Ikkala kompleks raqam - Dual-complex number

Ikkala kompleksli ko'paytirish

${ displaystyle times}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle i}$	${ displaystyle varepsilon j}$	${ displaystyle varepsilon k}$
${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle i}$	${ displaystyle varepsilon j}$	${ displaystyle varepsilon k}$
${ displaystyle i}$	${ displaystyle i}$	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle varepsilon k}$	${ displaystyle - varepsilon j}$
${ displaystyle varepsilon j}$	${ displaystyle varepsilon j}$	${ displaystyle - varepsilon k}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$
${ displaystyle varepsilon k}$	${ displaystyle varepsilon k}$	${ displaystyle varepsilon j}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$

The ikkilamchi kompleks sonlar to'rt o'lchovli algebra ustidan haqiqiy raqamlar.^[1][2] Ularning asosiy qo'llanilishi vakili qattiq tana harakatlari 2 o'lchovli bo'shliqda.

Ko'paytirishdan farqli o'laroq juft raqamlar yoki ning murakkab sonlar, ikkitomonlama murakkab sonlar kommutativ bo'lmagan.

Ta'rif

Ushbu maqolada ikkitomonlama kompleks sonlar to'plami ko'rsatilgan ${ displaystyle mathbb {DC}}$. Umumiy element ${ displaystyle q}$ ning ${ displaystyle mathbb {DC}}$ shaklga ega ${ textstyle A + Bi + C varepsilon j + D varepsilon k}$ qayerda ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$, ${ displaystyle C}$ va ${ displaystyle D}$ haqiqiy sonlar; ${ displaystyle varepsilon}$ a ikkilik raqam kvadratlar nolga teng; va ${ displaystyle i}$, ${ displaystyle j}$va ${ displaystyle k}$ ning standart asos elementlari hisoblanadi kvaternionlar.

Ko'paytirish kvaternionlar singari amalga oshiriladi, ammo qo'shimcha qoida bilan ${ textstyle varepsilon}$ bu nolpotent indeks ${ displaystyle 2}$, ya'ni ${ textstyle varepsilon ^ {2} = 0}$. Bundan kelib chiqadiki, ikkilangan kompleks sonlarning ko'paytma teskari tomonlari quyidagicha berilgan

${ displaystyle (A + Bi + C varepsilon j + D varepsilon k) ^ {- 1} = { frac {A-Bi-C varepsilon jD varepsilon k} {A ^ {2} + B ^ { 2}}}}$

To'plam ${ displaystyle {1, i, varepsilon j, varepsilon k }}$ ikkilamchi kompleks sonlarning vektor makonining asosini tashkil etadi, bu erda skalar haqiqiy sonlardir.

Ikkala kompleks sonning kattaligi ${ displaystyle q}$ deb belgilangan

Kompyuter grafikasidagi dasturlar uchun raqam ${ displaystyle A + Bi + C varepsilon j + D varepsilon k}$ sifatida ko'rsatilishi kerakpanjara ${ displaystyle (A, B, C, D)}$.

Matritsaning namoyishi

Ikkala murakkab raqam ${ displaystyle q = A + Bi + C varepsilon j + D varepsilon k}$ 2x2 kompleks matritsa sifatida quyidagi ko'rinishga ega:

${ displaystyle { begin {pmatrix} A + Bi & C + Di 0 & A-Bi end {pmatrix}}.}$

Bundan tashqari, uni 2x2 juft sonli matritsa sifatida ko'rsatish mumkin:

${ displaystyle { begin {pmatrix} A + C epsilon & -B + D epsilon B + D epsilon & A-C epsilon end {pmatrix}}.}$

Terminologiya

Ushbu maqolada muhokama qilingan algebra ba'zan ikkilangan kompleks sonlar. Bu noto'g'ri ism bo'lishi mumkin, chunki algebra ikkalasining ham shaklini olishini taklif qiladi:

1. Ikkala raqamlar, ammo murakkab raqamli yozuvlar bilan
2. Murakkab raqamlar, lekin ikkita raqamli yozuvlar bilan

Algebra uchrashuvining tavsifi mavjud. Va ikkala tavsif ham tengdir. (Buning sababi shundaki algebralarning tensor mahsuloti kommutativdir izomorfizmgacha ). Ushbu algebra quyidagicha belgilanishi mumkin ${ displaystyle mathbb {C} [x] / (x ^ {2})}$ foydalanish uzukni belgilash. Olingan algebra o'zgaruvchan mahsulotga ega va boshqa muhokama qilinmaydi.

Qattiq tana harakatlarini ifodalovchi

Ruxsat bering

birlik uzunlikdagi ikkita murakkab son bo'ling, ya'ni biz bunga ega bo'lishimiz kerak

Evklid tekisligi to'plam bilan ifodalanishi mumkin ${ textstyle Pi = {i + x varepsilon j + y varepsilon k mid x in mathbb {R}, y in mathbb {R} }}$.

Element ${ displaystyle v = i + x varepsilon j + y varepsilon k}$ kuni ${ displaystyle Pi}$ nuqtasini ifodalaydi Evklid samolyoti bilan dekart koordinatasi ${ displaystyle (x, y)}$.

${ displaystyle q}$ qilish mumkin harakat qilish kuni ${ displaystyle v}$ tomonidan

qaysi xaritalar ${ displaystyle v}$ boshqa biron bir narsaga ${ displaystyle Pi}$.

Bizda quyidagilar mavjud (bir nechta) qutb shakllari uchun ${ displaystyle q}$:

1. Qachon ${ displaystyle B neq 0}$, element ${ displaystyle q}$ sifatida yozilishi mumkin
   $${ displaystyle cos ( theta / 2) + sin ( theta / 2) (i + x varepsilon j + y varepsilon k),}$$

   
   bu burchakning aylanishini bildiradi ${ displaystyle theta}$ nuqta atrofida ${ displaystyle (x, y)}$.
2. Qachon ${ displaystyle B = 0}$, element ${ displaystyle q}$ sifatida yozilishi mumkin
   $${ displaystyle { begin {aligned} & 1 + i (x varepsilon j + y varepsilon k) = {} & 1-y varepsilon j + x varepsilon k, end {aligned}}}$$

   
   bu vektor bo'yicha tarjimani bildiradi ${ displaystyle { begin {pmatrix} x y end {pmatrix}}.}$

Geometrik qurilish

Ikkala murakkab sonlarning printsipial konstruktsiyasini avval ularning dual-kvaternionlar.

Ning ikkita geometrik talqini mavjud dual-kvaternionlar, ikkalasi ham samolyotda er-xotin kompleks sonlar harakatini hosil qilish uchun ishlatilishi mumkin:

• Vakil qilishning bir usuli sifatida 3D kosmosdagi qattiq tana harakatlari. Ikkala murakkab sonlar shu qattiq tanadagi harakatlarning bir qismini aks ettirganini ko'rish mumkin. Buning uchun dual kvaternionlarning Evklid kosmosida qanday harakat qilishini yaxshi bilish kerak. Biz bu yondashuvni bu erda bo'lgani kabi tasvirlamaymiz boshqa joylarda etarli darajada bajarilgan.
• Ikki qavatli kvaternionlarni kvaternionlarning "cheksiz kichrayishi" deb tushunish mumkin.^[3][4][5] Eslatib o'tamiz, kvaternionlar vakili uchun ishlatilishi mumkin 3D fazoviy aylanishlar, ikkilik raqamlardan foydalanish uchun "cheksiz kichiklar ". Ushbu xususiyatlarni birlashtirish, aylanishlarni cheksiz ravishda o'zgartirishga imkon beradi. Keling ${ displaystyle Pi}$ ga teng birlik sharida yotgan cheksiz kichik tekislikni belgilang ${ displaystyle {i + x varepsilon j + y varepsilon k mid x in mathbb {R}, y in mathbb {R} }}$. Shunga e'tibor bering ${ displaystyle Pi}$ tekis bo'lishiga qaramay, bu sohaning kichik qismidir (bu ikki sonli cheksiz kichiklarning harakati tufayli).

Shunga e'tibor beringki, dual quaternionlarning bir qismi sifatida, er-xotin kompleks sonlar tekislikni aylantiradi ${ displaystyle Pi}$ orqaga qaytib. Buning ta'siri ${ displaystyle v in Pi}$ ning qiymatiga bog'liq ${ displaystyle q = A + Bi + C varepsilon j + D varepsilon k}$ yilda ${ displaystyle qvq ^ {- 1}}$:

1. Qachon ${ displaystyle B neq 0}$, aylanish o'qi biron bir nuqtaga to'g'ri keladi ${ displaystyle p}$ kuni ${ displaystyle Pi}$, shuning uchun ballar ${ displaystyle Pi}$ atrofida aylanish tajribasi ${ displaystyle p}$.
2. Qachon ${ displaystyle B = 0}$, aylanish o'qi tekislikdan uzoqda, burilish burchagi esa cheksizdir. Bunday holda, ochkolar ${ displaystyle Pi}$ tarjimani boshdan kechirish.

Shuningdek qarang

• Eduard Study
• Kvaternionlar
• Ikkala raqamlar
• Ikki qavatli kvaternionlar
• Klifford algebra
• Evklid tekisligining izometriyasi
• Afinaning o'zgarishi
• Proektiv tekislik
• Bir hil koordinatalar
• SLERP
• Konformal geometrik algebra

Adabiyotlar