Cox-Ingersoll-Ross modeli - Cox–Ingersoll–Ross model

CIR jarayonlarining uchta traektoriyasi

Yilda matematik moliya, Cox-Ingersoll-Ross (CIR) modeli evolyutsiyasini tasvirlaydi foiz stavkalari. Bu "bitta omil modeli" ning bir turi (qisqa stavka modeli ) foiz stavkalari harakatlarini faqat bitta manbaga asoslangan holda tavsiflaydi bozor xavfi. Modelni baholashda foydalanish mumkin foiz stavkalari. U 1985 yilda kiritilgan Jon C. Koks, Jonathan E. Ingersoll va Stiven A. Ross kengaytmasi sifatida Vasicek modeli.

Model

CIR jarayoni

CIR modeli bir zumda foiz stavkasini belgilaydi quyidagicha stoxastik differentsial tenglama, shuningdek, CIR jarayoni deb nomlangan:

qayerda a Wiener jarayoni (tasodifiy bozor xavf omilini modellashtirish) va , va ular parametrlar. Parametr o'rtacha sozlanish tezligiga mos keladi va o'zgaruvchanlikka. Drift omil, , Vasicek modelidagi kabi bir xil. Bu ta'minlaydi orqaga qaytishni anglatadi foiz stavkasining uzoq muddatli qiymatiga qarab , sozlash tezligi aniq ijobiy parametr bilan boshqariladi .

The standart og'ish omil, , ning barcha ijobiy qiymatlari uchun salbiy foiz stavkalari ehtimolini oldini oladi va . Shart bo'lsa, nol foiz stavkasi ham bekor qilinadi

uchrashdi. Umuman olganda, stavka () nolga yaqin, standart og'ish () shuningdek, juda kichik bo'ladi, bu tasodifiy zarba tezligiga ta'sirini susaytiradi. Binobarin, tezlik nolga yaqinlashganda, uning evolyutsiyasi tezlikni yuqoriga (qarab muvozanat ).

Ushbu jarayonni kvadrat yig'indisi sifatida aniqlash mumkin Ornshteyn-Uhlenbek jarayoni. CIR - bu ergodik jarayoni va statsionar taqsimotga ega. Xuddi shu jarayon Xeston modeli stoxastik o'zgaruvchanlikni modellashtirish.

Tarqatish

  • Kelajakda tarqatish
CIR jarayonining kelajakdagi qiymatlarini taqsimoti yopiq shaklda hisoblanishi mumkin:
qayerda va Y a markaziy bo'lmagan kvadratik taqsimot bilan erkinlik darajasi va markazlashmaslik parametri . Rasmiy ravishda ehtimollik zichligi funktsiyasi:
qayerda , , va birinchi turdagi buyurtmaning o'zgartirilgan Bessel funktsiyasidir .
  • Asimptotik tarqalish
Vaqt ortib borishi bilan o'rtacha reversiya tufayli, ning taqsimlanishi ga yaqinlashadi gamma taqsimoti ehtimollik zichligi bilan:
qayerda va .
Asimptotik taqsimotni keltirib chiqarish

Asimptotik taqsimotni chiqarish CIR modeli uchun biz foydalanishimiz kerak Fokker-Plank tenglamasi:

Bizning qiziqishimiz, ayniqsa, qachondir , bu soddalashtirilgan tenglamaga olib keladi:

Ta'riflash va va shartlarni qayta tuzish tenglamaga olib keladi:

Integratsiya shuni ko'rsatadiki:

Har xil doirada , bu zichlik gamma taqsimotini tavsiflaydi. Shuning uchun CIR modelining asimpotik taqsimlanishi gamma-taqsimot hisoblanadi.

Xususiyatlari

  • O'rtacha reversiya,
  • Darajaga bog'liq o'zgaruvchanlik (),
  • Berilgan ijobiy uchun agar jarayon hech qachon nolga tegmasa ; aks holda u vaqti-vaqti bilan nol nuqtasiga tegishi mumkin,
  • , shuning uchun uzoq muddatli o'rtacha ,

Kalibrlash

Uzluksiz SDE diskretlashtirilishi mumkin
ga teng bo'lgan
taqdim etilgan n.i.i.d. (0,1). Ushbu tenglamadan chiziqli regressiya uchun foydalanish mumkin.

Simulyatsiya

Stoxastik simulyatsiya CIR jarayoniga ikkita variant yordamida erishish mumkin:

Obligatsiya narxlari

Arbitrajsiz taxmin asosida, obligatsiya ushbu foiz stavkasi jarayonidan foydalangan holda narxlanishi mumkin. Obligatsiya narxi foiz stavkasi bo'yicha eksponent afinga teng:

qayerda

Kengaytmalar

CIR jarayoni - bu alohida holat afinada sakrashning asosiy diffuziyasi, bu hali ham ruxsat beradi a yopiq shakldagi ifoda obligatsiyalar narxi uchun. Modelda foiz stavkalari va ehtimol o'zgaruvchanlikning oldindan belgilangan muddatiga muvofiq bo'lishi uchun koeffitsientlarni almashtiradigan vaqtni o'zgartirish funktsiyalari kiritilishi mumkin. Eng umumiy yondashuv Maghsoodi (1996). Brigo va Mercurio (2001b) da ko'proq tortilishi mumkin bo'lgan yondashuv, bu stavkalarning kirish muddatining tuzilishiga muvofiqligi uchun tashqi vaqtga bog'liq o'zgarish modelga qo'shiladi. CIR modelining stoxastik o'rtacha va stokastik o'zgaruvchanlik holatiga sezilarli kengayishi Lin Chen (1996) va sifatida tanilgan Chen modeli. So'nggi kengaytma - Orlando, Mininni va Bufalo (2018,[1] 2019 [2], [3]).

Shuningdek qarang


Adabiyotlar

  1. ^ Orlando, Juzeppe; Mininni, Roza Mariya; Bufalo, Mishel (2018). "CIRni qisqa muddatli stavkalarini modellashtirishga yangi yondashuv". Ruxsat etilgan daromadlarni modellashtirishning yangi usullari. Menejment faniga qo'shgan hissalari. Springer Xalqaro nashriyoti: 35–43. doi:10.1007/978-3-319-95285-7_2. ISBN  978-3-319-95284-0.
  2. ^ Orlando, Juzeppe; Mininni, Roza Mariya; Bufalo, Mishel (2019 yil 1-yanvar). "CIR modeli orqali bozor foiz stavkalarini prognoz qilish bo'yicha yangi yondashuv". Iqtisodiyot va moliya bo'yicha o'qishlar. bosmadan oldin (bosmadan oldin). doi:10.1108 / SEF-03-2019-0116. ISSN  1086-7376.
  3. ^ Orlando, Juzeppe; Mininni, Roza Mariya; Bufalo, Mishel (2019 yil 19-avgust). "Foiz stavkalarini CIR modeli bilan kalibrlash". Xatarlarni moliyalashtirish jurnali. 20 (4): 370–387. doi:10.1108 / JRF-05-2019-0080. ISSN  1526-5943.

Qo'shimcha ma'lumotnomalar