Tenglama echimi - Equation solving

{ displaystyle { overset {} { underset {} {x = { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}}}}

The kvadratik formula, ning ramziy echimi kvadrat tenglama

bolta 2 + bx + v =0

Foydalanishga misol Nyuton-Raphson usuli tenglamani raqamli ravishda echish

f (x) = 0

Yilda matematika, ga tenglamani echish uni topishdir echimlar, bu qiymatlar (raqamlar, funktsiyalari, to'plamlar tomonidan ko'rsatilgan shartni bajaradigan va boshqalar) tenglama, umuman ikkitadan iborat iboralar bilan bog'liq teng belgi. Yechim izlashda, bir yoki bir nechtasi o'zgaruvchilar sifatida belgilanadi noma'lum. Yechim - bu tenglamadagi tenglikni rost qiladigan noma'lum o'zgaruvchilarga qiymatlarni berish. Boshqacha qilib aytganda, yechim bu qiymat yoki qiymatlar to'plamidir (har bir noma'lum uchun bittadan), qachonki almashtirilgan noma'lumlar uchun tenglama an bo'ladi tenglik.Tenglamaning yechimi ko'pincha a deb nomlanadi ildiz tenglamaning xususan, lekin nafaqat uchun polinom tenglamalari. Tenglamaning barcha echimlari to'plami uning eritma to'plami.

Tenglama ham echilishi mumkin raqamli ravishda yoki ramziy ma'noda. Tenglamani echish raqamli ravishda echim sifatida faqat raqamlar qabul qilinishini anglatadi. Tenglamani echish ramziy ma'noda echimlarni ifodalash uchun iboralardan foydalanish mumkinligini anglatadi.

Masalan, tenglama $x + y = 2 x - 1$ noma'lum uchun hal qilinadi $x$ ifoda bilan $x = y + 1$ , chunki almashtirish $y + 1$ uchun $x$ tenglamada natijalar $(y + 1) + y = 2(y + 1) - 1$ , haqiqiy so'z. O'zgaruvchini ham olish mumkin $y$ noma'lum bo'lib, keyin tenglama tomonidan hal qilinadi $y = x - 1$ . Yoki $x$ va $y$ ikkalasini ham noma'lum deb hisoblash mumkin, keyin tenglamaning ko'plab echimlari mavjud; ramziy echim $(x, y) = (a + 1, a)$ , bu erda o'zgaruvchi $a$ har qanday qiymatga ega bo'lishi mumkin. Ramziy echimni aniq raqamlar bilan asoslash har doim sonli echimni beradi; masalan, $a = 0$ beradi $(x, y) = (1, 0)$ (anavi, $x = 1, y = 0$ ) va $a = 1$ beradi $(x, y) = (2, 1)$ .

Ma'lum o'zgaruvchilar va noma'lum o'zgaruvchilar o'rtasidagi farq, odatda, "tenglama" kabi iboralar yordamida muammoni bayon qilishda aniqlanadi yilda $x$ va $y$ ", yoki" hal qilish uchun $x$ va $y$ "noma'lum narsalarni ko'rsatadigan bu erda $x$ va $y$ .Ammo, zaxira qilish odatiy holdir $x$ , $y$ , $z$ , ... noma'lum narsalarni belgilash va ishlatish uchun $a$ , $b$ , $v$ , ... tez-tez chaqiriladigan ma'lum o'zgaruvchilarni belgilash uchun parametrlar. Bu odatda ko'rib chiqishda bo'ladi polinom tenglamalari, kabi kvadrat tenglamalar. Biroq, ba'zi muammolar uchun barcha o'zgaruvchilar har qanday rolni bajarishi mumkin.

