C-simmetriya - C-symmetry

Yilda fizika, zaryad konjugatsiyasi a transformatsiya bu hammasini o'zgartiradi zarralar ularga mos keladigan bilan zarrachalar, shu bilan barchaning belgisini o'zgartirish ayblovlar: nafaqat elektr zaryadi shuningdek, boshqa kuchlarga tegishli ayblovlar. Atama C-simmetriya "zaryad konjugatsiya simmetriyasi" iborasining qisqartmasi bo'lib, zaryad-konjugatsiya ostida fizik qonunlar simmetriyasini muhokama qilishda ishlatiladi. Boshqa muhim diskret simmetriyalar P-simmetriya (paritet) va T-simmetriya (vaqtni o'zgartirish).

Ushbu diskret simmetriyalar, C, P va T, ma'lum bo'lganlarni tavsiflovchi tenglamalarning simmetriyalari asosiy kuchlar tabiat: elektromagnetizm, tortishish kuchi, kuchli va zaif o'zaro ta'sirlar. Berilgan matematik tenglamaning to'g'ri modellari mavjudligini tekshirish tabiat nafaqat jismoniy talqin qilishni talab qiladi doimiy simmetriya, kabi harakat vaqtida, lekin bunga ham diskret simmetriya va keyin tabiatning ushbu simmetriyalarga rioya qilish-qilmasligini aniqlash. Uzluksiz simmetriyalardan farqli o'laroq, diskret simmetriyalarning talqini biroz intellektual jihatdan talabchan va chalkashroqdir. Erta syurpriz 1950-yillarda paydo bo'lgan, qachon Chien Shiung Vu zaif ta'sir o'tkazish P (va shu tariqa C) simmetriyasini buzganligini namoyish etdi. Bir necha o'n yillar davomida birlashgan simmetriya CP saqlanib qolindi CPni buzish o'zaro ta'sirlar aniqlandi. Ikkala kashfiyot ham olib keladi Nobel mukofotlari.

C-simmetriya, ayniqsa, jismoniy jihatdan qiyin, chunki koinot asosan to'lgan materiya, emas materiyaga qarshi, jismoniy qonunlarning sodda S-simmetriyasi esa ikkalasida ham teng miqdor bo'lishi kerakligini ko'rsatadi. Hozirgi vaqtda dastlabki koinot davrida CP-ning buzilishi "ortiqcha" masalani keltirib chiqarishi mumkin, deb hisoblashadi, garchi munozaralar hal qilinmagan. Oldingi darsliklar kosmologiya, 1970-yillardan oldin,^{[qaysi? ]} muntazam ravishda ehtimol uzoq galaktikalar butunlay materiyaga qarshi qilingan, shuning uchun koinotdagi nol sof muvozanatni saqlagan.

Ushbu maqola turli xil muhim tenglamalar va nazariy tizimlarning C simmetriyasini ochish va ifodalashga qaratilgan Dirak tenglamasi va tuzilishi kvant maydon nazariyasi. Turli xil asosiy zarralar zaryad konjugatsiyasi ostida xatti-harakatlariga ko'ra tasniflanishi mumkin; bu maqolada tasvirlangan C tengligi.

Norasmiy sharh

Zaryadli konjugatsiya simmetriya sifatida uch xil, lekin bir-biriga chambarchas bog'liq bo'lgan holatlarda sodir bo'ladi: bir nechta sezilarli differentsial tenglamalarning (klassik, kvantlanmagan) echimlari simmetriyasi, shu jumladan Klayn - Gordon tenglamasi va Dirak tenglamasi, mos keladigan kvant maydonlarining simmetriyasi va umumiy sharoitda (pseudo-) simmetriyaRiemann geometriyasi. Uchala holatda ham, simmetriya oxir-oqibat ostida bo'lgan simmetriya ekanligi aniqlanadi murakkab konjugatsiya, ba'zida yozuvlar, koordinatalar tanlovi va boshqa omillarga bog'liq holda aniq konjugatsiya qilinadigan narsa, ba'zida noaniq bo'lishi mumkin.

Klassik sohalarda

Zaryad konjugatsiya simmetriyasi quyidagicha talqin etiladi elektr zaryadi, chunki uchta holatda ham (mumtoz, kvant va geometriya) qurish mumkin Hech qanday oqim o'xshashlariga o'xshash klassik elektrodinamika. Buning sababi shundaki, elektrodinamikaning o'zi, orqali Maksvell tenglamalari, a tarkibidagi tuzilish sifatida talqin qilinishi mumkin U (1) tola to'plami, deb nomlangan doira to'plami. Bu elektromagnetizmning geometrik talqinini beradi: elektromagnit potentsial ${ displaystyle A _ { mu}}$ deb talqin etiladi o'lchov aloqasi (the Ehresmann aloqasi ) doira to'plamida. Keyinchalik, bu geometrik talqin murakkab raqamli tuzilishga ega bo'lgan har qanday narsani (so'zma-so'z deyarli) elektromagnit maydon bilan birlashtirishga imkon beradi, agar bu birikma a o'zgaruvchan yo'l. O'lchov simmetriyasi, ushbu geometrik sozlamada aylana bo'ylab harakatlanayotganda, bog'langan ob'ekt mos ravishda "aylana" shaklida o'zgarishi kerakligi haqidagi bayonotdir. Rasmiy ravishda, mahalliy o'zgarishda tenglamalar o'zgarmas bo'lishi kerakligini aytadi koordinatali ramkalar doira bo'yicha. U (1) uchun bu faqatgina faza koeffitsienti bilan ko'paytirilganda tizim o'zgarmas ekanligi haqidagi gap ${ displaystyle e ^ {i phi (x)}}$ bu (makon-vaqt) koordinatasiga bog'liq ${ displaystyle x.}$ Ushbu geometrik parametrda zaryad konjugatsiyasini diskret simmetriya deb tushunish mumkin ${ displaystyle z = (x + iy) mapsto { overline {z}} = (x-iy)}$ murakkab konjugatsiyani amalga oshiradigan, aylana bo'ylab yo'nalish tuyg'usini o'zgartiradigan.

