi stresslar sifatida qabul qilish.

Yupqa plitalardagi stress

Sun'iy buyumlar ko'pincha turli xil materiallarning stok plitalaridan o'zlarining ikki o'lchovli xususiyatlarini o'zgartirmaydigan operatsiyalar bilan, masalan, qirqish, burg'ulash, qirralarning bo'ylab yumshoq egilish va payvandlash kabi usullar bilan tayyorlanadi. Bunday jismlardagi stressning tavsifini ushbu qismlarni uch o'lchovli jismlar emas, balki ikki o'lchovli sirt sifatida modellashtirish yo'li bilan soddalashtirish mumkin.

Shu nuqtai nazardan, bitta "zarracha" ni plastinka yuzasining cheksiz kichik bo'lagi deb qayta belgilaydi, shuning uchun qo'shni zarralar orasidagi chegara cheksiz kichik chiziq elementiga aylanadi; ikkalasi ham plastinka uchun (to'g'ridan-to'g'ri) normal ravishda uchinchi o'lchamda kengaytirilgan. Keyinchalik "stress" ularning umumiy chiziq elementi bo'ylab ikkita qo'shni "zarrachalar" orasidagi ichki kuchlarning o'lchami sifatida aniqlanadi va shu chiziq uzunligiga bo'linadi. Stress tensorining ba'zi tarkibiy qismlarini e'tiborsiz qoldirish mumkin, ammo zarralar uchinchi o'lchovda cheksiz bo'lmaganligi sababli, zarrachaning qo'shnilariga qo'llagan momentini e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi. Ushbu moment a sifatida modellashtirilgan egilish stressi ni o'zgartirishga moyil egrilik plitaning Shu bilan birga, ushbu soddalashtirishlar payvand choklarida, keskin burilish va burishmalarda bajarilmasligi mumkin egrilik radiusi plitaning qalinligi bilan solishtirish mumkin).

Yupqa nurlarda stress

Stressni tahlil qilish ingichka novda uchun ham soddalashtirilishi mumkin, nurlar yoki mo''tadil egilishga va burilishga duchor bo'lgan bir xil (yoki silliq o'zgaruvchan) kompozitsion va tasavvurlar simlari. Ushbu jismlar uchun faqat bar o'qiga perpendikulyar bo'lgan kesmalarni ko'rib chiqish mumkin va "zarrachani" ikkita shunday tasavvurlar orasidagi cheksiz uzunlikdagi sim bo'lagi sifatida qayta aniqlash mumkin. Keyin oddiy stress skalargacha kamayadi (barning tarangligi yoki siqilishi), lekin buni ham hisobga olish kerak egilish stressi (bu chiziqning egriligini o'qga perpendikulyar ravishda biron bir yo'nalishda o'zgartirishga harakat qiladi) va a burilish stressi (bu o'z o'qi atrofida burilishga yoki burilishga harakat qiladi).

Stressning boshqa tavsiflari

Koshi stress tensori boshdan kechirayotgan moddiy jismlarning stressini tahlil qilish uchun ishlatiladi kichik deformatsiyalar bu erda ko'p hollarda stressni taqsimlashdagi farqlarni e'tiborsiz qoldirish mumkin. Katta deformatsiyalar uchun ham deyiladi cheklangan deformatsiyalar, kabi boshqa stress choralari birinchi va ikkinchi Piola - Kirchhoff kuchlanish tensorlari, Biot stress tensori, va Kirchhoff stress tensori, talab qilinadi.

Qattiq moddalar, suyuqliklar va gazlar mavjud stress maydonlari. Statik suyuqliklar odatdagi stressni qo'llab-quvvatlaydi, ammo ular ostida bo'ladi kesish stressi. Ko'chirish yopishqoq suyuqliklar siljish stressini (dinamik bosim) qo'llab-quvvatlashi mumkin. Qattiq moddalar ham, ham kesish va normal stressni qo'llab-quvvatlashi mumkin egiluvchan materiallar qirqim ostida ishlamay qolishi va mo'rt normal stress ostida ishdan chiqqan materiallar. Barcha materiallar stress bilan bog'liq xususiyatlarning haroratga bog'liq o'zgarishlariga ega va Nyutonga tegishli bo'lmagan materiallar stavkaga bog'liq o'zgarishlarga ega.

