Mahalliy o'zgaruvchanlik - Local volatility

A mahalliy o'zgaruvchanlik model, yilda matematik moliya va moliyaviy muhandislik, davolaydigan narsa o'zgaruvchanlik ikkala joriy aktiv darajasining funktsiyasi sifatida va vaqt . Shunday qilib, mahalliy o'zgaruvchanlik modeli umumiylikni anglatadi Blek-Skoulz modeli, bu erda o'zgaruvchanlik doimiy (ya'ni. ning ahamiyatsiz funktsiyasi va ).

Formulyatsiya

Yilda matematik moliya, aktiv St bu asoslar a moliyaviy lotin, odatda a ga amal qilinadi deb taxmin qilinadi stoxastik differentsial tenglama shaklning

,

qayerda bir zumda xavfdan xoli stavka, dinamikaga o'rtacha mahalliy yo'nalish berish va a Wiener jarayoni, tasodifiylikning dinamikaga kirishini ifodalaydi. Ushbu tasodifiylikning amplitudasi oniy o'zgaruvchanlik bilan o'lchanadi . Eng oddiy modelda, ya'ni Blek-Skoulz modelida, doimiy deb qabul qilinadi; aslida, zaminning asosidagi o'zgaruvchanlik vaqtga qarab o'zgarib turadi.

Bunday o'zgaruvchanlik o'z tasodifiga ega bo'lganda - ko'pincha boshqasi tomonidan boshqariladigan boshqa tenglama bilan tavsiflanadi V- yuqoridagi model a deb nomlanadi stoxastik o'zgaruvchanlik model. Va agar bunday o'zgaruvchanlik shunchaki joriy aktiv darajasining funktsiyasi bo'lsa St va vaqt t, bizda mahalliy o'zgaruvchanlik modeli mavjud. Mahalliy o'zgaruvchanlik modeli soddalashtirishning foydali usuli hisoblanadi stoxastik o'zgaruvchanlik model.

Shunday qilib, "mahalliy o'zgaruvchanlik" - bu atama miqdoriy moliya diffuziya koeffitsientlari to'plamini belgilash uchun, , bu ma'lum bir asosdagi barcha variantlar uchun bozor narxlariga mos keladi. Ushbu model hisoblash uchun ishlatiladi ekzotik variant ning kuzatilgan narxlariga mos keladigan baholashlar vanil variantlari.

Rivojlanish

Mahalliy o'zgaruvchanlik kontseptsiyasi qachon ishlab chiqilgan Bruno Dupire [1] va Emanuel Derman va Iraj Kani[2] Evropa variantlarining bozor narxlaridan kelib chiqadigan xavfning neytral zichligiga mos keladigan noyob diffuziya jarayoni mavjudligini ta'kidladi.

Derman va Kani oniy o'zgaruvchanlikni modellashtirish uchun mahalliy o'zgaruvchanlik funktsiyasini ta'rifladilar va amalga oshirdilar. Ular ushbu funktsiyani a ning har bir tugunida ishlatgan binomial opsiyalarning narxlash modeli. Daraxt muvaffaqiyatli ravishda ish tashlashlar va amal qilish muddati bo'yicha barcha bozor narxlariga mos keladigan opsionlarni ishlab chiqardi.[2] Derman-Kani modeli shu tarzda ishlab chiqilgan diskret vaqt va aktsiyalarning narxlari. (Derman va Kani "deb nomlangan narsani ishlab chiqarishdi"nazarda tutilgan binomial daraxt "; bilan Nil Kriss ular buni an ga uzaytirdilar nazarda tutilgan trinomial daraxt.)

Kalit davomiymahalliy o'zgaruvchanlik modellarida ishlatiladigan vaqt tenglamalari tomonidan ishlab chiqilgan Bruno Dupire 1994 yilda. Dyupirning tenglamasi

Heston modeli (Shönbucher, SVI va gSVI) va ularning arbitrajdan mahrum qilish metodologiyasi asosida o'zgaruvchanlik yuzasining ma'lum bo'lgan bir nechta parametrlari mavjud.[3]

Hosil qilish

Aktivning narxini hisobga olgan holda xavf neytral SDE tomonidan boshqariladi

O'tish ehtimoli shartli oldinga siljigan Kolmogorov tenglamasini qondiradi (shuningdek ma'lum Fokker - Plank tenglamasi )

[tushuntirish kerak ]

Tufayli Martingale narxlari teorema, chaqiruv opsiyasining muddati va urish bu

Qo'ng'iroq opsiyasi narxini nisbatan farqlash

va qo'ng'iroq opsiyasi narxining formulasida almashtirish va shartlarni qayta o'zgartirish

Qo'ng'iroq opsiyasi narxini nisbatan farqlash ikki marta

Qo'ng'iroq opsiyasi narxini nisbatan farqlash hosil

Oldinga Kolmogorov tenglamasidan foydalanib

birinchi integralni bir marta, ikkinchi integralni ikki marta qismlarga ajratish

qo'ng'iroq opsiyasi narxini farqlash bo'yicha olingan formulalardan foydalangan holda

Foydalanish

Mahalliy o'zgaruvchanlik modellari har qanday opsionlar bozorida foydalidir, bunda asosan o'zgaruvchanlik asosan, bazaviy, foiz stavkalari hosilalari darajasiga bog'liq. Vaqt o'zgarmas mahalliy o'zgaruvchanlik, ehtimol, o'zgaruvchanlik yuzasi nazarda tutilgan kapital indeksining dinamikasiga mos kelmaydi,[4][5] lekin qarang Krepi, S (2004). "Delta-hedging Vega xavfi". Miqdoriy moliya. 4 (5): 559–579. doi:10.1080/14697680400000038., bunday modellar kapital indekslari variantlari uchun eng yaxshi o'rtacha to'siqni taqdim etadi deb da'vo qilmoqda. Mahalliy volatilite modellari, shunga qaramay, shakllantirishda foydalidir stoxastik o'zgaruvchanlik modellar.[6]