Kvant nazariyasida

Yilda kvant maydon nazariyasi, zaryad konjugatsiyasini almashtirish deb tushunish mumkin zarralar bilan zarrachalarga qarshi. Ushbu bayonotni tushunish uchun kvant maydon nazariyasi nima ekanligini minimal darajada tushunish kerak. Soddalashtirilgan so'zlar bilan aytganda, bu orqali bog'langan differentsial tenglamalar tizimi uchun echimlarni olish uchun hisob-kitoblarni bajarish usuli. bezovtalanish nazariyasi. Ushbu jarayonning asosiy tarkibiy qismi bu kvant maydoni, tizimdagi (erkin, birlashtirilmagan) differentsial tenglamalarning har biri uchun bittadan. Kvant maydoni shartli ravishda quyidagicha yoziladi

{ displaystyle psi (x) = int d ^ {3} p sum _ { sigma, n} e ^ {- ip cdot x} a ({ vec {p}}, sigma, n) u ({ vec {p}}, sigma, n) + e ^ {ip cdot x} a ^ { xanjar} ({ vec {p}}, sigma, n) v ({ vec {) p}}, sigma, n)}

qayerda ${ displaystyle { vec {p}}}$ momentum, ${ displaystyle sigma}$ spin yorlig'i, ${ displaystyle n}$ tizimdagi boshqa holatlar uchun yordamchi yorliqdir. The ${ displaystyle a}$ va ${ displaystyle a ^ { xanjar}}$ bor yaratish va yo'q qilish operatorlari (narvon operatorlari ) va ${ displaystyle u, v}$ ko'rib chiqilayotgan (erkin, o'zaro ta'sir qilmaydigan, bog'lanmagan) differentsial tenglamaning echimlari. Kvant maydoni markaziy rol o'ynaydi, chunki umuman olganda, bog'langan differentsial savollar tizimiga aniq echimlarni qanday olish mumkinligi ma'lum emas. Biroq, bezovtalanish nazariyasi orqali taxminiy echimlar erkin maydon echimlarining kombinatsiyasi sifatida tuzilishi mumkin. Ushbu qurilishni amalga oshirish uchun, talabga binoan istalgan erkin maydon echimini ajratib olish va u bilan ishlash imkoniyatiga ega bo'lish kerak. Kvant maydoni aynan shu narsani ta'minlaydi: vektor makonidagi barcha mumkin bo'lgan erkin maydon echimlarini sanab o'tadi, shunda ularning har birini istalgan vaqtda yaratish va yo'q qilish operatorlari orqali ajratib ko'rsatish mumkin.

Yaratish va yo'q qilish operatorlari quyidagilarga bo'ysunadilar kanonik kommutatsiya munosabatlari, bitta operator boshqa "yaratadigan" narsani "bekor qiladi". Bu har qanday echimni anglatadi ${ displaystyle u ({ vec {p}}, sigma, n)}$ u "anti-yechim" bilan bog'langan bo'lishi kerak ${ displaystyle v ({ vec {p}}, sigma, n)}$ shunda biri ikkinchisini bekor qiladi yoki bekor qiladi. Juftlik barcha simmetriyalar saqlanib qolishi uchun bajarilishi kerak. Odatda, kimdir uni qiziqtiradi Lorentsning o'zgarmasligi, kvant maydonida barcha mumkin bo'lgan momentlar bo'yicha integral sifatida yuqorida yozilgan barcha mumkin bo'lgan Lorents koordinatalari ramkalari bo'yicha integral mavjud (u tolalar tolasi ustida integral ramka to'plami ). Juftlik berilgan narsani talab qiladi ${ displaystyle u ({ vec {p}})}$ bilan bog'langan ${ displaystyle v ({ vec {p}})}$ qarama-qarshi momentum va energiya. Kvant maydoni, shuningdek, barcha mumkin bo'lgan spin holatlari bo'yicha yig'indidir; qarama-qarshi aylanishlarga yana mos keladigan juft juftlik. Xuddi shu tarzda, boshqa har qanday kvant raqamlari uchun ular qarama-qarshi bo'lib juftlanadi. Ushbu juft juftlikni amalga oshirishda texnik qiyinchiliklar mavjud: ba'zi bir echimlar uchun nimani anglatishini tasvirlash kerak ${ displaystyle u}$ boshqa echimga "ikkilangan" bo'lish ${ displaystyle v,}$ va uni ramka to'plami tolasi ustiga birlashganda, spinni tavsiflovchi tola ustiga birlashtirganda (yig'indida) va boshqa har qanday tolalar ustida birlashtirganda (yig'ishda) doimiy ravishda ikki tomonlama bo'lib qoladigan tarzda tasvirlash. nazariya.

Birlashtiriladigan tola elektromagnetizmning U (1) tolasi bo'lganda, er-xotin juftlik shunday bo'ladi, tolaga yo'nalish (yo'nalish) teskari bo'ladi. Birlashtiriladigan tolalar SU ning (3) tolasidir rang zaryadi, juft juftlik yana yo'nalishni o'zgartiradi. SU (3) uchun "shunchaki ishlaydi", chunki u ikkita dualga ega asosiy vakolatxonalar ${ displaystyle mathbf {3}}$ va ${ displaystyle { overline { mathbf {3}}}}$ bu tabiiy ravishda birlashtirilishi mumkin. Kvant maydoni uchun ushbu retsept tizimning uzluksiz simmetriyalarini sanab o'tadigan va duallarni izchil, izchil ravishda belgilaydigan har qanday vaziyatni tabiiy ravishda umumlashtiradi. Qarama-qarshi juftlik bog'laydi ayblovlar to'liq mavhum ma'noda. Fizikada zaryad uzluksiz simmetriya generatori bilan bog'liq. Turli xil zaryadlar .ning xilma-xilligi bilan bog'liq Casimir invariantlari ning universal qoplovchi algebra o'sha simmetriya uchun. Bu holat ikkalasi ham asosidagi Lorents simmetriyasi bo'sh vaqt ko'p qirrali, shu qatorda; shu bilan birga tolalar to'plamidagi har qanday tolalarning simmetrlari, bo'shliq vaqti manifoldu ustida joylashgan. Ikkilik simmetriya generatorini minus generator bilan almashtiradi. Zaryad konjugatsiyasi shu bilan birga aks ettirish bilan bog'liq chiziq to'plami yoki determinant to'plami simmetriya makonining.