Kontekstga qarab, tenglamani echish har qanday echimni (bitta echimni topish kifoya qiladi), barcha echimlarni yoki berilganga tegishli bo'lish kabi qo'shimcha xususiyatlarni qondiradigan echimni topishdan iborat bo'lishi mumkin. oraliq. Vazifasi echimini topishdir eng yaxshi ba'zi bir mezonlarga ko'ra, bu optimallashtirish muammosi. Optimallashtirish masalasini echish odatda "tenglamalarni echish" deb nomlanmaydi, chunki odatda hal qilish usullari yaxshi echim topish uchun muayyan echimdan boshlanadi va oxir-oqibat eng yaxshi echimni topguncha jarayonni takrorlaydi.

Umumiy nuqtai

Tenglamaning umumiy shakllaridan biri

{ displaystyle f left (x_ {1}, dots, x_ {n} right) = c,}

qayerda $f$ a funktsiya, $x 1, ..., x n$ noma'lumlar va $v$ doimiy. Uning echimlari - ning elementlari teskari rasm

{ displaystyle f ^ {- 1} (c) = { bigl {} (a_ {1}, dots, a_ {n}) d $ D mid f left (a_ {1}, dots, a_ {n} o'ng) = c { bigr }},}

qayerda $D.$ bo'ladi domen funktsiyasi $f$ . Yechimlar to'plami bo'lishi mumkin bo'sh to'plam (echimlar yo'q), a singleton (to'liq bitta echim bor), cheklangan yoki cheksiz (juda ko'p echimlar mavjud).

Masalan, kabi tenglama

{ displaystyle 3x + 2y = 21z,}

noma'lum narsalar bilan $x, y$ va $z$ , olib tashlash orqali yuqoridagi shaklga qo'yish mumkin $21 z$ tenglamaning har ikki tomonidan, olish uchun

{ displaystyle 3x + 2y-21z = 0}

Bunday holda, bu shunchaki emas bitta echim, lekin yozish mumkin bo'lgan cheksiz echimlar to'plami quruvchi yozuvlari,

{ displaystyle { bigl {} (x, y, z) mid 3x + 2y-21z = 0 { bigr }}.}

Muayyan echimlardan biri $x = 0, y = 0, z = 0$ . Boshqa ikkita echim $x = 3, y = 6, z = 1$ va $x = 8, y = 9, z = 2$ . Noyob narsa bor samolyot yilda uch o'lchovli bo'shliq, bu bilan uchta nuqtadan o'tib ketadi koordinatalar, va bu tekislik koordinatalari tenglamaning echimlari bo'lgan barcha nuqtalarning to'plamidir.

Yechim to'plamlari

Tenglamaning echimlar to'plami

x 2 / 4 + y 2 = 1

shakllantiradi ellips to'plami sifatida talqin qilinganda Dekart koordinatasi juftliklar.

The eritma to'plami berilgan tenglama yoki tengsizliklar to'plami o'rnatilgan uning barcha echimlari, a bo'lgan qaror panjara qadriyatlar, har biri uchun bittadan noma'lum, bu barcha tenglamalar yoki tengsizliklarni qondiradi eritma to'plami bo'sh bo'lsa, unda barcha tenglamalar va tengsizliklarni bir vaqtning o'zida qondiradigan noma'lumlarning qiymatlari yo'q.

Oddiy misol uchun tenglamani ko'rib chiqing

{ displaystyle x ^ {2} = 2.}

Ushbu tenglamani a sifatida ko'rib chiqish mumkin Diofant tenglamasi, ya'ni faqat uchun tenglama tamsayı echimlar izlanmoqda. Bunday holda, echim to'plami bo'sh to'plam, chunki 2 butun sonning kvadrati emas. Ammo, agar kimdir qidirsa haqiqiy echimlar, ikkita echim bor, $\sqrt 2$ va $- \sqrt 2$ ; boshqacha qilib aytganda, echim to'plami ${\sqrt 2, - \sqrt 2}$ .