Mahalliy uchuvchanlik modellari bir qator jozibali xususiyatlarga ega.[7] Tasodifiylikning yagona manbai aktsiya narxi bo'lganligi sababli, mahalliy o'zgaruvchanlik modellarini kalibrlash oson. McKean-Vlasov jarayonlari bilan shug'ullanish uchun ko'plab kalibrlash usullari ishlab chiqilgan, shu jumladan, eng ko'p ishlatiladigan zarrachalar va axlat qutilari. [8] Shuningdek, ular xedjirovka faqat asosiy aktivga asoslangan bo'lishi mumkin bo'lgan to'liq bozorlarga olib keladi. Dupire tomonidan parametrik bo'lmagan umumiy yondashuv muammoli, chunki kiritilayotgan ma'lumotni o'zboshimchalik bilan oldindan interpolatsiya qilish kerak. uchuvchanlik yuzasi usulni qo'llashdan oldin. Shu bilan bir qatorda alternativ parametrli yondashuvlar taklif qilingan, xususan, yuqori traktsiyali aralashmaning dinamik mahalliy lokal o'zgaruvchan modellari Damiano Brigo va Fabio Mercurio.[9][10]

Mahalliy o'zgaruvchanlik modellarida o'zgaruvchanlik tasodifiy aktsiyalar narxining deterministik funktsiyasi bo'lgani uchun, mahalliy volatilite modellari narxlash uchun unchalik yaxshi qo'llanilmaydi kriket variantlari yoki oldinga boshlash variantlari, uning qiymatlari, ayniqsa, o'zgaruvchanlikning tasodifiy tabiatiga bog'liq.

Adabiyotlar

  1. ^ Bruno Dupire (1994). "Tabassum bilan narxlash". Xavf. Iqtibos jurnali talab qiladi | jurnal = (Yordam bering)"Yuklab olish vositasi o'chirilgan" (PDF). Arxivlandi asl nusxasi (PDF) 2012-09-07 da. Olingan 2013-06-14.
  2. ^ a b Derman, E., Iraj Kani (1994). ""Tabassumga minish. "XAVF, 1997 (7) fevral, 1 fevral, 139-145 betlar, 32-39 betlar" (PDF). Xavf. Arxivlandi asl nusxasi (PDF) 2011-07-10. Olingan 2007-06-01. Iqtibos jurnali talab qiladi | jurnal = (Yordam bering)CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)
  3. ^ Babak Mahdavi Damg'ani va Endryu Kos (2013). "Zaif tabassum bilan o'zboshimchalik qilish". Uilmott. Iqtibos jurnali talab qiladi | jurnal = (Yordam bering)http://www.readcube.com/articles/10.1002/wilm.10201?locale=en
  4. ^ Mahdavi Damg'ani, Babak (2013). "Zaif tabassum bilan hakamlik qilish: tavakkal qilish uchun ariza". Uilmott. 2013 (1): 40–49. doi:10.1002 / wilm.10201. S2CID  154646708.
  5. ^ Dumas, B., J. Fleming, R. E. Vali (1998). "Ko'zda tutilgan o'zgaruvchanlik funktsiyalari: Empirik testlar" (PDF). Moliya jurnali. 53 (6): 2059–2106. doi:10.1111/0022-1082.00083.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)
  6. ^ Gatheral, J. (2006). O'zgaruvchanlik yuzasi: amaliyotchilar uchun qo'llanma. Wiley Finance. ISBN  978-0-471-79251-2.
  7. ^ Derman, E. I Kani va J. Z. Zou (1996). "Mahalliy o'zgaruvchanlik yuzasi: indeks parametrlari bo'yicha ma'lumotni ochish". Moliyaviy tahlilchilar jurnali. (1996 yil iyul-avgust).
  8. ^ van der Weijst, Roel (2017). "Stoxastik mahalliy o'zgaruvchanlik modeli uchun raqamli echimlar". Iqtibos jurnali talab qiladi | jurnal = (Yordam bering)
  9. ^ Damiano Brigo va Fabio Mercurio (2001). "Analitik-tortiladigan tabassum modellari uchun joy almashtirilgan va aralashma diffuziyalari". Matematik moliya - bakalerlar Kongressi 2000. Ishlar to'plami. Springer Verlag.
  10. ^ Damiano Brigo va Fabio Mercurio (2002). "Lognormal aralashma dinamikasi va bozor o'zgaruvchanligi tabassumiga qarab kalibrlash" (PDF). Xalqaro nazariy va amaliy moliya jurnali. 5 (4). Olingan 2011-03-07.
  1. Kerol Aleksandr (2004). "Noaniq o'zgaruvchanlik bilan aralashmaning normal tarqalishi: qisqa va uzoq muddatli tabassum effektlarini modellashtirish". Bank va moliya jurnali. 28 (12).
  1. Babak Mahdavi Damg'ani va Endryu Kos (2013). "Zaif tabassum bilan arbitraj: tavakkal qilish uchun ariza". Wilmott jurnali. Iqtibos jurnali talab qiladi | jurnal = (Yordam bering)http://ssrn.com/abstract=2428532