Geografik masofa - Geographical distance

Geodeziya
Asoslari Geodeziya Geodinamika Geomatika Tarix
Tushunchalar Geografik masofa Geoid Yerning shakli (Yer radiusi va Yer atrofi ) Geodeziya ma'lumotlari Geodezik Geografik koordinatalar tizimi Landshaft holatni ko'rsatish Kenglik  / Uzunlik Xaritani proektsiyalash Yo'naltiruvchi ellipsoid Sun'iy yo'ldosh geodeziyasi Fazoviy ma'lumotnoma tizimi Mekansal munosabatlar
Texnologiyalar Global Nav. Shanba Tizimlar (GNSS) Global Pos. Tizim (GPS) GLONASS (Rossiya) BeiDou (BDS) (Xitoy) Galiley (Evropa) NAVIC (Hindiston) Quazi-Zenith Sat. Sys. (QZSS) (Yaponiya) Diskret global tarmoq va geokodlash
Standartlar (tarix) NGVD 29 Dengiz sathidagi ma'lumotlar 1929 yil OSGB36 Ordnance Survey Buyuk Britaniya 1936 y SK-42 Systema Koordinat 1942 yil ED50 Evropa Datum 1950 yil SAD69 Janubiy Amerika Datum 1969 yil GRS 80 Geodezik ma'lumotnoma tizimi 1980 yil ISO 6709 Geografik nuqta koordinatasi. 1983 yil NAD 83 Shimoliy Amerika Datum 1983 yil WGS 84 Jahon geodezik tizimi 1984 yil NAVD 88 N. Amerika vertikal Datum 1988 yil ETRS89 Evropa quruqlikdagi ref. Sys. 1989 yil GCJ-02 Xitoyliklar xiralashgan sana 2002 yil Geo URI 2010 yilgi nuqtaga Internet aloqasi Xalqaro yer usti ma'lumotnoma tizimi Fazoviy ma'lumot tizimining identifikatori (SRID) Universal Transvers Mercator (UTM)

Geografik masofa bo'ladi masofa yuzasi bo'ylab o'lchangan er. Ushbu maqoladagi formulalar nuqtai nazaridan geografik koordinatalar bilan belgilanadigan nuqtalar orasidagi masofani hisoblab chiqadi kenglik va uzunlik. Ushbu masofa ikkinchi (teskari) geodezik muammo.

Kirish

Geografik koordinatalar orasidagi masofani hisoblash qaysidir darajadagi mavhumlikka asoslangan; u ta'minlamaydi aniq masofa, agar er yuzidagi har bir qonunbuzarlik uchun javob berishga urinib ko'rilsa, unga erishish mumkin emas.^[1] Ikki geografik nuqta orasidagi sirt uchun umumiy abstraktsiyalar:

• Yassi sirt;
• Sferik sirt;
• Ellipsoidal sirt.

Yuqoridagi barcha abstraktlar balandlikdagi o'zgarishlarga e'tibor bermaydilar. Idealizatsiya qilingan yuzaga nisbatan balandlikning o'zgarishini hisobga oladigan masofalarni hisoblash ushbu maqolada muhokama qilinmaydi.

Nomenklatura

Masofa, ${displaystyle D ,,!}$ ikki nuqta o'rtasida hisoblanadi, ${displaystyle P_ {1} ,!}$ va ${displaystyle P_ {2} ,!}$. Ikkala nuqtaning geografik koordinatalari (kenglik, uzunlik) juftliklari kabi ${displaystyle (phi _ {1}, lambda _ {1}) ,!}$ va ${displaystyle (phi _ {2}, lambda _ {2}) ,,!}$ navbati bilan. Ikkala nuqta qaysi biri sifatida belgilanadi ${displaystyle P_ {1} ,!}$ masofani hisoblash uchun muhim emas.

Xaritalardagi kenglik va uzunlik koordinatalari odatda quyidagicha ifodalanadi daraja. Quyidagi formulalarning berilgan shakllarida bir yoki bir nechta qiymatlar kerak to'g'ri natijani olish uchun ko'rsatilgan birliklarda ifodalanishi kerak. Trigonometrik funktsiya argumenti sifatida geografik koordinatalardan foydalanilsa, qiymatlar trigonometrik funktsiya qiymatini aniqlash uchun ishlatiladigan usulga mos keladigan har qanday burchak birliklarida ifodalanishi mumkin. Ko'pgina elektron kalkulyatorlar trigonometrik funktsiyalarni ikkala daraja yoki darajalarda hisoblash imkonini beradi radianlar. Kalkulyator rejimi geometrik koordinatalar uchun ishlatiladigan birliklarga mos kelishi kerak.