Stressni tahlil qilish

Stressni tahlil qilish ning filialidir amaliy fizika qattiq jismlarda ichki kuchlarning ichki taqsimlanishini aniqlashni o'z ichiga oladi. Bu tunnellar, to'g'onlar, mexanik qismlar va konstruktsiya ramkalari kabi inshootlarni belgilangan yoki kutilgan yuk ostida o'rganish va loyihalash uchun muhandislikda muhim vosita hisoblanadi. Bu boshqa ko'plab fanlarda ham muhimdir; masalan, geologiyada shunga o'xshash hodisalarni o'rganish plitalar tektonikasi, vulkanizm va qor ko'chkisi; biologiyada esa tirik mavjudotlarning anatomiyasini tushunish.

Maqsadlar va taxminlar

Stress tahlili odatda makroskopik deb taxmin qilinishi mumkin bo'lgan ob'ektlar va tuzilmalar bilan bog'liq statik muvozanat. By Nyuton harakat qonunlari, bunday tizimga qo'llaniladigan har qanday tashqi kuchlar ichki reaktsiya kuchlari tomonidan muvozanatlashtirilishi kerak,^[11]:97-bet deyarli har doim qo'shni zarralar orasidagi sirt aloqa kuchlari - bu stress sifatida.^[5] Har bir zarracha muvozanatda bo'lishi kerakligi sababli, bu reaktsiya stressi zarrachadan zarrachaga tarqaladi va butun tanada stress taqsimotini hosil qiladi.

Stressni tahlil qilishda odatdagi muammo, tizimga ta'sir etuvchi tashqi kuchlarni hisobga olgan holda, ushbu ichki stresslarni aniqlashdir. Ikkinchisi bo'lishi mumkin tana kuchlari (masalan, tortishish kuchi yoki magnit tortishish kabi), bu materialning butun hajmida ishlaydi;^[12]:s.42-81 yoki konsentratsiyali yuklar (masalan, o'q va a orasidagi ishqalanish rulman, yoki temir yo'l ustidagi temir yo'l g'ildiragining og'irligi), bu ikki o'lchovli maydon bo'ylab yoki chiziq bo'ylab yoki bitta nuqtada harakat qilishni tasavvur qiladi.

Stressni tahlil qilishda odatda kuchlarning fizik sabablari yoki materiallarning aniq tabiati hisobga olinmaydi. Buning o'rniga, stresslar ma'lum bo'lgan materialning deformatsiyasiga (va statik bo'lmagan muammolarda, deformatsiya tezligiga) bog'liq deb taxmin qiladi. tarkibiy tenglamalar.^[13]

Usullari

Stressni tahlil qilish eksperimental tarzda, haqiqiy artefaktga yoki masshtabli modelga yuklarni qo'llash va natijada paydo bo'ladigan kuchlanishlarni bir necha mavjud usullardan biri yordamida amalga oshirilishi mumkin. Ushbu yondashuv ko'pincha xavfsizlikni sertifikatlash va monitoring qilish uchun ishlatiladi. Shu bilan birga, stressni tahlil qilishning aksariyati matematik usullar bilan, ayniqsa loyihalash paytida amalga oshiriladi. Stressni tahlil qilish eksperimental tarzda, haqiqiy artefaktga yoki masshtabli modelga yuklarni kiritish va natijada paydo bo'ladigan stresslarni bir necha mavjud usullardan biri yordamida amalga oshirilishi mumkin. Asosiy stressni tahlil qilish muammosi quyidagicha shakllantirilishi mumkin Eylerning harakat tenglamalari uzluksiz jismlar uchun (bu natijalardir Nyuton qonunlari saqlash uchun chiziqli impuls va burchak momentum ) va Eyler-Koshi stress printsipi, tegishli konstitutsiyaviy tenglamalar bilan birgalikda. Shunday qilib,. Sistemasini oladi qisman differentsial tenglamalar stress tensor maydonini va kuchlanish tenzori maydon, aniqlanmagan noma'lum funktsiyalar sifatida. Tashqi tana kuchlari differentsial tenglamalarda mustaqil ("o'ng tomon") atama sifatida, konsentrlangan kuchlar esa chegara shartlari sifatida namoyon bo'ladi. Shuning uchun asosiy stressni tahlil qilish muammosi a chegara muammosi.

Stressni tahlil qilish elastik tuzilmalari elastiklik nazariyasi va cheksiz kichik kuchlanish nazariyasi. Amaldagi yuklar doimiy deformatsiyaga olib kelganda, fizik jarayonlarni hisobga oladigan murakkabroq konstitutsiyaviy tenglamalardan foydalanish kerak (plastik oqim, sinish, o'zgarishlar o'zgarishi, va boshqalar.).