Agar tenglama bir nechta noma'lumni o'z ichiga oladigan bo'lsa va tenglamadan ko'ra ko'proq noma'lum bo'lgan bir nechta tenglamaga ega bo'lsa, yechim to'plami ko'pincha cheksizdir. Bunday holda, echimlarni sanab bo'lmaydi. Ularning vakili uchun, a parametrlash ko'pincha foydalidir, bu ba'zi bir noma'lum yoki yordamchi o'zgaruvchilar nuqtai nazaridan echimlarni ifodalashdan iborat. Barcha tenglamalar mavjud bo'lganda, bu har doim ham mumkin chiziqli.

Bunday cheksiz echim to'plamlari tabiiy ravishda talqin qilinishi mumkin geometrik kabi shakllar chiziqlar, chiziqlar (rasmga qarang), samolyotlar va umuman olganda algebraik navlar yoki manifoldlar. Jumladan, algebraik geometriya ning echimlar to'plamini o'rganish sifatida qaralishi mumkin algebraik tenglamalar.

Yechish usullari

Tenglamalarni echish usullari odatda tenglama turiga, ham tenglamadagi ifodalar turiga, ham noma'lum narsalar qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlarga bog'liq. Tenglama turlarining xilma-xilligi katta va shunga mos usullar ham katta. Quyida faqat bir nechta aniq turlari keltirilgan.

Umuman olganda, tenglamalar sinfini hisobga olgan holda, ma'lum bir sistematik usul bo'lmasligi mumkin (algoritm ) ishlashga kafolatlangan. Buning sababi matematik bilimlarning etishmasligi bo'lishi mumkin; ba'zi muammolar faqat ko'p asrlik harakatlardan so'ng hal qilindi. Ammo bu, umuman olganda, bunday usul mavjud bo'lmasligini ham aks ettiradi: ba'zi muammolar ma'lum hal qilib bo'lmaydigan kabi algoritm bilan Hilbertning o'ninchi muammosi 1970 yilda hal qilinmaydiganligi isbotlangan.

Bir necha sinf tenglamalar uchun ularni echish algoritmlari topilgan, ularning ba'zilari amalga oshirilgan va kiritilgan kompyuter algebra tizimlari, lekin ko'pincha qalam va qog'ozdan ko'ra zamonaviy texnologiyani talab qilmaydi. Boshqa ba'zi hollarda, evristik tez-tez muvaffaqiyatli bo'lgan, ammo muvaffaqiyatga erishish uchun kafolat berilmagan usullar ma'lum.

Dag'al kuch, sinov va xato, ilhomlangan taxmin

Agar tenglamaning echimlar to'plami cheklangan to'plam bilan cheklangan bo'lsa (tenglamalar uchun bo'lgani kabi modulli arifmetik, masalan) yoki cheklangan miqdordagi imkoniyatlar bilan cheklanishi mumkin (ba'zilarida bo'lgani kabi) Diofant tenglamalari ), echim to'plamini quyidagicha topish mumkin qo'pol kuch, ya'ni har bir mumkin bo'lgan qiymatlarni sinab ko'rish orqali (nomzod echimlari ). Shunga qaramay, ehtimol, ko'rib chiqilishi mumkin bo'lgan imkoniyatlar soni cheklangan bo'lsa ham, juda katta to'liq qidiruv amalda mumkin emas; bu aslida kuchlilar uchun talab shifrlash usullari.

Barcha turdagi kabi muammoni hal qilish, sinov va xato ba'zida echim topishi mumkin, xususan, agar tenglama shakli yoki uning ma'lum bir yechim bilan boshqa tenglamaga o'xshashligi, bu yechimda "ilhomlangan taxmin" ga olib kelishi mumkin. Agar taxmin, sinovdan o'tkazilganda, echimini topa olmasa, uning muvaffaqiyatsiz bo'lish usulini ko'rib chiqish o'zgartirilgan taxminga olib kelishi mumkin.

Boshlang'ich algebra

Yagona real qiymatga ega bo'lgan noma'lumning chiziqli yoki oddiy ratsional funktsiyalari bilan bog'liq bo'lgan tenglamalar $x$ , kabi

{ displaystyle 8x + 7 = 4x + 35 quad { text {or}} quad { frac {4x + 9} {3x + 4}} = 2 ,,}

usullari yordamida echilishi mumkin elementar algebra.

Chiziqli tenglamalar tizimlari

Kichikroq chiziqli tenglamalar tizimlari elementar algebra usullari bilan ham echilishi mumkin. Kattaroq tizimlarni echish uchun algoritmlardan foydalaniladi chiziqli algebra.

Polinom tenglamalari

Polinom to'rt darajagacha bo'lgan tenglamalarni aniq algebraik usullar yordamida hal qilish mumkin, ulardan kvadratik formula eng oddiy misol. Besh va undan yuqori darajadagi polinom tenglamalari umumiy sonli usullarni (pastga qarang) yoki kabi maxsus funktsiyalarni talab qiladi Radikallarni keltiring, masalan, ba'zi bir aniq holatlar algebraik tarzda echilishi mumkin

{ displaystyle 4x ^ {5} -x ^ {3} -3 = 0}

(yordamida ratsional ildiz teoremasi ) va

{ displaystyle x ^ {6} -5x ^ {3} + 6 = 0 ,,}

(almashtirish yordamida $x = z 1 ⁄ 3$ , bu esa buni a ga soddalashtiradi kvadrat tenglama yilda $z$ ).

Diofant tenglamalari

Yilda Diofant tenglamalari echimlar bo'lishi kerak butun sonlar. Ba'zi hollarda, yuqorida aytib o'tilganidek, qo'pol kuch ishlatish usulidan foydalanish mumkin. Boshqa ba'zi holatlarda, xususan, agar tenglama bitta noma'lum bo'lsa, uchun tenglamani echish mumkin oqilona - baholangan noma'lum (qarang Ratsional ildiz teoremasi ), so'ngra Diophantine tenglamasiga echimlarni butun sonli echimlarga o'rnatilishini cheklash orqali toping. Masalan, polinom tenglamasi

{ displaystyle 2x ^ {5} -5x ^ {4} -x ^ {3} -7x ^ {2} + 2x + 3 = 0 ,}

kabi oqilona echimlarga ega $x = - 1 / 2$ va $x = 3$ va shuning uchun Diofant tenglamasi sifatida qaralganda u noyob echimga ega $x = 3$ .

Ammo umuman olganda Diofant tenglamalari echilishi qiyin bo'lgan tenglamalar qatoriga kiradi.

Teskari funktsiyalar

Bir o'zgaruvchining funktsiyasining oddiy holatida, masalan, $h (x)$ , biz shaklning tenglamasini echishimiz mumkin $h (x) = v$ ba'zi bir doimiy uchun $v$ deb nomlanuvchi narsani ko'rib chiqish orqali teskari funktsiya ning $h$ .

Funktsiya berilgan $h : A \to B$ , teskari funktsiya, belgilangan $h -1$ va sifatida belgilanadi $h -1 : B \to A$ , shunday funktsiya

{ displaystyle h ^ {- 1} { bigl (} h (x) { bigr)} = h { bigl (} h ^ {- 1} (x) { bigr)} = x ,.}

Endi, teskari funktsiyani ikkala tomonga tatbiq etsak $h (x) = v$ , qayerda $v$ ning doimiy qiymati $B$ , biz olamiz

{ displaystyle { begin {aligned} h ^ {- 1} { bigl (} h (x) { bigr)} & = h ^ {- 1} (c) x & = h ^ {- 1} (c) end {hizalangan}}}

va biz tenglamaning echimini topdik. Biroq, funktsiyaga qarab, teskari tomonni aniqlash qiyin bo'lishi mumkin yoki barcha to'plamlarda funktsiya bo'lmasligi mumkin $B$ (faqat ba'zi bir kichik to'plamda) va bir nuqtada juda ko'p qiymatlarga ega.