Yuqorida keltirilgan kvant maydon nazariyasidagi kvant maydoni haqidagi umumiy g'oyaning eskizidir. Jismoniy talqin bu echimlar ${ displaystyle u ({ vec {p}}, sigma, n)}$ zarralar va eritmalarga mos keladi ${ displaystyle v ({ vec {p}}, sigma, n)}$ zarrachalarga mos keladi va shuning uchun zaryad konjugatsiyasi bu ikkalasining juftligi. Qolganlari, ular aytganidek, "shunchaki tafsilotlar". Ushbu eskiz shuningdek, umumiy geometrik sharoitda zaryad konjugatsiyasining qanday ko'rinishini ko'rsatadigan etarlicha tavsiyalar beradi. Bezovtalanish nazariyasidan foydalanish, bezovtalanuvchi kengayishda o'rta odamlar rolini o'ynaydigan kvant maydonlarini qurish uchun majburiy talablar mavjud emas. Zaryad konjugatsiyasiga umumiy parametr berilishi mumkin.

Geometriyada

Umuman olganda Riemann va psevdo-Riemann manifoldlari, bittasida a teginish to'plami, a kotangens to'plami va a metrik ikkalasini bir-biriga bog'laydigan narsa. Bunday vaziyatda bir nechta qiziqarli narsalarni qilish mumkin. Ulardan biri shundaki, silliq tuzilish imkon beradi differentsial tenglamalar kollektor ustiga qo'yish; The teginish va kotangens bo'shliqlar bajarish uchun etarli tuzilishni taqdim eting manifoldlarda hisoblash. Asosiy qiziqish bu Laplasiya, va doimiy muddat bilan Klein-Gordon operatori qancha bo'ladi. Kotangens to'plamlari, ularning asosiy tuzilishiga ko'ra har doim simpektik manifoldlar. Simpektik manifoldlar mavjud kanonik koordinatalar ${ displaystyle x, p}$ itoat qilish, pozitsiya va impuls sifatida talqin qilingan kanonik kommutatsiya munosabatlari. Bu ikkilikni kengaytirish va shu bilan konjugatsiyani ushbu umumiy holatga etkazish uchun asosiy infratuzilmani ta'minlaydi.

Qilishi mumkin bo'lgan ikkinchi qiziqarli narsa - a qurish spin tuzilishi. Ehtimol, bu borada eng diqqatga sazovor narsa shundaki, bu a uchun juda taniqli umumlashma ${ displaystyle (p, q)}$ - an'anaviy fizika kontseptsiyasining o'lchovli psevdo-Riemann manifoldu spinorlar (1,3) o'lchovli bo'yicha yashash Minkovskiyning bo'sh vaqti. Qurilish murakkablashtirilgan holda o'tadi Klifford algebra qurish Klifford to'plami va a spin manifold. Ushbu qurilish oxirida, agar u Dirac spinorlari va Dirac tenglamasi bilan tanish bo'lsa, juda yaxshi tanish bo'lgan tizimni oladi. Ushbu umumiy holatga bir nechta o'xshashliklar o'tadi. Birinchidan, spinorlar ular Weyl spinors, va ular murakkab-konjugat juftlarida keladi. Ular tabiiy ravishda kommutatsiyaga qarshi (bu Klifford algebrasidan kelib chiqadi), aynan shu narsa bilan aloqa o'rnatishni xohlaydi Paulini chiqarib tashlash printsipi. Boshqasi - a ning mavjudligi chiral element, ga o'xshash gamma matritsasi ${ displaystyle gamma _ {5}}$ bu spinorlarni chap va o'ng qo'l osti bo'shliqlariga ajratadi. Kompleksizatsiya asosiy tarkibiy qism bo'lib, u ushbu umumiy sharoitda "elektromagnetizm" ni ta'minlaydi. Spinor to'plami shunchaki o'zgartirilmaydi ${ displaystyle SO (p, q)}$ , ning umumlashtirilishi Lorents guruhi ${ displaystyle SO (1,3)}$ , ammo katta guruh ostida, murakkablashtirilgan spin guruhi ${ displaystyle mathrm {Spin} ^ { mathbb {C}} (p, q).}$ Bu borligi bilan kattaroq er-xotin qoplama tomonidan ${ displaystyle SO (p, q) marta U (1).}$

The ${ displaystyle U (1)}$ parcha elektromagnetizm bilan bir necha xil usulda aniqlanishi mumkin. Buning bir usuli shundaki Dirak operatorlari Spin manifoldida, kvadratga bo'linib, bir parcha mavjud ${ displaystyle F = dA}$ bilan ${ displaystyle A}$ bilan bog'langan ulanishning shu qismidan kelib chiqadi ${ displaystyle U (1)}$ parcha. Bu oddiy Minkovskiy vaqt oralig'ida oddiy Dirak tenglamasini kvadratga keltirganda sodir bo'ladigan voqea bilan to'liq o'xshashdir. Ikkinchi maslahat bu ${ displaystyle U (1)}$ bo'lagi. bilan bog'langan determinant to'plami murakkab konjugatsiya orqali chap va o'ng qo'lli spinorlarni samarali ravishda bog'lab turadigan spin strukturasining.

Qolgan narsa - yuqoridagi qurilishning diskret simmetriyalari orqali ishlash. Umumlashtiradigan ko'rinadi bir nechta P-simmetriya va T-simmetriya. Aniqlash ${ displaystyle p}$ vaqt bilan o'lchovlar va ${ displaystyle q}$ o'lchamdagi bo'shliq bilan, ichida joylashgan teginuvchi vektorlarni qaytarish mumkin ${ displaystyle p}$ vaqtni qaytarib olish uchun o'lchovli pastki bo'shliq va yo'nalishini aylantirish ${ displaystyle q}$ o'lchovlar tenglikka mos keladi. C simmetriyasini chiziqlar to'plamidagi aksi bilan aniqlash mumkin. Bularning barchasini bir-biriga bog'lab qo'yish uchun, nihoyat, degan tushuncha mavjud transpozitsiya, Klifford algebra elementlari teskari (ko'chirilgan) tartibda yozilishi mumkin. Aniq natija shundan iboratki, maydonlarning an'anaviy fizika g'oyalari nafaqat umumiy Riemann muhitiga o'tadi, balki diskret simmetriya g'oyalari ham.

Bunga munosabat bildirishning ikki yo'li mavjud. Ulardan biri unga qiziquvchan qiziqish sifatida qarashdir. Ikkinchisi, past o'lchamlarda (kichik o'lchovli bo'shliqda) turli xil "tasodifiy" izomorfizmlar mavjudligini anglash Yolg'on guruhlar va boshqa turli xil tuzilmalar. Ularni umumiy sharoitda tekshirishga qodir bo'lish bu munosabatlarni buzadi, "narsalar qaerdan kelib chiqadi" ni aniqroq ochib beradi.

Dirak maydonlari uchun to'lov konjugatsiyasi

Qonunlari elektromagnetizm (ikkalasi ham klassik va kvant ) bor o'zgarmas ularning zaryadlari bilan elektr zaryadlari almashinuvi ostida. Ishi uchun elektronlar va kvarklar, ikkalasi ham asosiy zarracha fermion maydonlari, bitta zarrachali maydon qo'zg'alishlari Dirak tenglamasi

{ displaystyle (i { qisman ! ! ! { big /}} - q {A ! ! ! { big /}} - m) psi = 0}

Biror kishi zaryad-konjugat echimini topishni xohlaydi

{ displaystyle (i { kısalt ! ! ! { big /}} + q {A ! ! ! { big /}} - m) psi ^ {c} = 0}

Birinchisidan ikkinchisini olish uchun bir nechta algebraik manipulyatsiya etarli.^[1]^[2]^[3] Dirak tenglamasining standart ekspozitsiyalari konjuge maydonini namoyish etadi ${ displaystyle { overline { psi}} = psi ^ { dagger} gamma ^ {0},}$ murakkab zarb qilingan Dirak tenglamasini qondiradigan zarrachalarga qarshi maydon sifatida talqin qilingan

{ displaystyle { overline { psi}} (- i { qisman ! ! ! {! big /}} - q {A ! ! ! { big /}} - m) = 0 }

Shunisi e'tiborga loyiqki, ba'zilari, ammo hammasi emas. 4x4 matritsani topish sharti bilan, uni orqaga qaytarish deyarli kerakli shaklni beradi ${ displaystyle C}$ bu transpozitsiyani gamma matritsalari kerakli belgini o'zgartirishni kiritish uchun:

{ displaystyle C gamma _ { mu} C ^ {- 1} = - gamma _ { mu} ^ {T}}

Keyin zaryad konjuge eritmasi involyutsiya

{ displaystyle psi mapsto psi ^ {c} = eta _ {c} , C { overline { psi}} ^ {T}}

4x4 matritsa ${ displaystyle C,}$ zaryad konjugatsiyasi matritsasi deb nomlangan, maqolada keltirilgan aniq shaklga ega gamma matritsalari. Qizig'i shundaki, ushbu shakl vakillikdan mustaqil emas, lekin uchun tanlangan o'ziga xos matritsali tasvirga bog'liq gamma guruhi (ning kichik guruhi Klifford algebra ning algebraik xususiyatlarini olish gamma matritsalari ). Ushbu matritsa, ning murakkablashuvini o'z ichiga olgan nozik o'zaro bog'liqlik tufayli vakillikka bog'liq spin guruhi zaryadlangan zarralarning Lorents kovaryansiyasini tavsiflovchi. Kompleks raqam ${ displaystyle eta _ {c}}$ o'zboshimchalik bilan fazaviy omil hisoblanadi ${ displaystyle | eta _ {c} | = 1,}$ umuman olganda qabul qilinadi ${ displaystyle eta _ {c} = 1.}$

Zaryad konjugatsiyasi, xiralitlik, xolislik

Chirallik va zaryad konjugatsiyasi o'rtasidagi o'zaro bog'liqlik biroz nozik va artikulyatsiyani talab qiladi. Ko'pincha zaryad konjugatsiyasi o'zgarmasligini aytishadi chirallik zarrachalar Bu shunday emas dalalar, zarrachalarning "teshik nazariyasi" talqinida yuzaga keladigan farq, bu erda zarrachaga qarshi zarracha zarrachaning yo'qligi deb talqin etiladi. Bu quyida keltirilgan.

Odatda, ${ displaystyle gamma _ {5}}$ chirallik operatori sifatida ishlatiladi. Zaryad konjugatsiyasi ostida u quyidagicha o'zgaradi

{ displaystyle C gamma _ {5} C ^ {- 1} = gamma _ {5} ^ {T}}

va yo'qmi yoki yo'qmi ${ displaystyle gamma _ {5} ^ {T}}$ teng ${ displaystyle gamma _ {5}}$ gamma matritsalari uchun tanlangan vakolatiga bog'liq. Dirak va chiral asosida bunga ega bo'lish kerak ${ displaystyle gamma _ {5} ^ {T} = gamma _ {5}}$ , esa ${ displaystyle gamma _ {5} ^ {T} = - gamma _ {5}}$ Majorana asosida olinadi. Ishlagan misol quyidagicha.

Weyl spinors

Massasiz Dirac spinor maydonlari uchun chirallik musbat energiya eritmalari uchun spiralga teng (va manfiy energiya eritmalari uchun minuslik).^[a] Buni massasiz Dirac tenglamasini quyidagicha yozish orqali olish mumkin

{ displaystyle i kısalt ! ! ! { big /} psi = 0}

Ko'paytirish ${ displaystyle gamma ^ {5} gamma ^ {0} = - i gamma ^ {1} gamma ^ {2} gamma ^ {3}}$ biri oladi

{ displaystyle { epsilon _ {ij}} ^ {m} sigma ^ {ij} kısalt _ {m} psi = gamma _ {5} kısalt _ {t} psi}

qayerda ${ displaystyle sigma ^ { mu nu} = i [ gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu}] / 2}$ bo'ladi burchak momentum operatori va ${ displaystyle epsilon _ {ijk}}$ bo'ladi umuman antisimetrik tensor. Buni 3D spin operatorini aniqlash orqali biroz ko'proq taniqli shaklga keltirish mumkin ${ displaystyle Sigma ^ {m} equiv { epsilon _ {ij}} ^ {m} sigma ^ {ij},}$ tekislik to'lqin holatini olish ${ displaystyle psi (x) = e ^ {- ik cdot x} psi (k)}$ , bu qobiqdagi cheklovni qo'llash ${ displaystyle k cdot k = 0}$ va impulsni 3D birlik vektori bo'lishini normallashtirish: ${ displaystyle { hat {k}} _ {i} = k_ {i} / k_ {0}}$ yozmoq

{ displaystyle ( Sigma cdot { hat {k}}) psi = gamma _ {5} psi ~.}

Yuqoridagilarni o'rganib chiqib, burchak impulsi o'ziga xos holatlar (merosxo'rlik xususiy davlatlar) ga xos davlatlarga mos keladi chiral operatori. Bu massasiz Dirak maydonini toza ravishda juftlikka bo'lishiga imkon beradi Weyl spinors ${ displaystyle psi _ {L}}$ va ${ displaystyle psi _ {R},}$ har biri individual ravishda Veyl tenglamasi, lekin qarama-qarshi energiya bilan:

{ displaystyle left (-p_ {0} + sigma cdot { vec {p}} right) psi _ {R} = 0}

va

{ displaystyle chap (p_ {0} + sigma cdot { vec {p}} o'ng) psi _ {L} = 0}

Salbiy xislatni manfiy energiya bilan tenglashtiradigan erkinlikka va shu tariqa piyodalarga-zarrachani qarama-qarshi spiral zarrachasiga tenglashtirishi kerak bo'lgan erkinlikka e'tibor bering. Aniqroq bo'lish uchun ${ displaystyle sigma}$ mana Pauli matritsalari va ${ displaystyle p _ { mu} = i qisman _ { mu}}$ momentum operatori.

Chiral asosda zaryad konjugatsiyasi

Qabul qilish Weyl vakili gamma matritsalaridan Dirac spinorini (hozir massiv deb qabul qilingan) yozish mumkin

{ displaystyle psi = { begin {pmatrix} psi _ {L} psi _ {R} end {pmatrix}}}

Tegishli dual (zarrachalarga qarshi) maydon

{ displaystyle { overline { psi}} ^ {T} = left ( psi ^ { dagger} gamma ^ {0} right) ^ {T} = { begin {pmatrix} 0 & I I & 0 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} psi _ {L} ^ {*} psi _ {R} ^ {*} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} psi _ {R} ^ {*} psi _ {L} ^ {*} end {pmatrix}}}

Zaryad-konjuge spinorlari

{ displaystyle psi ^ {c} = { begin {pmatrix} psi _ {L} ^ {c} psi _ {R} ^ {c} end {pmatrix}} = eta _ {c } C { overline { psi}} ^ {T} = eta _ {c} { begin {pmatrix} -i sigma ^ {2} & 0 0 & i sigma ^ {2} end {pmatrix} } { begin {pmatrix} psi _ {R} ^ {*} psi _ {L} ^ {*} end {pmatrix}} = eta _ {c} { begin {pmatrix} -i sigma ^ {2} psi _ {R} ^ {*} i sigma ^ {2} psi _ {L} ^ {*} end {pmatrix}}}

qaerda, avvalgidek, ${ displaystyle eta _ {c}}$ deb qabul qilinishi mumkin bo'lgan fazaviy omil ${ displaystyle eta _ {c} = 1.}$ E'tibor bering, chap va o'ng holatlar o'zaro almashtiriladi. Paritet o'zgarishi bilan buni tiklash mumkin. Ostida tenglik, Dirac spinor quyidagicha o'zgaradi

{ displaystyle psi (t, { vec {x}}) mapsto psi ^ {p} (t, { vec {x}}) = gamma ^ {0} psi (t, - { vec {x}})}

Birgalikda zaryad va tenglik ostida, keyin biri bor

{ displaystyle psi (t, { vec {x}}) mapsto psi ^ {cp} (t, { vec {x}}) = { begin {pmatrix} psi _ {L} ^ { cp} (t, { vec {x}}) psi _ {R} ^ {cp} (t, { vec {x}}) end {pmatrix}} = eta _ {c} { begin {pmatrix} -i sigma ^ {2} psi _ {L} ^ {*} (t, - { vec {x}}) i sigma ^ {2} psi _ {R} ^ {*} (t, - { vec {x}}) end {pmatrix}}}

An'anaviy ravishda, biri oladi ${ displaystyle eta _ {c} = 1}$ global miqyosda. Quyidagi eslatmani ko'ring.

Majorana holati

The Majorana holati maydon va uning zaryad konjugati o'rtasida cheklov qo'yadi, ya'ni ular teng bo'lishi kerak: ${ displaystyle psi = psi ^ {c}.}$ Bu, ehtimol, Majorana spinorining zaryad konjugatsiyasi involyutsiyasining o'ziga xos davlati bo'lishi sharti bilan aytilgan bo'lishi mumkin. Zaryad konjugatsiyasi, involyutsiyani muhokama qiladigan ko'plab matnlarda ${ displaystyle psi mapsto psi ^ {c}}$ qo'llanilganda aniq ramziy nom berilmaydi bitta zarrachali eritmalar Dirak tenglamasining Bu holatdan farqli o'laroq kvantlangan maydon unitar operator qaerda muhokama qilinadi ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ belgilanadi (quyida keyingi qismda bo'lgani kabi). Hozirgi bo'lim uchun involution quyidagicha nomlansin ${ displaystyle { mathsf {C}}: psi mapsto psi ^ {c}}$ Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${ displaystyle { mathsf {C}} psi = psi ^ {c}.}$ Buni chiziqli operator deb qabul qilish, uni o'z davlatlari deb hisoblashi mumkin. Majorana sharti quyidagilardan birini ajratib ko'rsatmoqda: ${ displaystyle { mathsf {C}} psi = psi.}$ Biroq, ikkita shunday shaxsiy davlat mavjud: ${ displaystyle { mathsf {C}} psi ^ {( pm)} = pm psi ^ {( pm)}.}$ Veyl asosida davom eting, yuqoridagi kabi, bu shaxsiy davlatlar

{ displaystyle psi ^ {(+)} = { begin {pmatrix} psi _ {L} i sigma ^ {2} psi _ {L} ^ {*} end {pmatrix}}}

va

{ displaystyle psi ^ {(-)} = { begin {pmatrix} i sigma ^ {2} psi _ {R} ^ {*} psi _ {R} end {pmatrix}}}

Majorana spinori an'anaviy ravishda faqat ijobiy davlat sifatida qabul qilinadi ${ displaystyle psi ^ {(+)}.}$ Chiral operatori ${ displaystyle gamma _ {5}}$ bu ikkisini almashtiradi, bunda

{ displaystyle gamma _ {5} { mathsf {C}} = - { mathsf {C}} gamma _ {5}}

Bu to'g'ridan-to'g'ri almashtirish bilan osonlikcha tasdiqlanadi. Shuni yodda tuting ${ displaystyle { mathsf {C}}}$ qiladi emas bor 4x4 matritsaning namoyishi! Aniqrog'i, murakkab sonni murakkab konjugatiga olib boradigan 4x4 murakkab matritsa yo'q; bu inversiya 8x8 haqiqiy matritsani talab qiladi. Zaryad konjugatsiyasi sifatida murakkab konjugatsiyani fizikaviy talqini quyidagi keyingi bobda tasvirlangan skalar maydonlarining murakkab konjugatsiyasini ko'rib chiqishda aniq bo'ladi.

Chiral xususiy davlatlaridagi projektorlarni quyidagicha yozish mumkin ${ displaystyle P_ {L} = (1- gamma _ {5}) / 2}$ va ${ displaystyle P_ {R} = (1+ gamma _ {5}) / 2,}$ va shuning uchun yuqoridagilar tarjima qilinadi

{ displaystyle P_ {L} { mathsf {C}} = { mathsf {C}} P_ {R} ~.}

Bu to'g'ridan-to'g'ri Dirac tenglamasining bitta zarrachali kompleks sonli echimlariga tatbiq etilgan zaryad konjugatsiyasini eritmaning chiralligini aylantiradi. Projektorlar zaryad konjugatsiyasining xususiy maydonlari ${ displaystyle P ^ {(+)} = (1 + { mathsf {C}}) P_ {L}}$ va ${ displaystyle P ^ {(-)} = (1 - { mathsf {C}}) P_ {R}.}$

Geometrik talqin

Faza omili ${ displaystyle eta _ {c}}$ geometrik talqin qilinishi mumkin. Katta Dirak shpinatorlari uchun "o'zboshimchalik" fazasi omili ekanligi ta'kidlangan ${ displaystyle eta _ {c}}$ ikkala impulsga va ham ravshanlikka bog'liq bo'lishi mumkin (lekin chiralga emas).^[b] Bu faza tola bo'ylab o'zgarishi mumkin, deb talqin qilish mumkin spinor to'plami, koordinata ramkasining mahalliy tanloviga qarab. Boshqacha qilib aytganda, spinor maydon mahalliy hisoblanadi Bo'lim shpinor to'plami va Lorentsning kuchayishi va aylanishi mos keladigan tolalar bo'ylab harakatlarga mos keladi ramka to'plami (yana, faqat mahalliy koordinata ramkasini tanlash). Shu tarzda ko'rib chiqilsa, ushbu qo'shimcha fazaviy erkinlik elektromagnit maydondan kelib chiqadigan faza sifatida talqin qilinishi mumkin. Uchun Majorana spinorlari, fazani kuchaytirish va aylanish sharoitida o'zgarmasligi cheklangan bo'lar edi.

Kvantlangan maydonlar uchun zaryad konjugatsiyasi

Yuqorida faqat bitta zarrachali eritmalar uchun zaryad konjugatsiyasi tasvirlangan. Dirac maydoni bo'lganda ikkinchi kvantlangan, kabi kvant maydon nazariyasi, spinor va elektromagnit maydonlarni operatorlar tavsiflaydi. Keyin zaryad konjugatsiyasi involyatsiyasi a sifatida namoyon bo'ladi unitar operator ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ sifatida ifodalangan zarrachalar maydonlarida harakat qilish^[c]^[d]

${ displaystyle psi mapsto psi ^ {c} = { mathcal {C}} psi { mathcal {C}} ^ { dagger} = eta _ {c} , C { overline { psi}} ^ {T}}$
${ displaystyle { overline { psi}} mapsto { overline { psi}} ^ {c} = { mathcal {C}} { overline { psi}} { mathcal {C}} ^ { dagger} = eta _ {c} ^ {*} , psi ^ {T} C ^ {- 1}}$
${ displaystyle A _ { mu} mapsto A _ { mu} ^ {c} = { mathcal {C}} A _ { mu} { mathcal {C}} ^ { dagger} = - A _ { mu }}$

bu erda xattot bo'lmagan ${ displaystyle C}$ ilgari berilgan 4x4 matritsasi bilan bir xil.

Elektr zaiflik nazariyasida zaryadni qaytarish

Zaryad konjugatsiyasi o'zgarmasdir chirallik zarrachalar Chap qo'li neytrin zaryad konjugatsiyasi bilan chap qo'lga o'tkaziladi antineutrino, bu standart modelda o'zaro ta'sir qilmaydi. Bu xususiyat zaif o'zaro ta'sirda C-simmetriyaning "maksimal buzilishi" degani.