Biroq, muhandislik inshootlari, odatda, maksimal kutilgan stresslar oralig'ida bo'lishi uchun mo'ljallangan chiziqli elastiklik (ning umumlashtirilishi Xuk qonuni uzluksiz ommaviy axborot vositalari uchun); ya'ni ichki stresslardan kelib chiqadigan deformatsiyalar ular bilan chiziqli bog'liqdir. Bunday holda, kuchlanish tensorini belgilaydigan differentsial tenglamalar chiziqli bo'lib, muammo ancha osonlashadi. Birinchidan, har qanday nuqtadagi stress ham yuklarning chiziqli funktsiyasi bo'ladi. Etarli kichik kuchlanishlar uchun, hatto chiziqli bo'lmagan tizimlar ham odatda chiziqli deb qabul qilinishi mumkin.

Jismoniy o'lchovlar va yuklarning taqsimlanishi strukturani bir yoki ikki o'lchovli deb hisoblashga imkon beradigan bo'lsa, stressni tahlil qilish soddalashtiriladi. Masalan, trusslarni tahlil qilishda stress maydoni har bir a'zoning ustida bir xil va bitta ekssial deb qabul qilinishi mumkin. Keyin differentsial tenglamalar cheklangan ko'p sonli noma'lum bo'lgan cheklangan tenglamalar to'plamiga (odatda chiziqli) kamayadi, boshqa kontekstlarda uch o'lchovli masalani ikki o'lchovli darajaga kamaytirish va / yoki umumiy kuchlanish va kuchlanishni almashtirish mumkin tensorlarni oddiy ekspluatatsiya / siqish, oddiy qirqish va boshqalar kabi oddiy modellar.

Shunga qaramay, ikki yoki uch o'lchovli holatlar uchun qisman differentsial tenglama masalasini echish kerak, agar geometriya, konstitutsiyaviy munosabatlar va chegara shartlari etarlicha sodda bo'lsa, differentsial tenglamalarga analitik yoki yopiq echimlarni olish mumkin. Aks holda, odatda, kabi raqamli taxminlarga murojaat qilish kerak cheklangan element usuli, chekli farq usuli, va chegara elementi usuli.

Stressning alternativ o'lchovlari

Boshqa foydali stress choralari birinchi va ikkinchisini o'z ichiga oladi Piola - Kirchhoff kuchlanish tenzorlari, Biot stress tensori, va Kirchhoff stress tensori.

Piola-Kirchhoff stress tensori

Bo'lgan holatda cheklangan deformatsiyalar, Piola - Kirchhoff kuchlanish tensorlari mos yozuvlar konfiguratsiyasiga nisbatan stressni ifoda eting. Bu farqli o'laroq Koshi stressining tensori bu hozirgi konfiguratsiyaga nisbatan stressni ifodalaydi. Infinitesimal deformatsiyalar va aylanishlar uchun Koshi va Piola-Kirxhoff tenzorlari bir xil.

Koshi stressining tenzori esa ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}}}$ joriy konfiguratsiyadagi stresslarni, deformatsiyani bog'laydi gradient va kuchlanish tensorlari harakatni mos yozuvlar konfiguratsiyasiga bog'lash orqali tavsiflanadi; shuning uchun materialning holatini tavsiflovchi barcha tensorlar mos yozuvlar yoki joriy konfiguratsiyada emas. Stress, kuchlanish va deformatsiyani mos yozuvlar yoki joriy konfiguratsiyada tavsiflash konstitutsiyaviy modellarni aniqlashni osonlashtirishi mumkin edi (masalan, Koshi Stress tensori sof aylanishning variantidir, deformatsiya deformatsiyasi tenzori o'zgarmasdir; shuning uchun ularni aniqlashda muammolar paydo bo'ladi sof aylanish jarayonida o'zgarmas deb o'zgaruvchan tenzorni bog'laydigan konstitutsiyaviy model; ta'rifi bo'yicha konstitutsiyaviy modellar sof aylanishlarga o'zgarmas bo'lishi kerak). 1-Piola-Kirchhoff stress tensori, ${ displaystyle { boldsymbol {P}}}$ bu muammoni hal qilishning mumkin bo'lgan usullaridan biridir. Tananing konfiguratsiyasini hozirgi yoki mos yozuvlar holatida tavsiflaydigan tensorlar oilasini belgilaydi.

1-Piola-Kirchhoff stress tensori, ${ displaystyle { boldsymbol {P}}}$ kuchlar bilan bog'liq hozirgi ("fazoviy") konfiguratsiyasi ma'lumotnoma ("material") konfiguratsiyasi.