Kenglik va uzunlikdagi farqlar quyidagicha belgilanadi va hisoblanadi:

${displaystyle {egin {aligned} Delta phi & = phi _ {2} -phi _ {1}; Delta lambda & = lambda _ {2} -lambda _ {1} .end {aligned}} ,!}$

Quyidagi formulalardan foydalanilganda natija ijobiy yoki salbiy bo'lishi muhim emas.

"O'rtacha kenglik" quyidagicha belgilanadi va hisoblanadi:

${displaystyle phi _ {m} = {frac {phi _ {1} + phi _ {2}} {2}}.,!}$

Colatitude quyidagi tarzda etiketlanadi va hisoblanadi:

Radianlarda ko'rsatilgan kenglik uchun:

${displaystyle heta = {frac {pi} {2}} - phi;,!}$

Darajalar bilan ko'rsatilgan kenglik uchun:

${displaystyle heta = 90 ^ {circ} -phi.,!}$

Agar boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa, the radius Quyidagi hisob-kitoblar uchun erning:

${displaystyle R ,!}$ = 6,371.009 kilometr = 3,958.761 nizom mil = 3,440.069 dengiz millari.

${displaystyle D_ {,}!}$ = Ikkala nuqta orasidagi masofa, er yuzasi bo'ylab va boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa, radius uchun ishlatiladigan qiymat bilan bir xil birliklarda o'lchangan.

Kenglik / uzunlikning o'ziga xos xususiyatlari va uzilishlari

Uzunlik bor o'ziga xoslik da Qutblar (uzunlik aniqlanmagan) va a uzilish ± da180 ° meridian. Shuningdek, ning tekislikdagi proektsiyalari doimiy kenglik doiralari qutblar yaqinida juda kavisli. Demak, uchun yuqoridagi tenglamalar delta kenglik / uzunlik (${displaystyle Delta phi!}$, ${displaystyle Delta lambda!}$) va o'rtacha kenglik (${displaystyle phi _ {m}!}$) kutuplar yoki ± 180 ° meridian yaqinidagi pozitsiyalar uchun kutilgan javobni bermasligi mumkin. Masalan, masalan. ning qiymati ${displaystyle Delta lambda!}$ ("sharqdan siljish") qachon ${displaystyle lambda _ {1}!}$ va ${displaystyle lambda _ {2}!}$ ± 180 ° meridianning har ikki tomonida yoki qiymati ${displaystyle phi _ {m}!}$ ("o'rtacha kenglik") ikkita pozitsiya uchun (${displaystyle phi _ {1}!}$=89°, ${displaystyle lambda _ {1}!}$= 45 °) va (${displaystyle phi _ {2}!}$=89°, ${displaystyle lambda _ {2}!}$=−135°).

Agar kenglik / uzunlik bo'yicha hisob-kitob Yerning barcha pozitsiyalari uchun amal qilishi kerak bo'lsa, uzilish va qutblar to'g'ri ishlanganligini tekshirish kerak. Boshqa echim - foydalanish n-vektor kenglik / uzunlik o'rniga, chunki bu vakillik uzilishlar va o'ziga xosliklarga ega emas.

Yassi formulalar

Er yuzasi uchun tekislik bilan yaqinlashish kichik masofalarda foydali bo'lishi mumkin. Ushbu taxmin yordamida masofani hisoblash aniqligi tobora noto'g'ri bo'lib kelmoqda:

• Ballar orasidagi ajratish kattalashadi;
• Nuqta geografik qutbga yaqinlashadi.

Tekislikdagi ikki nuqta orasidagi eng qisqa masofa to'g'ri chiziqdir. The Pifagor teoremasi tekislikdagi nuqtalar orasidagi masofani hisoblash uchun ishlatiladi.

Qisqa masofalarda ham tekis Erni qabul qiladigan geografik masofa hisob-kitoblarining aniqligi kenglik va uzunlik koordinatalari qilingan usulga bog'liq. prognoz qilingan samolyotga. Kenglik va uzunlik koordinatalarining tekislikka proyeksiyasi bu sohadir kartografiya.

Ushbu bo'limda keltirilgan formulalar turli darajadagi aniqlikni ta'minlaydi.

Sferik Yer tekislikka proektsiyalangan

Ushbu formulada kenglik bilan meridianlar orasidagi masofaning o'zgarishi hisobga olinadi:

${displaystyle D = R {sqrt {(Delta phi) ^ {2} + (cos (phi _ {m}) Delta lambda) ^ {2}}},}$

qaerda:

${displaystyle Delta phi,!}$ va ${displaystyle Delta lambda,!}$ radianlarda;

${displaystyle phi _ {m} ,!}$ aniqlash uchun ishlatiladigan usulga mos birliklarda bo'lishi kerak ${displaystyle cos (phi _ {m}).,!}$

Kenglik yoki uzunlikni radianlarga o'tkazish uchun foydalaning

${displaystyle 1 ^ {circ} = (pi / 180), mathrm {radians}.}$

Ushbu taxmin juda tez va kichik masofalar uchun juda aniq natija beradi^{[iqtibos kerak ]}. Shuningdek, ma'lumotlar bazasi so'rovida bo'lgani kabi masofani masofadan buyurtma qilishda kvadrat ildizni hisoblash zaruratini bartaraf etib, kvadratchalar bo'yicha buyurtma berish ancha tezlashadi.

Ellipsoidal Yer tekislikka prognoz qilingan

The FCC 475 kilometrdan (295 mil) oshmaydigan masofalar uchun quyidagi formulalarni belgilaydi:^[2]

${displaystyle D = {sqrt {(K_ {1} Delta phi) ^ {2} + (K_ {2} Delta lambda) ^ {2}}},}$

qayerda

${displaystyle D ,!}$ = Masofa kilometrlarda;

${displaystyle Delta phi,!}$ va ${displaystyle Delta lambda,!}$ darajalarda;

${displaystyle phi _ {m} ,!}$ aniqlash uchun ishlatiladigan usulga mos birliklarda bo'lishi kerak ${displaystyle cos (phi _ {m});,!}$

${displaystyle {egin {aligned} K_ {1} & = 111.13209-0.56605cos (2phi _ {m}) + 0.00120cos (4phi _ {m}); K_ {2} & = 111.41513cos (phi _ {m}) ) -0.09455cos (3phi _ {m}) + 0.00012cos (5phi _ {m}). End {hizalanmış}} ,!}$

Qaerda ${displaystyle K_ {1}}$ va ${displaystyle K_ {2}}$ bir gradusda kilometr birligida. Shuni ta'kidlash qiziq bo'lishi mumkin:

${displaystyle K_ {1} = M {frac {pi} {180}} ,!}$ = kenglik farqi darajasiga kilometr;

${displaystyle K_ {2} = cos (phi _ {m}) N {frac {pi} {180}} ,!}$ = uzunlik farqi darajasiga kilometr;

qayerda ${displaystyle M ,!}$ va ${displaystyle N ,!}$ ular meridional va uning perpendikulyar yoki "normal", egrilik radiusi (FCC formulasidagi iboralar binomial qator kengayish shakli ${displaystyle M ,!}$ va ${displaystyle N ,!}$, ga sozlang Klark 1866 mos yozuvlar ellipsoid ).

Yassi Yerning qutb koordinatasi formulasi

${displaystyle D = R {sqrt {heta _ {1} ^ {2}; {oldsymbol {+}}; heta _ {2} ^ {2}; mathbf {-}; 2 heta _ {1} heta _ {2} cos (Delta lambda)}},}$

bu erda kolatit qiymatlari radianlarda. Daraja bilan o'lchangan kenglik uchun radiandagi koordinatani quyidagicha hisoblash mumkin: ${displaystyle heta = {frac {pi} {180}} (90 ^ {circ} -phi).,!}$

Sferik-sirt formulalari

Agar kimdir mumkin bo'lgan xatoni 0,5% qabul qilishga tayyor bo'lsa, formulalaridan foydalanish mumkin sferik trigonometriya er yuziga eng yaxshi yaqinlashadigan sohada.

Er yuzidagi ikki nuqta orasidagi shar yuzasi bo'ylab eng qisqa masofa ikki nuqta o'z ichiga olgan katta doira bo'ylab joylashgan.

The katta doiradagi masofa maqolada Yerning kattaligidagi shar doirasidagi katta aylana bo'ylab masofani hisoblash formulasi berilgan. Ushbu maqolada hisoblashning bir misoli keltirilgan.

Tunnel masofasi

Erdagi nuqtalar orasidagi tunnel qiziqish nuqtalari orasidagi uch o'lchovli bo'shliq orqali chiziq bilan aniqlanadi, katta doiraning akkord uzunligi mos keladigan birlik sferasi uchun quyidagicha hisoblanishi mumkin:

${displaystyle {egin {aligned} & Delta {X} = cos (phi _ {2}) cos (lambda _ {2}) - cos (phi _ {1}) cos (lambda _ {1}); & Delta {Y } = cos (phi _ {2}) sin (lambda _ {2}) - cos (phi _ {1}) sin (lambda _ {1}); & Delta {Z} = sin (phi _ {2}) -sin (phi _ {1}); & C_ {h} = {sqrt {(Delta {X}) ^ {2} + (Delta {Y}) ^ {2} + (Delta {Z}) ^ {2 }}}. oxiri {hizalanmış}}}$

Sharsimon Yer yuzidagi nuqtalar orasidagi tunnel masofasi${displaystyle D = RC_ {h}}$. Qisqa masofalar uchun (${displaystyle Dll R}$), bu katta doira masofasini by ${displaystyle D (D / R) ^ {2} / 24}$.

Ellipsoidal-sirt formulalari

Oblat ellipsoidda geodeziya

Ellipsoid er yuziga aspherega yoki tekis yuzaga qaraganda ancha yaxshi yaqinlashadi. Sirtdagi ikki nuqta orasidagi ellipsoid yuzasi bo'ylab eng qisqa masofa bu bo'ylab joylashgangeodezik. Geodeziya katta aylanalarga qaraganda ancha murakkab yo'llarni bosib o'tadi va, xususan, ular erning bitta aylanasidan keyin boshlang'ich holatiga qaytmaydi. Bu o'ngdagi rasmda ko'rsatilgan f effektni ta'kidlash uchun 1/50 ga teng. Yer yuzidagi ikkita nuqta orasidagi geodezikani topish teskari geodezik muammo, 18-19 asrlar davomida ko'plab matematiklar va geodezistlarning diqqat markazida bo'lgan.Klerot,^[3]Legendre,^[4]Bessel,^[5]va Helmert.^[6]Rapp^[7]ushbu ishning yaxshi xulosasini beradi.

Geodezik masofani hisoblash usullari keng tarqalgangeografik axborot tizimlari, dasturiy ta'minot kutubxonalari, mustaqil xizmatlar va onlayn vositalar. Eng ko'p ishlatiladigan algoritm - tomonidanVinsentiy,^[8]ellipsoidni tekislashda uchinchi darajaga to'g'ri keladigan ketma-ketlikni kim ishlatadi, ya'ni taxminan 0,5 mm; ammo, algoritm deyarli bir-biriga yaqinlasha olmaydi antipodal. (Fordetails, qarang Vinsentining formulalari.) Ushbu nuqson Karney tomonidan berilgan algoritmda davolanadi,^[9]yassilashda oltinchi darajaga to'g'ri keladigan ketma-ketlikni ishlatadi, natijada algoritm to'liq er-xotin aniqlikka to'g'ri keladi va er yuzidagi o'zboshimchalik juftlari uchun birlashadi. Ushbu algoritm GeographicLib-da amalga oshiriladi.^[10]

Yuqoridagi aniq usullar kompyuterda hisob-kitoblarni amalga oshirishda mumkin. Ular istalgan uzunlikdagi chiziqlar bo'yicha millimetr aniqligini berishga mo'ljallangan; Agar millimetr aniqligi kerak bo'lmasa yoki millimetr aniqligi kerak bo'lsa, ammo chiziq qisqa bo'lsa, oddiyroq formulalardan foydalanish mumkin.^[11] Chap. 6, tasvirlaydi Puissant usuli, o'rta kenglikdagi Gauss usuli va Bowring usuli.^[12]

Uzun chiziqlar uchun Lambert formulasi

Lambertning formulalari^[13]minglab kilometrlarda 10 metrga aniqlik berish. Avval kengliklarni o'zgartiring ${displaystyle scriptstyle phi _ {1}}$, ${displaystyle scriptstyle phi _ {2}}$ ikkita nuqtadan qisqartirilgan kenglik ${displaystyle scriptstyle eta _ {1}}$, ${displaystyle scriptstyle eta _ {2}}$