Ning ba'zi bir postulated kengaytmalari Standart model, kabi chap-o'ng modellar, ushbu C-simmetriyani tiklang.

Skalar maydonlari

Dirac maydonida "yashirin" mavjud ${ displaystyle U (1)}$ erkinlikni o'lchab, uni to'g'ridan-to'g'ri elektromagnit maydonga Dirac tenglamasiga yoki maydonga qo'shimcha o'zgartirishlar kiritmasdan imkon beradi.^[e] Bu shunday emas skalar maydonlari, bu elektromagnetizmga juftlik uchun aniq "murakkab" bo'lishi kerak. Bu qo'shimcha omilni "tenzorlash" orqali amalga oshiriladi murakkab tekislik ${ displaystyle mathbb {C}}$ maydonga yoki a qurish Dekart mahsuloti bilan ${ displaystyle U (1)}$ .

Oddiy usullardan biri shunchaki ikkita haqiqiy skalar maydonidan boshlashdir, ${ displaystyle phi}$ va ${ displaystyle chi}$ va chiziqli kombinatsiyani yarating

{ displaystyle psi { stackrel { mathrm {def}} {=}} { phi + i chi over { sqrt {2}}}}

Zaryad konjugatsiyasi involyutsiya keyin xaritalash ${ displaystyle { mathsf {C}}: i mapsto -i}$ chunki bu elektromagnit potentsial belgisini qaytarish uchun etarli (chunki bu murakkab son unga qo'shilish uchun ishlatiladi). Haqiqiy skalar maydonlari uchun zaryad konjugatsiyasi faqat identifikatsiya xaritasi: ${ displaystyle { mathsf {C}}: phi mapsto phi}$ va ${ displaystyle { mathsf {C}}: chi mapsto chi}$ va shuning uchun murakkab maydon uchun zaryad konjugatsiyasi shunchaki ${ displaystyle { mathsf {C}}: psi mapsto psi ^ {*}.}$ "Mapsto" o'qi ${ displaystyle mapsto}$ "nima qaerga ketishini" kuzatib borish uchun qulay; shunga o'xshash eski yozuv oddiygina yozishdir ${ displaystyle { mathsf {C}} phi = phi}$ va ${ displaystyle { mathsf {C}} chi = chi}$ va ${ displaystyle { mathsf {C}} psi = psi ^ {*}.}$

Yuqorida zaryadlangan skalar maydonining an'anaviy konstruktsiyasi tasvirlangan. Maydonlarga boshqa usullar bilan qo'shimcha algebraik tuzilmani kiritish ham mumkin. Xususan, kimdir o'zini "haqiqiy" maydon sifatida belgilashi mumkin ${ displaystyle { mathsf {C}}: phi mapsto - phi}$ . Haqiqatan ham, u o'z-o'zidan elektromagnetizmga qo'shilib keta olmaydi, lekin murakkablashganda, zaryadli maydon paydo bo'lib, ${ displaystyle { mathsf {C}}: psi mapsto - psi ^ {*}.}$ Chunki C-simmetriya a diskret simmetriya, ba'zi bir jismoniy haqiqatni to'g'ri modellaydigan nazariyani izlashda ushbu turdagi algebraik o'yinlarni o'ynash erkinligi bor.

Fizika adabiyotida, masalan, o'zgarish ${ displaystyle { mathsf {C}}: phi mapsto phi ^ {c} = - phi}$ boshqa izohsiz yozilishi mumkin. Buning rasmiy matematik talqini - bu maydon ${ displaystyle phi}$ ning elementidir ${ displaystyle mathbb {R} times mathbb {Z} _ {2}}$ qayerda ${ displaystyle mathbb {Z} _ {2} = {+ 1, -1 }.}$ Shunday qilib, to'g'ri aytganda, maydon shunday yozilishi kerak ${ displaystyle phi = (r, c)}$ kabi zaryadli konjugatsiya ostida o'zini tutadi ${ displaystyle { mathsf {C}} :( r, c) mapsto (r, -c).}$ Bularni ko'paytirish, bu minus belgisi joylashgan joyda harakat qilish juda jozibali, ammo rasmiy ravishda to'g'ri emas; bu asosan "shunchaki ishlaydi", ammo uni to'g'ri kuzatib bo'lmaslik chalkashlikka olib keladi.

Zaryad va tenglikni bekor qilish kombinatsiyasi

Bir muncha vaqt C-simmetriyasi bilan birlashtirilishi mumkinligiga ishonishgan tenglik -inversiyani o'zgartirish (qarang P-simmetriya ) kombinatsiyani saqlab qolish CP-simmetriya. Biroq, ushbu simmetriyaning buzilishi zaif o'zaro ta'sirlarda aniqlangan (xususan kaons va B mezonlar ). Standart modelda bu CP buzilishi ning bitta fazasi bilan bog'liq CKM matritsasi. Agar CP vaqtni qaytarish bilan birlashtirilsa (T-simmetriya ), natijada CPT-simmetriya faqat yordamida ko'rsatilishi mumkin Vaytman aksiomalari hammaga bo'ysunish.

Umumiy sozlamalarda

Zaryad konjugatsiyasining analogini aniqlash mumkin yuqori o'lchovli gamma matritsalar, maqolada keltirilgan Weyl spinorlari uchun aniq qurilish bilan Veyl-Brauer matritsalari. Biroq, vakolat nazariyasida mavhum ravishda aniqlangan spinorlarga e'tibor bering Klifford algebralari dalalar emas; aksincha, ular nol o'lchovli bo'shliqda mavjud deb o'ylashlari kerak.