${ displaystyle { boldsymbol {P}} = J ~ { boldsymbol { sigma}} ~ { boldsymbol {F}} ^ {- T} ~}$

qayerda ${ displaystyle { boldsymbol {F}}}$ bo'ladi deformatsiya gradyenti va ${ displaystyle J = det { boldsymbol {F}}}$ bo'ladi Jacobian aniqlovchi.

An-ga nisbatan komponentlar nuqtai nazaridan ortonormal asos, birinchi Piola-Kirchhoff stressi berilgan

${ displaystyle P_ {iL} = J ~ sigma _ {ik} ~ F_ {Lk} ^ {- 1} = J ~ sigma _ {ik} ~ { cfrac { qismli X_ {L}} { qisman x_ {k}}} ~ , !}$

U turli koordinatalar tizimlari bilan bog'liqligi sababli, 1-Piola-Kirxhoff stressi a ikki nuqta tensori. Umuman olganda, bu nosimmetrik emas. 1-Piola-Kirxhoff stressi - bu 1D tushunchasini 3-darajali umumlashtirish muhandislik stressi.

Agar material stress holatini o'zgartirmasdan (qattiq aylanish) aylansa, 1-Piola-Kirchhoff kuchlanish tensorining tarkibiy qismlari moddiy yo'nalishga qarab o'zgaradi.

1-Piola-Kirxhoff stressi deformatsiya gradiyenti bilan energiya konjugati.

2-Piola-Kirxhoff kuchlanish tensori

1-Piola-Kirchhoff stressi joriy konfiguratsiyadagi kuchlarni mos yozuvlar konfiguratsiyasidagi maydonlarga bog'lagan bo'lsa, 2-Piola-Kirchhoff stress tensori ${ displaystyle { boldsymbol {S}}}$ mos yozuvlar konfiguratsiyasidagi kuchlarni mos yozuvlar konfiguratsiyasidagi maydonlarga bog'laydi. Yo'naltiruvchi konfiguratsiyadagi kuch mos yozuvlar konfiguratsiyasida kuch yo'nalishi va normal maydon o'rtasidagi o'zaro bog'liqlikni saqlaydigan xaritalash orqali olinadi.

${ displaystyle { boldsymbol {S}} = J ~ { boldsymbol {F}} ^ {- 1} cdot { boldsymbol { sigma}} cdot { boldsymbol {F}} ^ {- T} ~ .}$

Yilda indeks belgisi ortonormal asosda,

${ displaystyle S_ {IL} = J ~ F_ {Ik} ^ {- 1} ~ F_ {Lm} ^ {- 1} ~ sigma _ {km} = J ~ { cfrac { qisman X_ {I}} {partial x_{k}}}~{cfrac {partial X_{L}}{partial x_{m}}}~sigma _{km}!,!}$

This tensor, a one-point tensor, is symmetric.

If the material rotates without a change in stress state (rigid rotation), the components of the 2nd Piola–Kirchhoff stress tensor remain constant, irrespective of material orientation.

The 2nd Piola–Kirchhoff stress tensor is energy conjugate to the Green–Lagrange finite strain tensor.

Shuningdek qarang

Serialning bir qismi
Davomiy mexanika
Qonunlar Konservatsiyalar Massa Momentum Energiya Tengsizliklar Klauziy – Duxem (entropiya)
Qattiq mexanika Deformatsiya Elastiklik chiziqli Plastisit Xuk qonuni Stress Cheklangan shtamm Infinitesimal zo'riqish Moslik Bükme Mexanikaga murojaat qiling ishqalanish Moddiy nosozlik nazariyasi Sinish mexanikasi
Suyuqlik mexanikasi Suyuqliklar Statika  · Dinamika Arximed printsipi  · Bernulli printsipi Navier - Stoks tenglamalari Puazayl tenglamasi  · Paskal qonuni Viskozite (Nyuton  · Nyuton bo'lmagan ) Suzish qobiliyati  · Aralash  · Bosim Suyuqliklar Yuzaki taranglik Kapillyar harakatlar Gazlar Atmosfera Boyl qonuni Charlz qonuni Gay-Lyussak qonuni Kombinatsiyalangan gaz qonuni Plazma
Reologiya Viskoelastiklik Reometriya Reometr Aqlli suyuqliklar Elektroreologik Magnetoreologik Ferrofluidlar
Olimlar Bernulli Boyl Koshi Charlz Eyler Gey-Lyussak Hooke Nyuton Navier Noll Paskal Stoks Truesdell

Konjugat o'zgaruvchilari termodinamikasi
Bosim	Tovush
(Stress )	(Kuchlanish )
Harorat	Entropiya
Kimyoviy potentsial	Zarrachalar raqami

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish