Braunning geometrik harakati - Geometric Brownian motion

A Braun harakati geometrik (GBM) (shuningdek, nomi bilan tanilgan eksponentli Broun harakati) doimiy vaqt stoxastik jarayon unda logaritma tasodifiy o'zgaruvchan miqdorning Braun harakati (shuningdek, a Wiener jarayoni ) bilan drift.^[1] Bu a-ni qondiradigan stoxastik jarayonlarning muhim namunasidir stoxastik differentsial tenglama (SDE); xususan, ichida ishlatiladi matematik moliya aktsiyalar narxlarini modellashtirish Blek-Skoulz modeli.

Texnik ta'rif: SDE

Stoxastik jarayon S_t agar u quyidagilarni qondiradigan bo'lsa, GBM-ga amal qilishi aytiladi stoxastik differentsial tenglama (SDE):

{ displaystyle dS_ {t} = mu S_ {t} , dt + sigma S_ {t} , dW_ {t}}

qayerda ${ displaystyle W_ {t}}$ a Wiener jarayoni yoki broun harakati va ${ displaystyle mu}$ ('foizlarning o'zgarishi') va ${ displaystyle sigma}$ ('foiz o'zgaruvchanligi') doimiydir.

Birinchisi deterministik tendentsiyalarni modellashtirish uchun ishlatiladi, ikkinchisi atama ko'pincha bu harakat paytida yuzaga keladigan oldindan aytib bo'lmaydigan hodisalar to'plamini modellashtirish uchun ishlatiladi.

SDE-ni hal qilish

Ixtiyoriy boshlang'ich qiymat uchun S₀ yuqoridagi SDE analitik echimga ega (ostida Itôning talqini ):

{ displaystyle S_ {t} = S_ {0} exp chap ( chap ( mu - { frac { sigma ^ {2}} {2}} o'ng) t + sigma W_ {t} o'ng ).}

Hosil qilishdan foydalanishni talab qiladi Itô hisobi. Qo'llash Ito formulasi olib keladi

{ displaystyle d ( ln S_ {t}) = ( ln S_ {t}) 'dS_ {t} + { frac {1} {2}} ( ln S_ {t})' ', dS_ {t} , dS_ {t} = { frac {dS_ {t}} {S_ {t}}} - { frac {1} {2}} , { frac {1} {S_ {t} ^ {2}}} , dS_ {t} , dS_ {t}}

qayerda ${ displaystyle dS_ {t} , dS_ {t}}$ bo'ladi kvadratik variatsiya SDE ning.

{ displaystyle dS_ {t} , dS_ {t} , = , sigma ^ {2} , S_ {t} ^ {2} , dW_ {t} ^ {2} +2 sigma S_ { t} ^ {2} mu , dW_ {t} , dt + mu ^ {2} S_ {t} ^ {2} , dt ^ {2}}

Qachon ${ displaystyle dt dan 0} gacha$ , ${ displaystyle dt}$ ga nisbatan tezroq 0 ga yaqinlashadi ${ displaystyle dW_ {t}}$ , beri ${ displaystyle dW_ {t} ^ {2} = O (dt)}$ . Shunday qilib, yuqoridagi cheksiz minimal tomonidan soddalashtirilishi mumkin

{ displaystyle dS_ {t} , dS_ {t} , = , sigma ^ {2} , S_ {t} ^ {2} , dt}

Ning qiymatini ulash ${ displaystyle dS_ {t}}$ yuqoridagi tenglamada va soddalashtirishda biz olamiz

{ displaystyle ln { frac {S_ {t}} {S_ {0}}} = chap ( mu - { frac { sigma ^ {2}} {2}} , o'ng) t + sigma W_ {t} ,.}

Ko'rsatkichni olish va ikkala tomonni ko'paytirish ${ displaystyle S_ {0}}$ yuqorida da'vo qilingan echimni beradi.

Xususiyatlari

Yuqoridagi echim ${ displaystyle S_ {t}}$ (t ning har qanday qiymati uchun) a odatda taqsimlanadi tasodifiy o'zgaruvchi bilan kutilayotgan qiymat va dispersiya tomonidan berilgan^[2]

{ displaystyle operator nomi {E} (S_ {t}) = S_ {0} e ^ { mu t},}

{ displaystyle operator nomi {Var} (S_ {t}) = S_ {0} ^ {2} e ^ {2 mu t} chap (e ^ { sigma ^ {2} t} -1 o'ng) .}

Ular haqiqat yordamida olinishi mumkin ${ displaystyle Z_ {t} = exp left ( sigma W_ {t} - { frac {1} {2}} sigma ^ {2} t right)}$ a martingale va bu

{ displaystyle operator nomi {E} chap [ exp chap (2 sigma W_ {t} - sigma ^ {2} t o'ng) mid { mathcal {F}} _ {s} right] = e ^ { sigma ^ {2} (ts)} exp left (2 sigma W_ {s} - sigma ^ {2} s right), quad forall 0 leq s

The ehtimollik zichligi funktsiyasi ning ${ displaystyle S_ {t}}$ bu:

{ displaystyle f_ {S_ {t}} (s; mu, sigma, t) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} , { frac {1} {s sigma { sqrt {t}}}} , exp left (- { frac { left ( ln s- ln S_ {0} - left ( mu - { frac {1} {2}) } sigma ^ {2} right) t right) ^ {2}} {2 sigma ^ {2} t}} right).}

GBM ehtimolligi zichligi funktsiyasini chiqarish

GBM uchun ehtimollik zichligi funktsiyasini olish uchun quyidagidan foydalanishimiz kerak Fokker-Plank tenglamasi PDF-ning vaqt evolyutsiyasini baholash uchun:

{ displaystyle { kısmi p ustidan { qisman t}} + { qismli ustidan { qisman S}} [ mu (t, S) p (t, S)] = {1 ustidan {2} } { kısmi ^ {2} ustidan { qisman S ^ {2}}} [ sigma ^ {2} (t, S) p (t, S)], quad p (0, S) = delta (S)}

qayerda ${ displaystyle delta (S)}$ bo'ladi Dirac delta funktsiyasi. Hisoblashni soddalashtirish uchun biz logaritmik konvertatsiya qilishimiz mumkin ${ displaystyle x = log (S / S_ {0})}$ , GBM shakliga olib keladi:

{ displaystyle dx = left ( mu - {1 over {2}} sigma ^ {2} right) dt + sigma dW}

Keyin PDF evolyutsiyasi uchun teng bo'lgan Fokker-Plank tenglamasi quyidagicha bo'ladi:

{ displaystyle { kısmi p ustidan { qisman t}} + chap ( mu - {1 ustidan {2}} sigma ^ {2} o'ng) { qisman p ustidan { qisman x} } = {1 over {2}} sigma ^ {2} { kısmi ^ {2} p ustidan { qisman x ^ {2}}}, quad p (0, x) = delta (x )}

Aniqlang ${ displaystyle V = mu - sigma ^ {2} / 2}$ va ${ displaystyle D = sigma ^ {2} / 2}$ . Yangi o'zgaruvchilarni tanishtirish orqali ${ displaystyle xi = x-Vt}$ va ${ displaystyle tau = Dt}$ , Fokker-Plank tenglamasidagi hosilalar quyidagicha o'zgartirilishi mumkin:

{ displaystyle { begin {aligned} kısalt _ {t} p & = D qisman _ { tau} pV qisman _ { xi} p qisman _ {x} p & = qisman _ { xi } p kısalt _ {x} ^ {2} p & = qisman _ { xi} ^ {2} p end {hizalanmış}}}

Fokker-Plank tenglamasining yangi shakliga o'tish:

{ displaystyle { kısmi p ustidan { qismli tau}} = = qisman ^ {2} p ustidan { qismli xi ^ {2}}}, quad p (0, xi) = delta ( xi)}

Biroq, bu. Ning kanonik shakli issiqlik tenglamasi. tomonidan berilgan echimga ega issiqlik yadrosi:

{ displaystyle p ( tau, xi) = {1 over { sqrt {4 pi tau}}}} exp left (- { xi ^ {2} over {4 tau}}} o'ngda)}

Asl o'zgaruvchilarning ulanishi GBM uchun PDF-ga olib keladi:

{ displaystyle p (t, S) = {1 over {S { sqrt {2 pi sigma ^ {2} t}}}}} exp left {- { left [ log (S / S_ {0}) - chap ( mu - {1 ustidan {2}} sigma ^ {2} o'ng) t o'ng] ^ {2} ustidan {2 sigma ^ {2} t}} o'ng }}

GBM ning keyingi xususiyatlarini keltirib chiqarishda GBM ning echimi bo'lgan SDE dan foydalanish mumkin yoki yuqorida keltirilgan aniq echimdan foydalanish mumkin. Masalan, stoxastik jarayonlar jurnalini ko'rib chiqing (S_t). Bu qiziqarli jarayon, chunki Blek-Skoulz modelida u bilan bog'liq jurnalni qaytarish aksiya narxining. Foydalanish Ito lemmasi bilan f(S) = log (S) beradi

{ displaystyle { begin {alignedat} {2} d log (S) & = f '(S) , dS + { frac {1} {2}} f' '(S) S ^ {2} sigma ^ {2} , dt [6pt] & = { frac {1} {S}} chap ( sigma S , dW_ {t} + mu S , dt right) - { frac {1} {2}} sigma ^ {2} , dt [6pt] & = sigma , dW_ {t} + ( mu - sigma ^ {2} / 2) , dt. end {alignedat}}}

Bundan kelib chiqadiki ${ displaystyle operator nomi {E} log (S_ {t}) = log (S_ {0}) + ( mu - sigma ^ {2} / 2) t}$ .

Ushbu natijani GBM ning aniq echimiga logarifmni qo'llash orqali ham olish mumkin:

{ displaystyle { begin {alignedat} {2} log (S_ {t}) & = log left (S_ {0} exp left ( left ( mu - { frac { sigma ^ {) 2}} {2}} o'ng) t + sigma W_ {t} o'ng) o'ng) [6pt] & = log (S_ {0}) + chap ( mu - { frac { sigma ^ {2}} {2}} o'ng) t + sigma W_ {t}. end {alignedat}}}

Kutishni olish yuqoridagi kabi natijani beradi: ${ displaystyle operator nomi {E} log (S_ {t}) = log (S_ {0}) + ( mu - sigma ^ {2} / 2) t}$ .

Namuna yo'llarini simulyatsiya qilish

Fitna uchun # Python kodiImport achchiq kabi npImport matplotlib.pyplot kabi pltmu = 1n = 50dt = 0.1x0 = 100np.tasodifiy.urug '(1)sigma = np.arange(0.8, 2, 0.2)x = np.tugatish(    (mu - sigma ** 2 / 2) * dt    + sigma * np.tasodifiy.normal(0, np.kv(dt), hajmi=(len(sigma), n)).T)x = np.vstack([np.bittasi(len(sigma)), x])x = x0 * x.zambil(o'qi=0)plt.fitna(x)plt.afsona(np.dumaloq(sigma, 2))plt.xlabel("$ t $")plt.yorliq("$ x $")plt.sarlavha(    "Geometrik Brownian harakatini turli xil dispersiyalar bilan amalga oshirish n $  mu = 1 $ ")plt.ko'rsatish()

Ko'p o'zgaruvchan versiya

GBM bir nechta o'zaro bog'liq narx yo'llari mavjud bo'lgan holatga qadar kengaytirilishi mumkin.

Har bir narx yo'li asosiy jarayonni kuzatib boradi

{ displaystyle dS_ {t} ^ {i} = mu _ {i} S_ {t} ^ {i} , dt + sigma _ {i} S_ {t} ^ {i} , dW_ {t} ^ {i},}

bu erda Wiener jarayonlari o'zaro bog'liqdir ${ displaystyle operator nomi {E} (dW_ {t} ^ {i} , dW_ {t} ^ {j}) = rho _ {i, j} , dt}$ qayerda ${ displaystyle rho _ {i, i} = 1}$ .

Ko'p o'zgaruvchan holat uchun bu shuni anglatadi

{ displaystyle operator nomi {Cov} (S_ {t} ^ {i}, S_ {t} ^ {j}) = S_ {0} ^ {i} S_ {0} ^ {j} e ^ {( mu _ {i} + mu _ {j}) t} chap (e ^ { rho _ {i, j} sigma _ {i} sigma _ {j} t} -1 o'ng).}

Moliya sohasida foydalaning

Geometrik Brownian harakati Blek-Skoulz modelidagi aktsiyalar narxlarini modellashtirish uchun ishlatiladi va aksiyalar aktsiyalarining eng keng qo'llaniladigan modeli hisoblanadi.^[3]

Qimmatli qog'ozlar narxlarini modellashtirish uchun GBM-dan foydalanish uchun ba'zi dalillar:

GBMning kutilayotgan rentabelligi jarayonning qiymatidan (aktsiya narxi) bog'liq emas, bu aslida biz kutgan narsalarga mos keladi.^[3]
GBM jarayoni xuddi ijobiy aktsiyalarni qabul qiladi, xuddi real aktsiyalar narxi kabi.
GBM jarayoni biz o'z aktsiyalarimizdagi haqiqiy narxlarda ko'rganimiz kabi bir xil "pürüzlülük" ni ko'rsatadi.
GBM jarayonlari bilan hisob-kitob qilish nisbatan oson.

Biroq, GBM to'liq realistik model emas, xususan quyidagi bandlarda u haqiqatdan kam bo'lib qoladi:

Haqiqiy aktsiyalar narxlarida o'zgaruvchanlik vaqt o'tishi bilan o'zgaradi (ehtimol stoxastik ravishda ), ammo GBM da o'zgaruvchanlik doimiy deb qabul qilinadi.
Haqiqiy hayotda aktsiyalar bahosi ko'pincha oldindan aytib bo'lmaydigan voqealar yoki yangiliklar tufayli sakrashlarni ko'rsatmoqda, ammo GBM-da bu yo'l doimiy (to'xtovsiz).

Kengaytmalar

GBM-ni aktsiyalar narxlari modeli sifatida yanada aniqroq qilish uchun, o'zgaruvchanlik ( ${ displaystyle sigma}$ ) doimiydir. Agar biz o'zgaruvchanlikni a deb hisoblasak deterministik aksiya narxi va vaqtining funktsiyasi, bu a deb nomlanadi mahalliy o'zgaruvchanlik model. Agar buning o'rniga biz uchuvchanlikning o'ziga xos tasodifiga ega deb hisoblasak - ko'pincha boshqacha Brownian Motion tomonidan boshqariladigan boshqa tenglama bilan tavsiflanadi - bu model deyiladi stoxastik o'zgaruvchanlik model.

Shuningdek qarang

Braun yuzasi

Adabiyotlar

^ Ross, Sheldon M. (2014). "Braun harakatining o'zgarishi". Ehtimollar modellari bilan tanishish (11-nashr). Amsterdam: Elsevier. 612–14 betlar. ISBN 978-0-12-407948-9.
^ Oksendal, Bernt K. (2002), Stoxastik differentsial tenglamalar: dasturlar bilan tanishtirish, Springer, p. 326, ISBN 3-540-63720-6
^ ^a ^b Xull, Jon (2009). "12.3". Variantlar, fyucherslar va boshqa hosilalar (7 nashr).

Tashqi havolalar

Nyutonga tegishli bo'lmagan veb-sayt

[1] Ross, Sheldon M. (2014). "Braun harakatining o'zgarishi". Ehtimollar modellari bilan tanishish (11-nashr). Amsterdam: Elsevier. 612–14 betlar. ISBN 978-0-12-407948-9.

[2] Oksendal, Bernt K. (2002), Stoxastik differentsial tenglamalar: dasturlar bilan tanishtirish, Springer, p. 326, ISBN 3-540-63720-6

[Hull-3] Xull, Jon (2009). "12.3". Variantlar, fyucherslar va boshqa hosilalar (7 nashr).

[1]

[2]

[3]

Stoxastik jarayonlar
Ayrim vaqt	Bernulli jarayoni Dallanish jarayoni Xitoy restoranlari jarayoni Galton-Uotson jarayoni Mustaqil va bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar Markov zanjiri Moran jarayoni Tasodifiy yurish Ilmoq o'chirildi O'zidan qochish Yomon Maksimal entropiya
Uzluksiz vaqt	Qo'shish jarayoni Bessel jarayoni Tug'ilish - o'lim jarayoni toza tug'ilish Braun harakati Ko'prik Ekskursiya Kesirli Geometrik Meander Koshi jarayoni Aloqa jarayoni Doimiy ravishda tasodifiy yurish Koks jarayoni Diffuziya jarayoni Ampirik jarayon Feller jarayoni Fleming-Viot jarayoni Gamma jarayoni Geometrik jarayon Ov jarayoni O'zaro ta'sir qiluvchi zarralar tizimlari Itô diffuziyasi Bu jarayon Diffuziyani sakrash O'tish jarayoni Levi jarayoni Mahalliy vaqt Markov qo'shimchalari jarayoni MakKin-Vlasov jarayoni Ornshteyn-Uhlenbek jarayoni Poisson jarayoni Murakkab Bir hil bo'lmagan Schramm – Loewner evolyutsiyasi Yarimartingale Sigma-martingale Barqaror jarayon Superprocess Telegraf jarayoni Variantlilik gamma jarayoni Wiener jarayoni Wiener kolbasa
Ikkalasi ham	Dallanish jarayoni Galves-Löcherbax modeli Gauss jarayoni Yashirin Markov modeli (HMM) Markov jarayoni Martingeyl Farqi Mahalliy Sub- Super- Tasodifiy dinamik tizim Qayta tiklanish jarayoni Yangilash jarayoni O'zgaruvchan uzunlikdagi xotirali stoxastik zanjirlar Oq shovqin
Maydonlar va boshqalar	Dirichlet jarayoni Gauss tasodifiy maydoni Gibbs o'lchovi Hopfild modeli Ising modeli Potts modeli Mantiqiy tarmoq Markov tasodifiy maydoni Perkulyatsiya Pitman-Yor jarayoni Nuqta jarayoni Koks Poisson Tasodifiy maydon Tasodifiy grafik
Vaqt seriyasining modellari	Avtoregressiv shartli heteroskedastiklik (ARCH) modeli Avtoregressiv integral harakatlanuvchi o'rtacha (ARIMA) modeli Avtoregressiv (AR) modeli Avtoregressiv - harakatlanuvchi o'rtacha (ARMA) modeli Umumlashtirilgan avoregressiv shartli heteroskedastiklik (GARCH) modeli O'rtacha (MA) harakatlanuvchi model
Moliyaviy modellar	Qora – Derman – Toy Qora-Karasinski Qora-Skoul Chen Doimiy o'zgaruvchan elastiklik (CEV) Koks – Ingersol - Ross (CIR) Garman-Kolxagen Xit-Jarrou-Morton (HJM) Xeston Xo-Li Hull-White LIBOR bozori Rendleman-Bartter SABR o'zgaruvchanligi Vasiček Uilki
Aktuar modellari	Budman Kramer-Lundberg Xavf jarayoni Sparre-Anderson
Navbat modellari	Ommaviy Suyuqlik Umumlashtirilgan navbat tarmog'i M / G / 1 M / M / 1 M / M / s
Xususiyatlari	Kladlag yo'llari Davomiy Uzluksiz yo'llar Ergodik Almashtiriladigan Feller-doimiy Gauss-Markov Markov Aralash Parcha-parcha deterministik Bashoratli Progressive o'lchovli O'ziga o'xshash Statsionar Vaqtni qaytarib berish
Cheklangan teoremalar	Markaziy chegara teoremasi Donsker teoremasi Doob martingale yaqinlashish teoremalari Ergodik teorema Fisher-Tippett-Gnedenko teoremasi Katta og'ish tamoyili Katta sonlar qonuni (kuchsiz / kuchli) Takrorlangan logarifma qonuni Maksimal ergodik teorema Sanov teoremasi Nolinchi qonunlar (Blumental, Borel-Kantelli, Engelbert – Shmidt, Hewitt – Savage, Kolmogorov, Levi )
Tengsizliklar	Burkholder – Devis – Gandi Doob martingali Doob yuqoriga ko'tarildi Kunita – Vatanabe
Asboblar	Kemeron-Martin formulasi Tasodifiy o'zgaruvchilarning yaqinlashishi Doléans-Dade eksponent Doob dekompozitsiyasi teoremasi Doob-Meyer dekompozitsiya teoremasi Doobning ixtiyoriy ravishda to'xtash teoremasi Dinkin formulasi Feynman-Kac formulasi Filtrlash Girsanov teoremasi Cheksiz kichik generator Bu ajralmas Ito lemmasi Karxunen-Loève_theoremasi Kolmogorov uzluksizligi teoremasi Kolmogorov kengaytmasi teoremasi Levi-Proxorov metrikasi Malliavin hisobi Martingale vakili teoremasi Ixtiyoriy ravishda to'xtatish teoremasi Proxorov teoremasi Kvadratik variatsiya Ko'zgu printsipi Skoroxod integral Skoroxodning vakillik teoremasi Skoroxod maydoni Snell konvert Stoxastik differentsial tenglama Tanaka Vaqtni to'xtatish Stratonovich integral Yagona integral Odatiy gipotezalar Wiener maydoni Klassik Xulosa
Fanlar	Aktuar matematikasi Boshqarish nazariyasi Ekonometriya Ergodik nazariya Haddan tashqari qiymat nazariyasi (EVT) Katta og'ishlar nazariyasi Matematik moliya Matematik statistika Ehtimollar nazariyasi Navbat nazariyasi Yangilanish nazariyasi Vayronalar nazariyasi Signalni qayta ishlash Statistika Chipdagi tizim dizayn Stoxastik tahlil Vaqt qatorlarini tahlil qilish Mashinada o'qitish
Mavzular ro'yxati Turkum