Ning analogi T-simmetriya dan kelib chiqadi ${ displaystyle gamma ^ {1} gamma ^ {3}}$ Dirac spinorlari uchun T-konjugatsiya operatori sifatida. Spinorlar ham o'ziga xos xususiyatga ega P-simmetriya, ning barcha asos vektorlarining yo'nalishini o'zgartirish orqali olingan Klifford algebra shpinatorlar qurilgan. Fazoviy vaqt manifoldidagi fermion maydoni uchun P va T simmetriyalari bilan munosabatlar biroz nozik, ammo taxminan quyidagicha tavsiflanishi mumkin. Spinor Klifford algebra orqali qurilganda, qurilish uchun vektor maydoni kerak bo'ladi. Odatda, bu vektor maydoni teginsli bo'shliq ma'lum vaqt oralig'idagi belgilangan vaqt oralig'idagi bo'shliq koeffitsienti (ichida bitta tola teginish manifoldu ). Keyinchalik bo'shliq koeffitsientiga tatbiq etilgan P va T operatsiyalari, shuningdek, teginish fazosining koordinatalarini aylantirish sifatida tushunilishi mumkin; Shunday qilib, ikkalasi bir-biriga yopishtirilgan. Paritetni yoki vaqtning yo'nalishini birida aylantirish, ikkinchisida ham aylantiradi. Bu konventsiya. Ushbu ulanishni targ'ib qilmaslik bilan yopishtirilishi mumkin.

Tangensli bo'shliqni a sifatida qabul qilish orqali amalga oshiriladi vektor maydoni, uni a ga qadar kengaytirish tensor algebra va undan keyin ichki mahsulot a ni aniqlash uchun vektor makonida Klifford algebra. Har bir bunday algebraga tola sifatida qaralganda, a tola to'plami deb nomlangan Klifford to'plami. Tegensli bo'shliq asosining o'zgarishi ostida Klifford algebra elementlari ga muvofiq o'zgaradi spin guruhi. Qurilish a asosiy tolalar to'plami tola natijasida a spin guruhi bilan a spin tuzilishi.

Yuqoridagi xatboshilarda etishmayotgan narsa - bu spinorlar o'zlari. Buning uchun teginish manifoldining "murakkablashishi" kerak: uni murakkab tekislik bilan tortib olish. Bu amalga oshirilgandan so'ng Weyl spinors qurilishi mumkin. Ularning shakli bor

{ displaystyle w_ {j} = (e_ {2j} -ie_ {2j + 1}) / { sqrt {2}}}

qaerda ${ displaystyle e_ {j}}$ vektor fazosi uchun asosiy vektorlardir ${ displaystyle V = T_ {p} M}$ , nuqtadagi tegang bo'shliq ${ displaystyle p in M}$ bo'sh vaqt oralig'ida ${ displaystyle M.}$ Veyl spinorlari o'zlarining murakkab konjugatlari bilan birgalikda teginish fazosini qamrab oladi

{ displaystyle V otimes mathbb {C} = W oplus { overline {W}}}

O'zgaruvchan algebra ${ displaystyle wedge W}$ deyiladi spinor maydoni Spinors jonli edi, shuningdek spinorlarning mahsulotlari (shuning uchun spin qiymatlari yuqori bo'lgan ob'ektlar, shu jumladan vektorlar va tensorlar).

Tanaffus qilish; ushbu bo'lim quyidagi bayonotlar bo'yicha kengaytirilishi kerak:

Spin konstruktsiyalarini qurish uchun to'siq Stifel-Uitni sinfi c_2
Murakkab konjugatsiya ikkita spinorni almashtiradi
Dirak operatorlari bu kvadratni Laplasiyaga, ya'ni Levi-Civita ulanishining kvadratiga (ortiqcha skaler egrilik va chiziqlar to'plamining egriligi) aniqlanishi mumkin.
chiziq to'plamining egriligi aniq F = dA ergo, u E&M bo'lishi kerak

Shuningdek qarang

Izohlar

^ Itzykson va Zuber, 87-4-betning 2-4-3 bo'limlariga qarang.
^ Itzikson va Zuber, (Qarang: 2-4-2 bo'limning zaryadlash konjugatsiyasi, 86-bet, 2-100 tenglama).
^ Byorken va Drell, (15-bobga qarang.)
^ Itzikson va Zuber, (3-4-bo'limga qarang.)
^ Ushbu erkinlik aniq olib tashlanadi, cheklanadi Majorana spinorlari.

Adabiyotlar

^ Jeyms D. Byorken, Sidney D. Drell, (1964) "Relativistik kvant mexanikasi", Makgraw-Xill. (Qarang: 5.2-bob, 66-70-betlar)
^ Klod Itzikson va Jan-Bernard Zuber, (1980), kvant maydon nazariyasi, McGraw-Hill (Qarang: 2-4-bob, 85ff-betlar.)
^ Peskin, M.E .; Shreder, D.V. (1997). Kvant sohasi nazariyasiga kirish. Addison Uesli. ISBN 0-201-50397-2.

Sozzi, M.S. (2008). Diskret simmetriya va CP buzilishi. Oksford universiteti matbuoti. ISBN 978-0-19-929666-8.

[4] Itzykson va Zuber, 87-4-betning 2-4-3 bo'limlariga qarang.

[5] Itzikson va Zuber, (Qarang: 2-4-2 bo'limning zaryadlash konjugatsiyasi, 86-bet, 2-100 tenglama).

[6] Byorken va Drell, (15-bobga qarang.)

[7] Itzikson va Zuber, (3-4-bo'limga qarang.)

[8] Ushbu erkinlik aniq olib tashlanadi, cheklanadi Majorana spinorlari.

[1] Jeyms D. Byorken, Sidney D. Drell, (1964) "Relativistik kvant mexanikasi", Makgraw-Xill. (Qarang: 5.2-bob, 66-70-betlar)

[2] Klod Itzikson va Jan-Bernard Zuber, (1980), kvant maydon nazariyasi, McGraw-Hill (Qarang: 2-4-bob, 85ff-betlar.)

[PS-3] Peskin, M.E .; Shreder, D.V. (1997). Kvant sohasi nazariyasiga kirish. Addison Uesli. ISBN 0-201-50397-2.

[1]

[2]

[3]

[a]

[b]

[c]

[d]

[e]

C, P va T simmetriyalari
C-simmetriya P-simmetriya T-simmetriya
CP CP simmetriyasi CPT simmetriyasi
Chirallik pin guruhi