Agar to'liq echim to'plami o'rniga bitta echim topilsa, aslida faqat funktsional identifikator etarli bo'lsa

{ displaystyle h chap (h ^ {- 1} (x) o'ng) = x}

ushlab turadi. Masalan, proektsiya $π 1 : R 2 \to R$ tomonidan belgilanadi $π 1 (x, y) = x$ post-teskari yo'q, lekin oldindan teskari $π -1 1$ tomonidan belgilanadi $π -1 1 (x) = (x, 0)$ . Darhaqiqat, tenglama $π 1 (x, y) = v$ tomonidan hal qilinadi

{ displaystyle (x, y) = pi _ {1} ^ {- 1} (c) = (c, 0).}

Teskari funktsiyalarga quyidagilar kiradi $n$ ildiz (teskari $x n$ ); The logaritma (teskari $a x$ ); The teskari trigonometrik funktsiyalar; va Lambertniki $V$ funktsiya (teskari $xe x$ ).

Faktorizatsiya

Agar tenglamaning chap tomonidagi ifodasi $P = 0$ bolishi mumkin faktorizatsiya qilingan kabi $P = QR$ , dastlabki echimning echimlar to'plami ikkita tenglamaning yechim to'plamlari birlashmasidan iborat $Q = 0$ va $R = 0$ .Masalan, tenglama

{ displaystyle tan x + cot x = 2}

identifikatoridan foydalangan holda qayta yozish mumkin $sarg'ish x karyola x = 1$ kabi

{ displaystyle { frac { tan ^ {2} x-2 tan x + 1} { tan x}} = 0,}

faktorizatsiya qilinishi mumkin

{ displaystyle { frac { left ( tan x-1 right) ^ {2}} { tan x}} = 0.}

Shunday qilib echimlar tenglamaning echimlari hisoblanadi $sarg'ish x = 1$ va shunday qilib to'plam

{ displaystyle x = { tfrac { pi} {4}} + k pi, quad k = 0, pm 1, pm 2, ldots.}

Raqamli usullar

Haqiqiy yoki yanada murakkab tenglamalar bilan murakkab sonlar, tenglamalarni echishning oddiy usullari muvaffaqiyatsiz bo'lishi mumkin. Ko'pincha, ildiz topish algoritmlari kabi Nyuton-Raphson usuli tenglamaning sonli echimini topish uchun ishlatilishi mumkin, bu ba'zi bir ilovalar uchun ba'zi masalalarni echish uchun to'liq etarli bo'lishi mumkin.

Matritsa tenglamalari

O'z ichiga olgan tenglamalar matritsalar va vektorlar ning haqiqiy raqamlar usullarini qo'llash orqali ko'pincha hal qilish mumkin chiziqli algebra.

Differentsial tenglamalar

Har xil turlarini echish uchun juda ko'p usullar mavjud differentsial tenglamalar, ikkalasi ham raqamli ravishda va analitik ravishda. Bu erga tegishli deb hisoblanishi mumkin bo'lgan muammoning ma'lum bir klassi integratsiya va hozirda ushbu turdagi muammolarni hal qilishning analitik usullari deyiladi ramziy integratsiya.^{[iqtibos kerak ]} Differentsial tenglamalarning echimlari bo'lishi mumkin yashirin yoki aniq.^[1]

Shuningdek qarang

Tashqi va etishmayotgan echimlar
Bir vaqtning o'zida tenglamalar
Koeffitsientlarni tenglashtirish
Geodezik tenglamalarni echish
Unifikatsiya (informatika) - ramziy ifodalarni o'z ichiga olgan tenglamalarni echish

Adabiyotlar

^ Dennis G. Zill (2012 yil 15 mart). Modellashtirish dasturlari bilan differentsial tenglamalarning birinchi kursi. O'qishni to'xtatish. ISBN 978-1-285-40110-2.

[Zill2012-1] Dennis G. Zill (2012 yil 15 mart). Modellashtirish dasturlari bilan differentsial tenglamalarning birinchi kursi. O'qishni to'xtatish. ISBN 978-1-285-40110-2.

[1]