${displaystyle an eta = (1-f) phi,}$

qayerda ${displaystyle f}$ bo'ladi tekislash. Keyin hisoblang markaziy burchak ${displaystyle sigma}$ ikki nuqta orasidagi radianlarda ${displaystyle (eta _ {1} ,; lambda _ {1})}$ va ${displaystyle (eta _ {2} ,; lambda _ {2})}$ foydalanish bo'yicha sohada katta doiradagi masofa usuli (kosinuslar qonuni yoki haversin formulasi ), uzunliklar bilan ${displaystyle lambda _ {1};}$ va ${displaystyle lambda _ {2};}$ sferoid bilan bir xil bo'lgan sohada.

${displaystyle P = {frac {eta _ {1} + eta _ {2}} {2}} qquad Q = {frac {eta _ {2} - eta _ {1}} {2}}}$

${displaystyle X = (sigma -sin sigma) {frac {sin ^ {2} Pcos ^ {2} Q} {cos ^ {2} {frac {sigma} {2}}}} qquad qquad Y = (sigma + sin sigma) {frac {cos ^ {2} Psin ^ {2} Q} {sin ^ {2} {frac {sigma} {2}}}}}$

${extstyle mathrm {distance} = a {igl (} sigma - {frac {f} {2}} (X + Y) {igr)}}$

qayerda ${displaystyle a}$ tanlangan sferoidning ekvatorial radiusi.

Ustida GRS 80 sferoid Lambert formulasi o'chirilgan

0 Shimoliy 0 G'arbdan 40 Shimoliy 120 G'arbgacha, 12,6 metr

0N 0W dan 40N 60W gacha, 6,6 metr

40N 0W dan 40N 60W gacha, 0,85 metr

Qisqa chiziqlar uchun Bowring usuli

Bowring nuktalarni radiusli sferaga tushiradi R ′, kenglik va uzunlik φ ′ va λ ′ sifatida ko'rsatilgan. Aniqlang

${displaystyle A = {sqrt {1 + e '^ {2} cos ^ {4} phi _ {1}}}, to'rtinchi B = {sqrt {1 + e' ^ {2} cos ^ {2} phi _ { 1}}},}$

ikkinchi ekssentriklik kvadrati qaerda

${displaystyle e '^ {2} = {frac {a ^ {2} -b ^ {2}} {b ^ {2}}} = {frac {f (2-f)} {(1-f) ^ {2}}}.}$

Sferik radius shunday

${displaystyle R '= {frac {sqrt {1 + e' ^ {2}}} {B ^ {2}}} a.}$

(The Gauss egriligi lip da ellipsoidning₁ 1 / ga tengR ′².) Sferik koordinatalar tomonidan berilgan

${displaystyle {egin {aligned} an phi _ {1} '& = {frac {an phi} {B}}, Delta phi' & = {frac {Delta phi} {B}} {iggl [} 1+ { frac {3e '^ {2}} {4B ^ {2}}} (Delta phi) sin (2phi _ {1} + {frac {2} {3}} Delta phi) {iggr]}, Delta lambda' & = ADelta lambda, oxiri {hizalangan}}}$

qayerda ${displaystyle Delta phi = phi _ {2} -phi _ {1}}$, ${displaystyle Delta phi '= phi _ {2}' - phi _ {1} '}$,${displaystyle Delta lambda = lambda _ {2} -lambda _ {1}}$, ${displaystyle Delta lambda '= lambda _ {2}' - lambda _ {1} '}$. Natijada yuzaga kelgan muammoni quyidagi usullar yordamida hal qilish mumkin katta doiradagi navigatsiya sharsimon masofa va podshipnik uchun taxminlar berish. Batafsil formulalar Rapp tomonidan berilgan,^[11] §6.5 va kamon.^[12]

Shuningdek qarang

• Yer radiusi
• Sferik Yer
• Katta doiradagi masofa
• Katta doiradagi navigatsiya
• Vinsentining formulalari
• Meridian yoyi

Adabiyotlar

Tashqi havolalar

• An onlayn geodeziya kalkulyatori (GeographicLib asosida).
• An onlayn geodezik bibliografiya.